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2013-2014学年度鲁山中学九年级数学第二次月考卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题4分）
1．如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A，B重合），对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N．下列结论：
①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE2+PF2=PO2；④△POF∽△BNF；⑤当△PMN∽△AMP时，点P是AB的中点．
其中正确的结论有
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
2．如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，∠BDA=90°，AB=a，BD=b，CD=c，BC=d，AD=e，则下列等式成立的是
A． b2=ac B．b2=ce C．be=ac D．bd=ae
3．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=900，点P以每秒1cm的速度从点A出发，沿折线AC－CB运动，到点B停止。过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD的长y（cm）与点P的运动时间x（秒）的函数图象如图2所示。当点P运动5秒时，PD的长是【 】
A．1.5cm B．1.2cm C．1.8cm D．2cm
4．如图，在ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，，则DE：EC=【 】
A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2
5．如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=90°，∠OAB=30°，反比例函数
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的图象经过点A，反比例函数的图象经过点B，则下列关于m，n的关系正确的是
A. m=﹣3n B. C. D.
6．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD，下列结论错误的是
A. ∠C=2∠A B. BD平分∠ABC
C. S△BCD=S△BOD D. 点D为线段AC的黄金分割点
7．在平面坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1,………按这样的规律进行下去，第2012个正方形的面积为
A． B． C． D．
8．如图，点G、E、A、B在一条直线上，Rt△EFG从如图所示是位置出发，沿直线AB向右匀速运动，当点G与B重合时停止运动．设△EFG与矩形ABCD重合部分的面积为S，运动时间为t，则S与t的图象大致是
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A． B． C． D．
9．如图，在▱ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD延长线于点F，则△EDF与△BCF的周长之比是【 】
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5
10． （2013年四川南充3分） 如图1，点E为矩形ABCD边AD上一点，点P，点Q同时从点B出发，点P沿BE→ED→DC 运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/s，设P，Q出发t秒时，△BPQ的面积为ycm，已知y与t的函数关系的图形如图2（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5cm；②当0＜t≤5时，；③直线NH的解析式为；④若△ABE与△QBP相似，则t=秒。其中正确的结论个数为【 】
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
二、填空题（每题5分）
11．在平面直角坐标系xOy中，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限内的点B在反比例函数的图象上，连接OA、OB，若OA⊥OB，OB=OA，则k= ．
12．如图，正方形ABCD的边长为4，E、F分别是BC、CD上的两个动点，且AE⊥EF。则AF的最小值是 。
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13．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是 ．
14．如图，巳知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于 _________ （结果保留根号）．
四、解答题
15．（8分）如图，∴P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长DP交边AB于点E，连接BP并延长BP交边AD于点F，交CD的延长线于点G．
（1）求证：△APB≌△APD；
（2）已知DF：FA＝1：2，设线段DP的长为x，线段PF的长为y．
①求y与x的函数关系式；
②当x＝6时，求线段FG的长．
16．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．
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（1）求证：∠CBP=∠ABP；
（2）求证：AE=CP；
（3）当，BP′=时，求线段AB的长．
17．（8分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，
（1）求证：AC2=AB•AD；
（2）求证：CE∥AD；
（3）若AD=4，AB=6，求 的值．
18．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）
（1）若△CEF与△ABC相似．
①当AC=BC=2时，AD的长为 ；
②当AC=3，BC=4时，AD的长为 ；
（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？请说明理由．
19．（10分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，正方形DEFG的顶点D地边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上。
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（1）求证：△ADE≌△BGF；
（2）若正方形DEFG的面积为16cm，求AC的长。
20．（10分））如图，已知矩形OABC中，OA=2，AB=4，双曲线（k＞0）与矩形两边AB、BC分别交于E、F．
（1）若E是AB的中点，求F点的坐标；
（2）若将△BEF沿直线EF对折，B点落在x轴上的D点，作EG⊥OC，垂足为G，证明△EGD∽△DCF，并求k的值．
21．（12分）将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（m，0）（m＞0），点D（m，1）在BC上，将矩形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E．
（1）当m=3时，点B的坐标为 ，点E的坐标为 ；
（2）随着m的变化，试探索：点E能否恰好落在x轴上？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．
（3）如图，若点E的纵坐标为－1，抛物线（a≠0且a为常数）的顶点落在△ADE的内部，求a的取值范围．
22．（12分）如图，在等腰梯形ABCD中，DC∥AB，E是DC延长线上的点，连接AE，交BC于点F。
（1）求证：△ABF∽△ECF
（2）如果AD＝5cm，AB＝8cm，CF＝2cm，求CE的长。
23．（14分）如图,已知二次函数的图象与轴交于A、B两点，与
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轴交于点P，顶点为C（1，-2）.
（1)求此函数的关系式；
（2)作点C关于轴的对称点D，顺次连接A、C、B、D.若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ABCD分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得△PEF是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点F的坐标及△PEF的面积；若不存在，请说明理由.
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参考答案
1．B
2．A
3．B。
4．B。
5．A
6．C
7．D
8．D
9．A。
10．B。
11．
12．5
13．
14．
15．解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，AC平分∠DAB。∠DAP=∠BAP。
∵在△APB和△APD中，，
∴△APB≌△APD（SAS）。
（2）①∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD=BC。
∴△AFP∽△CBP。∴。
∵DF：FA＝1：2，∴AF：BC＝3：3。∴。
由（1）知，PB=PD=x，又∵PF=y，∴。
∴，即ｙ与x的函数关系式为。
②当x＝6时，，∴。
∵DG∥AB，∴△DFG∽△AFB。∴。∴。
∴，即线段FG的长为5。
16．解：（1）证明：∵AP′是AP旋转得到，∴AP=AP′。∴∠APP′=∠AP′P。
∵∠C=90°，AP′⊥AB，∴∠CBP+∠BPC=90°，∠ABP+∠AP′P=90°。
又∵∠BPC=∠APP′（对顶角相等）。∴∠CBP=∠ABP。
（2）证明：如图，过点P作PD⊥AB于D，
∵∠CBP=∠ABP，∠C=90°，∴CP=DP。
∵P′E⊥AC，∴∠EAP′+∠AP′E=90°。
又∵∠PAD+∠EAP′=90°，
∴∠PAD=∠AP′E。
在△APD和△P′AE中，
∵，
∴△APD≌△P′AE（AAS）。∴AE=DP。∴AE=CP。
（3）∵，∴设CP=3k，PE=2k，则AE=CP=3k，AP′=AP=3k+2k=5k。
在Rt△AEP′中，，
∵∠C=90°，P′E⊥AC，∴∠CBP+∠BPC=90°，∠EP′P+∠P′PE=90°。
∵∠BPC=∠EPP′（对顶角相等），∴∠CBP=∠P′PE。
又∵∠BAP′=∠P′EP=90°，∴△ABP′∽△EPP′。
∴。即。∴。
在Rt△ABP′中，，即。
解得AB=10
17．解：（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB。
∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB。
∴，即AC2=AB•AD。
（2）证明：∵E为AB的中点，∴CE=AB=AE。∴∠EAC=∠ECA。
∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA。∴CE∥AD。
（3）∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴。
∵CE=AB，∴CE=×6=3。
∵AD=4，∴。∴。
18．解：（1）①。
②或。
（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似。理由如下：
如答图3所示，连接CD，与EF交于点Q，
∵CD是Rt△ABC的中线，∴CD=DB=AB，∴∠DCB=∠B。
由折叠性质可知，∠CQF=∠DQF=90°，
∴∠DCB+∠CFE=90°。
∵∠B+∠A=90°，∴∠CFE=∠A。
又∵∠C=∠C，∴△CEF∽△CBA。
19．解：（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，
∴∠B=∠A=45°。
∵四边形DEFG是正方形，∴∠BFG=∠AED=90°。
∴∠BGF=∠ADE=45°，GF=ED。
∵在△ADE与△BGF中，，
∴△ADE≌△BGF（ASA）。
（2）如图，过点C作CG⊥AB于点G，
∵正方形DEFG的面积为16cm2，∴DE=AE=4cm。
∴AB=3DE=12cm。
∵△ABC是等腰直角三角形，CG⊥AB，
∴AG=AB=×12=6cm。
在Rt△ADE中，∵DE=AE=4cm，
∴（cm）。
∵CG⊥AB，DE⊥AB，∴CG∥DE。∴△ADE∽△ACG。
∴，即，解得cm。
20．解：（1）∵点E是AB的中点，OA=2，AB=4，∴点E的坐标为（2，2）。
将点E的坐标代入，可得k=4。
∴反比例函数解析式为：。
∵点F的横坐标为4，∴点F的纵坐标。
∴点F的坐标为（4，1）。
（2）结合图形可设点E坐标为（，2），点F坐标为（4，），
则CF=，BF=DF=2﹣，ED=BE=AB﹣AE=4﹣，
在Rt△CDF中，。
由折叠的性质可得：BE=DE，BF=DF，∠B=∠EDF=90°，
∵∠CDF+∠EDG=90°，∠GED+∠EDG=90°，∴∠CDF=∠GED。
又∵∠EGD=∠DCF=90°，∴△EGD∽△DCF。
∴，即。
∴=1，解得：k=3。
21．解：（1）点B的坐标为（3，4），点E的坐标为（0，1）。
（2）点E能恰好落在x轴上。理由如下：
∵四边形OABC为矩形，∴BC=OA=4，∠AOC=∠DCE=90°。
由折叠的性质可得：DE=BD=OA-CD=4－1=3，AE=AB=OC=m。
如图1，假设点E恰好落在x轴上，
在Rt△CDE中，由勾股定理可得
，
则有。
在Rt△AOE中，OA2+OE2=AE2，
即，解得。
（3）如图2，过点E作EF⊥AB于F，EF分别与AD、OC交于点G、H，过点D作DP⊥EF于点P，则EP=PH+EH=DC+EH=2，
在Rt△PDE中，由勾股定理可得
，
∴BF=DP=。
在Rt△AEF中，AF=AB−BF=m−，EF=5，AE=m，
∵AF2+EF2=AE2，即，解得m=3。
∴AB＝3，AF＝2，E（2，－1）。
∵∠AFG=∠ABD=90°，∠FAG=∠BAD，∴△AFG∽△ABD。
∴，即，解得FG=2。∴EG=EF－FG=3。∴点G的纵坐标为2。
∵，
∴此抛物线的顶点必在直线x＝2上。
又∵抛物线的顶点落在△ADE的内部，
∴此抛物线的顶点必在EG上。
∴－1＜10－20a＜2，解得。
∴a的取值范围为。
22．解：（1）证明：∵DC∥AB，∴∠B=∠ECF，∠BAF=∠E，
∴△ABF∽△ECF。
（2）∵在等腰梯形ABCD中，AD=BC， AD＝5cm，AB＝8cm，CF＝2cm，∴BF＝3cm。
∵△ABF∽△ECF，∴ ，即。
∴（cm）。
23．；E(3，2) ；3
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