山东省2014届理科一轮复习试题选编42：函数的最值与导数.doc

天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 山东省2014届理科数学一轮复习试题选编42：函数的最值与导数 一、填空题 ．（山东省德州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知函数,给出如下四个命题:‎ ‎①f(x)在[)上是减函数; ②f(x)的最大值是2;‎ ‎③函数y=f(x)有两个零点; ④f(x)≤在R上恒成立;‎ 其中正确的命题有___________(把正确的命题序号都填上).‎ ‎【答案】①③④ ‎ ．（山东省德州市2013届高三上学期期末校际联考数学（理））已知若使得成立,则实数a的取值范围是.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】,当时,函数递增;当时,函数递减,所以当时取得极小值即最小值.函数的最大值为,若使得成立,则有的最大值大于或等于的最小值,即. ‎ 二、解答题 ．（山东省2013届高三高考模拟卷（一）理科数学）已知函数,的图象过点,且在点处的切线与直线垂直.‎ ‎(1)求实数的值;‎ ‎(2)求在为自然对数的底数)上的最大值;‎ ‎(3)对任意给定的正实数,曲线上是否存在两点P,Q,使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边的中点在轴上 ‎【答案】【解析】(1)当时,, ‎ 由题意,得即解得. ‎ ‎(2)由(1),知 ‎ ‎①当时,,由,得;由,得或.所以在和上单调递减,在上单调递增. ‎ 因为,,,所以在上的最大值为2. ‎ ‎②当时,,当时,;当时,在上单调递增. ‎ 所以在上的最大值为. ‎ 所以当时,在上的最大值为; ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 当时,在上的最大值为2. ‎ ‎(3)假设曲线上存在两点P,Q满足题意,则P,Q只能在轴两侧, ‎ 因为△POQ是以O为直角顶点的直角三角形,所以, ‎ 不妨设,则由△POQ斜边的中点在轴上知,且 .所以.(*) ‎ 是否存在两点P,Q满足题意等价于方程(*)是否有解. ‎ 若,则,代入方程(*),得, ‎ 即,而此方程无实数解; ‎ 当时,则,代入方程(*),得,即, ‎ 设,则在上恒成立, ‎ 所以在上单调递增,从而,即的值域为. ‎ 因为,所以的值域为, ‎ 所以当时,方程有解,即方程(*)有解. ‎ 所以对任意给定的正实数,曲线上总存在两点P,Q,使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边的中点在轴上. ‎ ．（山东省济南市2012届高三3月高考模拟题理科数学（2012济南二模））已知函数f(x)=ax+lnx,其中a为常数,设e为自然对数的底数.‎ ‎(1) 当a=-1时,求f(x)的最大值;‎ ‎(2) 若f(x)在区间(0,e]上的最大值为-3,求a的值;‎ ‎(3) 当a=-1时,试推断方程=是否有实数解.‎ ‎【答案】解:(1) 当a=-1时,f(x)=-x+lnx,f′(x)=-1+ ‎ 当01时,f′(x)0,即0成立.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎ ‎ ．（山东济南外国语学校2012—2013学年度第一学期高三质量检测数学试题（理科））已知函数.‎ ‎(1)求的单调区间;‎ ‎(2)若对,,都有,求的取值范围.‎ ‎【答案】解:(1),令得 ‎ 当时,在和上递增,在上递减; ‎ 当时,在和上递减,在上递增 ‎ ‎(2) 当时,;所以不可能对,都有; ‎ 当时有(1)知在上的最大值为,所以对,都有即,故对,都有时,的取值范围为 ‎ ．（山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试数学（理）试题）已知 ‎(1)求函数的单调区间;‎ ‎(2)求函数在[t,t+2]()上的最小值;‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎(3)对一切的恒成立,求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．（山东省莱芜市莱芜二中2013届高三4月模拟考试数学（理）试题）22.已知函数,其中常数.‎ ‎(1)求的单调区间;‎ ‎(2)如果函数在公共定义域D上,满足,那么就称 为与的“和谐函数”.设,求证:当时,在区间上,函数与的“和谐函数”有无穷多个.‎ ‎【答案】解:(1) ,常数) ‎ 令,则, ‎ ‎①当时,, ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 在区间和上,;在区间上, ‎ 故的单调递增区间是和,单调递减区间是 ‎ ‎②当时,, 故的单调递增区间是 ‎ ‎③当时,, ‎ 在区间和上,;在区间上, ‎ 故的单调递增区间是和,单调递减区间是 ‎ ‎(2)令, ‎ ‎ ‎ 令,则, ‎ 因为,所以,且 ‎ 从而在区间上,,即在上单调递减 ‎ 所以 ‎ 又,所以,即 ‎ 设(,则 ‎ 所以在区间上,函数与的“和谐函数”有无穷多个 ‎ ．（山东省文登市2013届高三3月二轮模拟考试数学（理））已知函数为常数)是实数集上的奇函数,函数 在区间上是减函数.‎ ‎(Ⅰ)求实数的值;‎ ‎(Ⅱ)若在上恒成立,求实数的最大值;‎ ‎(Ⅲ)若关于的方程有且只有一个实数根,求的值.‎ ‎【答案】解:(Ⅰ)是实数集上奇函数, ‎ ‎,即 . ‎ 将带入,显然为奇函数 ‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知, ‎ 要使是区间上的减函数,则有在恒成立,,所以 ‎ 要使在上恒成立, ‎ 只需在时恒成立即可. ‎ ‎(其中)恒成立即可 ‎ 令,则即 ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎,所以实数的最大值为 ‎ ‎(Ⅲ)由(Ⅰ)知方程,即, ‎ 令 ‎ ‎ ‎ 当时,在上为增函数; ‎ 当时,在上为减函数; ‎ 当时, ‎ 而 ‎ 当时是减函数,当时,是增函数, ‎ 当时, ‎ 只有当,即时,方程有且只有一个实数根 ‎ ．（山东省威海市2013届高三上学期期末考试理科数学）已知函数在点处的切线方程为,且对任意的,恒成立.‎ ‎(Ⅰ)求函数的解析式;‎ ‎(Ⅱ)求实数的最小值;‎ ‎(Ⅲ)求证:().‎ ‎【答案】 ‎ 解:(Ⅰ)将代入直线方程得,∴① ‎ ‎,∴② ‎ ‎①②联立,解得 ‎ ‎∴ ‎ ‎(Ⅱ),∴在上恒成立; ‎ 即在恒成立; ‎ 设,, ‎ ‎∴只需证对于任意的有 ‎ ‎ ‎ 设, ‎ ‎【D】1．)当,即时,,∴ ‎ 在单调递增,∴ ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎【D】2．)当,即时,设是方程的两根且 ‎ 由,可知, ‎ 分析题意可知当时对任意有; ‎ ‎∴,∴ ‎ 综上分析,实数的最小值为 ‎ ‎(Ⅲ)令,有即在恒成立; ‎ 令,得 ‎ ‎∴∴原不等式得证 ‎ ．（2010年高考（山东理））已知函数.‎ ‎(Ⅰ)当时,讨论的单调性;‎ ‎(Ⅱ)设当时,若对任意,存在,使 ‎,求实数取值范围.‎ ‎【答案】‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎ (Ⅱ)当时,在(0,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数,所以对任意, ‎ 有,又已知存在,使,所以,, ‎ 即存在,使,即,即, ‎ 所以,解得,即实数取值范围是. ‎