山东省2014届理科数学一轮复习试题选编31：椭圆(含解析).doc

天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 山东省2014届理科数学一轮复习试题选编31：椭圆 一、选择题 ．（山东省济南市2013届高三4月巩固性训练数学（理）试题）若椭圆:()和椭圆:()的焦点相同且.给出如下四个结论:‎ ‎① 椭圆和椭圆一定没有公共点; ②; ‎ ‎③ ; ④.‎ 其中,所有正确结论的序号是 （　　）‎ A．①③ B①③④ C．①②④ D．②③④‎ ‎【答案】B ‎ ．（山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理科数学）已知椭圆的左、右焦点分别为,若椭圆上存在点P使,则该椭圆的离心率的取值范围为 （　　）‎ A．(0, B．() C．(0,) D．(,1)‎ ‎【答案】D【解析】根据正弦定理得,所以由可得,即,所以,又,即,因为,(不等式两边不能取等号,否则分式中的分母为0,无意义)所以,即,所以,即,所以,解得,即,选 D． ‎ 二、填空题 ．（山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理科数学）若焦点在x轴上的椭圆的离心率为,则=______________.‎ ‎【答案】 【解析】因为焦点在轴上.所以,所以.椭圆的离心率为,所以,解得. ‎ ．（山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试理科数学）如图,椭圆的左、右焦点为,上顶点为A,离心率为,点P为第一象限内椭圆上的一点,若,则直线的斜率为______________.‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎【答案】 因为椭圆的离心率为,所以,即.设直线的斜率为,则直线的方程为,因为,即,即,所以,解得,(舍去)或,又,即,所以,解得,所以. ‎ 三、解答题 ．（山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测数学（理）试题）已知椭圆,椭圆C2以C1的短轴为长轴,且与C1有相同的离心率.‎ ‎(I)求椭圆C2的方程;‎ ‎(II)设直线与椭圆C2相交于不同的两点A、B,已知A点的坐标为,点在线段AB的垂直平分线上,且,求直线的方程.‎ ‎【答案】‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎ ‎ ．（山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理科数学）若椭圆: 和椭圆: 满足,则称这两个椭圆相似,是相似比.‎ ‎(Ⅰ)求过(且与椭圆相似的椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)设过原点的一条射线分别与(Ⅰ)中的两椭圆交于、点(点在线段上).‎ ‎①若是线段上的一点,若,,成等比数列,求点的轨迹方程; ‎ ‎②求的最大值和最小值.‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎【答案】解:(Ⅰ)设与相似的椭圆的方程. ‎ 则有 ‎ 解得. ‎ 所求方程是 ‎ ‎(Ⅱ) ① 当射线的斜率不存在时, ‎ 设点P坐标P(0,,则,.即P(0,) ‎ 当射线的斜率存在时,设其方程,P( ‎ 由,则 ‎ ‎ 得 ‎ ‎ 同理 ‎ 又点P在上,则,且由, ‎ 即所求方程是. ‎ 又(0,)适合方程, ‎ 故所求椭圆的方程是 ‎ ‎②由①可知,当的斜率不存在时,,当的斜率存在时,, ‎ ‎, ‎ 综上,的最大值是8,最小值是4 ‎ ．（山东省莱钢高中2013届高三4月模拟检测数学理试题 ）已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过、、 三点. ‎ ‎(1)求椭圆的方程:‎ ‎(2)若点D为椭圆上不同于、的任意一点,,当内切圆的面积最大时.求内切圆圆心的坐标;‎ ‎(3)若直线与椭圆交于、两点,证明直线与直线的交点在定直线上并求该直线的方程.‎ ‎【答案】【解析】:(1)设椭圆方程为 ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 将、、代入椭圆E的方程,得 ‎ 解得.∴椭圆的方程 ‎ ‎(2),设边上的高为 当点在椭圆的短轴顶点时,最大为,所以的最大值为.设的内切圆的半径为,因为的周长为定值6.所以,所以的最大值为.所以内切圆圆心的坐标为 ‎ ‎(3)将直线代入椭圆的方程并整理.得 ‎ ‎.设直线与椭圆的交点, ‎ 由根系数的关系,得 ‎ 直线的方程为:,它与直线的交点坐标为 ‎ 同理可求得直线与直线的交点坐标为 ‎ 下面证明、两点重合,即证明、两点的纵坐标相等: ‎ ‎, ‎ ‎ ‎ 因此结论成立.综上可知.直线与直线的交点住直线上 ‎ ．（山东省济南市2013届高三上学期期末考试理科数学）已知椭圆过点,其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线与轴正半轴和轴分别交于点、,与椭圆分别交于点、,各点均不重合且满足 ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)若,试证明:直线过定点并求此定点.‎ ‎【答案】解:(1)设椭圆方程为,焦距为‎2c, ‎ 由题意知 b=1,且,又 ‎ 得 ‎ 所以椭圆的方程为 ‎ ‎(2) 由题意设,设l方程为, ‎ 由知 ‎ ‎∴,由题意,∴ ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 同理由知 ‎ ‎∵,∴ (*) ‎ 联立得 ‎ ‎∴需 (**) ‎ 且有 (***) ‎ ‎(***)代入(*)得,∴, ‎ 由题意,∴(满足(**)), ‎ 得l方程为,过定点(1,0),即P为定点 ‎ ．（2013届山东省高考压轴卷理科数学）如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,线段OF1,OF2的中点分别为B1,B2,且△AB1B2 是面积为4的直角三角形.‎ ‎(1)求该椭圆的离心率和标准方程;‎ ‎(2)过B1作直线l交椭圆于P,Q两点,使PB2⊥QB2,求直线l的方程.‎ ‎【答案】【解析】 (1)设所求椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),右焦点为F2(c,0).因为△AB1B2是直角三角形,又|AB1|=|AB2|,故∠B1AB2为直角,因此|OA|=|OB2|,得b=. ‎ 结合c2=a2-b2,得4b2=a2-b2,故a2=5b2,c2=4b2,∴离心率e== . ‎ 在Rt△AB1B2中,OA⊥B1B2,故S△AB1B2=|B1B2|·|OA|=|OB2|·|OA|=·b=b2. ‎ 由题设条件S△AB1B2=4,得b2=4,从而a2=5b2=20. ‎ 因此所求椭圆的标准方程为+=1. ‎ ‎(2)由(1),知B1(-2,0),B2(2,0).由题意,知直线l的倾斜角不为0,故可设直线l的方程为x=my-2,代入椭圆方程,得(m2+5)y2-4my-16=0. ‎ 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1,y2是上面方程的两根,因此y1+y2=,y1·y2=-. ‎ 又=(x1-2,y1),=(x2-2,y2), ‎ ‎∴·=(x1-2)(x2-2)+y1y2=(my1-4)(my2-4)+y1y2=(m2+1)y1y2‎-4m(y1+y2)+16=--+16=-. ‎ 由PB2⊥QB1,得·=0,即‎16m2‎-64=0,解得m=±2. ‎ ‎∴满足条件的直线有两条,其方程分别为x+2y+2=0和x-2y+2=0. ‎ ．（山东威海市2013年5月高三模拟考试数学（理科））已知椭圆的离心率为,过右焦点做垂直于 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 轴的直线与椭圆相交于两点,且两交点与椭圆的左焦点及右顶点构成的四边形面积为.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的标准方程;‎ ‎(Ⅱ)设点,直线:,过任作一条不与轴重合的直线与椭圆相交于两点,过的中点作直线与轴交于点,为在直线上的射影,若 、、 成等比数列,求直线的斜率的取值范围 ‎【答案】解:(Ⅰ)由题意可得 ‎ ‎,解得 ‎ ‎∴椭圆的标准方程为 ‎ ‎(Ⅱ)设的斜率为,的斜率为,直线的方程为, ‎ 联立直线与椭圆的方程 ‎ ‎ ,整理得 ‎ ‎∵直线与椭圆有两个公共点,∴ ‎ ‎∴或 ‎ 由 ‎ 得 ‎ ‎ ‎ 设则 ‎ ‎∴直线的方程,令,得,∴ ‎ ‎∵ 、、 成等比数列, 则有 ‎ ‎∴ ‎ ‎,或 ‎ 所以,, ‎ 即,或 ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 由,可得 ‎ 由,可得 ‎ ‎∴的取值范围为 ‎ ．（山东省威海市2013届高三上学期期末考试理科数学）已知圆的方程为,过点作圆的两条切线,切点分别为、,直线恰好经过椭圆的右顶点和上顶点.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)设是椭圆(垂直于轴的一条弦,所在直线的方程为且是椭圆上异于、的任意一点,直线、分别交定直线于两点、,求证. ‎ R Q O P ‎【答案】 ‎ 解:(Ⅰ) 观察知,是圆的一条切线,切点为, ‎ 设为圆心,根据圆的切线性质,, ‎ 所以, ‎ 所以直线的方程为 ‎ 线与轴相交于,依题意, ‎ 所求椭圆的方程为 ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎(Ⅱ) 椭圆方程为,设 ‎ 则有, ‎ 在直线的方程中,令,整理得 ‎ ‎ ① ‎ 同理, ② ‎ ‎①②,并将代入得 ‎ ‎ ‎ ‎===. ‎ 而= ‎ ‎∵且,∴ ‎ ‎∴ ‎ ．（山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试理科数学）已知椭圆:的焦距为,离心率为,其右焦点为,过点作直线交椭圆于另一点.‎ ‎(Ⅰ)若,求外接圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)若过点的直线与椭圆相交于两点、,设为上一点,且满足(为坐标原点),当时,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】解:(Ⅰ)由题意知:,,又, ‎ 解得:椭圆的方程为: ‎ 可得:,,设,则,, ‎ ‎,,即 ‎ 由,或 ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 即,或 ‎ ‎①当的坐标为时,,外接圆是以为圆心,为半径的圆,即 ‎ ‎②当的坐标为时,,,所以为直角三角形,其外接圆是以线段为直径的圆,圆心坐标为,半径为, ‎ 外接圆的方程为 ‎ 综上可知:外接圆方程是,或 ‎ ‎(Ⅱ)由题意可知直线的斜率存在. ‎ 设,,, ‎ 由得: ‎ 由得:() ‎ ‎ ‎ ‎,即 ‎ ‎ ‎ ‎,结合()得: ‎ ‎, ‎ 从而, ‎ 点在椭圆上,,整理得: ‎ 即,,或 ‎ ．（山东省凤城高中2013届高三4月模拟检测数学理试题 ）椭圆的两个焦点为,M是椭圆上的一点,且满足.‎ ‎(Ⅰ)求离心率的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)当离心率e取得最小值时,椭圆上的点到焦点的最近距离为.‎ ‎①求此时椭圆G的方程;‎ ‎②设斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆G相交于不同的两点A、B,Q为AB的中点,问A、B 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 两点能否关于过点、Q的直线对称?若能,求出k的取值范围;若不能,请说明理由.‎ ‎【答案】解:(1)设M(x,y),则 ‎ 由 ‎ 又M在椭圆上,∴ ‎ ‎∴, ‎ 又0≤x2≤a2,∴, ‎ ‎∵, ∴ ‎ ‎(2)①依题意得:∴ ‎ ‎∴椭圆方程是: ‎ ‎②.设l:y=kx+m,由 ‎ 而△>0可得m20）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点，‎ ‎（I）求椭圆E的方程；‎ ‎（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。‎ ‎【答案】解:（1）因为椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点,‎ 所以解得所以椭圆E的方程为 ‎（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,‎ 则△=,即 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且 ．（山东省烟台市2013届高三3月诊断性测试数学理试题）设A(x1, y1),b(x2, y2)是椭圆C:(a>b>0)上两点,已知,若m·n=0且椭圆的离心率e=,短轴长为2,O为坐标原点.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)试问△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.‎ ‎【答案】‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎ ‎ ．（山东省临沂市2013届高三第三次模拟考试 理科数学）已知直线圆椭圆的离心率 直线l被圆截得的弦长与椭圆的短轴长相等.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程;‎ ‎(Ⅱ)过椭圆右焦点F的直线l与椭圆C交于A,B两点.‎ ‎(1)若=2求直线l的方程;‎ ‎(2)若动点P满足=+,问动点P的轨迹能否与椭圆C存在公共点?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】 解:(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c,圆心O到直线l的距离为 ‎ ‎ ‎ ‎∴. ‎ 由题意得 ‎ 解得 ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 故椭圆C的方程为 ‎ ‎(Ⅱ)(1)当直线l的斜率为0时,检验知 ‎ 设 ‎ 由,得 ‎ 则有 ① ‎ 设直线l: ‎ 联立 ‎ 消去x,整理得 ‎ ‎ ∴ ‎ 结合①,得 ‎ 代入 得× ‎ 即解得 ‎ 故直线l的方程是 ‎ ‎(2)问题等价于在椭圆上是否存在点P,使得成立. ‎ 当直线l的斜率为0时,可以验证不存在这样的点, ‎ 故设直线l的方程为 ‎ 用(1)的设法,可得P ‎ 若点P在椭圆C上,则 ‎ ‎ ‎ 即 ‎ 又点A,B在椭圆上,有 ‎ 则 即 ② ‎ 由(1)知 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 代入②式得 ‎ 解得,即. ‎ 当时, ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎ ‎ 当时, ‎ ‎ ‎ 故椭圆C上存在点P,使得成立, ‎ 即动点P的轨迹与椭圆C存在公共点,公共点的坐标是. ‎ ．（山东省莱芜市莱芜二中2013届高三4月模拟考试数学（理）试题）如图,椭圆的离心率为,轴被曲线截得的线段长等于的短轴长.与轴的交点为,过坐标原点的直线与相交于点,直线分别与相交于点.‎ ‎(1)求、的方程;‎ ‎(2)求证:.‎ ‎(3)记的面积分别为,若,求的取值范围.‎ M x y A B O D E ‎【答案】(1) ‎ 又,得 ‎ ‎(2)设直线则 ‎ ‎=0‎ ‎ ‎ ‎(3)设直线 ‎ ‎,同理可得 ‎ ‎ ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎ ‎ 同理可得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．（山东省烟台市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,直线是抛物线的一条切线.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)过点的动直线L交椭圆C于A、B两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点T,使得以AB为直径圆恒过点T?若存在求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎ ‎ ．（山东省莱芜五中2013届高三4月模拟数学（理）试题）如图,设是圆上的动点,点是在轴上投影,为上一点,且.当在圆上运动时,点的轨迹为曲线. 过点且倾斜角为的直线交曲线于两点.‎ ‎(1)求曲线的方程;‎ ‎(2)若点F是曲线的右焦点且,求的取值范围.‎ ‎【答案】解:(1)设点M的坐标是,的坐标是,因为点是在轴上投影,M为 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 上一点,且,所以,且,∵在圆上,∴,整理得. 即的方程是. ‎ ‎(2)如下图,直线交曲线于两点,且. ‎ ‎ ‎ 由题意得直线的方程为. ‎ 由,消去得. ‎ 由解得. ‎ 又,. ‎ 设,则, ‎ ‎. ‎ ‎. ‎ ‎. ‎ 又由椭圆方程可知, ‎ ‎, ‎ ‎, ‎ ‎, ‎ ‎ ‎ 因,, ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎,故或, ‎ 又,故. ‎ ．（山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试数学（理）试题）已知椭圆的离心率为,短轴一个端到右焦点的距离为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程:‎ ‎(2)设直线与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线的距离为,求△AOB面积的最大值.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ．（山东省滨州市2013届高三第一次（3月）模拟考试数学（理）试题）已知椭圆的离心率,长轴的左、右端点分别为.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)设直线与椭圆交于,两点,直线与交于点.试问:当变化时,点是否恒在一条直线上?若是,请写出这条直线的方程,并证明你的结论;若不是,请说明理由.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎ ‎ ．（山东省菏泽市2013届高三5月份模拟考试数学（理）试题）已知椭圆的离心率为,以原点O为圆心,以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切;若直线与椭圆C相交于A、B两点直线OA和OB的斜率分别为kOA和kOB,且kOA·kOB=.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)求证:△AOB的面积为定值;‎ ‎(3)在椭圆上是否存在一点P,使四边形OAPB为平行四边形?若存在,求出|OP|的取值范围,若不存在说明理由.‎ ‎【答案】‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．（山东省枣庄市2013届高三3月模拟考试数学（理）试题）已知椭圆C:,⊙‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎,点A,F分别是椭圆C的左顶点和左焦点,点P是 ⊙O上的动点.‎ ‎(1)若,PA是⊙O的切线,求椭圆C的方程;‎ ‎(2)是否存在这样的椭圆C,使得恒为常数?如果存在,求出这个数及C的离心率e;如果不存在,说明理由.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．（山东省济南市2013届高三3月高考模拟理科数学）已知椭圆的离心率为,且过点.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)四边形ABCD的顶点在椭圆上,且对角线AC、BD过原点O,若,‎ ‎(i) 求的最值. (ii) 求证:四边形ABCD的面积为定值;‎ 第22题图 ‎【答案】解:(1)由题意,,又, ‎ 解得,椭圆的标准方程为 ‎ ‎(2)设直线AB的方程为,设 ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 联立,得 ‎ ‎ ----------① ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎= ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(i) ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当k=0(此时满足①式),即直线AB平行于x轴时,的最小值为-2. ‎ 又直线AB的斜率不存在时,所以的最大值为2 ‎ ‎(ii)设原点到直线AB的距离为d,则 ‎ ‎ ‎ ‎. ‎ 即,四边形ABCD的面积为定值 ‎ ．（2011年高考（山东理））已知动直线与椭圆:交于两不同点,且的面积,其中为坐标原点.‎ ‎(1)证明:和均为定值; ‎ ‎(2)设线段的中点为,求的最大值;‎ ‎(3)椭圆上是否存在三点,使得?若存在,判断的形状;若不存在,请说明理由.‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎【答案】解析:(Ⅰ)当直线的斜率不存在时,两点关于轴对称,则, ‎ 由在椭圆上,则,而,则 ‎ 于是,. ‎ 当直线的斜率存在,设直线为,代入可得 ‎ ‎,即,,即 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎, ‎ 则,满足 ‎ ‎, ‎ ‎, ‎ 综上可知,. ‎ ‎(Ⅱ))当直线的斜率不存在时,由(Ⅰ)知 ‎ 当直线的斜率存在时,由(Ⅰ)知, ‎ ‎, ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎,当且仅当,即时等号成立,综上可知的最大值为. ‎ ‎(Ⅲ)假设椭圆上存在三点,使得, ‎ 由(Ⅰ)知, ‎ ‎. ‎ 解得,, ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 因此只能从中选取,只能从中选取, ‎ 因此只能从中选取三个不同点,而这三点的两两连线必有一个过原点,这与相矛盾, ‎ 故椭圆上不存在三点,使得. ‎ ．（山东省临沂市2013届高三5月高考模拟理科数学）在平面直角坐标系中,已知椭圆C:的离心率为,且椭圆C上一点N到点Q(0,3)的距离最大值为4,过点M(3,0)的直线交椭圆C于点A、B.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程;‎ ‎(Ⅱ)设P为椭圆上一点,且满足(O为坐标原点),当时,求实数t的取值范围.‎ ‎【答案】解:(Ⅰ)∵ ∴ ‎ 则椭圆方程为即 ‎ 设则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当时,有最大值为 ‎ 解得∴,椭圆方程是 ‎ ‎(Ⅱ)设方程为 ‎ 由 ‎ 整理得. ‎ 由,得. ‎ ‎ ‎ ‎∴ ‎ 则, ‎ ‎ ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 由点P在椭圆上,得 ‎ 化简得① ‎ 又由 ‎ 即将,代入得 ‎ ‎ ‎ 化简,得 ‎ 则, ‎ ‎∴② ‎ 由①,得 ‎ 联立②,解得∴或 ‎ ．（山东省潍坊市2013届高三第一次模拟考试理科数学）如图,已知圆C与y轴相切于点T(0,2),与x轴正半轴相交于两点M,N(点M必在点N的右侧),且椭圆D:的焦距等于,且过点 ‎( I ) 求圆C和椭圆D的方程;‎ ‎(Ⅱ) 设椭圆D与x轴负半轴的交点为P,若过点M的动直线与椭圆D交于A、B 两点,是否恒成立?给出你的判断并说明理由.‎ ‎【答案】解:(Ⅰ)设圆的半径为,由题意,圆心为, ‎ 因为 ‎ 故圆的方程为.① ‎ 在①中,令 ‎ 即 ‎ 又 ‎ 解得(舍去),则 ‎ 故椭圆的方程为. ‎ ‎(Ⅱ)恒有成立, ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 点在椭圆的外部,直线可设为. ‎ 由 ‎ 设则 ‎ 因为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以 ‎ 当时,此时,对方程,,不合题意. ‎ 综上,过点的动直线与椭圆交于两点,恒成立 ‎ ．（山东省泰安市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,点是椭圆上任意一点,且,椭圆的离心率 ‎(I)求椭圆E的标准方程;‎ ‎ (II)直线交椭圆E于另一点,椭圆右顶点为A,若,求直线的方程;‎ ‎(III)过点作直线的垂线,垂足为N,当变化时,线段PN的长度是否为定值?若是,请写出这个定值,并证明你的结论;若不是,请说明理由.‎ ‎【答案】‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎ ‎ ．（2013山东高考数学（理））椭圆的左、右焦点分别是,离心率为,过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程; ‎ ‎(Ⅱ)点是椭圆上除长轴端点外的任一点,连接,设的角平分线交 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎ 的长轴于点,求的取值范围;‎ ‎(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过点作斜率为的直线,使得与椭圆有且只有一个公共点,设直线的斜率分别为,若,试证明为定值,并求出这个定值. ‎ ‎【答案】解:(Ⅰ)由于,将代入椭圆方程得 ‎ 由题意知,即 又 ‎ 所以, 所以椭圆方程为 ‎ ‎(Ⅱ)由题意可知:=,=,设其中,将向量坐标代入并化简得:m(,因为, ‎ 所以,而,所以 ‎ ‎(3)由题意可知,l为椭圆的在p点处的切线,由导数法可求得,切线方程为: ‎ ‎,所以,而,代入中得 ‎ 为定值. ‎ ．（山东省莱芜市莱芜十七中2013届高三4月模拟数学（理）试题）已知椭圆的左右焦点分别为,短轴两个端点为,且四边形是边长为2的正方形.‎ ‎(Ⅰ) 求椭圆方程;‎ ‎(Ⅱ) 若分别是椭圆长轴的左右端点,动点满足,连接,交椭圆于点,证明:为定值; ‎ ‎(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,试问轴上是否存在异于点的定点,使得以为直径的圆恒过直线的交点,若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】解:(1),, ‎ 椭圆方程为 ‎ ‎(2),设,则. ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 直线:,即, ‎ 将代入椭圆得 ‎ ‎ ‎ 由韦达定理有 ‎ ‎,. ‎ ‎, ‎ ‎(定值) ‎ ‎(3)设存在满足条件,则. ‎ ‎,, ‎ 则由得 ,从而得. ‎ 存在满足条件. ‎ ．（山东省济宁市2013届高三第一次模拟考试理科数学 ）已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,短轴长为4.‎ ‎(I)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(II)直线x=2与椭圆C交于P、Q两点,A、B是椭圆O上位于直线PQ两侧的动点,且直线AB的斜率为.‎ ‎①求四边形APBQ面积的最大值;‎ ‎②设直线PA的斜率为,直线PB的斜率为,判断+的值是否为常数,并说明理由.‎ ‎【答案】解:(Ⅰ)设椭圆C的方程为 ‎ 由已知b= 离心率 ,得 ‎ 所以,椭圆C的方程为 ‎ ‎(Ⅱ)①由(Ⅰ)可求得点P、Q的坐标为 ,,则, ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 设AB(),直线AB的方程为,代人 ‎ 得:. ‎ 由△>0,解得,由根与系数的关系得 ‎ 四边形APBQ的面积 ‎ 故当 ②由题意知,直线PA的斜率,直线PB的斜率 ‎ 则 ‎ ‎= ‎ ‎=,由①知 ‎ 可得 ‎ 所以的值为常数0 ‎ ．（2013年山东临沂市高三教学质量检测考试理科数学）已知椭圆C:的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系,直线与以原点为圆心,以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切.‎ ‎(I)求椭圆C的方程;‎ ‎(Ⅱ)设M是椭圆的上顶点,过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点,设两直线的斜率分别为k1,k2,且k1+k2=4,证明:直线AB过定点(,-l).‎ ‎【答案】‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎ ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．（山东省济南市2012届高三3月高考模拟题理科数学（2012济南二模））已知椭圆的焦点坐标为(-1,0),(1,0),过垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q两点,且|PQ|=3,‎ ‎(1) 求椭圆的方程;‎ ‎(2) 过的直线l与椭圆交于不同的两点M、N,则△MN的内切圆的面积是否存在最大值?若存在求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎【答案】解:(1) 设椭圆方程为=1(a>b>0),由焦点坐标可得c=1 ‎ 由PQ|=3,可得=3, ‎ 解得a=2,b=, ‎ 故椭圆方程为=1 ‎ ‎(2) 设M,N,不妨>0, b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.F2也是抛物线C2:的焦点,点M为C1与C2在第一象限的交点,且|MF2|=.‎ ‎(Ⅰ)求C1的方程;‎ ‎(Ⅱ)平面上的点N满足,直线l∥MN,且与C1交于A,B两点,若,求直线 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ l的方程.‎ ‎【答案】解:(Ⅰ)由:知. ‎ 设,在上,因为,所以,得,. ‎ 在上,且椭圆的半焦距,于是 ‎ 消去并整理得 , 解得(不合题意,舍去). ‎ 故椭圆的方程为. ‎ ‎(Ⅱ)由知四边形是平行四边形,其中心为坐标原点, ‎ 因为,所以与的斜率相同, ‎ 故的斜率.设的方程为. ‎ 由 消去并化简得 . ‎ 设,,,. ‎ 因为,所以. ‎ ‎ . ‎ 所以.此时, ‎ 故所求直线的方程为,或. ‎ ．（山东省青岛即墨市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知椭圆C方程为,过右焦点斜率为1的直线到原点的距离为.‎ ‎(1)求椭圆方程.‎ ‎(2)已知A,B方程为椭圆的左右两个顶点,T为椭圆在第一象限内的一点,为点B且垂直轴的直线,点S为直线AT与直线的交点,点M为以SB为直径的圆与直线TB的另一个交点,求证:O,M,S三点共线.‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎【答案】解:(1)设右焦点为(c,0),则过右焦点斜率为1的直线方程为:y=x-c ‎ 则原点到直线的距离 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(2)设直线AT方程为: ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 又 ‎ 由圆的性质得: ‎ 所以,要证明只要证明 ‎ 又 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 即 ‎ ‎ ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ．（山东省文登市2013届高三3月二轮模拟考试数学（理））设点到直线的距离与它到定点的距离之比为,并记点的轨迹为曲线.‎ ‎(Ⅰ)求曲线的方程;‎ ‎(Ⅱ)设,过点的直线与曲线相交于两点,当线段的中点落在由四点构成的四边形内(包括边界)时,求直线斜率的取值范围.‎ ‎【答案】解:(Ⅰ)有题意, ‎ 整理得,所以曲线的方程为 ‎ ‎(Ⅱ)显然直线的斜率存在,所以可设直线的方程为. ‎ ‎ ‎ 设点的坐标分别为线段的中点为, ‎ 由 ‎ 得 ‎ 由解得.(1) ‎ 由韦达定理得,于是 ‎ ‎=, ‎ 因为,所以点不可能在轴的右边, ‎ 又直线,方程分别为 ‎ 所以点在正方形内(包括边界)的充要条件为 ‎ ‎ 即 亦即 ‎ 解得,(2) ‎ 由(1)(2)知,直线斜率的取值范围是 ‎ ．（山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学理（A））已知两定点,动点P满足,由点P向轴作垂线PQ,垂足为Q,点M满足,点M的轨迹为C.‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎(I)求曲线C的方程;‎ ‎(II)若线段AB是曲线C的一条动弦,且,求坐标原点O到动弦AB距离的最大值.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ．（山东省泰安市2013届高三上学期期末考试数学理）已知椭圆的离心率为、分别为椭圆C的左、右焦点,过F2的直线与C相交于A、B两点,的周长为.‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎(I)求椭圆C的方程;‎ ‎(II)若椭圆C上存在点P,使得四边形OAPB为平行四边形,求此时直线的方程.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．（山东省兖州市2013高三9月入学诊断检测数学(理)试题）(14分)在直角坐标系中椭圆:的左、右焦点分别为、.其中也是抛物线:的焦点,点为与 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 在第一象限的交点,且.‎ ‎(1) 求的方程;‎ ‎(2)平面上的点满足,直线∥,且与交于、两点,若,求直线的方程. ‎ ‎【答案】(1)由: 知 ‎ 设,在上,因为,所以 , ‎ 解得,即 ‎ 又 在上,且椭圆的半焦距,于是, ‎ 消去并整理得, ‎ 解得 (不合题意,舍去) ‎ 故椭圆的方程为 ‎ ‎(2)由知四边形是平行四边形,其对角线交点为坐标原点, ‎ 因为∥,所以与的斜率相同,故的斜率 ‎ 设,,的方程为 ‎ 由 整理得:. ‎ 所以 , ‎ 因为,所以 , ‎ 又 ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ 解得 ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 代入验证此时 , ‎ 故所求直线的方程为或 ‎