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无锡市天一实验学校2013-2014学年秋学期期中考试
初三数学 2013.11
出卷人：金杨建 审核人：戴益纯
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
1．3的算术平方根是 （ ▲ ）
A． B． C． D．9
2．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 （ ▲ ）
A．x≥3 B．x＞3 C． x≤3 D．x＜3
3．一元二次方程x2－3x+4=0根的情况是 （ ▲ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
4．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB的值等于 （ ▲ ）
A． B. C. D.
5．据调查，2011年11月无锡市的房价均价为7530元/m2，2013年同期将达到8120元/m2，假设这两年无锡市房价的平均增长率为，根据题意，所列方程为 （ ▲ ）
A． B．
C． D．
6．在⊙O中，OC⊥弦AB于点C，AB=4，OC=1，则OB的长是 （ ▲ ）
A． B． C． D．
7．下列说法正确的是 （ ▲ ）
A．平分弦的直径垂直于弦 B.半圆（或直径）所对的圆周角是直角
C．相等的圆心角所对的弧相等 D.若两个圆有公共点，则这两个圆相交
8．如图，点O在⊙A外，点P在线段OA上运动．以OP为半径的⊙O与⊙A的位置关系不可能是下列中的学科网 （ ▲ ）
A．内含 B．相交 C．外离 D． 外切
(第4题)
B
A
M
O
（第8题）
（第10题）
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9．在△ABC中，若，则∠C的度数是 （ ▲ ）
A． 60° B．75° C． 90° D．105°
10．如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是 （ ▲ ）
A．点（0，3） B．点（2，3） C．点（5，1） D．点(6，1)
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．）
11．化简：=_ ▲ ．
12．比较大小： ▲ （用“”或“”填空）
13．已知x=－2是方程x+mx－6=0的一个根，则m的值是 ▲ ．
14．如图，用半径为6，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是 ▲ ．
120°
（第14题）
（第16题）
A
B
（第18题图）
D
C
E
F
·P
15．写一个你喜欢的实数m的值 ▲ ，使关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有两个不相等的实数根．
16．如图，⊙O是的外接圆，，，则⊙O的半径为 ▲ ．
17．任何实数a,可用表示不超过a的最大整数,如,现对72进行如下操作：, 这样对72只需进行3次操作后变为1,类似地,对81只需进行3次操作后变为1；那么只需进行3次操作后变为1的所有正整数中,最小的是 ▲ ．
18．在矩形ABCD中，已知AB=2cm，BC=4cm，现有一根长为2cm的木棒EF紧贴着矩形的边（即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则木棒EF的中点P在运动过程中所围成的图形的面积为 ▲ cm2．
三、解答题（本大题共10小题，共84分．）
19．（本题满分8分）计算：
（1） （2） －(2013－)0＋4sin30°―|―2|；
20．（本题满分8分）解下列方程：
（1） （2）
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21．（本题满分8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，tan∠A＝，求BC的长和sin∠B的值．
22．（本题满分8分）如图，已知点C是∠AOB的边OB上的一点，求作⊙P，使它经过O、C两点，且圆心P恰好在∠AOB的角平分线上.（尺规作图，保留痕迹）
B
A
C
第21题
C
A
B
•
O
第22题
第23题
23．（本题满分8分）如图，P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，BC∥OP且交⊙O于点C，请准确判断直线PC与⊙O是怎样的位置关系，并说明理由．
24．（本题满分8分）小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件，如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元，按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元，请问她购买了多少件这种服装？
25．（本题满分8分）如图，在△OAB中，点B的坐标是（0，4），点A的坐标是（3，1）.画出△OAB绕点B顺时针旋转90°后的△BA1O1，求出点A1的坐标，并求出点A旋转到A1所经过的路径长（结果保留）
第25题
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26．（本题满分8分）阅读材料：
若a,b都是非负实数，则a+b≥2.当且仅当a=b时，“=”成立.
证明：∵（—）2≥0，∴a-2+b≥0.
∴a+b≥2.当且仅当a=b时，“=”成立.
举例应用： 已知x>0,求函数y=2x+的最小值.
解：y=2x+≥2=4. 当且仅当2x=,即x=1时，“=”成立.
∴当x=1时，函数取得最小值，y最小=4.
问题解决：
汽车的经济时速是汽车最省油的行驶速度.某种汽车在每小时70～110公里之间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗油（）升.若该汽车以每小时x公里的速度匀速行驶，1小时的耗油量为y升.
(1)求y关于x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）;
(2)求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量（结果保留小数点后一位）.
第27题
27．（本题满分10分）学习了勾股定理的逆定理，我们知道：在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形为直角三角形.类似地，我们定义：对于任意的三角形，设其三个角的度数分别为x°、y°和z°，若满足x2+y2=z2,则称这个三角形为勾股三角形.
（1）根据“勾股三角形”的定义，请你直接判断命题：“直角三角形是勾股三角形”是真命题还是假命题？
（2）已知某一勾股三角形的三个内角的度数从小到大依次为x°、y°和z°，且xy=2160，求x＋y的值；
（3）如图，△ABC内接于⊙O，AB=,AC=1+,BC=2, ⊙O的直径
BE交AC于点D.
①求证：△ABC是勾股三角形；
②求DE的长.
A
B
P
·
·
C
O
x
y
第28题
28．（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，⊙C的圆心坐标为(－2,－2)，半径为．函数y＝－x＋2图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为线段AB上一动点(包括端点)．
（1）连接CO，求证：CO⊥AB；
（2）当直线PO与⊙C相切时，求∠POA的度数；
（3）当直线PO与⊙C相交时，设交点为E、F，
点M为线段EF的中点，令PO＝t，MO＝s，
求s与t之间的函数关系，并写出t的取值范围；
（4）请在（3）的条件下，直接写出点M运动路径的长度．
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初三数学答案 2013.11
1—5 AACCD 6—10 BBABC
11． 12．＞ 13．－1 14．2 15．答案不唯一，只需满足即可。
16．2 17．16 18．8－π
19．（1） （2）2
20．（1） （2）
21．BC=……………………(5分)
……………………(8分)
22．作线段OC的中垂线………………………………………………………(3分)
作∠AOB的角平分线………………………………………………………(6分)
两线交点为P，作⊙P………………………………………………………(8分)
23．解：PC与⊙O相切．理由如下：……………………(1分)
连接OC，……………………(2分)
则OC＝OB
∴∠B＝∠OCB
∵BC∥OP
∴∠B＝∠AOP，∠OCB＝∠COP
∴∠AOP＝∠COP
在△AOP与△COP中
OＡ＝OC
∠AOP＝∠COP
OP=OP
∴△AOP≌△COP……………………(6分)
又∵PA是⊙O的切线
∴∠OCP=∠OAP=90°……………………(7分)
又∵OC是半径
∴PC是⊙O的切线……………………(8分)
24．解：因为80×10=800（元）＜1200元，所以小丽买的服装数大于10件．……………………(1分)
设她购买了x件这种服装，根据题意得
x［80-2（x-10）］=1200……………………(4分)
解得x1=20 ， x2=30 ……………………(6分)
因为 1200÷50=24＜30
所以 x2=30不合题意，舍去……………………(7分)
答：她购买了20件这种服装．……………………(8分)
25．画图略。……………………(3分)
……………………(5分)
路径长……………………(8分)
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26． (1) y =x（）=（70≤x≤110）……………………(4分)
（2）y=≥2=10 当且仅当=,即x=90时，“=”成立. ……………………(6分)
∴当x=90时，函数取得最小值，y最小=10. ……………………(7分)
此时，百公里耗油量为（）×100≈11.1（升）……………………(8分)
∴该汽车的经济时速为每小时90公里，经济时速的百公里耗油量约为11.1升.
27．（1）假命题……2分
（2）……5分
（3）① ∴
∴是勾股三角形……8分
②……10分
28．解：（1）延长CO交AB于D，过点C作CG⊥x轴于点G．
∵易得A(2，0)，B(0，2)，∴AO＝BO＝2．又∵∠AOB＝90°，∴∠DAO＝45°．1分
∵C(－2，－2)，∴∠COG＝45°，∠AOD＝45°，∴∠ODA＝90°．
∴OD⊥AB，即CO⊥AB．········3分 （其它证明酌情给分）
AD
BAD
x
P
O
·
CFEBAD
y
G
D
K
M
E
F
（2）当直线PO与⊙C相切时，设切点为K，连接CK，
则CK⊥OK．由点C的坐标为(－2，－2)，易得CO＝．
∴∠POD＝30°，又∠AOD＝45°，
∴∠POA＝75°，····································4分
同理可求得∠POA的另一个值为15°．··················5分
(3)∵M为EF的中点，∴CM⊥EF，
又∵∠COM＝∠POD，CO⊥AB，∴△COM∽△POD，
所以，即MO·PO＝CO·DO．∵PO＝t，MO＝s，CO＝，
DO＝，∴st＝4．但PO过圆心C时，MO＝CO＝，PO＝DO＝，
即MO·PO＝4，也满足st＝4．∴s＝·······7分 (≤t＜)········8分
（4） ·····················10分
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