湖北省武汉市2014届高三上11月调研考试数学试卷(理)及答案.doc

湖北省武汉市2014届高三上学期11月调研考试（数学理）‎ ‎2013.11.15‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．复数z＝的共轭复数是 A．2＋i B．2－i C．－1＋i D．－1－i ‎2．函数f(x)＝lnx的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为 A．0 B．‎1 ‎‎ C．2 D．3‎ ‎3．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝‎ A． B． C． D． ‎4．已知正三角形ABC的顶点A(1，1)，B(1，3)，顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z＝－x＋y的取值范围是 A．(1－，2) B．(0，2) C．(－1，2) D．(0，1＋)‎ ‎5．给定两个命题p，q．若﹁p是q的必要而不充分条件，则p是﹁q的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．一几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 A．200＋9π B．200＋18π C．140＋9π D．140＋18π ‎7．某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N(1000，502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 ‎·8·‎ A． B． C． D． ‎8．直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于 A． B．‎2 ‎‎ C． D． ‎9．椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是 A．[，] B．[，] C．[，1] D．[，1]‎ ‎10．已知函数f(x)＝cosxsin2x，下列结论中错误的是 A．y＝f(x)的图象关于点(π，0)中心对称 B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称 C．f(x)的最大值为 D．f(x)既是奇函数，又是周期函数 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．‎ ‎11．已知函数f(x)＝则f(f())＝ ．‎ ‎12．执行如图所示的程序框图，输出的S值为 ．‎ ‎13．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91．现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示，则7个剩余分数的方差为 ．‎ ‎14．从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是 ．（用数字作答）‎ ‎15．下表中的数阵为“森德拉姆素数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i行第j列的数为ai，j（i，j∈N*），则 ‎（Ⅰ）a9，9＝ ；‎ ‎（Ⅱ）表中的数82共出现 次．‎ ‎·8·‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎16．（本小题满分12分）‎ 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac．‎ ‎（Ⅰ）求B；‎ ‎（Ⅱ）若sinAsinC＝，求C．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－a，n∈N*．设公差不为零的等差数列{bn}满足：b1＝a1＋2，且b2＋5，b4＋5，b8＋5成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求a的值及数列{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设数列{logan}的前n项和为Tn．求使Tn＞bn的最小正整数n．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．‎ 一次购物量 ‎1至4件 ‎5至8件 ‎9至12件 ‎13至16件 ‎17件及以上 顾客数（人）‎ x ‎30‎ ‎25‎ y ‎10‎ 结算时间（分钟/人）‎ ‎1‎ ‎1.5‎ ‎2‎ ‎2.5‎ ‎3‎ 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%．‎ ‎（Ⅰ）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；‎ ‎（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．‎ ‎（注：将频率视为概率）‎ ‎·8·‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图，三棱柱ABC-A1B‎1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°．‎ ‎（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；‎ ‎（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A‎1C与平面BB‎1C1C所成角的正弦值．‎ ‎20．（本小题满分13分）‎ 已知平面内一动点P到点F(1，0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1．‎ ‎（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求·的最小值．‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ 已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且对任意x＞0，都有f ′(x)＞．‎ ‎（Ⅰ）判断函数F(x)＝在(0，＋∞)上的单调性；‎ ‎（Ⅱ）设x1，x2∈(0，＋∞)，证明：f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2)；‎ ‎（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的结论推广到一般形式，并证明你所推广的结论．‎ 武汉市2014届高三11月调研测试 ‎·8·‎ 数学（理科）试题参考答案及评分标准 一、选择题 ‎1．D 2．C 3．D 4．A 5．A ‎6．A 7．B 8．C 9．B 10．C 二、填空题 ‎11．－2 12． 13． 14．590 15．（Ⅰ）82；（Ⅱ）5‎ 三、解答题 ‎16．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，所以a2＋c2－b2＝－ac．‎ 由余弦定理得cosB＝＝－，‎ 因此B＝120°．……………………………………………………………………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知A＋C＝60°，所以 cos(A－C)＝cosAcosC＋sinAsinC＝cosAcosC－sinAsinC＋2sinAsinC ‎＝cos(A＋C)＋2sinAsinC ‎＝＋2×＝，‎ 故A－C＝30°或A－C＝－30°，‎ 因此C＝15°或C＝45°．…………………………………………………………12分 ‎17．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）当n＝1时，a1＝S1＝2－a；‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1．‎ ‎∵{an}为等比数列，‎ ‎∴2－a＝1，解得a＝1．‎ ‎∴an＝2n－1．‎ 设数列{bn}的公差为d，‎ ‎∵b2＋5，b4＋5，b8＋5成等比数列，‎ ‎∴(b4＋5)2＝(b2＋5)(b8＋5)，‎ 又b1＝3，‎ ‎∴(8＋3d)2＝(8＋d)(8＋7d)，‎ 解得d＝0（舍去），或d＝8．‎ ‎∴bn＝8n－5．………………………………………………………………………7分 ‎（Ⅱ）由an＝2n－1，得logan＝2(n－1)，‎ ‎∴{logan}是以0为首项，2为公差的等差数列，‎ ‎∴Tn＝＝n(n－1)．‎ 由bn＝8n－5，Tn＞bn，得 ‎·8·‎ n(n－1)＞8n－5，即n2－9n＋5＞0，‎ ‎∵n∈N*，∴n≥9．‎ 故所求n的最小正整数为9．……………………………………………………12分 ‎18．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）由已知，得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20．‎ 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率得 P(X＝1)＝＝，P(X＝1.5)＝＝，P(X＝2)＝＝，‎ P(X＝2.5)＝＝，P(X＝3)＝＝．‎ X的分布列为 X ‎1‎ ‎1.5‎ ‎2‎ ‎2.5‎ ‎3‎ P X的数学期望为 E(X)＝1×＋1.5×＋2×＋2.5×＋3×＝1.9．…………………………6分 ‎（Ⅱ）记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，Xi（i＝1，2）为该顾客前面第i位顾客的结算时间，则 P(A)＝P(X1＝1且X2＝1)＋P(X1＝1且X2＝1.5)＋P(X1＝1.5且X2＝1)．‎ 由于各顾客的结算相互独立，且X1，X2的分布列都与X的分布列相同，所以 P(A)＝P(X1＝1)×P(X2＝1)＋P(X1＝1)×P(X2＝1.5)＋P(X1＝1.5)×P(X2＝1)‎ ‎＝×＋×＋×＝．‎ 故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为．……………………12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）如图，取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B．‎ ‎∵CA＝CB，∴OC⊥AB．‎ ‎∵AB＝AA1，∠BAA1＝60°，‎ ‎∴△AA1B为等边三角形，∴OA1⊥AB．‎ ‎∵OC∩OA1＝O，∴AB⊥平面OA‎1C．‎ 又A‎1C⊂平面OA‎1C，‎ ‎∴AB⊥A‎1C．………………………………………………………………………5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，OC⊥AB，OA1⊥AB．‎ 又∵平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，‎ ‎∴OC⊥平面AA1B1B，‎ ‎∴OA，OA1，OC两两相互垂直．‎ 以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||‎ ‎·8·‎ 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz．‎ 由题设知A(1，0，0)，A1(0，，0)，C(0，0，)，B(－1，0，0)．‎ 则＝(1，0，)，＝＝(－1，，0)，＝(0，－，)．‎ 设n＝(x，y，z)是平面BB‎1C1C的法向量，‎ 则即可取n＝(，1，－1)．‎ ‎∴cos＜n，＞＝＝－．‎ ‎∴直线A‎1C与平面BB‎1C1C所成角的正弦值为．…………………………12分 ‎20．（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）设动点P的坐标为(x，y)，由题意有 －|x|＝1，‎ 化简，得y2＝2x＋2|x|．‎ 当x≥0时，y2＝4x；当x＜0时，y＝0．‎ ‎∴动点P的轨迹C的方程为y2＝4x（x≥0）和y＝0（x＜0）．………………5分 ‎（Ⅱ）由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为y＝k(x－1)．‎ 由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0．‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，于是 x1＋x2＝2＋，x1x2＝1．‎ ‎∵l1⊥l2，∴l2的斜率为－．‎ 设D(x3，y3)，E(x4，y4)，则同理可得x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1．‎ 故·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋· ‎＝||||＋||||‎ ‎＝(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)(x4＋1)‎ ‎＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋x3x4＋(x3＋x4)＋1‎ ‎＝1＋(2＋)＋1＋1＋(2＋4k2)＋1‎ ‎＝8＋4(k2＋)≥8＋4×2＝16．‎ 当且仅当k2＝，即k＝±1时，·取最小值16．………………………13分 ‎21．（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）对F(x)求导数，得F′(x)＝．‎ ‎∵f ′(x)＞，x＞0，∴xf ′(x)＞f(x)，即xf ′(x)－f(x)＞0，‎ ‎∴F′(x)＞0．‎ ‎·8·‎ 故F(x)＝在(0，＋∞)上是增函数．……………………………………………4分 ‎（Ⅱ）∵x1＞0，x2＞0，∴0＜x1＜x1＋x2．‎ 由（Ⅰ），知F(x)＝在(0，＋∞)上是增函数，‎ ‎∴F(x1)＜F(x1＋x2)，即＜．‎ ‎∵x1＞0，∴f(x1)＜f(x1＋x2)．‎ 同理可得f(x2)＜f(x1＋x2)．‎ 以上两式相加，得f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2)．………………………………………8分 ‎（Ⅲ）（Ⅱ）中结论的推广形式为：‎ 设x1，x2，…，xn∈(0，＋∞)，其中n≥2，则f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)＜f(x1＋x2＋…＋xn)．‎ ‎∵x1＞0，x2＞0，…，xn＞0，‎ ‎∴0＜x1＜x1＋x2＋…＋xn．‎ 由（Ⅰ），知F(x)＝在(0，＋∞)上是增函数，‎ ‎∴F(x1)＜F(x1＋x2＋…＋xn)，即＜．‎ ‎∵x1＞0，‎ ‎∴f(x1)＜f(x1＋x2＋…＋xn)．‎ 同理可得 f(x2)＜f(x1＋x2＋…＋xn)，‎ f(x3)＜f(x1＋x2＋…＋xn)，‎ ‎……‎ f(xn)＜f(x1＋x2＋…＋xn)．‎ 以上n个不等式相加，得f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)＜f(x1＋x2＋…＋xn)．………14分 ‎·8·‎