湖北省孝感市汉川市2012-2013学年九年级（上）期末数学试卷
一、精心选一选（将唯一正确答案的代号填在题后的答题卡中36分）
1．（3分）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（3分）（2011•滨州）二次根式有意义时，x的取值范围是（ ）
A．
x≥
B．
x≤﹣
C．
x≥﹣
D．
x≤
3．（3分）平面直角坐标系内一点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．
（3，﹣2）
B．
（2，3）
C．
（﹣2，﹣3）
D．
（2，﹣3）
4．（3分）已知⊙O1、⊙O2的半径分别是1cm、4cm，O1O2=cm，则⊙O1和⊙O2的位置关系是（ ）
A．
外离
B．
外切
C．
内切
D．
相交
5．（3分）（2008•荆州）下列根式中属最简二次根式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（3分）（2012•孝感）下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A．
通常水加热到100℃时沸腾
B．
测量孝感某天的最低气温，结果为﹣150℃
C．
一个袋中装有5个黑球，从中摸出一个是黑球
D．
篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
7．（3分）（2003•新疆）已知：如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，∠ABC=30°，则∠CAD等于（ ）
A．
30°
B．
40°
C．
50°
D．
60°
8．（3分）某公司今年产值300万元，现计划扩大生产，使今后两年的产值都比前一年增长一个相同的百分数，这样三年（包括今年）的总产值就达到了1400万元．设这个百分数为x，则可列方程为（ ）
A．
300（1+x）2=1400
B．
300（1+x）3=1400
C．
1400（1﹣x）2=300
D．
300+300（1+x）+300（1+x）2=1400
9．（3分）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为，由此可知铅球推出的距离是（ ）
A．
10m
B．
3m
C．
4m
D．
2m或10m
10．（3分）（2010•临沂）如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．
6π
B．
5π
C．
4π
D．
3π
11．（3分）（2009•十堰）同时掷两个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则两个骰子向上的一面的点数和为8的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：
①因为a＞0，所以函数y有最大值；
②该函数的图象关于直线x=﹣1对称；
③当x=﹣2时，函数y的值等于0；
④当x=﹣3或x=1时，函数y的值都等于0．
其中正确结论的个数是（ ）
A．
4
B．
3
C．
2
D．
1
二、细心填一填（每小题3分，共18分）
13．（3分）计算：= _________ ．
14．（3分）白云航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有 _________ 个飞机场．
15．（3分）（2010•红桥区模拟）已知点A的坐标为（a，b），O为坐标原点，连接OA，将线段OA绕点O按逆时针方向旋转90°得OA1，则点A1的坐标为 _________ ．
16．（3分）如图，从A地到C地，可供选择的方案是走水路、走陆路、走空中．从A地到B地有2条水路、2条陆路，从B地到C地有3条陆路可供选择，则从A地到C地可供选择的方案有 _________ 种．
17．（3分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AB=AD=4，BC=6，以点A为圆心在这个梯形内画出一个最大的扇形（图中阴影部分），则由这个扇形围成的圆锥的底面半径是 _________ ．
18．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），下列说法：
①若b2﹣4ac=0，则抛物线的顶点一定在x轴上；
②若a﹣b+c=0，则抛物线必过点（﹣1，0）；
③若a＞0，且一元二次方程ax2+bx+c=0有两根x1，x2（x1＜x2），则ax2+bx+c＜0的解集为x1＜x＜x2；
④若，则方程ax2+bx+c=0有一根为3．
其中正确的是 _________ （把正确说法的序号都填上）．
三、用心做一做（本大题共7小题，满分66分）
19．（6分）解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣1=0
（2）（x﹣2）2=2x﹣4．
20．（8分）先化简，再求值：，其中，．
21．（10分）如图，已知点P是边长为5的正方形ABCD内的一点，连结PA，PB，PC，若PA=2，PB=4，∠APB=135°．
（1）将△PAB绕点B顺时针旋转90°，画出△P′CB的位置．
（2）①求PC的长；
②求△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域的面积．
22．（10分）（2011•湘潭）九年级某班组织班团活动，班委会准备买一些奖品．班长王倩拿15元钱去商店全部用来购买钢笔和笔记本两种奖品，已知钢笔2元/支，笔记本1元/本，且每样东西至少买一件．
（1）有多少种购买方案？请列举所有可能的结果；
（2）从上述方案中任选一种方案购买，求买到的钢笔与笔记本数量相等的概率．
23．（10分）（2012•瑶海区一模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）当AB=5，BC=6时，求DE的长．
24．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+1﹣2k=0有两个不等的实根，
（1）求k的取值范围；
（2）若k取小于1的整数，且此方程的解为整数，则求出此方程的两个整数根；
（3）在（2）的条件下，二次函数y=x2﹣4x+1﹣2k与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），D点在此抛物线的对称轴上，若
∠DAB=60°，求D点的坐标．
25．（12分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，4）三点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）此抛物线有最大值还是最小值？请求出其最大或最小值；
（3）若点D（2，m）在此抛物线上，在y轴的正半轴上是否存在点P，使得△BDP是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．
2012-2013学年湖北省孝感市汉川市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、精心选一选（将唯一正确答案的代号填在题后的答题卡中12×3分=36分）
1．（3分）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
中心对称图形．809681
分析：
根据中心对称图形的概念，即可求解．
解答：
解：中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转180°后能和原来的图形重合，只有D符合；
其它不是中心对称图形．
故选：D．
点评：
本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2．（3分）（2011•滨州）二次根式有意义时，x的取值范围是（ ）
A．
x≥
B．
x≤﹣
C．
x≥﹣
D．
x≤
考点：
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式．809681
专题：
存在型．
分析：
根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，列出不等式，求出x的取值范围即可．
解答：
解：∵二次根式有意义，
∴1+2x≥0，
解得x≥﹣．
故选C．
点评：
本题考查的是二次根式有意义的条件及解一元一次不等式，比较简单．
3．（3分）平面直角坐标系内一点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．
（3，﹣2）
B．
（2，3）
C．
（﹣2，﹣3）
D．
（2，﹣3）
考点：
关于原点对称的点的坐标．809681
专题：
常规题型；压轴题．
分析：
根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数解答．
解答：
解：点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，﹣3）．
故选D．
点评：
本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特征，熟记特征是解题的关键．
4．（3分）已知⊙O1、⊙O2的半径分别是1cm、4cm，O1O2=cm，则⊙O1和⊙O2的位置关系是（ ）
A．
外离
B．
外切
C．
内切
D．
相交
考点：
圆与圆的位置关系．809681
分析：
由⊙O1与⊙O2的半径分别为1cm、4cm，且圆心距O1O2=cm，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．
解答：
解：∵⊙O1与⊙O2的半径分别为1cm、4cm，且圆心距O1O2=cm，
又∵1+4＞＞4﹣1，
∴两圆的位置关系是相交．
故选D．
点评：
此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．
5．（3分）（2008•荆州）下列根式中属最简二次根式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
最简二次根式．809681
分析：
判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
解答：
解：A、是最简二次根式；
B、=，可化简；
C、==2，可化简；
D、==3，可化简；
故选A．
点评：
最简二次根式是本节的一个重要概念，也是中考的常考点．最简二次根式应该是：根式里没分母（或小数），分母里没根式．被开方数中不含开得尽方的因数或因式．被开方数是多项式时，还需将被开方数进行因式分解，然后再观察判断．
6．（3分）（2012•孝感）下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A．
通常水加热到100℃时沸腾
B．
测量孝感某天的最低气温，结果为﹣150℃
C．
一个袋中装有5个黑球，从中摸出一个是黑球
D．
篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
考点：
随机事件．809681
分析：
随机事件就是可能发生也可能不发生的事件，依据定义即可求解．
解答：
解：A、C一定正确，是必然事件；
B是不可能事件，
D、篮球队员在罚球线上投篮未中属于随机事件．
故选D．
点评：
本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．关键是理解随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
7．（3分）（2003•新疆）已知：如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，∠ABC=30°，则∠CAD等于（ ）
A．
30°
B．
40°
C．
50°
D．
60°
考点：
圆周角定理．809681
分析：
根据圆周角定理可知∠B=∠D=30°，∠ACD=90°，在Rt△ACD中，已知了∠D的度数，易求出∠CAD的度数．
解答：
解：∵AD是⊙O的直径
∴∠ACD=90°
由圆周角定理知，∠D=∠B=30°
∴∠CAD=90°﹣∠D=60°．
故选D．
点评：
本题利用了圆周角定理、直角三角形的性质求解．
8．（3分）某公司今年产值300万元，现计划扩大生产，使今后两年的产值都比前一年增长一个相同的百分数，这样三年（包括今年）的总产值就达到了1400万元．设这个百分数为x，则可列方程为（ ）
A．
300（1+x）2=1400
B．
300（1+x）3=1400
C．
1400（1﹣x）2=300
D．
300+300（1+x）+300（1+x）2=1400
考点：
由实际问题抽象出一元二次方程．809681
专题：
增长率问题．
分析：
三年的总产值=今年的产值+明年的产值+后年的产值，要明确每一年的产值的表达式．根据此等量关系列方程求解即可．
解答：
解：已设这个百分数为x，则有
300+300（1+x）+300（1+x）2=1400．
故选D．
点评：
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程和对增长率问题的掌握情况，理解题意后以三年的总产量做等量关系可列出方程．
9．（3分）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为，由此可知铅球推出的距离是（ ）
A．
10m
B．
3m
C．
4m
D．
2m或10m
考点：
二次函数的应用；一元二次方程的应用．809681
分析：
根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x的值即可．
解答：
解：令函数式y=﹣（x﹣4）2+3中，y=0，
0=﹣（x﹣4）2+3，
解得x1=10，x2=﹣2（舍去），
即铅球推出的距离是10m．
故选：A．
点评：
本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．
10．（3分）（2010•临沂）如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．
6π
B．
5π
C．
4π
D．
3π
考点：
扇形面积的计算．809681
专题：
压轴题．
分析：
从图中可以看出阴影部分的面积=扇形面积+半圆面积﹣半圆面积，即等于扇形面积，依扇形的面积公式计算即可．
解答：
解：阴影部分面积==6π．
故选A．
点评：
本题主要考查了扇形的面积公式．即S=．
11．（3分）（2009•十堰）同时掷两个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则两个骰子向上的一面的点数和为8的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
列表法与树状图法．809681
专题：
压轴题．
分析：
列举出所有情况，看两个骰子向上的一面的点数和为8的情况占总情况的多少即可．
解答：
解：列表得：
∴两个骰子向上的一面的点数和为8的概率为．故选B．
点评：
列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．树状图法适用于两步或两步以上完成的事件．解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
12．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：
①因为a＞0，所以函数y有最大值；
②该函数的图象关于直线x=﹣1对称；
③当x=﹣2时，函数y的值等于0；
④当x=﹣3或x=1时，函数y的值都等于0．
其中正确结论的个数是（ ）
A．
4
B．
3
C．
2
D．
1
考点：
二次函数的性质．809681
分析：
观察图象即可判断．①开口向上，应有最小值；②根据抛物线与x轴的交点坐标来确定抛物线的对称轴方程；③x=﹣2时，对应的图象上的点在x轴下方，所以函数值小于0；④图象与x轴交于﹣3和1，所以当x=﹣3或x=1时，函数y的值都等于0．
解答：
解：由图象知：
①函数有最小值；错误．
②该函数的图象关于直线x=﹣1对称；正确．
③当x=﹣2时，函数y的值小于0；错误．
④当x=﹣3或x=1时，函数y的值都等于0．正确．
故正确的有两个，选C．
点评：
此题考查了根据函数图象解答问题，体现了数形结合的数学思想方法．
二、细心填一填（每小题3分，共18分）
13．（3分）计算：= 14 ．
考点：
二次根式的加减法．809681
分析：
首先对二次根式进行化简，然后合并同类二次根式即可求解．
解答：
解：原式=4﹣2+12
=14．
故答案是：14．
点评：
主要考查了实数的运算．无理数的运算法则与有理数的运算法则是一样的．在进行二次根式的运算时要先化简再计算可使计算简便．
14．（3分）白云航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有 5 个飞机场．
考点：
一元二次方程的应用．809681
专题：
应用题．
分析：
每个飞机场都要与其余的飞机场开辟一条航行，但两个飞机场之间只开通一条航线．等量关系为：飞机场数×（飞机场数﹣1）=10×2，把相关数值代入求正数解即可．
解答：
解：设共有x个飞机场．
x（x﹣1）=10×2，
解得x1=5，x2=﹣4（不合题意，舍去），
故答案为：5．
点评：
考查一元二次方程的应用；得到飞行总航线与飞机场数的等量关系是解决本题的关键．
15．（3分）（2010•红桥区模拟）已知点A的坐标为（a，b），O为坐标原点，连接OA，将线段OA绕点O按逆时针方向旋转90°得OA1，则点A1的坐标为 （﹣b，a） ．
考点：
坐标与图形变化-旋转．809681
分析：
画出草图分析．不妨设A在第一象限，将线段OA绕点O按逆时针方向旋转90°得OA1，如图所示．根据旋转的性质，A1B1=AB，OB1=OB．综合A1所在象限确定其坐标，其它象限解法完全相同．
解答：
解：不妨设A在第一象限，将线段OA绕点O按逆时针方向旋转90°得OA1，如图所示．
∵A（a，b），∴OB=a，AB=b，
∴A1B1=AB=b，OB1=OB=a，
因为A1在第二象限，所以A1（﹣b，a），
A在其它象限结论也成立．
点评：
不失一般性，可设点A在某一象限，以点带面求解．
16．（3分）如图，从A地到C地，可供选择的方案是走水路、走陆路、走空中．从A地到B地有2条水路、2条陆路，从B地到C地有3条陆路可供选择，则从A地到C地可供选择的方案有 13 种．
考点：
可能性的大小．809681
专题：
方案型．
分析：
从A间接到C的走法：从A到B有4种走法，从B到C有3种走法，那么共有4×3种走法，那么加上直接到达的那一条路线即可．
解答：
解：从A直接到C有1中，从A到B再到C，有4×3=12种，故从A地到C地可供选择的方案有12+1=13种．
点评：
本题考事件的可能情况，关键是列齐所有的可能情况．
17．（3分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AB=AD=4，BC=6，以点A为圆心在这个梯形内画出一个最大的扇形（图中阴影部分），则由这个扇形围成的圆锥的底面半径是 ．
考点：
圆锥的计算；直角梯形．809681
分析：
要求以A为圆心在梯形内画出一个最大的扇形（图中阴影部分）的周长，需过点A作AE⊥BC于点E，根据切线的性质求得AE是扇形的半径，再利用直角梯形的性质和直角三角形的性质求得扇形的半径和圆心角度数，再利用弧长公式求得扇形的底面半径即可．
解答：
解：过点A作AE⊥BC于点E，
∵AD∥BC，∠C=90°，
∴四边形ADCE是矩形，
∵AB=AD=4，BC=6，
∴CE=AD=4，BE=2
∴AE=2，∠BAE=30°
∴∠BAD=90°+30°=120°
设底面半径为r，
则2πr=
解得：r=
故答案为：
点评：
本题要熟知切线的性质，直角梯形的性质和扇形弧长计算公式．利用切线的性质求得AE的长即半径是解题的关键，注意扇形的周长为两条半径的长加上弧长．
18．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），下列说法：
①若b2﹣4ac=0，则抛物线的顶点一定在x轴上；
②若a﹣b+c=0，则抛物线必过点（﹣1，0）；
③若a＞0，且一元二次方程ax2+bx+c=0有两根x1，x2（x1＜x2），则ax2+bx+c＜0的解集为x1＜x＜x2；
④若，则方程ax2+bx+c=0有一根为3．
其中正确的是 ①②③ （把正确说法的序号都填上）．
考点：
二次函数与不等式（组）；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．809681
分析：
利用抛物线与x轴的交点问题判断①正确；根据二次函数图象上点的坐标特征判断出②正确；根据二次函数与不等式组的关系判断出③错误；令x=﹣3，然后根据二次函数图象上点的坐标特征解答．
解答：
解：①若b2﹣4ac=0，则ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，所以，抛物线的顶点一定在x轴上，故本小题正确；
②x=﹣1时，a﹣b+c=0，所以，抛物线必过点（﹣1，0），故本小题正确；
③a＞0，抛物线开口向上，ax2+bx+c＜0的解集为x1＜x＜x2，故本小题正确；
④若b=3a+，则9a﹣3b+c=0，所以方程ax2+bx+c=0有一根为﹣3，故本小题错误；
综上所述，正确的是①②③．
故答案为：①②③．
点评：
本题考查了二次函数与不等式，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，综合题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
三、用心做一做（本大题共7小题，满分66分）
19．（6分）解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣1=0
（2）（x﹣2）2=2x﹣4．
考点：
解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．809681
专题：
计算题．
分析：
（1）方程移项后，两边加上1变形，利用平方根定义开方转化为两个一元一次方程来求解；
（2）方程右边变形后，整体移到左边，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
解答：
解：（1）方程变形得：x2﹣2x=1，
配方得：x2﹣2x+1=2，即（x﹣1）2=2，
解得：x1=1+，x2=1﹣；
（2）方程移项得：（x﹣2）2﹣2（x﹣2）=0，
因式分解得：（x﹣2）（x﹣4）=0，
解得：x1=2，x2=4．
点评：
此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法与配方法，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．
20．（8分）先化简，再求值：，其中，．
考点：
二次根式的化简求值．809681
专题：
计算题．
分析：
由于a=3+＞0，b=3﹣＞0，且有a+b=6，ab=7，再根据二次根式的性质化简得到原式=a+b，然后计算（a+b）2得到7（+1）2，再利用算术平方根求值．
解答：
解：∵a=3+＞0，b=3﹣＞0，
∴a+b=6，ab=7，
∴原式=a+﹣+b
=a+b，
∵（a+b）2=a2b+2ab+ab2=ab（a+b+2）=7×（6+2）=7×（+1）2，
∴原式=（+1）=7+．
点评：
本题考查了二次根式的化简求值：先根据二次根式的性质和二次根式的运算法则把所给的代数式进行化简，然后把满足条件的字母的值代入计算．
21．（10分）如图，已知点P是边长为5的正方形ABCD内的一点，连结PA，PB，PC，若PA=2，PB=4，∠APB=135°．
（1）将△PAB绕点B顺时针旋转90°，画出△P′CB的位置．
（2）①求PC的长；
②求△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域的面积．
考点：
作图-旋转变换；正方形的性质；扇形面积的计算．809681
分析：
（1）利用旋转的性质得出对应点P′的位置进而得出即可；
（2）①利用旋转的性质得出，∠PP′C=90°，利用勾股定理得出PC的长；
②根据PA所扫过区域的面积为：S扇形ABC+S△BCP′﹣S扇形PBP′﹣S△ABP，进而得出即可．
解答：
解：（1）如图所示：△P′CB即为所求；
（2）①连接PP′，
∵将△PAB绕点B顺时针旋转90°，
∴PB=P′B=4，A，P，P′在一条直线上，∠PP′C=∠BP'C﹣∠BP'P=135°﹣45°=90°，
∵∠APB=135°，
∴∠BPP′=45°，
∴△PBP′是等腰直角三角形，
∴PP′=4，
∵P′C=PC=2，
∴PC==6；
②△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域的面积为：
S扇形ABC+S△BCP′﹣S扇形PBP′﹣S△ABP=S扇形ABC﹣S扇形PBP′==π．
点评：
此题主要考查了旋转的性质以及旋转图形的画法和扇形面积公式等知识，根据题意得出旋转后图形的形状是解题关键．
22．（10分）（2011•湘潭）九年级某班组织班团活动，班委会准备买一些奖品．班长王倩拿15元钱去商店全部用来购买钢笔和笔记本两种奖品，已知钢笔2元/支，笔记本1元/本，且每样东西至少买一件．
（1）有多少种购买方案？请列举所有可能的结果；
（2）从上述方案中任选一种方案购买，求买到的钢笔与笔记本数量相等的概率．
考点：
二元一次方程的应用；概率公式．809681
专题：
应用题．
分析：
（1）应设出两种奖品的件数，由钢笔和笔记本两种奖品的价格为15元列出方程，根据整数值来确定购买方案；
（2）根据概率公式P（A）=，求解即可．
解答：
解：（1）设钢笔和笔记本两种奖品各a，b件
则a≥1，b≥1，
2a+b=15
当a=1时，b=13；
当a=2时，b=11；
当a=3时，b=9；
当a=4时，b=7；
当a=5时，b=5；
当a=6时，b=3；
当a=7时，b=1．
故有7种购买方案；
（2）买到的钢笔与笔记本数量相等的购买方案有1种，共有7种购买方案．
∵1÷7=，
∴买到的钢笔与笔记本数量相等的概率为．
点评：
考查了二元一次方程的应用和概率公式．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．注意根据整数值来确定购买方案．
23．（10分）（2012•瑶海区一模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）当AB=5，BC=6时，求DE的长．
考点：
切线的判定；平行线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理．809681
专题：
计算题．
分析：
（1）连接OD，由AC=AB，根据等边对等角得到一对角相等，再由OD=OB，根据等边对等角得到又一对角相等，等量代换可得一对同位角相等，根据同位角相等两直线平行可得OD与AC平行，又EF垂直于AC，根据垂直于两平行线中的一条，与另一条也垂直，得到EF与OD也垂直，可得EF为圆O的切线；
（2）连接AD，由AB为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角可得∠ADB=90°，即AD与BC垂直，又AC=AB，根据三线合一得到D为BC中点，由BC求出CD的长，再由AC的长，利用勾股定理求出AD的长，三角形ACD的面积有两种求法，AC乘以DE除以2，或CD乘以AD除以2，列出两个关系式，两关系式相等可求出DE的长．
解答：
解：（1）连接OD，…（1分）
∵AB=AC，
∴∠C=∠OBD，
∵OD=OB，
∴∠1=∠OBD，…（2分）
∴∠1=∠C，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴EF⊥OD，
∴EF是⊙O的切线；…（3分）
（2）连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，…（4分）
又∵AB=AC，且BC=6，
∴CD=BD=BC=3，
在Rt△ACD中，AC=AB=5，CD=3，
根据勾股定理得：，
又S△ACD=AC•ED=AD•CD，
即×5×ED=×4×3，
∴．…（5分）
点评：
此题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，平行线的性质，勾股定理，三角形面积的求法，以及切线的判定，其中证明切线的方法为：有点连接圆心与此点，证垂直；无点过圆心作垂线，证明垂线段长等于圆的半径．本题利用的是第一种方法．
24．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+1﹣2k=0有两个不等的实根，
（1）求k的取值范围；
（2）若k取小于1的整数，且此方程的解为整数，则求出此方程的两个整数根；
（3）在（2）的条件下，二次函数y=x2﹣4x+1﹣2k与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），D点在此抛物线的对称轴上，若
∠DAB=60°，求D点的坐标．
考点：
根的判别式；解一元二次方程-配方法；抛物线与x轴的交点．809681
专题：
综合题．
分析：
（1）根据根的判别式，有两个不等的实根，根的判别式△=b2﹣4ac＞0列出关于k的不等式12+8k＞0，求解即可得到k的取值范围；
（2）利用（1）中k的取值范围求得k的整数解，然后将其代入关于x的一元二次方程x2﹣4x+1﹣2k=0并整理，再根据配方法进行求解；
（3）先求出二次函数的解析式，然后求出抛物线与x轴的交点，从而得到对称轴的解析式以及AB的长度，再根据∠DAB=60°求出点D到x轴的距离，然后根据点D在AB的上方与下方两种情况讨论得解．
解答：
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+1﹣2k=0有两个不等的实根，
∴△=（﹣4）2﹣4×1×（1﹣2k）=12+8k＞0，
解得，k＞﹣；
（2）∵k取小于1的整数，
∴k=﹣1或0，
①当k=﹣1时，方程为x2﹣4x+3=0，
即（x﹣2）2=1，
∴x﹣2=1或x﹣2=﹣1，
解得x1=3，x2=1，
②当k=0时，方程为x2﹣4x+1=0，
即（x﹣2）2=3，
∵方程的解为整数，
∴k=0不符合，
∴k=﹣1，此时方程的两个整数根是x1=3，x2=1；
（3）如图所示，根据（2），二次函数解析式为，y=x2﹣4x+3，
∴点A、B的坐标分别为A（1，0），B（3，0），
∴对称轴为x=2，
∴AC=（3﹣1）=1，
∵∠DAB=60°，
∴AD=2AC=2，
∴CD===，
当点D在AB的上方时，坐标为（2，），在AB的下方时，坐标为（2，﹣），
∴点D的坐标为（2，）或（2，﹣）．
点评：
本综合考查了根的判别式，一元二次方程的解法以及二次函数的性质，抛物线与x轴的交点情况，综合性较强，但难度不是很大，根据整数根求出k的值是解题的关键．
25．（12分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，4）三点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）此抛物线有最大值还是最小值？请求出其最大或最小值；
（3）若点D（2，m）在此抛物线上，在y轴的正半轴上是否存在点P，使得△BDP是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：
二次函数综合题．809681
分析：
（1）将A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，4）代入y=ax2+bx+c，运用待定系数法即可求出此抛物线的解析式；
（2）由于二次项系数a=﹣＜0，所以抛物线有最大值，最大值为，代入计算即可；
（3）先将点D（2，m）代入（1）中所求的抛物线的解析式，求出m的值，得到点D的坐标，然后假设在y轴的正半轴上存在点P（0，y）（y＞0），使得△BDP是等腰三角形，再分三种情况进行讨论：①PB=PD；②BP=BD；③DP=DB；每一种情况都可以根据两点间的距离公式列出关于y的方程，解方程即可．
解答：
解：（1）将A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，4）代入y=ax2+bx+c，得，
解得．
所以此抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4；
（2）∵y=﹣x2+x+4，a=﹣＜0，
∴抛物线有最大值，最大值为=；
（3）∵点D（2，m）在抛物线y=﹣x2+x+4上，
∴m=﹣×22+2+4=4，
∴D（2，4），
∵B（4，0），
∴BD==2．
假设在y轴的正半轴上存在点P（0，y）（y＞0），使得△BDP是等腰三角形，分三种情况：
①如果PB=PD，那么42+y2=22+（y﹣4）2，解得y=，
所以P1（0，）；
②如果BP=BD，那么42+y2=20，解得y=±2（负值舍去），
所以P2（0，2）；
③如果DP=DB，那么22+（y﹣4）2=20，解得y=0或8，
y=0不合题意舍去，
所以P3（0，8）；
综上可知，所有符合条件的P点的坐标为P1（0，），P2（0，2），P3（0，8）．
点评：
本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求抛物线的解析式，抛物线的最值的求法，等腰三角形的性质等知识，难度适中．运用分类讨论、方程思想是解题的关键．
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