代几综合
1.（2013.昌平一模25）如图，在平面直角坐标系xOy中，点B，C在x轴上，点A，E在y轴上，OB︰OC=1︰3，AE=7，且tan∠OCE=3，tan∠ABO=2.
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）点D在（1）中的抛物线上，四边形ABCD是以BC为一底边的梯形，求经过B、D两点的一次函数解析式；
（3）在（2）的条件下，过点D作直线DQ∥y轴交线段CE于点Q ，在抛物线上是否存在点P，使直线PQ与坐标轴相交所成的锐角等于梯形ABCD的底角，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
2.（2013.朝阳一模25）如图，二次函数y=ax2+2ax+4的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，∠CBO的正切值是2．
(1)求此二次函数的解析式．
(2)动直线l从与直线AC重合的位置出发，绕点A顺时针旋转，与直线AB重合时终止运动，直线l与BC交于点D，P是线段AD的中点．
①直接写出点P所经过的路线长．
②点D与B、C不重合时，过点D作DE⊥AC于点E、作DF⊥AB于点F，连接PE、PF，在旋转过程中，∠EPF的大小是否发生变化？若不变，求∠EPF 的度数；若变化，请说明理由．
③在②的条件下，连接EF，求EF的最小值．
3.（2013.大兴一模25）小明同学在研究某条抛物线的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点，两直角边与该抛物线交于、两点，请你帮小明解答以下问题：
（1）若测得（如图1），求的值；
（2）对同一条抛物线，小明将三角板绕点旋转到如图2所示位置时，过作
轴于点，测得，写出此时点的坐标，并求点的横坐标；
（3）对该抛物线，小明将三角板绕点旋转任意角度时惊奇地发现，交点、所连的线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．
4.（2013.东城一模25）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与轴交于A，B两点（点A在点B的左侧，且OA＜OB），与y轴的交点坐标为（0，-5）.点M是线段AB上的任意一点，过点M（a，0）作直线MC⊥x轴，交抛物线于点C，记点C关于抛物线对称轴的对称点为D（C，D不重合），点P是线段MC上一点，连结CD，BD，PD.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当时，问点P在什么位置时，能使得PD⊥BD；
（3）若点P满足，作PE⊥PD交x轴于点E，问是否存在这样的点E，使得PE=PD，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.
5.（2013.房山一模25）已知：半径为1的⊙O1与轴交、两点，圆心O1的坐标为（2, 0)，二次函数的图象经过、两点，与轴交于点
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）经过坐标原点O的直线与⊙O1相切，求直线的解析式；
（3）若为二次函数的图象上一点，且横坐标为2，点是轴上的任意一点，分别联结、．试判断与的大小关系，并说明理由.
（第25题图）
6.（2013.丰台一模25）如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙C的圆心坐标为（－2，－2），半径为．函数y＝－x＋2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为直线AB上一动点．
（1）若△POA是等腰三角形，且点P不与点A、B重合，直接写出点P的坐标；
（2）当直线PO与⊙C相切时，求∠POA的度数；
y
（3）当直线PO与⊙C相交时，设交点为E、F，点M为线段EF的中点，令PO＝t，MO＝s，求s与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．
AD
BAD
x
O
·
CFEBAD
7.（2013.海淀一模25）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为.
（1）求点的坐标（用含的代数式表示）；
（2）直线与抛物线交于、两点，点在抛物线的对称轴左侧.
①若为直线上一动点，求△的面积；
②抛物线的对称轴与直线交于点，作点关于直线的对称点. 以为圆心，为半径的圆上存在一点，使得的值最小，则这个最小值为 .
8.（2013.怀柔一模25）已知二次函数（）的图象经过点，，，直线（）与轴交于点D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在直线（）上有一点（点在第四象限），使得为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，求点坐标（用含的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，请求出的值及四边形的面积；若不存在，请说明理由．
9.（2013.门头沟一模25）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，过点A的直线与抛物线交于点E，与y轴交于点F，且点B的坐标为（3，0），点E的坐标为（2，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点G为抛物线对称轴上的一个动点，H为x轴上一点，当以点C、G、H、F四点所围成的四边形的周长最小时，求出这个最小值及点G、H的坐标；
（3）设直线AE与抛物线对称轴的交点为P，M为直线AE上的任意一点，过点M作MN∥PD交抛物线于点N，以P、D、M、N为顶点的四边形能否为平行四边形？
若能，请求点M的坐标；若不能，请说明理由．
x
y
1
1
O
10.（2013.密云一模25）如图，经过原点的抛物线与轴的另一个交点为A.过点作直线轴于点M，交抛物线于点B.记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（B、C不重合）.连结CB,CP。
（1）当时，求点A的坐标及BC的长；
（2）当时，连结CA，问为何值时？
（3）过点P作且，问是否存在，使得点E落在坐标轴上？若存在，求出所
有满足要求的的值，并定出相对应的点E坐标；若不存在，请说明理由.
11.（2013.平谷一模25）如图1，在直角坐标系中，已知直线与y轴交于点A，
图1
与x轴交于点B，以线段BC为边向上作正方形ABCD.
（1）点C的坐标为（ ），点D的坐标为（ ）；
（2）若抛物线经过C、D两点，
求该抛物线的解析式；
（3）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线
BA向上平移，直至正方形的顶点C落在轴上时，
正方形停止运动. 在运动过程中，设正方形落在y轴
右侧部分的面积为，求关于平移时间（秒）的函数关系式，
并写出相应自变量的取值范围.
12.（2013.石景山一模25）如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△ECD分别置于平面直角坐标系xOy中，使点E与点B重合，直角边OB、BC在y轴上．已知点D (4，2)，过A、D两点的直线交y轴于点F．若△ECD沿DA方向以每秒个单位长度的速度匀速平移，设平移的时间为（秒），记△ECD在平移过程中某时刻为△， 与AB交于点M，与y轴交于点N， 与AB交于点Q，与y轴交于点P(注：平移过程中，点始终在线段DA上，且不与点A重合).
（1）求直线AD的函数解析式；
（2）试探究在△ECD平移过程中，四边形MNPQ的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及的取值；若不存在，请说明理由；
（3）以MN为边，在的下方作正方形MNRH，求正方形MNRH与坐标轴有两个公共点时的取值范围．
O
D
A
y
C
x
B(E)
F
J
13.（2013.西城一模25）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：与轴、轴分别交于点A和点B(0,-1)，抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为C(4,n)．
(1) 求的值和抛物线的解析式；
(2) 点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0< t 0,舍去）
综上所述，当m=2时，点E的坐标是（2,0）或（0,4）；
当m=时，点E的坐标是（,0）
11.（2013.平谷一模25）解：（1）C（－3，2），D（－1，3）…………………………2分
（2）抛物线经过（－1，3）、（－3，2），则
解得
∴ ……………….…3分
图1
（3）①当点D运动到y轴上时，t=. …………..…4分
当0＜t≤时，如图1设D′A′交y轴于点E.
∵tan∠BAO==2,又∵∠BAO=∠EAA′
∴tan∠EAA′=2, 即=2
∵AA′=, ∴EA’=.
∴S△EA’A=AA′·EA′=t×t=5 t2………5分
当点B运动到点A时，t=1.………………………………………………6分
图2
当＜t≤1时，如图2
设D′C′交y轴于点G，过G作GH⊥A′B′于H.
在Rt△AOB中，AB=
∴ GH=,AH=GH=
∵ AA′=t,∴HA′=t－,GD′=t－ .
∴S梯形AA′D′G=(t－+t) =5t－……………………………7分
当点C运动到y轴上时，t=.
当1＜t≤时，如右图所示
设C′D′、C′B′分别交y轴于点M、N
∵AA′=t，A′B′=,
∴AB′=t－,∴B′N=2AB′=t－
∵B′C′=,∴C′N=B′C′－B′N=－t
∴=C′N=(－t)
∴=(－t)·(－t)=5t2－15t+
∴S五边形B′A′D′MN=S正方形B′A′D′C′－S△MNC′=(5t2－15t+)=－5t2+15t－
综上所述，S与x的函数关系式为：当0＜t≤时, S=5
当＜t≤1时，S=5t
当1＜t≤时，S=－5t2+15t………………………………………………..8分
12.（2013.石景山一模25）解：（1）由题意A(2.0) …………………………………………………………………1分
由D(4,2),
可得直线AD解析式： …………………………………………………2分
由B(0，4)，
可得直线AB解析式：，直线BD解析式：，J（）.
（2）在△ECD平移秒时，由∠CDF=45°，
可得D’（），N（）
设直线E’D’解析式为：
可得M()，…………………………………………………3分
Q（），P（）
由△MQD’∽△BJD,得，可得
S△MQD’ …………………………………………………4分
S梯形E’C’ PN………………………………………5分
S四边形MNPQ= S△E’C’D’― S△MQD’― S梯形E’C’ PN
∴当时,S最大=…………………………………………………6分
（3）当点H在x轴上时，有M()横纵坐标相等
即
∴
∴.…………………………………………………8分
13.（2013.西城一模25）解：（1）∵直线l：经过点B（0，），
∴.
∴直线l的解析式为.
∵直线l：经过点C（4，n），
∴. ………………………………………………1分
∵抛物线经过点C（4，2）和点B（0，），
∴
解得
∴抛物线的解析式为. …………………………2分
（2）∵直线l：与x轴交于点A，
图8
∴点A的坐标为（，0）.
∴OA=.
在Rt△OAB中，OB=1，
∴AB==.
∵DE∥轴，
∴∠OBA=∠FED.
∵矩形DFEG中，∠DFE=90°，
∴∠DFE=∠AOB=90°.
∴△OAB∽△FDE.
∴.
∴，
. …………………………………………4分
∴=2(FD+ FE)=.
∵D（，），E（，），且，
∴.
∴. …………………………… 5分
∵，且，
∴当时，有最大值. …………………………………… 6分
（3）点A1的横坐标为或. ……………………………………………8分
图9
图10
B
1
O
1
A
1
l
C
A
B
O
x
y
y
x
O
B
A
C
l
A
1
O
1
B
1
说明：两种情况参看图9和图10，其中O1B1与轴平行，O1A1与轴平行.
微信/支付宝扫码支付