初中希望杯竞赛数学试题详解(91-100题).doc

高中数学希望杯典型例题100道（91-100）‎ 题91 三棱锥中，为底面内的一点，‎ ‎，则的余弦值为______.‎ ‎（第九届高一第二试第20题）‎ 解法1 设在三边上的投影分别是，则由于 ‎，‎ ‎，即，它的余弦值为.‎ 解法2 如图1，以为棱，的延长线为对角线长作长方体，设又设 图1‎ ‎∴在中，‎ P A B C D E A’‎ C’‎ B’‎ 图2‎ 即的余弦值为.‎ 解法3 如图2，过作平面垂直于，分别交于，由已知有平面平面，从而平面，连结并延长交于，连结,显然有连结、.不妨设又在 中，由得 于是 评析 由已知条件画出的图形，的余弦值可在中由余弦定理求得，然而，三边都不知道，这就是本题的难点之所在.如何突破？‎ 解法2根据已知这一特点，将已知三棱锥补成长方体，这样就有问题归结为解直角三角形，这就容易多了.解法3则通过过作平面与垂直，从而使得（即）、（即）、及（即）都成为直角三角形的一个内角，同样起到了化难为易的作用.解法1中用到结论,其依据是：恰为以为棱的长方体的对角线.‎ 拓展 因为又知结论 ‎，即，所以有，将三个角一般化，我们可得 定理 三棱锥中，为底面内的一点，与所成的角分别是则 简证 如图1，‎ 推广 是两两垂直的三条射线，与所成的角分别是 则 题92 有一个侧棱都是的三棱锥，顶点处的三个面角中，有两个都是，另一个是.将该棱锥的体积表示成的函数并求出当取什么值时，达到最大或最小.‎ ‎（第二届高一第二试第21题）‎ 解 设所给的棱锥是（定值），（变量），以所在平面为底面，作底面于，作于，连结.（如图）由三垂线定理，,于是.面，在的平分线S A B C D O 上.. ‎ ‎，于是.又的面积三棱锥的体积.‎ 设，则根号内的这部分可以表示为，当时，最大，同时也最大.，即是锐角，.‎ 答：当时，最大.‎ 评析 这是一道立几、函数综合题，涉及的知识面广，方法多.破解此题的关键，一是把看成顶点，把面看成底面；二是写出函数关系式；三是求的最值.‎ 把看成顶点后，是显然的，关键是如何将高用表示.而要解决这个问题，必须知道由，可得到在底面上的射影是的平分线这一重要结论（立几中常常用到这一结论）.另外，作，由三垂线定理得，这就沟通了与之间的关系，使得用表示成为可能.‎ 求得的是较复杂的，如何求其最值也是问题之一.分析出只需求的最值是一个进步；将其变形为又是一个进步.接着换元，令，得，这是一个二次函数在(0,1)上的最值问题，太熟悉了，于是大功告成.其答案也可表示成或.‎ 该题重点考查了转化问题的能力，综合运用多种知识解决问题的能力.‎ 题93 设为正三棱锥的底面内的任意一点，过引底面的垂线与这棱锥的三个侧面所在平面分别交于三点，若正三棱锥的高为2.试求的长.‎ ‎（第十二届高一培训题第81题）‎ P Q A E S M F D B C R 解 如图，过作于，作于，作于，连结.显然、、都等于这个正三棱锥的侧面与底面所成的二面角，‎ ‎.易知为底面正三角形的高，因为正三棱锥高为，所以有，，即.‎ 评析 首先用特殊点指明解题方向：由于是正内的任意一点，故不妨使其为正的中心，则此时的与正三棱锥的顶点重合，从而 为正在棱锥高的3倍，也就是6.若将此题改为选择题，则已可选出正确答案.然而，这是解答题，又该如何求呢？‎ 解决此题遇到的第一个难点就是正确地画出图形.图画出后的关键问题是如何利用正三棱锥这一条件，由于都垂直于底面，且分别在三个侧面内，故分别过在三个侧面内作底边的垂线，则为三条射影.由正三棱锥，可知，则.运用正三角形内任一点到三边距离之和为其一边上的高，设，正三棱锥的高为，则，这就得到.这里，发现也是解决问题的关键之一，它将三棱锥的高与，进而与建立了联系，从而最终解决了问题.‎ 拓展 此题就是下面定理的特殊情形.‎ 定理　若是高为的正三棱锥的底面内的任意一点，过引底面的垂线与该棱锥的三个侧面所在平面分别交于三点，则.‎ 证明留给读者.‎ 题94 There are two travel projects from Beijing to Santiago, Chile: (A)Flying westward(向西) to New York, then flying southward to Santiago; (B) Flying southward from Beijing to Friemander, Australia , then flying westward to Santiago. The geographic positions of these four cities may be approximately considered as: Beijing (1200 east longitude, 400 north latitude ), New York (700 west longitude , 400 north latitude ), Friemander (1200 east longitude, 300 south latitude) , Santiago(700 west longitude , 300 south latitude ).Suppose that the air lines go along the spherical distance , then the project of the shorter distance is ________‎ ‎ (第十三届高二第一试第20题)‎ 译文:从北京前往智利的圣地亚哥,有两种旅行方案可供选择.方案(A):由北京向西飞抵纽约，再向南飞抵圣地亚哥; 方案(B):由北京向南飞抵澳大利亚的弗里曼特尔,再向西飞抵圣地亚哥.上述4个城市的地理位置可近似看作:北京(东经1200,北纬400),纽约(西经700,北纬400), 弗里曼特尔(东经1200,南纬300), 圣地亚哥(西经700,南纬300). 假设飞机航线都是球面距离,那么飞行距离较短的方案是_______.‎ 解 用表示北京与纽约的球面距离, 表示纽约与圣地亚哥的球面距离, 表示北京与弗里曼特尔的球面距离, 表示弗里曼特尔与圣地亚哥的球面距离.则有:‎ ‎(A)方案的航程为+ ，‎ ‎(B)方案的航程为+ ，‎ 而向南飞是沿着经度线(球大圆)飞行，所以=. 又由余弦定理计算直线距离得 ‎.因此(R为地球半径). 同理，.于是BN