乌鲁木齐地区2014届高三第二次诊断性数学试题(理)及答案.doc

新疆乌鲁木齐地区2014届高三第二次诊断性测验 理科数学试卷 ‎ ‎ ‎ 第I卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题（60分）‎ ‎1、巳知集合A＝｛x｜x2＜1}，B＝［0，1］，则A ∩B =.‎ ‎ A、(0,1）　　　　B.〔0，1］　　　C．［0,1）　　　　D、［0，1］‎ ‎2.已知复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di（a，b，c，dR，z2≠0），则R的充要条件是 ‎ A、ad+bc=0　　　 B. ac+bd.=‎0　‎ 　C. ac－bd＝0　　　D、ad－bc＝0‎ ‎3.已知数列{｝是各项均为正数的等比数列，若＝‎ ‎　A、4　　　　　　　B、‎8　‎　　　　　‎ C、16　　　　　　 D、32‎ ‎4、某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm）可得这个几何休的体积是 ‎　A、　　　　 B、 ‎ C、 　　　　D、‎ ‎5、已知函数y＝f（2x）＋x是偶函数，且f（2）＝1，‎ 则f（－2）＝‎ ‎　A、2　　　　　　　B、3　　　　　　C、4　　　　　D、5‎ ‎6、阅读如右图所示的程序框图，若输人n的值为6，运行相应程序，‎ ‎ 则输出的n的值为 ‎ A、3　‎ B、5‎ ‎ C、10‎ D．16‎ ‎7若平面向量a，b，c两两所成的角相等，且｜a｜＝1，｜b｜＝1‎ ‎ ｜c｜＝3，则｜a＋b＋c｜等于 ‎　A、2　　　B、5　　　C、2或5　　D、或 ‎8、已知⊙A1：（x＋2）2＋y2＝12和点A2（2，0），则过点A2且与⊙A1相切的动圆圆心P的轨迹方程为 ‎　A、　　　　B、 ‎ C、 　　　　D、‎ ‎ ‎ ‎9、将函数f（x）＝sin（2x＋θ）（一＜θ＜＝的图象向右平移（＞0）介单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都过点P（0，），则的值可以是 ‎　A、　　　　　B、 　　　　C、　　　　　D、‎ ‎10，设，则 ‎ A ．a＞b＞c　　 B、a＞c＞b　　　C、b＞c＞a　　　 D、c＞b＞a ‎11．从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数能被3整除的概率为 ‎　A、　　　　　B、 　　　　C、　　　　　D、‎ ‎12若直线ax＋by＋c＝0与抛物线y2＝2x交于P，Q两点，F为抛物线的焦点，直线PF，QF分别交抛物线于点M．N，则直线MN的方程为 ‎　A、4cx－2by＋a＝0 　　　　　　　B、ax－2by＋‎4c＝0 ‎ C、4cx＋2by＋a＝0　　　　　　　 D、ax＋2by＋‎4c＝0‎ 第II卷（非选择题共90分）‎ ‎ 本卷包括必考题和选考题两部分．第13题一第21题为必考题．每个试题考生都必须作答．第22题一第24题为选考题，考生根据要求作答．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．共20分．‎ ‎13．设等差数列｛｝的前n项和为Sn，若S4＝11，S12＝9，则S20＝＿＿＿＿‎ ‎14如图，矩形OABC内的阴影部分由曲线f（x）＝sinx及直线x＝a（a与x轴围成．向矩形OABC内随机掷一点，该点落在阴影部分的概率为，则a＝＿＿＿．‎ ‎15、直三棱柱ABC一A1 B‎1C1的各顶点都在同一个球面上．若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝120°，则此球的表面积等于＿＿＿＿‎ ‎16．已知直线x＋y＋1＝0与曲线C：y＝x3一3px2相交于点A，B，且曲线C在A，B处的切线平行，则实数p的值为________．‎ ‎ ‎ 三、解答题：第17～21题每题12分，解答应在答卷《答题卡｝的相应各颐中写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本题满分12分）‎ ‎ 如图，已知OPQ是半径为，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记∠COP＝x，矩形ABCD的面积为f（x）。‎ ‎ （I）求函数f（x）的解析式，并写出其定义域；‎ ‎ （II）求函数y＝f（x）＋f（x＋）的最大值及相应的x值 ‎18、（本题满分12分）‎ ‎ 如图在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥ BC，‎ ‎∠BAD＝90°。BC＝2AD，AC与BD交于点O，点M，N分别在线PC、AB上，＝2‎ ‎ （I）求证：平面MNO／／平面PAD；‎ ‎ （II）若平面PA⊥平面ABCD，∠PDA＝60°，且PD＝DC＝BC＝2，求二面角B－AM－C的余弦值。‎ ‎19、（本题满分12分）‎ 袋中装有7个红球和8个黑球，一次取4个球。‎ ‎（I）求取出的4个球同色的概率；‎ ‎（II）设取出黑球的个数为随机变量，求的分布列及数学期望。‎ ‎20、（本题满分12分）‎ 已知椭圆的焦点为F，离心率为，短轴长为2，过点F引两直线l1和l2，l1交椭圆于点A和C，l2交椭圆于B和D。‎ ‎（I）求此椭圆的方程；‎ ‎（II）若｜FA｜·｜FC｜＝｜FB｜·｜FD｜，试求四边形ABCD面积的最大值。‎ ‎ ‎ ‎21、（本题满分12分）‎ 已知函数。‎ ‎（I）求证：当x＞1时，f（x）＞1；‎ ‎（II）令，，求证：‎ 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.‎ ‎22. (本题满分10分)选修4-1：几何证明选讲 已知，在△ABC中，D是AB上一点，△ACD的外接圆交BC于点E，AB＝2BE。‎ ‎（I）求证：BC＝2BD；‎ ‎（II）若CD平分∠ACB，且AC＝2，EC＝1，求BD的长。‎ ‎23. (本题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程是＝1。‎ ‎（I）求直线l与圆C的公共点个数；‎ ‎（2）在平面直角坐标系中，圆C经过伸缩变换得到曲线，设M（x，y）为曲线上一点，求4x2＋xy＋y2的最大值，并求相应点M的坐标。‎ ‎24. (本题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数f（x）＝｜x－1｜。‎ ‎（I）解不等式f（x－1）＋f（1－x）≤2；‎ ‎（II）若a＜0。求证：f（ax）－af（x）≥f（x）。‎ ‎ ‎ 新疆乌鲁木齐地区2014年高三第二次诊断性测验 理科数学试题参考答案及评分标准 一、选择题:共12小题，每小题5分，共60分.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 选项 C D C C B B C A B A C A ‎1.选C.【解析】由得，故，∴.‎ ‎2.选D.【解析】∵，‎ ‎∴的充要条件是.‎ ‎3.选C.【解析】由题意得，解得，，又，‎ ‎∴，∴.‎ ‎4.选C.【解析】，该几何体的直观图为右图所示 ‎∴.‎ ‎5.选B.【解析】∵是偶函数，∴，‎ ‎∴，令，.‎ ‎6.选B.【解析】循环体执行第一次时：；循环体执行第二次时：‎ 循环体执行第三次时：；∴输出.‎ ‎7.选C.【解析】当向量两两成角时，；当向量两两成角时，∵；‎ ‎∴‎ ‎8.选A.【解析】根据题意有，∴点的轨迹是以，为焦点，实轴长为的双曲线，，方程为 ‎ ‎ ‎.‎ ‎9.选B.【解析】∵过，∴，又，∴，‎ ‎∵过，∴，∴ ，或，即，或，又，选B.‎ ‎10.选A.【解析】∵，当时，有 ‎∴，即，当时，越大，的值越小，，∴.‎ ‎11.选C.【解析】∵从到这个数字中任取个数字组成一个没有重复数字的三位数有个；其中，能被整除的，可以分为“含”与“不含”两类；‎ ‎“含”：由这样的数字构成：，它们组成的无重复数字的三位数有个；或由构成，它们组成的无重复数字的三位数有个，共有个 ‎“不含”：由这样的数字构成：⑴含中的一个，另外两个数字分别为 ‎，它们组成的无重复数字的三位数有个；‎ ‎⑵由三个数字构成无重复数字的三位数有个；⑶无，由组成无重复数字的三位数有个，‎ 故，从到这个数字中任取个数字组成一个没有重复数字的三位数中能被整除的共有个，∴能被整除的概率为.‎ ‎12.选A.【解析】设，，由过焦点，易得，，则有，同理，将点代入直线方程，有，两边乘以，得 ‎ ‎ ‎，又，，所以，同理 故，所求直线为．‎ 二、填空题 :共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.填.【解析】依题意有，两式相减得，，‎ ‎∴.‎ ‎14.填.【解析】根据题意，阴影部分的面积为，‎ 即，，，又，故.‎ ‎15.填.【解析】设半径为的球内接直三棱柱的上下底面外接圆的圆心分别为，则球心在线段的中点处，连接，‎ 则，在中，，∴，，∴，∴，‎ ‎∴此球的表面积等于.‎ ‎16.填.【解析】曲线，则，设，‎ 依题意知…⑴，…⑵，∴是方程的两个根∴…⑶，下证线段的中点在曲线上，‎ ‎∵‎ ‎，而 ‎ ∴线段的中点在曲线上，由⑶知线段的中点为 ‎，解得.‎ 三、解答题（共6小题，共70分）‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）在中，，‎ ‎ ‎ ‎，‎ ‎， …6分 ‎（Ⅱ）由，，得 而 ‎∵，∴，，‎ ‎∴，即时， …12分 ‎18.（本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）在梯形中，∵∥，∴，‎ 又，∴∥∥‎ 在中，∵，，∴∥‎ ‎∴平面∥平面； …6分 ‎（Ⅱ）在中，‎ ‎∴，即，又平面⊥平面 ‎∴⊥平面，而 故，如图，以点为坐标原点，分别以 所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，‎ 在梯形中，，‎ ‎，∴，‎ 则有，‎ 由，得，‎ ‎，‎ ‎ ‎ 设平面的法向量为，由，得，令，解得，∴‎ 同理，可得平面的法向量为 设二面角的平面角为，易知，‎ ‎∴． …12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）若取出的个球都是红色，共有种情形，若取出的个球都是黑色，共有种情形，故取出的个球同色的概率为； …6分 ‎（Ⅱ）依题意知 ‎ ；；；‎ ‎；‎ ‎∴的分布列为 ‎∴ …12分 ‎20．（本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）根据题意有，又，解得 ‎∴椭圆的方程为 …5分 ‎（Ⅰ）不妨设为椭圆的右焦点 ‎ ‎ 当直线的斜率存在时，的方程为 …⑴，‎ 设，，把⑴代入椭圆的方程，得关于的一元二次方程：‎ ‎ …⑵‎ ‎∵，是方程⑵的两个实数解，∴ …⑶‎ 又，‎ ‎∴，同理，‎ ‎∴ …⑷‎ 把⑶代入⑷得， …⑸‎ 记为直线的倾斜角，则，由⑸知 …⑹‎ 当的斜率不存在时，，此时的坐标可为和 或和，∴ …⑺‎ 由⑹⑺知，当直线的倾斜角为时 …⑻‎ 同理，记直线的倾斜角为时 …⑼‎ 由得，，‎ ‎，∴或，依题意，∴‎ 当时，‎ ‎ …⑽‎ ‎ ‎ 当时， …⑾‎ 由⑽、⑾知当直线的倾斜角为时， …⑿‎ 同理， …⒀‎ 由⑿、⒀知，四边形的面积为 令，∵，∴‎ 则 ‎∵， ∴，当，或时，，‎ 递增，当时，，递减，‎ ‎∴当时，取最大值，即 ‎∴当时，四边形的面积 …12分 ‎21．（本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）令，则 当时，，∴函数在时为增函数，‎ ‎∴时，，即 当时，，∴函数在时为减函数，‎ ‎∴时，，即，‎ 则，当时，，∴，； …5分 ‎（Ⅱ）下面用数学归纳法证明 ⅰ）当时，，知，∴时，命题成立 ‎ ‎ ⅱ）假设时，命题成立．即 要证明时，命题成立．即证明，只需证明 依题意知，即证明：‎ 当时，有，由（Ⅰ）可知，即 ‎∴当时，，∴函数，时为增函数 由归纳假设，即，‎ ‎∴ …⑴‎ 依题意知，故又只需证明，即只需证明，‎ 构造函数，‎ ‎，由（Ⅰ）知，即，∴‎ ‎∴函数，为增函数，∴，即 则 …⑵，由⑴⑵及题意知，即 综合ⅰ）ⅱ）知，对，都有成立．‎ ‎22．选修4—1：几何证明选讲 ‎（Ⅰ）连接，因为四边形是圆的内接四边形，‎ 所以，又，‎ ‎ ‎ 所以∽，即有，‎ 又，所以 …5分 ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）∽，知，‎ 又，∴， ∵，∴，而是的平分线∴，设，根据割线定理得 即，解得，即 …10分 ‎23．选修4－4：坐标系与参数方程 ‎（Ⅰ）直线的方程为 圆的方程是 圆心到直线的距离为，等于圆半径，‎ ‎∴直线与圆的公共点个数为； …5分 ‎（Ⅱ）圆的参数方程方程是∴曲线的参数方程是 ‎ ‎∴ ‎ 当或时，取得最大值 此时的坐标为或 …10分 ‎24.选修4－5：不等式选讲 ‎（Ⅰ）∵. ‎ 因此只须解不等式. ‎ 当时，原不式等价于，即.‎ 当时，原不式等价于，即.‎ 当时，原不式等价于，即.‎ 综上，原不等式的解集为. …5分 ‎（Ⅱ）∵‎ 又0时，‎ ‎ ‎ ‎∴0时，. …10分 以上各题的其他解法，限于篇幅从略，请相应评分.‎ ‎ ‎