2014-2015高二数学理科暑假作业3（附答案）
一、选择题
1．设集合, 集合 ，则为( )
A． B．C． D．
2.执行如图所示的程序框图，输出的S值为( )
A．9 B．16 C．25 D．36
3．等差数列中，，则数列的公差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4.“”是“”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5.已知直线与幂函数的图像将于两点，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6. 若某几何体的三视图(单位：)如图所示，则该几何体的体积等于( )
A. B. C． D．
7．如图，四边形为矩形，，，以为圆心，1为半径画圆，交线段于E，在圆弧DE上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点率为（ ）
A． B． C． D．
正视图
侧视图
俯视图
5
3
4
3
（6题图）
（7题图）
(2题图)
8.已知半圆的直径 ，为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值是（ ）
Ａ．- Ｂ. Ｃ． Ｄ.
9．设方程与的根分另为，则（ ）
A． B． C． D．
10.已知函数,,若,使,则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
11.复数(i为虚数单位)的共轭复数是
12.若变量满足约束条件,则的最大值是
13．展开式中项的系数490,则实数的值为 .
14.已知正项，奇数项成公差为1的等差数列，当n为偶数时点
等于
15.平面内两定点M（0，-2）和N(0,2），动点P（x，y）满足，动点P的轨迹为曲线E，给出以下命题：
①，使曲线E过坐标原点；
②，曲线E与x轴有三个交点；
③曲线E只关于y轴对称，但不关于x轴对称；
④若P、M、N三点不共线，则△ PMN周长的最小值为;
⑤曲线E上与M,N不共线的任意一点G关于原点对称的另外一点为H，则四边形GMHN的面积不大于m.
其中真命题的序号是 ．（填上所有真命题的序号）
三、解答题
16．在中,角所对的边分别为，，．
(Ⅰ)求角的大小；（Ⅱ）若，求函数的单调递增区间
17．4月10日，2015《中国汉字听写大会》全国巡回赛正式启动，并拉开第三届“汉听大会”全国海选的帷幕。某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）求频率分布直方图中的值,试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩；
（Ⅱ）如果从参加本次考试的同学中随机选取1名同学，求这名同学考试成绩在80分以上（含80分）的概率；
（Ⅲ）如果从参加本次考试的同学中随机选取3名同学，这3名同学中考试成绩在80分以上（含80分）的人数记为，求的分布列及数学期望．
（注：频率可以视为相应的概率）
4
18.如图,在四棱锥B-AA1C1C中,AA1C1C是边长为4的正方形,平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.
(Ⅰ)求证:AA1⊥平面ABC;
(Ⅱ)求二面角A1-BC1-C的余弦值;
(Ⅲ)证明:在线段上存在点D,使得AD⊥A1B,并求的值.
21.已知在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，曲线的极坐标方程为.
（Ⅰ）求直线普通方程和曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的取值范围.
19.已知椭圆C：的一个焦点与短轴的两个端为的连线互相垂直，椭圆上的点到焦点的最大距离
（Ⅰ）求椭圆C的方程．
（Ⅱ）过轴上一点（的直线交椭圆C于A，B两点，试问：在椭圆C上是否存在定点T，使得无论直线如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T?若存在，求出的值及点T的坐标，若不存在，请说明理由.
20.已知函数
（Ⅰ）求函数处的切线方程;
（Ⅱ）若为实数，函数上的有极值，求的取值范围；
（Ⅲ）试问是否存在，使得恒成立？若存在，请写出的值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由。
巴东一中高二（下）理科数学假期作业（2）答案
1.B 2.A 3.C4.C 5.D 6.A 7.B 8.D 9.D 10.A
11. 137/60 12.210 13.47/15 14. 5035, 15.
16. （1）由
且……………4分
（2）又
……………8分
……………12分
4
17.解：（1）解法一：由①可得当时，②，
由①-②可得，，所以，
即当时，，所以，将上面各式两边分别相乘得，，即（），又，所以（），此结果也满足，故对任意都成立。……………7分
解法二：由及可得，即，
当时，
（此式也适合），对任意正整数均有，
当时，（此式也适合），故。……………7分
（2）依题意可得
……………12分
18．解析：（Ⅰ）记“该同学能正确回答第轮的问题”的事件为，
则，，，
所以该同学被淘汰的概率为：
．……………6分
（Ⅱ）的可能值为1,2,3，，，．
所以的分布列为：
1
2
3
P
数学期望为.……………12分
19. 解：（Ⅰ）证明：连接BM，则AM=BM=，所以
又因为面平面，
所以， …………………………………………4分
（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系由（I）可知，平面ADM的法向量，设平面AEM的法向量， 所以
…………………………………………10分
由二面角的余弦值为得，，即：E为DB的中点。 …………………12分
20. 解 ：（Ⅰ）由题意知
故C1，C2的方程分别为……………4分
（Ⅱ）（i）由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为.
由得.
设是上述方程的两个实根，于是
又点M的坐标为（0，—1），所以
故MA⊥MB，即MD⊥ME. ……………8分
（ii）设直线MA的斜率为k1，则直线MA的方程为解得
则点A的坐标为.
又直线MB的斜率为，同理可得点B的坐标为
于是
由得解得
则点D的坐标为又直线ME的斜率为，同理，点E的坐标
于是.因此
4
由题意知，
又由点A、B的坐标可知，
故满足条件的直线l存在，且有两条，其方程分别为……………13分
21. 解析：(1) 对求导得：，根据条件知，所以. (4分)
(2) 由(1)得，
，.
① 当时，由于，有，于是在上单调递增，从而，因此在上单调递增，即而且仅有，合题意；
②当时，由于，有，于是在上单调递减，从而，因此在上单调递减，即而且仅有，不合题意；
③当时，令，当时，，于是在[0,m]上单调递减，从而在上单调递减，从而，因此在上单调递减，即而且仅有，不合题意；.
综上可知，所求实数的取值范围是. （9分）
(3) 对要证明的不等式等价变形如下
所以可以考虑证明：对于任意的正整数，不等式恒成立. 并且继续作如下等价变形
对于相当于（2）中，情形，有在上单调递减，即而且仅有. 取，当时，成立；当时，. 从而对于任意正整数都有成立.
对于相当于（2）中情形，对于任意，恒有而且仅有. 取，得：对于任意正整数都有成立.
因此对于任意正整数，不等式恒成立.
这样依据不等式，再令利用左边，令 利用右边，即可得到成立. (14分)
4
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