省巴东一中2014-2015学年高二数学下学期暑假作业试题（一）文.doc

‎2015年高二数学下学期文科暑假作业1（含答案） ‎ 班级： 姓名： ‎ 一、选择题（ 本小题共12个小题，每个小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．复数满足，则（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．下列推理是归纳推理的是（ ）‎ ‎ A．由于满足对都成立，推断为奇函数 ‎ B．由，求出，猜出数列的前项和的表达式 ‎ C．由圆的面积，推断：椭圆的面积 ‎ D．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质 ‎3．用反证法证明命题“若，‎ 则”时，下列假设的结论正确的是（ ）‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎4．某程序框图如图2所示，运行该程序时，若输入的值为10，‎ 输出的值为80，则判断框内应填（ ）‎ ‎ A．? B．? C．? D．?‎ ‎5．无限循环小数为有理数，如：，‎ 则可归纳出=（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎6．如图，在平面直角坐标系中，圆内切于正方形 ‎，任取圆上一点，若，则是 的等差中项，现有一椭圆内切于矩形，任取椭 圆上一点，若，则的等差中项为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．1‎ ‎7．设函数，则的值为（ ）‎ ‎ A． B． C．中较小的数 D．中较大的数 ‎8．若，则有（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知的取值如表所示：如果线性相关，‎ 且线性回归方程为，则的值为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知条件，条件，且的必要不充分条件，则的取值范围是（ ） A． B． C． D．‎ ‎11．在数列中，已知等于的个位数，则的值是（ ）‎ ‎ A．8 B．‎6 ‎ C．4 D．2‎ - 5 -‎ ‎12．已知函数．若有5个不同的零点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D．‎ 一、选择题 ‎1-----12 DBCCB ADCAB AC ‎13 13 14 15 2 16 ‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的横线上）‎ ‎13．如图是一容量为100的样本的频率分布直方图。‎ 则由图可知样本数据的中位数大约是_______。‎ ‎14．若关于的不等式的解集为 ‎，则_________。‎ ‎15．已知，且．若，‎ 则的最小值为_________。‎ ‎16．已知数对按如下规律排列：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），‎ ‎（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），…，则第60个数对是_______。‎ 三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分10分）已知函数。‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式的解集不是空集，求实数的取值范围。‎ 解：（1）当时，不等式为．‎ ‎ ① 当时，不等式的解为；‎ ‎ ② 当时，不等式无解；‎ ‎ ③ 当时，不等式的解为．‎ ‎ 综上可得，不等式的解集为．…………………………………5分 ‎（2）若不等式的解集不是空集，则，且满足函数．‎ ‎ ∵，∴，∴．‎ ‎ 又 ，∴，解得．∴实数的取值范围是．……10分 ‎18．（本小题满分12分）已知是虚数单位，复数满足。‎ ‎（1）求复数；（2）若复数的虚部为，且是实数，求。‎ 解：（1）．……………………………………………………5分 ‎（2）设，则，∴．‎ ‎∴，∴．…………………………………………………………12分 - 5 -‎ ‎19．（本小题满分12分）为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对名小学六年级学生进行了问卷调查，并得到如下列联表．平均每天喝以上为“常喝”，体重超过为“肥胖”。已知在全部人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为。‎ ‎（1）请将上面的列联表补充完整；‎ ‎（2）是否有的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？请说明你的理由；‎ ‎（3）已知常喝碳酸饮料且肥胖的学生中恰有2名女生，现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中随机抽取2人参加一个有关健康饮食的电视节目，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率。‎ 参考数据：‎ ‎0．150‎ ‎0．100‎ ‎0．050‎ ‎0．025‎ ‎0．010‎ ‎0．005‎ ‎0．001‎ ‎2．072‎ ‎2．706‎ ‎3．841‎ ‎5．024‎ ‎6．635‎ ‎7．879‎ ‎10．828‎ 解：（1）设全部30人中的肥胖学生共名，则，∴常喝碳酸饮料且肥胖的学生有6名．列联表如下：‎ 常喝 不常喝 合计 肥胖 ‎6‎ ‎2‎ ‎8‎ 不肥胖 ‎4‎ ‎18‎ ‎22‎ 合计 ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎……4分 ‎（2）∵，∴有的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关．…………………………………………………………………8分 ‎（3）设常喝碳酸饮料且肥胖的4名男生为，2名女生为，则从中随机抽取2名的情形有；；；；共15种，其中一名男生 一名女生的情形共有8种，∴正好抽到一名男生和一名女生的概率为．………………12分 ‎20．（本小题满分12分）如图所示，是一个矩形花坛，其中米，米．现将矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求：在上，在上，对角线过点，且矩形的面积小于150平方米。‎ ‎（1）设长为米，矩形的面积为平方米，试用解析式将表示成的函数，并确定函数的定义域；（2）当的长度是多少时，矩形的面积最小？并求最小面积。‎ 解：（1）由可得，‎ ‎，∴．‎ 由，且，解得，‎ - 5 -‎ ‎∴函数的定义域为．………………………………6分 ‎（2）令，则，，‎ 当且仅当时，取最小值，故当的长度为米时，矩形花坛的面积最小，‎ 最小面积为‎96平方米．…………………………………12分 ‎21．（本小题满分12分）设正项数列的前项和为，且满足对（）．（1）求，，的值；（2）根据（1），猜想数列的通项公式，并证明你的结论；（3）求证：当时，。‎ 解：（1），，．…………………………………2分 ‎（2）猜想：（）．…………………………………… 4分 证明：∵（），……①‎ ‎ ∴， ……②‎ ‎②①得 ，即．‎ 由，∴． ……③‎ ‎∴当时，， ……④‎ ‎③④得 ，∴，即．‎ ‎ 又，∴，∴是等差数列．‎ ‎∴的通项公式为．…………………………………8分 ‎（3）∵当时，，‎ ‎ ∴当时，；‎ ‎ 当时，令分别取，并将各不等式相加可得 ‎．‎ - 5 -‎ ‎ 综上所述，当时，．…………12分 ‎22．（本小题满分12分）．已知函数在点处的切线方程为。‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）设（为自然对数的底数），求函数在区间上的最大值；‎ ‎（3）证明：当时，。‎ 解：（1）的定义域为．，，．‎ ‎ 由已知得，，且．……………………………3分 ‎（2），．令，得．‎ ‎ 当时，，∴，∴单调递增；‎ 当时，，∴，∴单调递减．…………………5分 因为，，所以 ① 当，即时，函数在上的最大值为；‎ ‎② 当，即时，函数在上的最大值为．……7分 ‎（3）证明：当时，要证，只需证．……①‎ ‎ 设，则由（2）可知在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎∴，即，即，当且仅当时等号成立．‎ 令，则，∴①式成立，即不等式成立……12分 - 5 -‎