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2015 年高二数学下学期文科暑假作业 3（带答案）
班级 姓名 登分号
一、选择题
1. 设全集 （ ）
A. B. C. D.
2．复数 （ 为虚数单位）在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若 P 是 的充分不必要条件，则 p 是 q 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4. 若抛物线 的焦点与双曲线 的右焦点重合，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
5. 一个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是全等的等腰三
角形，则此三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C．4 D．
6. 设 ，则（ ）
A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>a>b
7．已知直线 上存在点 满足 ,则实数 的取值范围为（ ）
A．（- ， ） B．[- ， ] C．（- ， ） D．[- ， ]
8. 将函数 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来- 2 -
的 ，再将所得图象向右平移 得到函数 g(x)，则函数 g(x)的解析式为（ ）
A． B． C． D．
9．已知双曲线 (a>0，b>0 的左、右焦点分别为 F1、F2，以 F1F2 为直径的圆被直线
截得的弦长为 a，则双曲线的离心率为（ ）
A．3 B．2 C． D．
10.要设计一个隧道，在隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成（如图所示）。
若车道总宽度 AB 为 6m，通行车辆（设为平顶）限高 3.5m，且车辆顶部与隧道顶部在竖直方
向上的高度之差至少要 0.5m，则隧道的拱宽 CD 至少应设计为（精确 0.1m）( )
A.8.9m B.8.5m C.8.2 m D .7.9m
二、填空题
11. 已知向量 满足 ，则向量 与 夹角的余弦值为 .
12. 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值为_____．
13．在样本频率分布直方图中，样本容量为 ，共有 个小长方形，若中间一个小长方形
的面
积等于其他 个小长方形面积和的 ，则中间一组的频数为 .
14.若“ ”是“ ”的充分但不必要条件，则实数 a 的取值范
围是 ·
15. 设 是 的三边中垂线的交点, 分别为角 对应的边,已知
则 的范围是__________________
16.已知集合 ．对于 中的任意两- 3 -
个元素 ，定义 A 与 B 之间的距离为
现有下列命题： ①若 ；
②若 ；
③若 ＝p（p 是常数），则 d(A，B）不大于 2p；
④若 ，则有 2015 个
不同的实数 满足 ．其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）
三、解答题
17．（本小题满分 10 分）为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，
调查部门对某校 5 名学生进行问卷调查，5 人得分情况如下：5，6，7，8，9。把这 5 名学生
的得分看成一个总体。（Ⅰ）求该总体的平均数；（Ⅱ）用简单随机抽样方法从 5 名学生中抽
取 2 名，他们的得分组成一个样本，求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5
的概率。
18.已知向量 ， ，设函数 .
（Ⅰ）求函数 的单调递增区间；
（Ⅱ）在 中，边 分别是角 的对边，角 为锐角，
若 ， ， 的面积为 ，求边 的长.
19.设数列 的前 n 项和是 Sn，且满足 ·
（I）求数列 的通项公式 .； (II)，若对任意的 ，不等式 恒成
立，求实数 k 的取值范围·- 4 -
20. ， ， ，
， ；
．
21.已知函数 ，（其中常数 ）
（Ⅰ）当 时，求 的极大值；（Ⅱ）试讨论 在区间 上的单调性；（Ⅲ）当
时，曲线 上总存在相异两点 、 使得曲线
在点 、 处的切线互相平行，求 的取值范围．
22 如图 ，在 平面直 角坐 标系 xOy 中， A 和 B 分别 是椭 圆 C1 ：
和 C2： 上的动点，已知 C1 的焦距为 2，且 ＝0，
又当动点 A 在 x 轴上的射影为 C1 的焦点时，点 A 恰在双曲线 的渐近线上．（I）求
椭圆 C1 的标准方程；
（II）若 C1 与 C2 共焦点，且 C1 的长轴与 C2 的短轴长度相等，求|AB|2 的取值范围；- 5 -
参考答案
一；1------10 CABCA AACDD
二；11
12 13 32 14
[-3,0] 15
16
①③
三、解答题
17．（本小题满分 10 分）为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，
调查部门对某校 5 名学生进行问卷调查，5 人得分情况如下：5，6，7，8，9。把这 5 名学生
的得分看成一个总体。（Ⅰ）求该总体的平均数；（Ⅱ）用简单随机抽样方法从 5 名学生中抽
取 2 名，他们的得分组成一个样本，求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5
的概率。
(1) 总体平均数为 ; (2)
18.已知向量 ， ，设函数 .
（Ⅰ）求函数 的单调递增区间；
（Ⅱ）在 中，边 分别是角 的对边，角 为锐角，
若 ， ， 的面积为 ，求边 的长.
解：（1）
由 ，得
∴ 的单调递增区间为
（2）
∴ 又 A 为锐角，∴ ，- 6 -
S △ ABC= ， ∴ ， 则
∴
19.设数列 的前 n 项和是 Sn，且满足 ·
（I）求数列 的通项公式 .； (II)，若对任意的 ，不等式 恒成
立，求实数 k 的取值范围·
20. ， ， ，
， ；
．
解：（1）证明：由题意可得 G 是 AC 的中点，连结 FG，
∵BF⊥平面 ACE，∴CE⊥BF．而 BC＝BE，∴F 是 EC 的中点， …………2 分
在△AEC 中，FG∥AE，∴AE∥平面 BFD． …………………6 分- 7 -
（2） ∵AD⊥平面 ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面 ABE，则 AE⊥BC．
又∵BF⊥平面 ACE，则 AE⊥BF，又 BC∩BF＝B，∴AE⊥平面 BCE． ………9 分
∵AE∥FG．而 AE⊥平面 BCE，∴FG⊥平面 BCF．∵G 是 AC 中点，F 是 CE 中点，
∴FG∥AE 且 FG＝
1
2AE＝1．∴Rt△BCE 中，BF＝
1
2CE＝CF＝，
∴S△CFB＝
1
2××＝1．∴VC－BGF＝VG－BCF＝
1
3·S△CFB·FG＝
1
3×1×1＝
1
3 …12 分
21.已知函数 ，（其中常数 ）
（Ⅰ）当 时，求 的极大值；（Ⅱ）试讨论 在区间 上的单调性；（Ⅲ）当
时，曲线 上总存在相异两点 、 使得曲线
在点 、 处的切线互相平行，求 的取值范围．
（Ⅰ）当 时，
当 ， 时， ；当 时， ∴ 在 和
上单调递减，在 单调递减故
（Ⅱ）
①当 时，则 ，故 时， ； 时，
此时 在 上单调递减，在 单调递增；
②当 时，则 ，故 ，有 恒成立，
此时 在 上单调递减； ③当 时，则 ，故 时，
； 时， 此时 在 上单调递减，在 单调递增；
（Ⅲ）由题意，可得 （ ，且 ）- 8 -
即 ∵ ，由不等式性
质 可 得 恒 成 立 ， 又 ∴
对 恒 成 立 令 ， 则
对 恒成立∴ 在 上单调递增，∴
故 从而“ 对 恒
成立”等价于“ ”∴ 的取值范围为
22 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A 和 B 分别是椭圆 C1： 和 C2：
上的动点，已知 C1 的焦距为 2，且 ＝0，又当动点 A 在 x 轴上的
射影为 C1 的焦点时，点 A 恰在双曲线 的渐近线上．
（I）求椭圆 C1 的标准方程；
（II）若 C1 与 C2 共焦点，且 C1 的长轴与 C2 的短轴长度相等，求|AB|2 的取值范围；- 9 -
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