福建省福州市第八中学2014-2015学年高二数学下学期期末考试试题 文.doc

福州市2014-2015高二数学第二学期期末试题（文科带答案）‎ 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 ‎ 2015.6.9‎ ‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合，，则有 ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎ 2．给出下列两个结论：‎ ‎ ①若命题，则；‎ ‎ ②命题“若，则方程有实数根”的逆否命题为：“若方程没有实数根，则‎0”‎；‎ 则判断正确的是 ‎ A．①对②错 B．①错②对 C．①②都对 D．①②都错 ‎3．设全集是实数集 ‎（第 3题图）‎ ‎,则图中阴影部分所表示的集合是 ‎ ‎ A．‎ ‎ B．‎ ‎ C．‎ ‎ D．‎ ‎ 4．已知在上是奇函数,且满足,当时, ,则 的值为 ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎ 5．过抛物线焦点的直线交其于两点，为坐标原点．若，则的面积为 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎ 6．设、是两个不同的平面，、为两条不同的直线，命题：若平面∥，，，则∥；命题：∥，⊥，，则⊥，则下列命题为真命题的是 ‎ ‎ A．或 B．且　 C．或　 D．且 ‎ 7．如图，在正四棱锥中，分别是的中点，动点在线段上运动时，下列四个结论：①；②；③；④中恒成立的为 ‎ A. ②④ B.③④‎ ‎ C.①② D．①③ ‎ 8‎ ‎ 8．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于 ‎ A.1 B. C. D.‎ ‎ 9．函数与在同一直角坐标系中的图象可能是 ‎ 10．已知命题 命题 则下列命题中为真命题的是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ 11．一个圆的圆心为椭圆的右焦点，且该圆过椭圆的中心交椭圆于点, 直线（为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎ 12．已知函数＝，则下列结论正确的是 ‎ A．在上恰有一个零点 B．在上恰有一个零点 ‎ C．在上恰有两个零点 D．在（上恰有两个零点 ‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.‎ ‎ 13．已知在四面体中，分别是的中点，若，则与所成的角为________.‎ ‎ 14．已知命题：实数满足，命题：实数满足方程＋＝1表示的焦点在轴上的椭圆，且是的充分不必要条件，的取值范围为________．‎ ‎ 15. 曲线在点处的切线与轴的交点的坐标为　　．‎ ‎16．已知函数 8‎ ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共76分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎ 17．（本小题满分12分）‎ 已知集合 ‎（Ⅰ）若，求；‎ ‎（Ⅱ）若是的充分条件，求实数的取值范围.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知函数的图象与，且的图象关于轴对称，且的图象过点．‎ ‎（I）求函数的解析式；‎ ‎（II）若，求的取值范围．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 已知双曲线C：与点．‎ ‎（1）求过点 且与曲线C只有一个交点的直线方程；‎ ‎（2）是否存在过点的弦，使的中点为，若存在，求出弦所在的直线方程，若不存在，请说明理由.‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 如图，直三棱柱中，、分别是、的中点，，‎ ‎（1）证明：∥平面；‎ ‎（2）求异面直线和所成角的大小；‎ ‎（3）求三棱锥的体积．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 设函数(为实常数)为奇函数，函数().‎ ‎(1)求的值；‎ 8‎ ‎(2)求在上的最大值；‎ ‎(3)当时，对所有的及恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎ 22．（本小题满分14分）‎ 已知函数，其中是自然对数的底数，．‎ ‎（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若，求的单调区间；‎ ‎(Ⅲ)若，函数的图象与函数的图象仅有1个公共点，求实数的取值范围.‎ 8‎ 福州八中2014—2015学年第二学期期末考试 高二数学（文） 试卷参考答案及评分标准 ‎1-12 BCAABC ACDDDB ‎13． 14． 15． 16．6‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 解：（1） …………………………2分 当a=1时，则 ………5分 ‎(2） …………7分 是的充分条件，‎ 即实数a的取值范围是 ……………………………………12分 ‎18．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）∵的图象过点 ‎∴，即. …………………………2分 ‎∵函数的图象与的图象关于x轴对称,‎ ‎∴. ………………………………5分 ‎（Ⅱ） ∵∴‎ 即，解得，即的取值范围为 ………………12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ 解：（1）当直线的斜率不存在时，的方程为x=1，与曲线C有一个交点．…1分 当直线的斜率存在时，设直线的方程为y﹣2=k（x﹣1），代入C的方程，‎ 并整理得（2﹣k2）x2+2（k2﹣2k）x﹣k2+4k﹣6=0 （*）‎ ‎（ⅰ）当2﹣k2=0，即k=±时，方程（*）有一个根，与C有一个交点 ‎ 所以的方程为……3分 ‎（ⅱ）当2﹣k2≠0，即k≠±时 ‎△=[2（k2﹣2k）]2﹣4（2﹣k2）（﹣k2+4k﹣6）=16（3﹣2k）‎ 高二数学（理）期末考试卷答案 第1页 共4页 高二数学（理）期末考试卷答案 第2页 共4页 ‎①当△=0，即3﹣2k=0，k=时，方程（*）有一个实根，与C有一个交点．‎ ‎ 所以的方程为 …………………………6分 综上知：的方程为或或 ……………………………6分 8‎ ‎（2）假设以P为中点的弦存在，设为AB，且A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则2x12﹣y12=2，2x22﹣y22=2，‎ 两式相减得2（x1﹣x2）（x1+x2）=（y1﹣y2）（y1+y2）……………8分 又∵x1+x2=2，y1+y2=4，‎ ‎∴2（x1﹣x2）=4（y1﹣y2）‎ 即kAB==， …………………………………10分 ‎∴直线AB的方程为y﹣2=（x﹣1）， ……………11分 代入双曲线方程2x2﹣y2=2，可得，15y2﹣48y+34=0，‎ 由于判别式为482﹣4×15×34＞0，则该直线AB存在． ……12分 ‎20．（本小题满分12分）‎ 解：（1）证明：连接AC1与A‎1C相交于点F，连接DF，‎ 由矩形ACC‎1A1可得点F是AC1的中点，又D是AB的中点，‎ ‎∴DF∥BC1，‎ ‎∵BC1平面A1CD，DF平面A1CD，‎ ‎∴BC1∥平面A1CD； …………………………………4分 ‎（2）解：由（1）可得∠A1DF或其补角为异面直线BC1和A1D所成角．‎ ‎═==1，‎ A1D===，‎ ‎=1．在△A1DF中，由余弦定理可得：cos∠A1DF==，‎ ‎∠A1DF∈（0，π），∴∠A1DF=，∴异面直线BC1和A1D所成角的大小；………8分 ‎（3）解：∵AC=BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB，‎ ‎∵平面ABB‎1A1∩平面ABC=AB，∴CD⊥平面ABB‎1A1，CD==1．‎ ‎=﹣S△BDE﹣﹣=‎ ‎∴三棱锥C﹣A1DE的体积V=== ………12分 ‎21．（本小题满分12分）‎ 解：（1）由得，∴ ……………………2分 ‎（2）∵‎ ‎①当，即时，在上为增函数 最大值为 ‎②当，即时，在上为减函数 的最大值为 ……7分 8‎ ‎（3）由（2）得在上的最大值为 即在上恒成立 令 即 ‎ 所以或或 ………………………12‎ ‎22．（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ），，‎ ‎， …………………………………………………1分 曲线在点处的切线斜率为.‎ 又，所求切线方程为，即．………3分 ‎（Ⅱ）‎ ‎， ………………………………………5分 ①若，，的单调递减区间为 …6分 ‎②若，当或时，；‎ 当时，.‎ 的单调递减区间为，；单调递增区间为…8分 高二数学（理）期末考试卷答案 第3页 共4页 高二数学（理）期末考试卷答案 第4页 共4页 ‎（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）③知，在上单调递减，‎ 在单调递增，在上单调递减，‎ 在处取得极小值，在处取得极大值…10分 由，得.‎ 当或时，；当时，.‎ 在上单调递增，在单调递减，在上单调递增.‎ 故在处取得极大值，‎ 在处取得极小值. …………………12分 8‎ 函数与函数的图象仅有1个公共点，‎ ‎，即. …………………14分 8‎