玉溪一中2015年高二数学下学期期末试题（理科含答案）
本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．
考试时间：120分钟；满分：150分．
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．设全集，集合，，则(∁U)∩
A． B．
C． D．
2．复数，则对应的点所在象限为
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．把函数的图象适当变换就可以得到的图象，这个变换可以是
A．沿轴方向向右平移 B．沿轴方向向左平移
C．沿轴方向向右平移 D．沿轴方向向左平移
4．已知函数，则的值等于
A． B． C． D．0
5．数列中，已知, , （），则
A．2 B．1 C． D．
6．某高三学生进入高中三年来的第1次至14次数学考试成绩分别为：79，83，93，86，99，98，94，88，98，91，95，103，101，114，依次记为．如图是成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么输出的结果是
A．8 B．9 C．10 D．11
7．设为抛物线上一点，为抛物线的焦点，以为圆心，为半径的圆和抛物线的准线相交，则的取值范围是
A．(2, ) B．[2, ) C．(0, 2) D．[0, 2]
8．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为
A．15 B．16 C．17 D．18
开始
输入
结束
输出
（6题图） （8题图） （10题图）
9．在锐角中，若，则的范围是
A． B． C． D．
10．如图，在等腰梯形ABCD中，AB//DC，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P﹣DCE的外接球的体积为
A． B． C． D．
11．设函数的导函数为， 对任意都有成立， 则
A． B．
C． D．与的大小不确定
12．如右图，、是双曲线（，）的左、右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于点、．若为等边三角形，则双曲线的离心率为
A．4 B．
C． D．
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．已知，，，那么向量与的夹角为________．
14．在平面直角坐标系中，不等式组（为常数）表示的平面区域的面积是16，那么实数的值为______________．
15．若，则二项式的展开式中的常数项为 ．
16．若，则的最大值为 ．
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，且满足（，且），．
（Ⅰ）求证：是等差数列；
（Ⅱ）若，求数列的前项和．
18．（本小题满分12分）
罗非鱼的汞含量（ppm）
0
1
2
3
5
5
6
7
8
8
9
1
3
5
5
6
7
经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高．现从一批数量很大的罗非鱼中随机抽出15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如图．《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过1.0ppm．
（Ⅰ）检查人员从这15条鱼中，随机抽出3条，求3条中恰有1条汞含量超标的概率；
（Ⅱ）若从这批数量很大的鱼中任选3条鱼，记ξ表示抽到的汞含量超标的鱼的条数．以此15条鱼的样本数据来估计这批数量很大的鱼的总体数据，求ξ的分布列及数学期望Eξ．
19．（本小题满分12分）
如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，⊥底面，、分别为、的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若，试问在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆（）的离心率为，短轴的一个端点为，直线与椭圆相交于不同的两点，．
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）求证：不论取何值，以为直径的圆恒过定点．
21．（本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若在区间上的最大值为2，求的值．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．
22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图所示，为圆的切线，为切点，是过点的割线，，，的平分线与和圆分别交于点和．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求的值．
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的方程为．
（Ⅰ）写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；
（Ⅱ）若点的直角坐标为，圆与直线交于，两点，求的值．
24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
若实数，满足，且，若恒成立．
（Ⅰ）求的最大值；
（Ⅱ）若对任意的实数，恒成立，求实数的取值范围
玉溪一中2014—2015学年下学期期末考试
高二理科数学试题参考答案
一、选择题：
1．C 2．D 3．C 4．B 5．D 6．C 7．A 8．A 9．D 10．B 11．A 12．B
二、填空题：
13． 14．2 15．24 16．
17．解析：（Ⅰ）证明：当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，
∵满足an+2Sn•Sn﹣1=0（n≥2，且n∈N），
∴Sn﹣Sn﹣1+2SnSn﹣1=0，
化为=2，=2，∴是等差数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得=2+2（n﹣1）=2n，
∴．
∴bn=Sn•Sn+1=．
∴数列{bn}的前n项和为Tn=
==．
18．解：（Ⅰ）记“15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标”为事件，则
，
∴15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标的概率为．
（Ⅱ）依题意可知，记“这批罗非鱼中任抽1条，汞含量超标”为事件B，则，
的可能取值为0，1，2，3．
则，
，．
其分布列如下：
0
1
2
3
所以．
19．证明：（Ⅰ）取PD中点M，连接MF，MA．在ΔCPD中，F为PC的中点，
∴MF平行且等于，正方形ABCD中E为AB中点， AE平行且等于，
∴AE平行且等于MF，故：EFMA为平行四边形，∴EF∥AM
又∵EF平面PAD，AM平面PAD
∴EF∥平面PAD
（Ⅱ）如图：以点A为坐标原点建立空间直角坐标系：
，，，，
由题易知平面PAD的法向量为，
假设存在Q满足条件，则设，，
，，，
设平面PAQ的法向量为，则
，取得，
∴，由已知：
解得：，所以：满足条件的点Q存在，是EF中点．
20．（Ⅰ）由题意知，
由，可得，
∴椭圆的方程为
由，得
恒成立
设，
则，
∴，
化简得，即
解得
（Ⅱ）∵，
∴
．
∴不论取何值，以为直径的圆恒过点．
21．解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx﹣x， =﹣1，
曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为f′（1）=0，
又切点为（1，﹣1）， 则切线方程为：y=﹣1；
（Ⅱ）定义域为（0，+∞），f′（x）=，
①当a＞0时，由f′（x）＞0，得0＜x＜，f′（x）＜0，得x＞，
∴f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．
若≤1，即a≥1时，f（x）在[1，e]上单调递减，
∴f（x）max=f（1）=﹣a=2，a=﹣2不成立；
若≥e，即0＜a≤时，f（x）在[1，e]上单调递增，
∴f（x）max=f（e）=1﹣ae=2， ∴a=不成立；
若1＜e，即时，f（x）在（1，）上单调递增，在（，e）上单调递减，
∴f（x）max=f（）=﹣1﹣lna=2，解得，a=e﹣3，不成立．
②当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，则有f（x）在[1，e]上递增，
则有f（e）最大，且为1﹣ae=2，解得a=．
综上知，a=．
22．解析：（Ⅰ）∵PA为圆O的切线，∴∠PAB＝∠ACP，
又∠P＝∠P，∴△PAB∽△PCA，∴
（Ⅱ）∵PA为圆O的切线，PBC是过点O的割线，
∴PA2＝PB·PC，又PA＝10，PB＝5，∴PC＝20， BC＝15，
由（Ⅰ）知，＝，∠CAB＝90°，
∴AC2＋AB2＝BC2＝225， ∴AC＝6，AB＝3
连接CE，则∠ABC＝∠E，又∠CAE＝∠EAB，
∴△ACE∽△ADB， ∴
所以AD·AE＝AB·AC＝3×6＝90．
23．解：（Ⅰ）由得直线l的普通方程为
又由得圆C的直角坐标方程为
即．
（Ⅱ）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，
得，即
由于，故可设，是上述方程的两实数根，
所以又直线过点P，A、B两点对应的参数分别为，
所以．
24．解：（Ⅰ）由题设可得>0，又，∴a>0．∴a+b=a+=≥3，
当a=2，b=1时，a+b取得最小值3，∴m的最大值为3．
（Ⅱ）要使2|x-1|+|x|≤a+b对任意的实数a，b恒成立，需且只需2|x-1|+|x|≤3．
用零点区分法易求得实数x的取值范围是≤x≤．
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