北京十四中2014-2015高三数学上学期期中试卷（理科含解析）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）已知集合S=R，A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x||x﹣2|＜2}，那么集合∁R（A∩B）等于（ ）
A． {x|0＜x≤3} B． {x|﹣1≤x＜2} C． {x|x≤0，或x＞3} D． {x|x＜﹣1，或x≥2}
考点： 交、并、补集的混合运算．
专题： 计算题．
分析： 通过解二次不等式化简集合A，通过解绝对值不等式化简集合B，利用交集的定义求出两个集合的交集，再利用补集的定义求出补集．
解答： 解：A={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}
B={x||x﹣2|＜2}={x|0＜x＜4}
∴A∩B={x|0＜x≤3}
∴∁R（A∩B）={x|x≤0或x＞3}
故选C．
点评： 本题考查二次不等式的解法、绝对值不等式的解法、利用交集补集的定义求集合的交集补集．
2．（5分）下列说法错误的是（ ）
A． “x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件
B． 若p且q为假命题，则p、q均为假命题
C． 命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题是：“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”
D． 命题p：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”，则¬p：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”
考点： 命题的真假判断与应用．
专题： 简易逻辑．
分析： A，|x|＞1⇒x＞1或x＜﹣1，可判断A；
B，若p且q为假命题，则p、q至少有一个为假命题，可判断B；
C，写出命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题，可判断C；
D，写出命题p：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定，可判断D．
解答： 解：对于A，由于|x|＞1⇒x＞1或x＜﹣1，故“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件，A正确；
对于B，若p且q为假命题，则p、q至少有一个为假命题，故B错误；
对于C，命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题是：“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”，故C正确；
对于A，命题p：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”，则￢p：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”，故D正确．
综上所述，只有B错误，
故选：B．
点评： 本题考查命题的真假判断与应用，考查对充分必要条件概念的理解与应用，考查复合命题的真假判断与“全称量词”与“存在量词”的应用，属于中档题．
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3．（5分）若向量、满足+=（2，﹣1），=（1，2），则向量与的夹角等于（ ）
A． 135° B． 120° C． 60° D． 45°
考点： 平面向量数量积的运算．
专题： 计算题；平面向量及应用．
分析： 运用向量的坐标运算和向量的模的公式以及向量的数量积的坐标表示，结合向量的夹角公式，计算即可得到．
解答： 解：向量、满足+=（2，﹣1），=（1，2），
则=（1，﹣3），=1﹣6=﹣5，
||=，||=，
即有cos＜＞===﹣，
由于0°≤＜＞≤180°，
则有向量与的夹角等于135°．
故选A．
点评： 本题考查向量的数量积的定义和坐标表示，主要考查向量的夹角公式和夹角的求法，属于基础题．
4．（5分）（2014秋•西城区校级期中）下列函数中，周期为1的奇函数是（ ）
A． y=1﹣2sin2πx B． y=sinπxcosπx C． y=tanx D． y=sin（2πx+）
考点： 三角函数的周期性及其求法；函数奇偶性的判断．
专题： 三角函数的图像与性质．
分析： 对A先根据二倍角公式化简为y=cos2πx为偶函数，排除；对于D验证不是奇函数可排除；对于C求周期不等于1排除；故可得答案．
解答： 解：A，y=1﹣2sin2πx=1﹣（1﹣cos2πx）=cos2πx，由于f（﹣x）=cos（﹣2πx）=cos2πx=f（x），故为偶函数，不符合；
B，对于y=sinπxcosπx=sin2πx，为奇函数，且T==1，满足条件．
C，由正切函数的周期公式可得T=2，不符合；
D，对于函数y=sin （2πx+），f（﹣x）=sin（﹣2πx+）≠﹣sin（2πx+），不是奇函数，排除．
故选：B．
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点评： 本题主要考查三角函数的奇偶性和最小正周期的求法，一般先将函数化简为y=Asin（wx+ρ）的形式，再由最小正周期的求法T=、奇偶性的性质、单调性的判断解题，属于基础题．
5．（5分）（2014秋•通化期中）若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x）且x∈[0，1]时，f（x）=x，则方程f（x）=log3|x|的零点个数是（ ）
A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 6个
考点： 抽象函数及其应用．
专题： 计算题；作图题；函数的性质及应用．
分析： 方程f（x）=log3|x|的零点个数即函数y=f（x）与函数y=log3|x|的交点的个数，作图得到答案．
解答： 解：方程f（x）=log3|x|的零点个数
即函数y=f（x）与函数y=log3|x|的交点的个数，
作函数y=f（x）与函数y=log3|x|的图象如下，
则由图象可知，有四个不同的交点，
故选C．
点评： 本题考查了方程的根与函数图象的交点的关系及函数图象的作法，属于中档题．
6．（5分）（2015•遵义校级二模）设函数f（x）=xm+ax的导函数f′（x）=2x+1，则数列{}（n∈N*）的前n项和是（ ）
A． B． C． D．
考点： 数列的求和；导数的运算．
专题： 计算题．
分析： 函数f（x）=xm+ax的导函数f′（x）=2x+1，先求原函数的导数，两个导数进行比较即可求出m，a，然后利用裂项法求出的前n项和，即可．
解答： 解：f′（x）=mxm﹣1+a=2x+1，
∴a=1，m=2，∴f（x）=x（x+1），
==﹣，
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用裂项法求和得Sn=．
故选A
点评： 本题考查数列的求和运算，导数的运算法则，数列求和时注意裂项法的应用，是好题，常考题，基础题．
7．（5分）已知△ABC中，∠A=30°，AB，BC分别是，的等差中项与等比中项，则△ABC的面积等于（ ）
A． B． C． 或 D． 或
考点： 正弦定理；等差数列的性质；等比数列的性质．
专题： 计算题；数形结合．
分析： 由题意，根据等差数列及等边数列的性质分别求出AB与BC的值，再由A的度数，求出sinA的值，利用正弦定理求出sinC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出C的度数，根据A和C的度数，利用内角和定理求出B的度数，根据B的度数判断出三角形的形状为直角三角形或等腰三角形，分别求出三角形的面积即可．
解答： 解：∵AB，BC分别是，的等差中项与等比中项，
∴AB=，BC=1，又A=30°，
根据正弦定理=得：sinC=，
∵C为三角形的内角，∴C=60°或120°，
当C=60°时，由A=30°，得到B=90°，即三角形为直角三角形，
则△ABC的面积为××1=；
当C=120°时，由A=30°，得到B=30°，即三角形为等腰三角形，
过C作出AB边上的高CD，交AB于点D，
在Rt△ACD中，AC=BC=1，A=30°，∴CD=，
则△ABC的面积为××=，
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综上，△ABC的面积为或．
故选C
点评： 此题考查了等差数列、等比数列的性质，正弦定理以及特殊角的三角函数值，利用数形结合及分类讨论的思想，由C的度数有两解，得到三角形的形状有两种，故求出的三角形面积有两解，不要漏解．
8．（5分）对于下列命题：
①已知i是虚数单位，函数f（x）=在R上连续，则实数a=2．
②五本书排成一排，若A、B、C三本书左右顺序一定（不一定相邻），那么不同排法有A33•A33
③如图，⊙O中的弦AB与直径CD相交于点p，M为DC延长线上一点，MN为⊙O的切线，N为切点，若AP=8，PB=6，PD=4，MC=6，则MN的长为2
④在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，曲线ρ=2sinθ 与ρcosθ=﹣1交点的极坐标为（，）
⑤设n=4cosxdx，则二项式（x﹣）n的展开式的常数项为6
其中假命题的序号是（ ）
A． ②⑤ B． ②③ C． ② D． ①④
考点： 命题的真假判断与应用．
专题： 坐标系和参数方程．
分析： ①利用•i=f（0），计算即可；
②采用插空法，依次插入即可；
③通过相交弦定理可得半径，利用勾股定理计算即可；
④利用平方关系可得ρ=，代回原式可得θ=π，进而可得结论；
⑤通过定积分的性质可得n=4，代入计算即可．
解答： 解：①•i==﹣1，
f（0）=a0﹣a=1﹣a，
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∵函数f（x）=在R上连续，
∴﹣1=1﹣a，即a=2，故正确；
②采用插空法，当A、B、C三本书左右顺序一定时（不一定相邻），
插入第4本书，有4中方法，
再插入第5本书，有5中方法，
∴不同排法有4×5=20种，故不正确；
③由相交弦定理可得：CP===12，
∴圆O的半径为：==8，
∵MN为⊙O的切线，
∴OM2=ON2+MN2，
∴MN2=OM2﹣ON2
=（OC+CM）2﹣ON2
=（8+6）2﹣82
=132，
∴MN==2，故正确；
④∵ρ=2sinθ，ρcosθ=﹣1，
∴sinθ=，cosθ=﹣，
∴sin2θ+cos2θ=（）2+（）2=1，
整理得：，
解得：ρ=，
∴sinθ=，cosθ=﹣，
又∵0≤θ＜2π，
∴θ=π，
∴交点的极坐标为（，），故正确；
⑤∵n=4cosxdx=4dsinx=4，
∴（x﹣）4的展开式的常数项为=6，故正确；
综上所述，只有②是假命题，
故选：C．
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点评： 本题是一道综合题，考查复数、排列组合、平面几何、极坐标、定积分与展开式等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．
二、填空题：（本大题每小题5分，满分30分）
9．（5分）若sin（π﹣α）=，且α的终边过点P（x，2），则x= ；tan（π+α）= ．
考点： 任意角的三角函数的定义．
专题： 计算题；三角函数的求值．
分析： 由sin（π﹣α）=，可得cosα=﹣，根据α的终边过点P（x，2），求出x，再求tan（π+α）=tanα=．
解答： 解：∵sin（π﹣α）=，
∴cosα=﹣，
∵α的终边过点P（x，2），
∴=﹣，x＜0，
∴x=，
∴tan（π+α）=tanα=，
故答案为：，．
点评： 本题考查任意角的三角函数的定义，考查诱导公式，考查学生的计算能力，比较基础．
10．（5分）已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，a4=，S4=12．则数列{an}的通项公式an= ﹣n ；n= 5 时，Sn最大．
考点： 等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： 由题意易得公差d和首项的方程组，解方程组可得通项公式，可得{an}的前5项均为正数，从第6项开始为负数，易得答案．
解答： 解：设等差数列{an}的公差为d，
则a4=a1+3d=，S4=4a1+d=12，
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解得a1=，d=﹣1
∴通项公式an=﹣n；
令≤0可得n≥，
∴等差数列{an}的前5项均为正数，从第6项开始为负数，
∴当n=5时，Sn最大．
故答案为：﹣n；5
点评： 本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．
11．（5分）函数y=Asinωxcosφ+Acosωxsinφ+2（A＞0，ω＞0，0＜φ＜2π）的图象如图，则ω= 3 ，φ= ．
考点： 二倍角的正弦；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
专题： 三角函数的图像与性质．
分析： 根据两角和的正弦公式化简解析式，由图象和周期公式求出ω的值，再把点（，2）代入解析式，根据正弦函数值求出φ的值．
解答： 解：由题意得，y=Asinωxcosφ+Acosωxsinφ+2=Asin（ωx+φ）+2，
由图得，T==，得T=，∴ω=3，
∵函数的图象过点（，2），∴Asin（ω×+φ）+2=2，
则sin（ω×+φ）=0，
∴3×+φ=kπ（k∈Z），解得φ=kπ﹣（k∈Z），
∵0＜φ＜2π，∴φ=，
故答案为：3；．
点评： 本题考查两角和的正弦公式，三角函数的周期公式，以及读图能力，属于中档题．
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12．（5分）（2015•天津模拟）函数y=loga（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则+的最小值为 8 ．
考点： 基本不等式．
专题： 计算题；压轴题．
分析： 由题意可得定点A（﹣2，﹣1），2m+n=1，把要求的式子化为 4++，利用基本不等式求得结果．
解答： 解：由题意可得定点A（﹣2，﹣1），又点A在直线mx+ny+1=0上，∴2m+n=1，
则+=+=4++≥4+2=8，当且仅当 时，
等号成立，
故答案为：8．
点评： 本题考查基本不等式的应用，函数图象过定点问题，把要求的式子化为 4++，是解题的关键．
13．（5分）（2014•和平区四模）如图，在正方形ABCD中，已知AB=2，M为BC的中点，若N为正方形内（含边界）任意一点，则的最大值是 6 ．
考点： 平面向量数量积的运算．
专题： 计算题；压轴题；数形结合．
分析： 在平面内建立合适的坐标系，将向量的数量积用坐标表示，再利用线性规划解决问题．
解答： 解：以A为坐标原点，以AD方向为x轴正方向，
以AB方向为y轴负方向建立坐标系，则=（1，﹣2）
设N点坐标为（x，y），则=（x，y），则0≤x≤2，﹣2≤y≤0
令Z==x﹣2y，
将A，B，C，D四点坐标依次代入得：
ZA=0，ZB=4，ZC=6，ZD=2
故Z=的最大值为6
故答案为：6
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点评： 向量的主要功能就是数形结合，将几何问题转化为代数问题，但关键是建立合适的坐标系，将向量用坐标表示，再将数量积运算转化为方程或函数问题．
14．（5分）已知函数（a是常数且a＞0）．对于下列命题：
①函数f（x）的最小值是﹣1；
②函数f（x）在R上是单调函数；
③若f（x）＞0在上恒成立，则a的取值范围是a＞1；
④对任意x1＜0，x2＜0且x1≠x2，恒有．
其中正确命题的序号是 ①③④ ．
考点： 函数的最值及其几何意义；函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题．
专题： 综合题．
分析： ①由图只需说明在点x=0处函数f（x）的最小值是﹣1；
②只需说明函数f（x）在R上的单调性即可；
③只需说明f（x）＞0在上恒成立，则当x=时，函数取得最小值，从而求得a的取值范围是a＞1；
④已知函数在（﹣∝，0）上的图象在[0，+∞）上是下凹的，所以任取两点连线应在图象的上方，故D正确．
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解答：
解：①由图只需说明在点x=0处函数f（x）的最小值是﹣1；故正确；
②由图象说明函函数f（x）在R上不是单调函数；故错；
③只需说明f（x）＞0在上恒成立，则当x=时，函数取得最小值，求得a的取值范围是a＞1；故正确；
④已知函数函数在（﹣∝，0）上的图象在[0，+∞）上是下凹的，所以任取两点连线应在图象的上方，
即f（ ）＜，故正确．
故答案为：①③④．
点评： 利用函数的图象研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值是常用的方法，解答本题的关键是图象法．
三、解答题（本大题共6小题，共80分.）
15．（13分）（2012•新泰市校级模拟）在数列{an}中，a1=3，an=﹣an﹣1﹣2n+1（n≥2且n∈N*）．
（1）求a2，a3的值；
（2）证明：数列{an+n}是等比数列，并求{an}的通项公式；
（3）求数列{an}的前n项和Sn．
考点： 数列的求和；等比关系的确定．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： （1）根据a1=3，an=﹣an﹣1﹣2n+1（n≥2且n∈N*），对n进行赋值，可求出a2，a3的值；
（2）直接利用等比数列的定义进行证明，然后利用等比数列性质求其通项公式即可；
（3）先求出数列{an}的通项公式，然后利用分组求和法进行求和即可．
解答： 解：（1）∵a1=3，an=﹣an﹣1﹣2n+1（n≥2，n∈N*），
∴a2=﹣a1﹣4+1=﹣6，a3=﹣a2﹣6+1=1．
（2）∵===﹣1，
∴数列{an+n}是首项为a1+1=4，公比为﹣1的等比数列．
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∴an+n=4•（﹣1）n﹣1，即an=4•（﹣1）n﹣1﹣n，
∴{an}的通项公式为an=4•（﹣1）n﹣1﹣n（n∈N*）．
（3）∵{an}的通项公式为an=4•（﹣1）n﹣1﹣n（n∈N*），
所以Sn=ak=[4•（﹣1）k﹣1﹣k]=[4•（﹣1）k﹣1﹣
=4×﹣
=2[1﹣（﹣1）n]﹣（n2+n）
=﹣﹣2（﹣1）n．
点评： 本题主要考查了数列的通项公式，以及等比数列的判定和数列的求和，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．
16．（13分）盒内含有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球，规定取出1个红色球得1分，取出一个白球得0分，取出一个黑球得﹣1分，现从盒内一次性取3个球．
（1）求取出的三个球得分之和恰为1分的概率
（2）设 ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ分布列和数学期望．
考点： 离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．
专题： 概率与统计．
分析： （1）分别求出“取出1个红色球，2个白色球”、“取出2个红色球，1个黑色球”的概率，从而求出3个球得分之和恰为1分的概率；
（2）ξ可能的取值为0，1，2，3，分别求出其概率，可得ξ分布列和数学期望．
解答： 解：（1）记“取出1个红色球，2个白色球”为事件A，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件B，
则P（A+B）=P（A）+P（B）=+=
（2）ξ可能的取值为0，1，2，3．
P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==
ξ的分布列为：
ξ 0 1 2 3
P
ξ的数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×=1．
点评： 本题考查离散型随机变量的期望与方差，互斥事件与对立事件的定义，考查学生的计算能力，属于中档题．
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17．（13分）已知向量=（sinx，cosx），=（cosx，﹣2cosx），﹣．
（Ⅰ）若∥，求x；
（Ⅱ）设f（x）=•，求f（x）的单调减区间；
（Ⅲ）函数f（x）经过平移后所得的图象对应的函数是否能成为奇函数？如果是，说出平移方案；如果否，说明理由．
考点： 平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题： 三角函数的图像与性质．
分析： （I）利用两个向量共线的性质求得 tan2x=﹣1，再由﹣＜x＜ 求得x的值．
（II）利用两个向量的数量积公式 化简 f（x）的解析式为 sin（2x﹣）﹣1，令 2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，即可求得函数的减区间．
（Ⅲ）将函数f（x）的图象向上平移1个单位，再向左平移（ k∈N） 个单位，或向右平移 （ k∈N） 个单位即可．
解答： 解：（I）若 ，则 sinx（sinx﹣2cosx）=cos2x，…（1分）
即﹣sin2x=cos2x，∴tan2x=﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
又∵﹣＜x＜，∴﹣＜2 x＜π，
∴2x=﹣，或 2x=，即 x=﹣ 或 x=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
（II）∴f（x）==2sinxcosx﹣2cos2x=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）﹣1，…（7分）
令 2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，解得kπ+≤x≤kπ+．
又 ，
∴f（x）的单调减区间时（﹣，﹣）、（ ，）．…（11分）
（Ⅲ）能，将函数f（x）的图象向上平移1个单位，再向左平移（ k∈N） 个单位，或向右平移 （ k∈N） 个单位，
即得函数 g（x）=sin2x的图象，而 g（x）为奇函数．…（13分）
点评： 本题主要考查两个向量共线的性质、两个向量的数量积公式，两角和差的正弦公式，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，属于中档题．
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18．（13分）已知函数f（x）=ln（x+2）﹣x2+bx+c
（Ⅰ）若函数f（x）在点x=1处的切线与直线3x+7y+2=0垂直，且f（﹣1）=0，求函数f（x）在区间[0，3]上的最小值；
（Ⅱ）若f（x）在区间[0，1]上为单调减函数，求b的取值范围．
考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；函数单调性的性质．
专题： 综合题；导数的综合应用．
分析： （Ⅰ）求导函数，利用函数f（x）在点x=1处的切线与直线3x+7y+2=0垂直，求得b的值，利用f（﹣1）=0，求得c的值，可得函数解析式，再确定函数f（x）在区间[0，3]上的单调性，即可求得f（x）在区间[0，3]上的最小值；
（Ⅱ）f（x）是减函数等价于≤0，即恒成立，求出右边函数的最小值，即可得到结论．
解答： 解：（Ⅰ）求导函数，可得
∵函数f（x）在点x=1处的切线与直线3x+7y+2=0垂直，
∴f′（1）=，∴，∴b=4
又f（﹣1）=ln（2﹣1）﹣1﹣4+c=0，∴c=5
∴f（x）=ln（x+2）﹣x2+4x﹣5，∴
由=0得x=
∴当x∈[0，]时，f′（x）≥0，f（x）单调递增
当x∈[，3]时，f′（x）≤0，f（x）单调递减
又f（0）=ln2+5，f（3）=ln5+8，所以f（x）在[0，3]最小值为ln2+5；
（Ⅱ）因为f（x）是减函数，所以≤0，即恒成立
令t=，则t′=2+，
∴t=，在[0，1]上单调递增
∴tmin=﹣
所以当b≤﹣时，f（x）在区间[0，1]上单调递减．
点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查函数的单调性，考查分离参数法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
19．（14分）（2011•淮南一模）设函数f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）．
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（1）若在定义域内存在x0，而使得不等式f（x0）﹣m≤0能成立，求实数m的最小值；
（2）若函数g（x）=f（x）﹣x2﹣x﹣a在区间（0，2]上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围．
考点： 利用导数研究函数的单调性．
分析： （1）依题意得，求m的最小值，就是求f（x）的最小值，利用导数研究函数的单调性，可以得到f（x）在（﹣1，0）上为减函数，f（x）在（0，+∞）为增函数，即f（x）的最小值为f（0）=1，所以m的最小值为1
（2）解出g（x）=x+1﹣2ln（x+1）﹣a，原题设即方程1+x﹣2ln（1+x）=a在区间[0，2]上恰有两个相异实根，令h（x）=1+x﹣2ln（1+x），这时只需解出h（x）在[0，2]上的值域，画出图象，可以得出a的取值范围．
解答： 解：（1）要使得不等式f（x0）﹣m≤0能成立，只需m≥f（x）max．
求导得f′（x）=2（1+x）﹣2，定义域为（﹣1，+∞），
∵当x∈（﹣1，0）时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）在区间（﹣1，0）上是减函数；
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．
∴f（x）mix=f（0）=1，∴m≥1．故实数m的最小值为1．
（2）由f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）得：
g（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）﹣（x2+x+a）=x+1﹣2ln（x+1）﹣a
原题设即方程1+x﹣2ln（1+x）=a在区间[0，2]上恰有两个相异实根．
设h（x）=（1+x）﹣2ln（1+x）．∵h′（x）=1﹣，列表如下：
∵h（0）﹣h（2）=1﹣（3﹣2ln3）=2（ln3﹣1）＞2（lne﹣1）=0，∴h（0）＞h（2）．
从而有h（x）max=1，h（x）min=2﹣2ln2
画出函数h（x）在区间[0，2]上的草图（如图）
易知要使方程h（x）=a在区间（0，2]上恰有两个相异实根，
只需：2﹣2ln2＜a≤3﹣2ln3，
即：a∈（2﹣2ln2，3﹣2ln3]．
点评： 本题考查利用导数研究函数的单调性，本题比较新颖的地方是，求解（2）中的a的取值范围，经过等价变换，只需求h（x）=（1+x）﹣2ln（1+x）的值域，再根据图象，解出a的取值范围．在教学中，多加强训练和指导，以便掌握其要领．
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20．（14分）已知f（x）是定义在R上的函数，f（1）=1，且∀x1，x2∈R，总有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1恒成立．
（Ⅰ）记g（x）=f（x）+1，求证：g（x）是奇函数；
（Ⅱ）对∀n∈N*，有an=，bn=f（）+1，记cn=，求{cn}的前n项和Sn；
（Ⅲ）求F（n）=an+1+an+2+…+a2n（n≥2，n∈N）的最小值．
考点： 数列的应用；函数单调性的判断与证明；抽象函数及其应用；数列的求和．
专题： 函数的性质及应用；点列、递归数列与数学归纳法．
分析： （1）令x1=x2=0得f（0）=﹣1，再令x1=x，x2=﹣x，得g（x）=f（x）+1是奇函数．
（2）令x1=n，x2=1，得f（n）=2n﹣1，从而cn=，计算即可．
（3）通过计算可知F（n+1）＞F（n），又n≥2，从而得出结果．
解答： 解：（1）证明：f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，
令x1=x2=0得f（0）=﹣1，
再令x1=x，x2=﹣x，得f（0）=f（x）+f（﹣x）+1．
故f（﹣x）+1=﹣[f（x）+1]，从而g（x）=f（x）+1是奇函数；
（2）令x1=n，x2=1，得f（n+1）=f（n）+2，
故f（n）=2n﹣1，
从而，，
又cn=，
Sn=①
=②
由①﹣②得Sn=；
（3）∵F（n+1）﹣F（n）=a2n+1+a2n+2﹣an+1
=
∴F（n+1）＞F（n）．
又n≥2，
故F（n）的最小值为．
点评： 本题考查抽象函数的奇偶性，以及数列的求和，需要一定的计算能力，属于中档题．
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