广东省潮州市绵德中学2015届高三数学上学期期中试卷 理（含解析）.doc

潮州市2015届高三数学第一学期期中试卷（理科带解析）‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）已知集合A={x|x＞0}，B={x|﹣4＜x＜1}，则A∩B等于（）‎ ‎ A． （1，+∞） B． （0，1） C． （﹣4，1） D． （﹣∞，﹣4）‎ ‎2．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）‎ ‎ A． 命题“若x2=1，则x=‎1”‎的否命题为：“若x2=1，则x≠‎‎1”‎ ‎ B． 若p∨q真命题，则p、q均为真命题 ‎ C． 命题“存在x∈R，使得x2+x+1＜‎0”‎的否定是：“对任意x∈R，均有x2+x+1＜‎‎0”‎ ‎ D． “x=y”是“sinx=siny”的充分不必要条件 ‎3．（5分）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）‎ ‎ A． =0.4x+2.3 B． =2x﹣‎2.4 ‎C． =﹣2x+9.5 D． =﹣0.3x+4.4‎ ‎4．（5分）若变量x，y满足约束条件的最大值和最小值分别为M和m，则M﹣m=（）‎ ‎ A． 8 B． ‎7 ‎C． 6 D． 5‎ ‎5．（5分）如图是某体育比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）‎ ‎ A． 5和1.6 B． 85和‎1.6 ‎C． 85和0.4 D． 5和0.4‎ ‎6．（5分）函数f（x）=sin（2x+）是（）‎ ‎ A． 奇函数且在[0，]上单调递增 B． 偶函数且在[0，]上单调递增 ‎ C． 奇函数且在[，π]上单调递增 D． 偶函数且在[，π]上单调递增 ‎7．（5分）已知x、y都是区间[0，]内任取的一个实数，则使得y≤sinx的取值的概率是（）‎ - 16 -‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎8．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，当x＞0时，有＞0成立，则不等式f（x）＞0的解集是（）‎ ‎ A． （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B． （﹣1，0） C． （1，+∞） D． （﹣1，0）∪（1，+∞）‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎9．（5分）（x﹣2）6的展开式中x3的系数是．（用数字作答）‎ ‎10．（5分）函数f（x）=ln（x2﹣x）的定义域为．‎ ‎11．（5分）随机变量ξ的分布列如下表：‎ ξ ﹣1 0 1‎ ‎ P a b c 其中a，b，c成等差数列且a=，则E（ξ）=．‎ ‎12．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=．‎ ‎13．（5分）各大学在2015届高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的6个专业A，B，C，D，E，F中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中A，B两个专业不能同时兼报，且若考生选择A专业，则A专业只能填报为第一专业志愿，则该考生不同的填报专业志愿的方法有 种．‎ ‎14．（5分）已知M是△ABC内的一点，且，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为的最小值为．‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤）‎ ‎15．（12分）已知函数，x∈R．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，，求．‎ - 16 -‎ ‎16．（13分）某班同学利用五一节进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念，则称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：‎ 组数 分组 低碳族 的人数 占本组 的频率 ‎1 [25，30） 120 0.6‎ ‎2 [30，35） 195 P ‎3 [35，40） 100 0.5‎ ‎4 [40，45） a 0.4‎ ‎5 [45，50） 30 0.3‎ ‎6 [50，55） 15 0.3‎ ‎（1）请补全频率分布直方图，并求n、a、p的值；‎ ‎（2）在所得样本中，从[40，50）岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40，45）岁的人数为X，求X的分布列和数学期望EX．‎ ‎17．（13分）已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x﹣，x∈R．‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的解析式，最小值和最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）已知△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=3，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与=（2，sinB）共线，求a、b的值．‎ ‎18．（14分）在某社区举办的《119消防知识有奖问答比赛》中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关消防知识的问题，已知甲回答对这道题的概率是，甲、丙两人都回答错的概率是，乙、丙两人都回答对的概率是．‎ ‎（Ⅰ）求乙、丙两人各自回答对这道题的概率．‎ ‎（Ⅱ）求甲、乙、丙三人中只有乙回答对该题的概率．‎ ‎（Ⅲ）记甲、乙、丙三人中答对该题的人数为随机变量ξ，求随机变量ξ的期望．‎ ‎19．（14分）已知函数f（x）=x2﹣2lnx，h（x）=x2﹣x+a．‎ ‎（1）求函数f（x）的单调区间；‎ - 16 -‎ ‎（2）设函数k（x）=f（x）﹣h（x），若函数k（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．‎ ‎20．（14分）已知函数f（x）=ex﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．‎ ‎（1）求a的值及函数f（x）的极值；‎ ‎（2）证明：当x＞0时，x2＜ex；‎ ‎（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x2＜cex．‎ 广东省潮州市绵德中学2015届高三上学期期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）已知集合A={x|x＞0}，B={x|﹣4＜x＜1}，则A∩B等于（）‎ ‎ A． （1，+∞） B． （0，1） C． （﹣4，1） D． （﹣∞，﹣4）‎ 考点： 交集及其运算． ‎ 专题： 集合．‎ 分析： 直接利用交集运算得答案．‎ 解答： 解：∵A={x|x＞0}，B={x|﹣4＜x＜1}，‎ 则A∩B={x|x＞0}∩{x|﹣4＜x＜1}=（0，1）．‎ 故选：B．‎ 点评： 本题考查了交集及其运算，是基础的会考题型．‎ ‎2．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）‎ ‎ A． 命题“若x2=1，则x=‎1”‎的否命题为：“若x2=1，则x≠‎‎1”‎ ‎ B． 若p∨q真命题，则p、q均为真命题 ‎ C． 命题“存在x∈R，使得x2+x+1＜‎0”‎的否定是：“对任意x∈R，均有x2+x+1＜‎‎0”‎ ‎ D． “x=y”是“sinx=siny”的充分不必要条件 考点： 命题的真假判断与应用． ‎ 专题： 简易逻辑．‎ 分析： A，写出命题“若x2=1，则x=‎1”‎的否命题再判断其真假即可 B，利用“或”命题的判断规律可判断B的正误；‎ C，写出命题“存在x∈R，使得x2+x+1＜‎0”‎的否定后，即可判断其真假；‎ D，利用充分必要条件的概念及应用可从充分性与必要性两个方面判断D的正误．‎ 解答： 解：A：命题“若x2=1，则x=‎1”‎的否命题为：“若x2≠1，则x≠‎1”‎，故A错误；‎ B：若p∨q真命题，则p、q中至少有一个为真命题，故B错误；‎ C：命题“存在x∈R，使得x2+x+1＜‎0”‎的否定是：“对任意x∈R，均有x2+x+1≥‎0”‎，故C错误；‎ D：x=y⇒sinx=siny，充分性成立；反之，sinx=siny，不能⇒x=y；‎ 即“x=y”是“sinx=siny”的充分不必要条件，故D正确；‎ - 16 -‎ 故选：D．‎ 点评： 本题考查命题的真假判断与应用，着重考查四种命题之间的关系与充分必要条件的概念、复合命题的真假判断，考查转化思想．‎ ‎3．（5分）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）‎ ‎ A． =0.4x+2.3 B． =2x﹣‎2.4 ‎C． =﹣2x+9.5 D． =﹣0.3x+4.4‎ 考点： 线性回归方程． ‎ 专题： 计算题；概率与统计．‎ 分析： 变量x与y正相关，可以排除C，D；样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线方程．‎ 解答： 解：∵变量x与y正相关，‎ ‎∴可以排除C，D；‎ 样本平均数=3，=3.5，代入A符合，B不符合，‎ 故选：A．‎ 点评： 本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．‎ ‎4．（5分）若变量x，y满足约束条件的最大值和最小值分别为M和m，则M﹣m=（）‎ ‎ A． 8 B． ‎7 ‎C． 6 D． 5‎ 考点： 简单线性规划． ‎ 专题： 数形结合；不等式的解法及应用．‎ 分析： 由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．‎ 解答： 解：由约束条件作出可行域如图，‎ - 16 -‎ 化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，‎ 由图可知，当直线y=﹣2x+z过A（﹣1，﹣1）时目标函数有最小值为m=﹣3，‎ 当直线y=﹣2x+z过B（2，﹣1）时目标函数有最大值为M=2×2﹣1=3．‎ ‎∴M﹣m=6．‎ 故选：C．‎ 点评： 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．‎ ‎5．（5分）如图是某体育比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）‎ ‎ A． 5和1.6 B． 85和‎1.6 ‎C． 85和0.4 D． 5和0.4‎ 考点： 茎叶图；众数、中位数、平均数． ‎ 专题： 图表型．‎ 分析： 根据均值与方差的计算公式，分布计算出所剩数据的平均数和方差分即可．‎ 解答： 解：根据题意可得：评委为某选手打出的分数还剩84，84，84，86，87，‎ 所以所剩数据的平均数为=85，‎ 所剩数据的方差为[（84﹣85）2+（84﹣85）2+（86﹣85）2+（84﹣85）2+（87﹣85）2]=1.6．‎ 故选B．‎ 点评： 本题考查茎叶图、平均数和方差，对于一组数据通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数，方差，它们分别表示一组数据的特征，这样的问题可以出现在选择题或填空题．‎ ‎6．（5分）函数f（x）=sin（2x+）是（）‎ ‎ A． 奇函数且在[0，]上单调递增 B． 偶函数且在[0，]上单调递增 ‎ C． 奇函数且在[，π]上单调递增 D． 偶函数且在[，π]上单调递增 考点： 正弦函数的单调性． ‎ 专题： 三角函数的图像与性质．‎ 分析： 由条件利用诱导公式、余弦函数的单调性和奇偶性，可得结论．‎ 解答： 解：由于函数f（x）=sin（2x+）=cos2x，故它是偶函数，‎ 当x∈[，π]时，2x∈[π，2π]，此时f（x）是增函数，‎ - 16 -‎ 故选：D．‎ 点评： 本题主要考查诱导公式，余弦函数的单调性和奇偶性，属于基础题．‎ ‎7．（5分）已知x、y都是区间[0，]内任取的一个实数，则使得y≤sinx的取值的概率是（）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ 考点： 几何概型；定积分． ‎ 专题： 概率与统计．‎ 分析： 根据几何概型的概率公式，结合积分的应用求出对应的面积即可得到结论．‎ 解答： 解：此题为几何概型，事件A的度量为函数y=sinx的图象在内与x轴围成的图形的面积，‎ 即，则事件A的概率为，‎ 故选A 点评： 本题主要考查几何概型的概率计算以及利用积分求面积，要求熟练掌握几何概型的求解方法．‎ ‎8．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，当x＞0时，有＞0成立，则不等式f（x）＞0的解集是（）‎ ‎ A． （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B． （﹣1，0） C． （1，+∞） D． （﹣1，0）∪（1，+∞）‎ 考点： 利用导数研究函数的单调性． ‎ 专题： 导数的综合应用．‎ 分析： 先根据=＞0，判断的单调性，进而分别看x＞1和0＜x＜1时f（x）与0的关系．再根据函数的奇偶性判断﹣1＜x＜0和x＜﹣1时f（x）与0的关系，最后去x的并集即可得到答案．‎ 解答： 解：∵=＞0，‎ 即x＞0时，是增函数 当x＞1时＞f（1）=0，f（x）＞0；‎ - 16 -‎ ‎0＜x＜1时，＜f（1）=0，f（x）＜0．‎ 又f（x）是奇函数，‎ 所以﹣1＜x＜0时，f（x）=﹣f（﹣x）＞0；‎ x＜﹣1时f（x）=﹣f（﹣x）＜0．‎ 则不等式f（x）＞0的解集是（﹣1，0）∪（1，+∞）‎ 故选：D．‎ 点评： 本题主要考查了函数单调性与奇偶性的应用．在判断函数的单调性时，常可利用导函数来判断．‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎9．（5分）（x﹣2）6的展开式中x3的系数是﹣160．（用数字作答）‎ 考点： 二项式定理． ‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 根据题意，由二项式定理可得（x﹣2）6的展开式的通项，令x的系数为3，可得r=3，将r=3代入通项，计算可得T4=﹣160x3，即可得答案．‎ 解答： 解：根据题意，（x﹣2）6的展开式的通项为Tr+1=C6rx6﹣r（﹣2）r=（﹣1）r•2r•C6rx6﹣r，‎ 令6﹣r=3可得r=3，‎ 此时T4=（﹣1）3•23•C63x3=﹣160x3，即x3的系数是﹣160；‎ 故答案为﹣160．‎ 点评： 本题考查二项式定理的应用，关键要得到（x﹣2）6的展开式的通项．‎ ‎10．（5分）函数f（x）=ln（x2﹣x）的定义域为（﹣∞，0）∪（1，+∞）．‎ 考点： 函数的定义域及其求法． ‎ 专题： 函数的性质及应用．‎ 分析： 根据对数函数成立的条件，即可得到结论．‎ 解答： 解：要使函数f（x）有意义，则x2﹣x＞0，解得x＞1或x＜0，‎ 即函数的定义域为（﹣∞，0）∪（1，+∞），‎ 故答案为：（﹣∞，0）∪（1，+∞）‎ 点评： 本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．‎ ‎11．（5分）随机变量ξ的分布列如下表：‎ ξ ﹣1 0 1‎ ‎ P a b c 其中a，b，c成等差数列且a=，则E（ξ）=．‎ 考点： 离散型随机变量的期望与方差． ‎ 专题： 概率与统计．‎ 分析： 通过等差数列以及概率和为1，求出b、c，然后求解期望．‎ - 16 -‎ 解答： 解：由题意可知：，2b=，‎ 解得：b=，c=，‎ ‎∴E（ξ）=﹣1×+0×+1×=‎ 故答案为：．‎ 点评： 本题考查等差数列以及离散型随机变量的分布列的期望的求法，基本知识的考查．‎ ‎12．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=2．‎ 考点： 平面向量数量积的运算． ‎ 专题： 平面向量及应用．‎ 分析： 根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得要求的式子为（）•（），再根据两个向量垂直的性质，运算求得结果．‎ 解答： 解：∵已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则 =0，‎ 故 =（ ）•（）=（）•（）=﹣+﹣=4+0﹣0﹣=2，‎ 故答案为 2．‎ 点评： 本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量垂直的性质，属于中档题．‎ ‎13．（5分）各大学在2015届高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的6个专业A，B，C，D，E，F中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中A，B两个专业不能同时兼报，且若考生选择A专业，则A专业只能填报为第一专业志愿，则该考生不同的填报专业志愿的方法有72 种．‎ 考点： 排列、组合及简单计数问题． ‎ 专题： 排列组合．‎ 分析： 分类讨论，分别求出甲、乙都不选、甲、乙两个专业选1个时的报名方法，根据分类计数原理，可得结论．‎ 解答： 解：甲、乙都不选时，有=24种；选甲不选乙时，有=12种，选乙不选甲时有=36种，‎ 根据分类计数原理，可得共有24+12+36=72种不同的填报专业志愿的方法．‎ 故答案为．72‎ - 16 -‎ 点评： 本题考查计数原理的运用，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎14．（5分）已知M是△ABC内的一点，且，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为的最小值为18．‎ 考点： 基本不等式在最值问题中的应用；向量在几何中的应用． ‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 利用向量的数量积的运算求得bc的值，利用三角形的面积公式求得x+y的值，进而把 +转化成2（ +）×（x+y），利用基本不等式求得 +的最小值．‎ 解答： 解：由已知得 =bccos∠BAC=2 ⇒bc=4，‎ 故S△ABC=x+y+=bcsinA=1⇒x+y=，‎ 而 +=2（ +）×（x+y）‎ ‎=2（5++）≥2（5+2 ）=18，‎ 故答案为：18．‎ 点评： 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，向量的数量积的运算．要注意灵活利用y=ax+的形式．‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤）‎ ‎15．（12分）已知函数，x∈R．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，，求．‎ 考点： 二倍角的正弦；两角和与差的余弦函数． ‎ 专题： 三角函数的求值；三角函数的图像与性质．‎ 分析： （1）把x=﹣直接代入函数解析式求解．‎ ‎（2）先由同角三角函数的基本关系求出sinθ的值以及sin2θ，然后将x=2θ+代入函数解析式，并利用两角和与差公式求得结果．‎ 解答： 解：（1）‎ - 16 -‎ ‎（2）因为，‎ 所以 所以，‎ 所以=‎ 点评： 本题主要考查了特殊角的三角函数值的求解，考查了和差角公式的运用，属于知识的简单综合，要注意角的范围．‎ ‎16．（13分）某班同学利用五一节进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念，则称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：‎ 组数 分组 低碳族 的人数 占本组 的频率 ‎1 [25，30） 120 0.6‎ ‎2 [30，35） 195 P ‎3 [35，40） 100 0.5‎ ‎4 [40，45） a 0.4‎ ‎5 [45，50） 30 0.3‎ ‎6 [50，55） 15 0.3‎ ‎（1）请补全频率分布直方图，并求n、a、p的值；‎ ‎（2）在所得样本中，从[40，50）岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40，45）岁的人数为X，求X的分布列和数学期望EX．‎ 考点： 离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列． ‎ 专题： 计算题．‎ - 16 -‎ 分析： （I）由题意及统计图表，利用图表性质得第二组的频率为1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，在有频率定义知高为，在有频率分布直方图会全图形即可；‎ ‎（II）由题意及（I）因为[40，45）岁年龄段的“低碳族”与[45，50）岁年龄段的“低碳族”的比值为60：30=2：1，所以采用分层抽样法抽取18人，[40，45）岁中有12人，[45，50）岁中有6人，并且由题意分出随机变量X服从超几何分布，利用分布列定义可以求出分布列，并利用分布列求出期望．‎ 解答： 解：（Ⅰ）第二组的频率为1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，所以高为．‎ 频率直方图如下：‎ 第一组的人数为，频率为0.04×5=0.2，所以．‎ 由题可知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为1000×0.3=300，所以．‎ 第四组的频率为0.03×5=0.15，所以第四组的人数为1000×0.15=150，所以a=150×0.4=60．‎ ‎（Ⅱ）因为[40，45）岁年龄段的“低碳族”与[45，50）岁年龄段的“低碳族”的比值为60：30=2：1，所以采用分层抽样法抽取18人，[40，45）岁中有12人，[45，50）岁中有6人．‎ 随机变量X服从超几何分布．，，，．‎ 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3‎ P ‎ - 16 -‎ ‎∴数学期望．‎ 点评： 此题考查了频率分布直方图及其性质，还考查了统计中的分层抽样及离散型随机变量的定义及分布列，并考查了应用其分布列求其期望，重在考查学生的理解及计算能力．‎ ‎17．（13分）已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x﹣，x∈R．‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的解析式，最小值和最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）已知△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=3，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与=（2，sinB）共线，求a、b的值．‎ 考点： 正弦定理；三角函数的化简求值；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域． ‎ 专题： 计算题．‎ 分析： （Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为 sin（2x﹣）﹣1，由此求出最小值和周期．‎ ‎（Ⅱ）由f（C）=0可得sin（‎2C﹣）=1，再根据C的范围求出角C的值，根据两个向量共线的性质可得 sinB﹣2sinA=0，再由正弦定理可得 b=‎2a．再由余弦定理得9=，求出a，b的值．‎ 解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）==﹣﹣1=sin（2x﹣）﹣1，‎ ‎∴f（x）的最小值为﹣2，最小正周期为π．…（5分）‎ ‎（Ⅱ）∵f（C）=sin（‎2C﹣）﹣1=0，即 sin（‎2C﹣）=1，‎ 又∵0＜C＜π，﹣＜‎2C﹣＜，∴‎2C﹣=，∴C=． …（7分）‎ ‎∵向量与共线，∴sinB﹣2sinA=0．‎ 由正弦定理 ，得 b=‎2a，①…（9分）‎ ‎∵c=3，由余弦定理得9=，②…（11分）‎ 解方程组①②，得 a= b=2． …（13分）‎ 点评： 本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的周期性、定义域和值域，两个向量共线的性质，正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．‎ - 16 -‎ ‎18．（14分）在某社区举办的《119消防知识有奖问答比赛》中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关消防知识的问题，已知甲回答对这道题的概率是，甲、丙两人都回答错的概率是，乙、丙两人都回答对的概率是．‎ ‎（Ⅰ）求乙、丙两人各自回答对这道题的概率．‎ ‎（Ⅱ）求甲、乙、丙三人中只有乙回答对该题的概率．‎ ‎（Ⅲ）记甲、乙、丙三人中答对该题的人数为随机变量ξ，求随机变量ξ的期望．‎ 考点： 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． ‎ 专题： 概率与统计．‎ 分析： （1）记“甲回答对这道题”、“乙回答对这道题”、“丙回答对这道题”分别为事件A、B、C，则P（A）=，且有，由此能求出乙、丙两人各自回答对这道题的概率．‎ ‎（2）由（1）知P（）=1﹣P（A）=，，由此能求出甲、乙、丙三人中只有乙回答对该题的概率．‎ ‎（3）ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的期望．‎ 解答： （本题满分14分）‎ 解：（1）记“甲回答对这道题”、“乙回答对这道题”、“丙回答对这道题”分别为事件A、B、C，（1分）‎ 则P（A）=，且有，（3分）‎ 即，‎ 解得P（B）=，P（C）=．（5分）‎ ‎（2）由（1）知P（）=1﹣P（A）=，‎ 记甲、乙、丙三人中只有乙回答对该题为事件M，所以．（7分）‎ ‎（3）ξ的可能取值为0，1，2，3，（8分）‎ ‎，‎ ‎，‎ - 16 -‎ ‎，‎ ‎（12分）‎ ‎∴．（14分）‎ 点评： 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年2015届高考中都是必考题型．‎ ‎19．（14分）已知函数f（x）=x2﹣2lnx，h（x）=x2﹣x+a．‎ ‎（1）求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）设函数k（x）=f（x）﹣h（x），若函数k（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．‎ 考点： 利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理． ‎ 专题： 导数的综合应用．‎ 分析： （1）先求出函数的定义域，再求导，根据导数和函数的单调性的关系，即可求出单调区间，‎ ‎（2）分类讨论，分离参数，即可求实数a的取值范围．‎ 解答： 解：（1）由f（x）=x2﹣2lnx，得f（x）的定义域为（0，+∞），‎ ‎∴；‎ 则由f'（x）＞0且x＞0，得x＞1；‎ 由f'（x）＜0且x＞0，得0＜x＜1；‎ 所以，f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；‎ ‎（2）∵，‎ 若k′（x）=0，则x=2，‎ 当x∈[1，2）时，k′（x）＜0；当x∈（2，3]时，k′（x）＞0．‎ 故k（x）在x∈[1，2）上递减，在（2，3]上递增，‎ ‎∴．‎ 所以实数 a的取值范围是（2﹣2ln2，3﹣2ln3]‎ 点评： 本题考查函数的单调区间的求法，不等式的解法，考查函数的零点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎20．（14分）已知函数f（x）=ex﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．‎ ‎（1）求a的值及函数f（x）的极值；‎ ‎（2）证明：当x＞0时，x2＜ex；‎ ‎（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x2＜cex．‎ - 16 -‎ 考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性． ‎ 专题： 综合题；导数的综合应用．‎ 分析： （1）利用导数的几何意义求得a，再利用导数的符号变化可求得函数的极值；‎ ‎（2）构造函数g（x）=ex﹣x2，求出导数，利用（1）问结论可得到函数的符号，从而判断g（x）的单调性，即可得出结论；‎ ‎（3）令x0=，利用（2）的结论，得ex＞x2＞x，即x＜cex．即得结论成立．‎ 解答： 解：（1）由f（x）=ex﹣ax，得f′（x）=ex﹣a．‎ 又f′（0）=1﹣a=﹣1，解得a=2，‎ ‎∴f（x）=ex﹣2x，f′（x）=ex﹣2．‎ 由f′（x）=0，得x=ln2，‎ 当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；‎ ‎∴当x=ln2时，f（x）有极小值为f（ln2）=eln2﹣2ln2=2﹣ln4．f（x）无极大值．‎ ‎（2）令g（x）=ex﹣x2，则g′（x）=ex﹣2x，‎ 由（1）得，g′（x）=f（x）≥f（ln2）=eln2﹣2ln2=2﹣ln4＞0，即g′（x）＞0，‎ ‎∴当x＞0时，g（x）＞g（0）＞0，即x2＜ex；‎ ‎（3）对任意给定的正数c，总存在x0=＞0．‎ 当x∈（x0，+∞）时，由（2）得ex＞x2＞x，即x＜cex．‎ ‎∴对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x2＜cex．‎ 点评： 该题主要考查导数的几何意义、导数的运算及导数的应用等基础知识，考查学生的运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力，考查函数与方程思想、有限与无限思想、化归与转化思想．属难题．‎ - 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