广东省东莞市南开实验学校2015届高三数学上学期期中试卷 理（含解析）.doc

东莞市2015届高三数学上学期期中试题（理科附解析）‎ 一．选择题（5*8=40分）‎ ‎1．（5分）设集合，B={（x，y）|y=3x}，则A∩B的子集的个数是（）‎ ‎ A． 4 B． ‎3 ‎C． 2 D． 1‎ ‎2．（5分）log2+log2cos的值为（）‎ ‎ A． ﹣2 B． ﹣‎1 ‎C． 2 D． 1‎ ‎3．（5分）已知x，y∈R，则“x+y=‎1”‎是“xy≤”的（）‎ ‎ A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 ‎ C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎4．（5分）已知函数f（x）=，则有（）‎ ‎ A． 函数f（x）的图象关于直线x=对称 ‎ B． 函数f（x）的图象关关于点（，0）对称 ‎ C． 函数f（x）的最小正周期为 ‎ D． 函数f（x）在区间（0，π）内单调递减 ‎5．（5分）已知0＜a＜b＜1，则（）‎ ‎ A． ＞ B． （）a＜（）b C． （lga）2＜（lgb）2 D． ＞‎ ‎6．（5分）已知函数f（x）=x2+2cosx，若f′（x）是f（x）的导函数，则函数f′（x）在原点附近的图象大致是（）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ - 23 -‎ ‎7．（5分）已知函数f（x）=，若对任意的x∈R，不等式f（x）≤m2﹣m恒成立，则实数m的取值范围是（）‎ ‎ A． （﹣∞，﹣] B． （﹣∞，﹣]∪[1，+∞） C． [1，+∞） D． [﹣，1]‎ ‎8．（5分）已知方程=k在（0，+∞）上有两个不同的解α、β（α＜β），则下列的四个命题正确的是（）‎ ‎ A． sin2α=2αcos2α B． cos2α=2αsin2α ‎ C． sin2β=﹣2βsin2β D． cos2β=﹣2βsina2β 二．填空题（6*5=30分）（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答．‎ ‎9．（5分）若=．‎ ‎10．（5分）如图是函数在一个周期内的图象，则阴影部分的面积是．‎ ‎11．（5分）若，则的最大值为．‎ ‎12．（5分）已知函数f（x）=x+sinx（x∈R），且f（y2﹣2y+3）+f（x2﹣4x+1）≤0，则当y≥l时，的取值范围是．‎ ‎13．（5分）设x，y，z为空间不同的直线或不同的平面，且直线不在平面内，下列说法中能保证“若x⊥z，y⊥z，则x∥y”为真命题的序号有．（把所有的真命题全填上）‎ ‎①x为直线，y，z为平面；‎ ‎②x，y，z都为平面；‎ ‎③x，y为直线，z为平面；‎ ‎④x，y，z都为直线；‎ ‎⑤x，y为平面，z为直线．‎ - 23 -‎ 三、选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计前一题的得分。【坐标系与参数方程选做题】‎ ‎14．（5分）在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l与曲线C：，（α为参数）交于A，B两点，且|AB|=2，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是．‎ ‎（几何证明选讲选做题）‎ ‎15．已知⊙O1和⊙O2交于点C和D，⊙O1上的点P处的切线交⊙O2于A、B点，交直线CD于点E，M是⊙O2上的一点，若PE=2，EA=1，∠AMB=45°，那么⊙O2的半径为．‎ 三.解答或证明题 ‎16．（12分）已知锐角△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=6，向量=（2sinC，﹣），=（cos‎2C，2cos2﹣1），且∥．‎ ‎（1）求C的大小；‎ ‎（2）若，求的值．‎ ‎17．（13分）一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设袋子中的每一个球被摸到可能性是相等的．‎ ‎（Ⅰ）从袋子中任意摸出3个球，求摸出的球均为白球的概率；‎ ‎（Ⅱ）一次从袋子中任意摸出3个球，若其中红球的个数多于白球的个数，则称“摸球成功”（每次操作完成后将球放回）．某人连续摸了3次，记“摸球成功”的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．‎ ‎18．（13分）如图1，AD是直角△ABC斜边上的高，沿AD把△ABC的两部分折成直二面角（如图2），DF⊥AC于F．‎ ‎（Ⅰ）证明：BF⊥AC；‎ ‎（Ⅱ）设∠DCF=θ，AB与平面BDF所成的角为α，二面角B﹣FA﹣D的大小为β，试用tanθ， cosβ表示tanα；‎ - 23 -‎ ‎（Ⅲ）设AB=AC，E为AB的中点，在线段DC上是否存在一点P，使得DE∥平面PBF？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎19．（14分）如图，点P（0，﹣1）是椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径，l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A、B两点，l2交椭圆C1于另一点D．‎ ‎（1）求椭圆C1的方程；‎ ‎（2）求△ABD面积的最大值时直线l1的方程．‎ ‎20．（14分）如图，实线部分的月牙形公园是由圆P上的一段优弧和圆Q上的一段劣弧围成，圆P和圆Q的半径都是‎2km，点P在圆Q上，现要在公园内建一块顶点都在圆P上的多边形活动场地．‎ ‎（1）如图甲，要建的活动场地为△RST，求场地的最大面积；‎ - 23 -‎ ‎（2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD，求场地的最大面积．‎ ‎21．（14分）函数的导数为0的点称为函数的驻点，若点（1，1）为函数f（x）的驻点，则称f（x）具有“1﹣1驻点性”．‎ ‎（1）设函数f（x）=﹣x+2+alnx，其中a≠0．‎ ‎①求证：函数f（x）不具有“1﹣1驻点性”‎ ‎②求函数f（x）的单调区间 ‎（2）已知函数g（x）=bx3+3x2+cx+2具有“1﹣1驻点性”，给定x1，x2∈R，x1＜x2，设λ为实数，且λ≠﹣1，α=，β=，若|g（α）﹣g（β）|＞|g（x1）﹣g（x2）|，求λ的取值范围．‎ 广东省东莞市南开实验学校2015届高三上学期期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 一．选择题（5*8=40分）‎ ‎1．（5分）设集合，B={（x，y）|y=3x}，则A∩B的子集的个数是（）‎ ‎ A． 4 B． ‎3 ‎C． 2 D． 1‎ 考点： 交集及其运算；子集与真子集． ‎ 专题： 数形结合．‎ 分析： 由题意集合，B={（x，y）|y=3x}，画出A，B集合所表示的图象，看图象的交点，来判断A∩B的子集的个数．‎ 解答： 解：∵集合，‎ ‎∴为椭圆和指数函数y=3x图象，‎ 如图，可知其有两个不同交点，记为A1、A2，‎ 则A∩B的子集应为∅，{A1}，{A2}，{A1，A2}共四种，‎ 故选A．‎ - 23 -‎ 点评： 此题利用数形结合的思想来求解，主要考查集合和交集的定义及其运算法则，是一道不错的题．‎ ‎2．（5分）log2+log2cos的值为（）‎ ‎ A． ﹣2 B． ﹣‎1 ‎C． 2 D． 1‎ 考点： 对数的运算性质． ‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 利用对数的运算法则进行计算即可．先结合对数运算法则：loga（MN）=logaM+logaN，利用二倍角的正弦公式将两个对数式的和化成一个以2为底的对数的形式，再计算即得 解答： 解：‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎==﹣2．‎ 故选A．‎ 点评： 本小题主要考查对数的运算性质、对数的运算性质的应用、二倍角的正弦公式等基础知识，考查基本运算能力．属于基础题．‎ ‎3．（5分）已知x，y∈R，则“x+y=‎1”‎是“xy≤”的（）‎ ‎ A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 ‎ C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． ‎ 专题： 简易逻辑．‎ - 23 -‎ 分析： 由x+y=1，推出xy≤，判定充分性成立；由xy≤，不能得出x+y=1，判定必要性不成立即可．‎ 解答： 解：∵x，y∈R，当x+y=1时，y=1﹣x，‎ ‎∴xy=x（1﹣x）=x﹣x2=﹣≤，∴充分性成立；‎ 当xy≤时，如x=y=0，x+y=0≠1，∴必要性不成立；‎ ‎∴“x+y=‎1”‎是“xy≤”的充分不必要条件．‎ 故选：A．‎ 点评： 本题考查了充分与必要条件的判定问题，解题时应判定充分性、必要性是否都成立，然后下结论，是基础题．‎ ‎4．（5分）已知函数f（x）=，则有（）‎ ‎ A． 函数f（x）的图象关于直线x=对称 ‎ B． 函数f（x）的图象关关于点（，0）对称 ‎ C． 函数f（x）的最小正周期为 ‎ D． 函数f（x）在区间（0，π）内单调递减 考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． ‎ 专题： 常规题型．‎ 分析： 分析函数f（x）=性质，要先利用公式化成正弦型、余弦型或正切型函数的标准形式，然后再研究性质．‎ 解答： 解：∵f（x）==‎ ‎∴函数f（x）不是轴对称图形，∴A不正确；‎ ‎∵函数f（x）的最小正周期为π，∴C不正确；‎ ‎∵函数在区间（0，π）不单调，∴D不正确；‎ ‎∵函数f（x）的对称中心为（）k∈Z，‎ ‎∴函数f（x）的图象关关于点（，0）对称正确，‎ 故选B．‎ 点评： 本题考查了三角变换和正切型函数的性质．‎ ‎5．（5分）已知0＜a＜b＜1，则（）‎ - 23 -‎ ‎ A． ＞ B． （）a＜（）b C． （lga）2＜（lgb）2 D． ＞‎ 考点： 不等式的基本性质． ‎ 专题： 不等式的解法及应用．‎ 分析： 利用不等式的基本性质和指数函数、对数函数的单调性即可得出．‎ 解答： 解：∵0＜a＜b＜1，‎ ‎∴，可得；‎ ‎；‎ ‎（lga）2＞（lgb）2；‎ lga＜lgb＜0，可得．‎ 综上可知：只有D正确．‎ 故选：D．‎ 点评： 本题考查了不等式的基本性质和指数函数、对数函数的单调性，属于基础题．‎ ‎6．（5分）已知函数f（x）=x2+2cosx，若f′（x）是f（x）的导函数，则函数f′（x）在原点附近的图象大致是（）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ 考点： 函数的图象． ‎ 专题： 函数的性质及应用．‎ 分析： 由题可得f′（x）=2x﹣2sinx，判断导函数的奇偶性，利用特殊值的函数值推出结果即可．‎ 解答： 解：函数f（x）=x2+2cosx，∴f′（x）=2x﹣2sinx=2（x﹣sinx），‎ f′（﹣x）=﹣2x+2sinx=﹣（2x﹣2sinx）=﹣f′（x），‎ 导函数是奇函数，‎ ‎∵x∈（0，），x＞sinx＞0，‎ ‎∴B、C、D不正确．‎ 故选：A．‎ 点评： 本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．‎ - 23 -‎ ‎7．（5分）已知函数f（x）=，若对任意的x∈R，不等式f（x）≤m2﹣m恒成立，则实数m的取值范围是（）‎ ‎ A． （﹣∞，﹣] B． （﹣∞，﹣]∪[1，+∞） C． [1，+∞） D． [﹣，1]‎ 考点： 分段函数的应用． ‎ 专题： 计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．‎ 分析： 求出分段函数的最大值，把不等式f（x）≤m2﹣m恒成立转化为m2﹣m大于等于f（x）的最大值恒成立，然后求解不等式得到实数m的取值范围．‎ 解答： 解：对于函数f（x）=，‎ 当x≤1时，f（x）=﹣（x﹣）2+；‎ 当x＞1时，f（x）=＜0．‎ 则函数f（x）的最大值为．‎ 则要使不等式f（x）≤m2﹣m恒成立，‎ 则m2﹣m恒成立，即m或m≥1．‎ 故选B．‎ 点评： 本题考查了恒成立问题，训练了分段函数的最值的求法，考查了数学转化思想方法，考查运算能力，是中档题．‎ ‎8．（5分）已知方程=k在（0，+∞）上有两个不同的解α、β（α＜β），则下列的四个命题正确的是（）‎ ‎ A． sin2α=2αcos2α B． cos2α=2αsin2α ‎ C． sin2β=﹣2βsin2β D． cos2β=﹣2βsina2β 考点： 余弦函数的图象． ‎ 专题： 导数的综合应用．‎ 分析： 将方程=k转化为|cosx|=kx，作出两个函数的图象，利用数形结合，以及导数的几何意义即可得到结论．‎ - 23 -‎ 解答： 解：∵=k，∴|cosx|=kx，‎ ‎∴要使方程=k（k＞0）在（0，+∞）上有两个不同的解，则y=|cosx|的图象与直线y=kx（k＞0）在（0，+∞）上 ‎ 有且仅有两个公共点，‎ 所以直线y=kx与y=|cosx|在（，π）内相切，且切于点（β，﹣cosβ），此时y=|cosx|=﹣cosx．‎ ‎∴切线的斜率为sinβ=，∴βsinβ=﹣cosβ，‎ ‎∴2βsinβsinβ=﹣2sinβcosβ，‎ ‎∴sin 2β=﹣2βsin2β，‎ 故选：C．‎ 点评： 本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，导数的几何意义，体现了转化的数学思想．‎ 二．填空题（6*5=30分）（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答．‎ ‎9．（5分）若=3．‎ 考点： 对数的运算性质． ‎ 专题： 计算题；转化思想．‎ 分析： 由2x=3，得x=log23，把化为以2为底数的对数，然后运用对数的和等于乘积的对数进行运算．‎ 解答： 解：∵2x=3，∴x=log23，‎ 又∵，‎ ‎∴x+2y==．‎ - 23 -‎ 故答案为3．‎ 点评： 本题主要考查对数的运算，关键是化指数式为对数式，然后运用对数的运算法则进行化简计算，此题是基础题．‎ ‎10．（5分）如图是函数在一个周期内的图象，则阴影部分的面积是．‎ 考点： 定积分． ‎ 专题： 导数的综合应用．‎ 分析： 先根据函数关系式和图象，求得图象与x的正半轴的另一个交点为（，0），再根据定积分的几何意义得到阴影部分的面积．‎ 解答： 解：∵y=cos（2x﹣），‎ ‎∴周期T==π，‎ ‎∴‎ ‎∴阴影部分的面积S=﹣cos（2x﹣）dx+cos（2x﹣）dx=﹣sin（2x﹣）|+sin（2x﹣）|=；‎ 故答案为：．‎ 点评： 本题主要考查了定积分的几何意义以及三角函数的问题，关键是求出积分上下限，计算积分值，属于基础题．‎ ‎11．（5分）若，则的最大值为．‎ 考点： 二倍角的正弦；同角三角函数基本关系的运用． ‎ 专题： 三角函数的求值．‎ 分析： 利用利用三角函数基本关系式、基本不等式即可得出．‎ - 23 -‎ 解答： 解：∵，∴tanα＞0．‎ ‎∴====．‎ 故答案为：‎ 点评： 本题考查了三角函数基本关系式、基本不等式，属于基础题．‎ ‎12．（5分）已知函数f（x）=x+sinx（x∈R），且f（y2﹣2y+3）+f（x2﹣4x+1）≤0，则当y≥l时，的取值范围是[，]．‎ 考点： 利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质． ‎ 专题： 函数的性质及应用．‎ 分析： 判断函数f（x）的奇偶性和单调性，将不等式进行转化，利用直线和圆的位置关系，结合数形结合和的几何意义即可得到结论．‎ 解答： 解：∵f（x）=x+sinx（x∈R），‎ ‎∴f（﹣x）=﹣x﹣sinx=﹣（x+sinx）=﹣f（x），‎ 即f（x）=x+sinx（x∈R）是奇函数，‎ ‎∵f（y2﹣2y+3）+f（x2﹣4x+1）≤0，‎ ‎∴f（y2﹣2y+3）≤﹣f（x2﹣4x+1）=f[﹣（x2﹣4x+1）]，‎ 由f'（x）=1+cosx≥0，‎ ‎∴函数单调递增．‎ ‎∴（y2﹣2y+3）≤﹣（x2﹣4x+1），‎ 即（y2﹣2y+3）+（x2﹣4x+1）≤0，‎ ‎∴（y﹣1）2+（x﹣2）2≤1，‎ ‎∵y≥1，‎ ‎∴不等式对应的平面区域为圆心为（2，1），半径为1的圆的上半部分．‎ 的几何意义为动点P（x，y）到定点A（﹣1，0）的斜率的取值范围．‎ 设k=，（k＞0）‎ 则y=kx+k，即kx﹣y+k=0．‎ 当直线和圆相切是，圆心到直线的距离d===1，‎ 即8k2﹣6k=0，解得k=．此时直线斜率最大．‎ 当直线kx﹣y+k=0．经过点B（3，1）时，直线斜率最小，‎ - 23 -‎ 此时3k﹣1+k=0，即4k=1，解得k=，‎ ‎∴≤k≤，‎ 故答案为[，]．‎ 点评： 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，函数奇偶性和单调性的判断以及直线斜率的取值范围，综合性较强，运算量较大，利用数形结合是解决本题的基本思想．‎ ‎13．（5分）设x，y，z为空间不同的直线或不同的平面，且直线不在平面内，下列说法中能保证“若x⊥z，y⊥z，则x∥y”为真命题的序号有①③⑤．（把所有的真命题全填上）‎ ‎①x为直线，y，z为平面；‎ ‎②x，y，z都为平面；‎ ‎③x，y为直线，z为平面；‎ ‎④x，y，z都为直线；‎ ‎⑤x，y为平面，z为直线．‎ 考点： 命题的真假判断与应用． ‎ 专题： 压轴题；简易逻辑．‎ 分析： 依据线面、面面平行和垂直的判断和性质定理，逐一判定5个命题得答案．‎ 解答： 解：①中x⊥平面z，平面y⊥平面z，‎ ‎∴x∥平面y或x⊂平面y．‎ 又∵x⊄平面y，故x∥y成立；‎ ‎②中若x，y，z均为平面，则x可与y相交，故②不成立；‎ ‎③x⊥z，y⊥z，x，y为不同直线，故x∥y成立；‎ ‎④x，y，z均为直线可异面垂直，故④不成立；‎ ‎⑤z⊥x，z⊥y，z为直线，x，y为平面可得x∥y，⑤成立．‎ 故答案为：①③⑤．‎ 点评： 本题考查空间直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系，是中档题．‎ 三、选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计前一题的得分。【坐标系与参数方程选做题】‎ - 23 -‎ ‎14．（5分）在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l与曲线C：，（α为参数）交于A，B两点，且|AB|=2，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是ρ（cosθ﹣sinθ）=1．‎ 考点： 参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程． ‎ 专题： 坐标系和参数方程．‎ 分析： 由题意可得直线l的方程为y=x+b，曲线方程化为直角坐标，表示一个圆，由于弦长正好等于直径，可得圆心（2，1）在直线l上，由此求得b的值，可得直线的方程．‎ 解答： 解：设倾斜角为的直线l的方程为y=x+b，‎ 曲线C：（α为参数），即 （x﹣2）2+（y﹣1）2=1，表示以（2，1）为圆心、半径等于1的圆．‎ 由于弦长|AB|=2，正好等于直径，故圆心（2，1）在直线l上，故有1=2+b，解得b=﹣1，‎ 故直线l的方程为 y=x﹣1，即x﹣y﹣1=0．‎ 再根据极坐标与直角坐标的互化公式可得ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0，即ρ（cosθ﹣sinθ）=1‎ 故答案为：ρ（cosθ﹣sinθ）=1．‎ 点评： 本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程，直线和圆的位置关系，属于基础题．‎ ‎（几何证明选讲选做题）‎ ‎15．已知⊙O1和⊙O2交于点C和D，⊙O1上的点P处的切线交⊙O2于A、B点，交直线CD于点E，M是⊙O2上的一点，若PE=2，EA=1，∠AMB=45°，那么⊙O2的半径为．‎ 考点： 圆与圆的位置关系及其判定． ‎ 专题： 直线与圆．‎ 分析： 根据切割线定理和割线定理，证出EP2=EA•EB，代入题中数据解得EB=4，从而得到AB=3．再在△ABM中利用正弦定理加以计算，即可得出⊙O2的半径．‎ 解答： 解：∵PE切⊙O1于点P，∴EP2=EC•ED．‎ ‎∵ED、EB是⊙O2的两条割线，∴EC•ED=EA•EB．‎ ‎∴EP2=EA•EB，即22=1•EB，得EB=4，‎ 因此，△ABM中AB=EB﹣EA=3，∠AMB=45°，设⊙O2的半径为R，‎ 由正弦定理，得=2R，即2R==，解之得R=．‎ 故答案为：‎ - 23 -‎ 点评： 本题给出两圆相交，在已知一条圆的切线长的情况下求另一个圆的半径．着重考查了圆当中的比例线段和正弦定理等知识，属于中档题．‎ 三.解答或证明题 ‎16．（12分）已知锐角△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=6，向量=（2sinC，﹣），=（cos‎2C，2cos2﹣1），且∥．‎ ‎（1）求C的大小；‎ ‎（2）若，求的值．‎ 考点： 三角函数中的恒等变换应用；平面向量共线（平行）的坐标表示． ‎ 专题： 计算题；三角函数的求值．‎ 分析： （1）由∥，得2sinC（2cos2﹣1）=﹣cos‎2C，可求得tan‎2C，从而可得‎2C，进而得到C；‎ ‎（2）由，得，则，利用差角的正弦公式可求；‎ 解答： （1）∵∥，∴2sinC（2cos2﹣1）=﹣cos‎2C，‎ ‎∴，即，‎ 又∵C为锐角，∴‎2C∈（0，π），∴，∴；‎ ‎（2）∵，∴，‎ ‎∴，‎ 又，且A为锐角，∴，‎ ‎∴；‎ 点评： 本题考查平面向量共线的充要条件、和差角公式，考查学生的运算求解能力．‎ ‎17．（13分）一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设袋子中的每一个球被摸到可能性是相等的．‎ ‎（Ⅰ）从袋子中任意摸出3个球，求摸出的球均为白球的概率；‎ ‎（Ⅱ）一次从袋子中任意摸出3个球，若其中红球的个数多于白球的个数，则称“摸球成功”（每次操作完成后将球放回）．某人连续摸了3次，记“摸球成功”的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．‎ 考点： 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． ‎ - 23 -‎ 专题： 计算题；概率与统计．‎ 分析： （Ⅰ）设从袋子中任意摸出3个球，利用排列组合知识能求出摸出的球均为白球的概率．‎ ‎（Ⅱ）由一次”摸球成功”的概率P==．随机变量ξ服从二项分布B（3，），由此能求出ξ的分布列和数学期望．‎ 解答： 解：（Ⅰ）设从袋子中任意摸出3个球，摸出的球均为白球的概率：‎ P==．…（4分）‎ ‎（Ⅱ）由一次”摸球成功”的概率P==．…（8分）‎ 随机变量ξ服从二项分布B（3，），‎ ‎∴ξ的分布列为：…（12分）‎ P（ξ=0）==，‎ P（ξ=1）==，‎ P（ξ=2）==，‎ P（ξ=3）==，‎ ξ 0 1 2 3‎ P ‎ Eξ=3×=2． …（14分）‎ 点评： 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，在历年2015届高考中都是必考题型．解题时要认真审题，注意概率知识的灵活运用．‎ ‎18．（13分）如图1，AD是直角△ABC斜边上的高，沿AD把△ABC的两部分折成直二面角（如图2），DF⊥AC于F．‎ ‎（Ⅰ）证明：BF⊥AC；‎ ‎（Ⅱ）设∠DCF=θ，AB与平面BDF所成的角为α，二面角B﹣FA﹣D的大小为β，试用tanθ，cosβ表示tanα；‎ ‎（Ⅲ）设AB=AC，E为AB的中点，在线段DC上是否存在一点P，使得DE∥平面PBF？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．‎ - 23 -‎ 考点： 直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定． ‎ 专题： 三角函数的求值；空间位置关系与距离；空间角．‎ 分析： （1）首先利用折叠，把平面问题转化成空间问题，进一步利用面面垂直转化成线面垂直和线线垂直．‎ ‎（2）利用三角函数及定义建立等量关系 ‎（3）存在性问题的确定，先确定结论，然后进行证明，进一步得出结论．‎ 解答： 证明：（Ⅰ）∵AD⊥DB，AD⊥DC，‎ ‎∴∠BDC是二面角B﹣DA﹣C的平面角．‎ 又∵二面角B﹣DA﹣C是直二面角，‎ ‎∴BD⊥DC，‎ ‎∴BD⊥平面ADC，‎ ‎∴BD⊥AC，‎ 又DF⊥AC，∴AC⊥平面BDF，∴BF⊥AC．‎ 解：（Ⅱ）由（Ⅰ），‎ ‎．‎ 利用三角形相似得：，‎ ‎∴．‎ 解：（Ⅲ）存在，使DE∥平面PBF 理由：连接CE交BF于点M，连接PM，则PM∥DE．‎ ‎∵AB=AC，∴AD=DC，‎ ‎∴F为AC的中点，而E为AB的中点，‎ ‎∴M为△ABC的重心，‎ ‎∴，∴．‎ 即在线段DC上存在一点P，此时，使DE∥平面PBF．‎ 故答案为：（1）略 - 23 -‎ ‎（2）tanθcosβ=tanα ‎（3）存在，使DE∥平面PBF 点评： 本题考查的知识要点：面面垂直的性质定理与线面垂直和线线垂直的转化，三角函数只是在三角形中的应用，直二面角的应用，存在性问题的确定与证明方法．‎ ‎19．（14分）如图，点P（0，﹣1）是椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径，l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A、B两点，l2交椭圆C1于另一点D．‎ ‎（1）求椭圆C1的方程；‎ ‎（2）求△ABD面积的最大值时直线l1的方程．‎ 考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程． ‎ 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．‎ 分析： （1）由题意可得b=1，‎2a=4，即可得到椭圆的方程；‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0）．由题意可知：直线l1的斜率存在，设为k，则直线l1的方程为y=kx﹣1．利用点到直线的距离公式和弦长公式即可得出圆心O到直线l1的距离和弦长|AB|，又l2⊥l1，可得直线l2‎ - 23 -‎ 的方程为x+kx+k=0，与椭圆的方程联立即可得到点D的横坐标，即可得出|PD|，即可得到三角形ABD的面积，利用基本不等式的性质即可得出其最大值，即得到k的值．‎ 解答： 解：（1）由题意可得b=1，‎2a=4，即a=2．‎ ‎∴椭圆C1的方程为；‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0）．‎ 由题意可知：直线l1的斜率存在，设为k，则直线l1的方程为y=kx﹣1．‎ 又圆的圆心O（0，0）到直线l1的距离d=．‎ ‎∴|AB|==．‎ 又l2⊥l1，故直线l2的方程为x+ky+k=0，联立，消去y得到（4+k2）x2+8kx=0，解得，‎ ‎∴|PD|=．‎ ‎∴三角形ABD的面积S△==，‎ 令4+k2=t＞4，则k2=t﹣4，‎ f（t）===，‎ ‎∴S△=，当且仅，即，当时取等号，‎ 故所求直线l1的方程为．‎ 点评： 本题主要考查了椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，同时考查了推理能力和计算能力及分析问题和解决问题的能力．‎ ‎20．（14分）如图，实线部分的月牙形公园是由圆P上的一段优弧和圆Q上的一段劣弧围成，圆P和圆Q的半径都是‎2km，点P在圆Q上，现要在公园内建一块顶点都在圆P上的多边形活动场地．‎ - 23 -‎ ‎（1）如图甲，要建的活动场地为△RST，求场地的最大面积；‎ ‎（2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD，求场地的最大面积．‎ 考点： 在实际问题中建立三角函数模型． ‎ 专题： 计算题；三角函数的求值．‎ 分析： （1）先过S作SH⊥RT于H，则有：S△RST=，由题意知：△RST在月牙形公园里，RT与圆Q只能相切或相离，RT左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，建立不等关系：RT≤4，SH≤2，当且仅当RT切圆Q于P时（如下左图），上面两个不等式中等号同时成立．从而得出场地面积的最大值即可；‎ ‎（2）同（1）的分析，要使得场地面积最大，AD左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，AD必须切圆Q于P，再设∠BPA=θ，写出等腰梯形ABCD面积的表达式，再利用导数求得其极大值也是最大值即可．‎ 解答： 解：（1）如下右图，‎ 过S作SH⊥RT于H，‎ S△RST=．（2分）‎ 由题意，△RST在月牙形公园里，‎ RT与圆Q只能相切或相离；（4分）‎ RT左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，‎ 则有RT≤4，SH≤2，‎ 当且仅当RT切圆Q于P时（如下左图），上面两个不等式中等号同时成立．‎ 此时，场地面积的最大值为S△RST==4（km2）．（6分）‎ 甲图乙图 ‎（2）同（1）的分析，要使得场地面积最大，AD左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，‎ AD必须切圆Q于P，再设∠BPA=θ，则 SABCD=（AD+BC）×2sinθ=（4+2×2cosθ）×2sinθ．‎ ‎=4（sinθ+sinθcosθ）…（8分）‎ - 23 -‎ 令y=sinθ+sinθcosθ，则 y'=cosθ+cosθcosθ+sinθ（﹣sinθ）=2cos2θ+cosθ﹣1．（11分）‎ 若y'=0，，‎ 又时，y'＞0，时，y'＜0，（14分）‎ 函数y=sinθ+sinθcosθ在处取到极大值也是最大值，‎ 故时，场地面积取得最大值为（km2）．（16分）‎ 点评： 本题主要考查了在实际问题中建立三角函数模型．解题的关键是利用三角函数这个数学模型，建立函数关系式，最后利用导数知识求最值．‎ ‎21．（14分）函数的导数为0的点称为函数的驻点，若点（1，1）为函数f（x）的驻点，则称f（x）具有“1﹣1驻点性”．‎ ‎（1）设函数f（x）=﹣x+2+alnx，其中a≠0．‎ ‎①求证：函数f（x）不具有“1﹣1驻点性”‎ ‎②求函数f（x）的单调区间 ‎（2）已知函数g（x）=bx3+3x2+cx+2具有“1﹣1驻点性”，给定x1，x2∈R，x1＜x2，设λ为实数，且λ≠﹣1，α=，β=，若|g（α）﹣g（β）|＞|g（x1）﹣g（x2）|，求λ的取值范围．‎ 考点： 利用导数研究函数的单调性；导数的运算． ‎ 专题： 综合题；压轴题；新定义．‎ 分析： （1）①对函数f（x）=﹣x+2+alnx求导，验证f′（1）≠0即可说明函数f（x）不具有“1﹣1驻点性”；②根据导数的符号和函数单调性的关系，即f′（x）＞0时不等式解集就是函数的单调递增区间，f′（x）＜0时不等式解集就是函数的单调递减区间，注意对参数a的讨论；‎ ‎（2）由题设知，函数g（x）得导数g′（x）=g′（x）=3bx2+6x+c，根据g（x）具有“1﹣1驻点性，求出b，c的值，从而g（x）在R上单调递减，分①λ≥0②﹣1＜λ＜0③λ＜﹣1三种情况讨论求解λ得范围即可 解答： 解：（1）①f′（x）=﹣1++‎ ‎∵f′（1）=﹣1+1+a≠0，‎ ‎∴函数f（x）不具有“1﹣1驻点性”．‎ ‎②由f′（x）==‎ ‎（ⅰ）当a+＜0，即a＜﹣时，f′（x）＜0．∴f（x）是（0，+∞）上的减函数；‎ ‎（ⅱ）当a+=0，即a=﹣时，显然f′（x）≤0．∴f（x）是（0，+∞）上的减函数 - 23 -‎ ‎（ⅲ）当a+＞0，即a＞﹣时，由f′（x）=0得=±‎ 当﹣＜a＜0时，﹣＞0‎ ‎∴x∈（0，a+﹣）时，f′（x）＜0；‎ x∈（ a+﹣，a++）时，f′（x）＞0； x∈（a++，+∞）时，f′（x）＜0；‎ 当a＞0时，﹣＜0‎ ‎∴x∈（0，a++）时，f′（x）＞0； x∈（ a++，+∞）时，f′（x）＜0；‎ 综上所述：当a≤﹣时，函数f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；‎ 当﹣＜a＜0时，函数f（x）的单调递减区间为（0，a+﹣）和（ a++，+∞），‎ 函数f（x）的单调递增区间为（ a+﹣，a++）；‎ 当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，a++），‎ 函数f（x）的单调递减区间为（ a++，+∞）‎ ‎（Ⅱ）由题设得：g′（x）=3bx2+6x+c，‎ ‎∵g（x）具有“1﹣1驻点性”∴g（1）=1且g′（1）=0‎ 即解得 ‎∴g′（x）=﹣3x2+6x﹣3=﹣3（x﹣1）2≤0，故g（x）在定义域R上单调递减．‎ ‎①当λ≥0时，α=≥=x1，α=＜=x2，即α∈[x1，x2），同理β∈（x1，x2]‎ 由g（x）的单调性可知：g（α），g（β）∈[g（x2），g（x1）]‎ ‎∴|g（α）﹣g（β）|≤|g（x1）﹣g（x2）|与题设|g（α）﹣g（β）|＞|g（x1）﹣g（x2）|不符．‎ ‎②当﹣1＜λ＜0时，α=＜=x1，β=＞=x2‎ 即α＜x1＜x2＜β∴g（β）＜g（x2）＜g（x1）＜g（α）‎ ‎∴|g（α）﹣g（β）|＞|g（x1）﹣g（x2）|，符合题设 ‎③当λ＜﹣1时，α=＞=x2，β=＜=x1，即β＜x1＜x2＜α ‎∴g（α）＜g（x2）＜g（x1）＜g（β）‎ ‎∴|g（α）﹣g（β）|＞|g（x1）﹣g（x2）|也符合题设 - 23 -‎ 由此，综合①②③得所求的λ的取值范围是λ＜0且λ≠﹣1‎ 点评： 本题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力，属难题．‎ - 23 -‎