广东省佛山一中2015届高三数学上学期期中试卷 理（含解析）.doc

佛山一中2015届高三数学上学期期中试卷（理科带解析）‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）复数z满足（z﹣3）（2﹣i）=5（i为虚数单位），则z的共轭复数为（）‎ ‎ A． 2+i B． 2﹣i C． 5+i D． 5﹣i ‎2．（5分）已知几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）‎ ‎ A． B． ‎4 ‎C． D． ‎ ‎3．（5分）设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则m⊥β的一个充分条件是（）‎ ‎ A． α⊥β，α∩β=l，m⊥l B． α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ ‎ C． α⊥γ，β⊥γ，m⊥α D． n⊥α，n⊥β，m⊥α ‎4．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9=（）‎ ‎ A． 63 B． ‎45 ‎C． 36 D． 27‎ ‎5．（5分）设，则a，b，c的大小关系是（）‎ ‎ A． a＞c＞b B． a＞b＞c C． c＞a＞b D． b＞c＞a ‎6．（5分）设x，y∈R，向量=（x，1）=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则x+y=（）‎ ‎ A． 0 B． ‎1 ‎C． 2 D． ﹣2‎ ‎7．（5分）如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E、F两点，且交其对角线于K，其中，=，=，=λ，则λ的值为（）‎ - 22 -‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎8．（5分）对于下列命题：‎ ‎①命题“∃x0∈R，x02+1＞3x‎0”‎的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”；‎ ‎②在△ABC中“∠A＞∠B”的 充要条件是“sinA＞sinB”；‎ ‎③设a=sin，b=cos，c=tan，则c＞a＞b；‎ ‎④将函数y=2sin（3x+）图象的横坐标变为原来的3倍，再向左平移个单位，得到函数y=2sin（x+）图象．‎ 其中真命题的个数是（）‎ ‎ A． 4 B． ‎1 ‎C． 2 D． 3‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分（一）必做题：（9-13）‎ ‎9．（5分）若0＜α＜，﹣＜β＜0，且sinβ=﹣，cos（α﹣β）=，则sinα=．‎ ‎10．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）的图象如图所示，则=．‎ ‎11．（5分）过点A（1，1）作曲线y=x2（x≥0）的切线，设该切线与曲线及x轴所围图形的面积为S，则S=．‎ - 22 -‎ ‎12．（5分）已知a＞0，函数f（x）=，若f（t﹣）＞﹣，则实数t的取值范围为．‎ ‎13．（5分）如图，多面体OABCD，AB=CD=2，AD=BC=2，AC=BD=，且OA，OB，OC两两垂直，给出下列 5个结论：‎ ‎①三棱锥O﹣ABC的体积是定值；‎ ‎②球面经过点A、B、C、D四点的球的直径是；‎ ‎③直线OB∥平面ACD；‎ ‎④直线AD与OB所成角是60°；‎ ‎⑤二面角A﹣OC﹣D等于30°．‎ 其中正确的结论是．‎ 三、选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）（坐标系与参数方程选做题）‎ ‎14．（5分）在极坐标系中，圆ρ=2上的点到直线ρcos（θ﹣）=3的距离的最小值是．‎ 四、（几何证明选讲选做题）‎ ‎15．如图所示，过⊙O外一点A作一条直线与⊙O交于C，D两点，AB切⊙O于B，弦MN过CD的中点P．已知AC=4，AB=6，则MP•NP=．‎ 五、解答题（共80分）‎ ‎16．（12分）已知．‎ ‎（1）求f（x）的周期及其图象的对称中心；‎ - 22 -‎ ‎（2）△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，满足（‎2a﹣c）cosB=bcosC，求f（B）的值．‎ ‎17．（12分）甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设甲面试合格的概率为，乙、丙面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响．‎ ‎（Ⅰ）求至少有1人面试合格的概率；‎ ‎（Ⅱ）求签约人数ξ的分布列和数学期望．‎ ‎18．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BCA=90°，AP=AC，点D，E分别在棱PB，PC上，且BC∥平面ADE ‎（Ⅰ）求证：DE⊥平面PAC；‎ ‎（Ⅱ）当二面角A﹣DE﹣P为直二面角时，求多面体ABCED与PAED的体积比．‎ ‎19．（14分）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点（n，Sn），均在函数y=bx+r（b＞0）且b≠1，b，r均为常数）的图象上．‎ ‎（1）求r的值；‎ ‎（2）当b=2时，记bn=（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎20．（14分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B‎1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AB=1，BC=2，∠ABC=60°，E为BC的中点，AA1⊥平面ABCD．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面A1AE⊥平面A1DE；‎ ‎（Ⅱ）若DE=A1E，试求异面直线AE与A1D所成角的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求二面角C﹣A1D﹣E的余弦值．‎ - 22 -‎ ‎21．（14分）已知函数．‎ ‎（1）当时，如果函数g（x）=f（x）﹣k仅有一个零点，求实数k的取值范围；‎ ‎（2）当a=2时，试比较f（x）与1的大小；‎ ‎（3）求证：（n∈N*）．‎ 广东省佛山一中2015届高三上学期期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）复数z满足（z﹣3）（2﹣i）=5（i为虚数单位），则z的共轭复数为（）‎ ‎ A． 2+i B． 2﹣i C． 5+i D． 5﹣i 考点： 复数的基本概念． ‎ 专题： 数系的扩充和复数．‎ 分析： 利用复数的运算法则求得z，即可求得z的共轭复数．‎ 解答： 解：∵（z﹣3）（2﹣i）=5，‎ ‎∴z﹣3==2+i ‎∴z=5+i，‎ ‎∴=5﹣i．‎ 故选D．‎ 点评： 本题考查复数的基本概念与基本运算，求得复数z是关键，属于基础题．‎ ‎2．（5分）已知几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）‎ ‎ A． B． ‎4 ‎C． D． ‎ - 22 -‎ 考点： 由三视图求面积、体积． ‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 根据已知的三视图可判断出该几何体是一个正四棱锥，且可得底面棱长为2，侧面高为，由此求出底面面积和棱锥的高，代入棱锥体积公式，可得答案．‎ 解答： 解：由已知可得该几何体是一个底面棱长为2‎ 侧面高为的正四棱锥 则棱锥的高h==‎ ‎∴棱锥的高V=Sh=×2×2×=‎ 故选C 点评： 本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知分析出几何体的形状是解答的关键．‎ ‎3．（5分）设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则m⊥β的一个充分条件是（）‎ ‎ A． α⊥β，α∩β=l，m⊥l B． α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ ‎ C． α⊥γ，β⊥γ，m⊥α D． n⊥α，n⊥β，m⊥α 考点： 直线与平面垂直的判定． ‎ 专题： 证明题；转化思想．‎ 分析： 根据面面垂直的判定定理可知选项A是否正确，根据平面α与平面β的位置关系进行判定可知选项B和C是否正确，根据垂直于同一直线的两平面平行，以及与两平行平面中一个垂直则垂直于另一个平面，可知选项D正确．‎ 解答： 解：α⊥β，α∩β=l，m⊥l，根据面面垂直的判定定理可知，缺少条件m⊂α，故不正确；‎ α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；‎ α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；‎ n⊥α，n⊥β，⇒α∥β，而m⊥α，则m⊥β，故正确 故选D 点评： 本小题主要考查空间线面关系、面面关系以及充分条件的判定等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力，属于基础题．‎ ‎4．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9=（）‎ ‎ A． 63 B． ‎45 ‎C． 36 D． 27‎ 考点： 等差数列的性质． ‎ 分析： 观察下标间的关系，知应用等差数列的性质求得．‎ 解答： 解：由等差数列性质知S3、S6﹣S3、S9﹣S6成等差数列，即9，27，S9﹣S6成等差，∴S9﹣S6=45‎ ‎∴a7+a8+a9=45‎ 故选B．‎ 点评： 本题考查等差数列的性质．‎ - 22 -‎ ‎5．（5分）设，则a，b，c的大小关系是（）‎ ‎ A． a＞c＞b B． a＞b＞c C． c＞a＞b D． b＞c＞a 考点： 幂函数图象及其与指数的关系． ‎ 分析： 根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来．‎ 解答： 解：∵在x＞0时是增函数 ‎∴a＞c 又∵在x＞0时是减函数，所以c＞b 故答案选A 点评： 本题主要考查幂函数与指数的关系．要充分利用函数图象、函数的单调性来解决问题．‎ ‎6．（5分）设x，y∈R，向量=（x，1）=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则x+y=（）‎ ‎ A． 0 B． ‎1 ‎C． 2 D． ﹣2‎ 考点： 平面向量的坐标运算． ‎ 专题： 平面向量及应用．‎ 分析： 利用向量垂直与数量积的关系、向量共线定理即可得出．‎ 解答： 解：∵⊥，∥，‎ ‎∴2x﹣4=0，2y+4=0，‎ 解得x=2，y=﹣2．‎ ‎∴x+y=0．‎ 故选：A．‎ 点评： 本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量共线定理，属于基础题．‎ ‎7．（5分）如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E、F两点，且交其对角线于K，其中，=，=，=λ，则λ的值为（）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ 考点： 平面向量的基本定理及其意义． ‎ - 22 -‎ 专题： 计算题；作图题；平面向量及应用．‎ 分析： 以A为原点，AB，AD为坐标轴建立坐标系，设AB、AD为单位长度，从而可得，=（λ，λ﹣），=（λ﹣，λ），由由E、F、K三点共线可得λ•λ﹣（λ﹣）（λ﹣）=0，从而解得．‎ 解答： 解：以A为原点，AB，AD为坐标轴建立坐标系，‎ 设AB、AD为单位长度，‎ 则由题意可得，‎ A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），E（，0），F（0，），K（λ，λ），‎ 则=（λ，λ﹣），=（λ﹣，λ），‎ 则由E、F、K三点共线可得，‎ λ•λ﹣（λ﹣）（λ﹣）=0，‎ 即λ=，‎ 故λ=，‎ 故选A．‎ 点评： 本题考查了平面向量的基本定理应用，属于中档题．‎ ‎8．（5分）对于下列命题：‎ ‎①命题“∃x0∈R，x02+1＞3x‎0”‎的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”；‎ ‎②在△ABC中“∠A＞∠B”的 充要条件是“sinA＞sinB”；‎ ‎③设a=sin，b=cos，c=tan，则c＞a＞b；‎ ‎④将函数y=2sin（3x+）图象的横坐标变为原来的3倍，再向左平移个单位，得到函数y=2sin（x+）图象．‎ 其中真命题的个数是（）‎ ‎ A． 4 B． ‎1 ‎C． 2 D． 3‎ 考点： 命题的真假判断与应用． ‎ 专题： 三角函数的图像与性质；解三角形；简易逻辑．‎ 分析： ①，写出命题“∃x0∈R，x02+1＞3x‎0”‎的否定再判断其正误即可；‎ - 22 -‎ ‎②，在△ABC中，利用大角对大边及正弦定理可判断②的正误；‎ ‎③，利用诱导公式及特殊角的三角函数值可判断设a=sin，b=cos，c=tan的大小；‎ ‎④，利用三角函数间的图象变换可判断④的正误．‎ 解答： 解：对于①，命题“∃x0∈R，x02+1＞3x‎0”‎的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”，故①正确；‎ 对于②，在△ABC中，由大角对大边及正弦定理可知，∠A＞∠B⇔a＞b⇔sinA＞sinB，‎ 即△ABC中“∠A＞∠B”的 充要条件是“sinA＞sinB”，故②正确；‎ 对于③，因为a=sin=sin（335×2π+）=﹣，b=cos=cos=﹣，c=tan=，则c＞b＞a，故③错误；‎ 对于④，将函数y=2sin（3x+）图象的横坐标变为原来的3倍，得到y=2sin（x+）的图象，‎ 再向左平移个单位，得到函数y=2sin[（x+）+]=2sin（x+）图象，故④正确．‎ 综上所述，其中真命题的个数是3个，‎ 故选：D．‎ 点评： 本题考查命题的真假判断及其应用，综合考查命题及其否定、充分必要条件的概念及应用，考查诱导公式及特殊角的三角函数值、三角函数间的图象变换等基本知识．‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分（一）必做题：（9-13）‎ ‎9．（5分）若0＜α＜，﹣＜β＜0，且sinβ=﹣，cos（α﹣β）=，则sinα=．‎ 考点： 两角和与差的正弦函数． ‎ 专题： 计算题；三角函数的求值．‎ 分析： 利用同角三角函数平方关系，求出cosβ、sin（α﹣β），再利用角的变换，即可得出结论．‎ 解答： 解：∵sinβ=﹣，﹣＜β＜0，‎ ‎∴cosβ=，‎ ‎∵0＜α＜，﹣＜β＜0，‎ ‎∴0＜α﹣β＜π，‎ ‎∵cos（α﹣β）=，‎ ‎∴sin（α﹣β）=，‎ - 22 -‎ ‎∴sinα=sin[（α﹣β）+β]=sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ==．‎ 故答案为：．‎ 点评： 本题考查两角和与差的正弦函数，考查同角三角函数平方关系、角的变换，正确运用sinα=sin[（α﹣β）+β]=sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ是关键．‎ ‎10．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）的图象如图所示，则=0．‎ 考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． ‎ 专题： 压轴题．‎ 分析： 先根据图象可得到周期T进而可知ω的值，确定函数f（x）的解析式后将x=代入即可得到答案．‎ 解答： 解：根据图象可知，所以T=π，‎ 因为，所以ω=3，‎ 当x=时，f（）=0，即，可得，‎ 所以．‎ 故答案为：0．‎ 点评： 本题主要考查已知三角函数的部分图象求函数解析式的问题．属基础题．‎ ‎11．（5分）过点A（1，1）作曲线y=x2（x≥0）的切线，设该切线与曲线及x轴所围图形的面积为S，则S=．‎ 考点： 定积分在求面积中的应用． ‎ 专题： 导数的综合应用．‎ - 22 -‎ 分析： 首先根据导数的几何意义求出切线的斜率，写出直线方程，利用定积分的几何意义求S．‎ 解答： 解：因为点A的坐标为（1，1），过点A的切线的斜率为k=y'|x=1=2，‎ 故过点A的切线l的方程为y﹣1=2（x﹣1），即y=2x﹣1，令y=0，得x=，‎ 则S==；‎ 故答案为：．‎ 点评： 本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、定积分的应用、直线的方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．‎ ‎12．（5分）已知a＞0，函数f（x）=，若f（t﹣）＞﹣，则实数t的取值范围为（0，+∞）．‎ 考点： 分段函数的应用． ‎ 专题： 函数的性质及应用．‎ 分析： 根据分段函数的表达式判断函数的单调性，根据函数的单调性将不等式进行转化即可得到结论．‎ 解答： 解：当x∈[﹣1，0）时，函数f（x）=sin单调递增，且f（x）∈[﹣1，0），‎ 当x∈[0，+∞）时，函数f（x）=ax2+ax+1的对称轴为x=﹣，此时函数f（x）单调递增且f（x）≥1，‎ 综上当x∈[﹣1，+∞）时，函数单调递增，‎ 由f（x）=sin=得=，解得x=，‎ 则不等式f（t﹣）＞﹣，等价为f（t﹣）＞f（﹣），‎ ‎∵函数f（x）是增函数，‎ ‎∴t﹣＞﹣，‎ 即t＞0，‎ 故答案为：（0，+∞）‎ - 22 -‎ 点评： 本题主要考查不等式的求解，根据条件判断分段函数的单调性是解决本题的关键．‎ ‎13．（5分）如图，多面体OABCD，AB=CD=2，AD=BC=2，AC=BD=，且OA，OB，OC两两垂直，给出下列 5个结论：‎ ‎①三棱锥O﹣ABC的体积是定值；‎ ‎②球面经过点A、B、C、D四点的球的直径是；‎ ‎③直线OB∥平面ACD；‎ ‎④直线AD与OB所成角是60°；‎ ‎⑤二面角A﹣OC﹣D等于30°．‎ 其中正确的结论是①②④．‎ 考点： 空间中直线与直线之间的位置关系． ‎ 专题： 空间位置关系与距离．‎ 分析： 由题意，只要构造长方体，设OA=x，OB=y，OC=z，则x2+y2=4，x2+z2=10，y2+z2=12，解得，x=1，y=，z=3，运用棱锥的体积公式，即可判断①；运用异面直线所成角的定义，即可判断②；球面经过点A、B、C、D两点的球的直径即为长方体的对角线长，即可判断③；由于OB∥AE，AE和平面ACD相交，即可判断④．‎ 解答： 解：由题意，构造长方体，如右图，设OA=x，OB=y，OC=z，‎ 则x2+y2=4，x2+z2=10，y2+z2=12，解得，x=1，y=，z=3，‎ 对于①，三棱锥O﹣ABC的体积为OC×OA×OB=，故①对；‎ 对于②，球面经过点A、B、C、D两点的球的直径即为长方体的对角线长，‎ 即为，故②对；‎ 对于③，由于OB∥AE，AE和平面ACD相交，则OB和平面ACD相交，故③错．‎ 对于④，由于OB∥AE，则∠DAE即为直线AD与OB所成的角，‎ - 22 -‎ 由tan∠DAE=，则∠DAE=60°，故④对；‎ ‎⑤因为AO⊥OC，DC⊥OC，所以异面直线CD与OA所成的角大小为二面角A﹣OC﹣D的二面角大小，连接OE，则角AOE为所求，tan∠AOE=，所以∠AOE=60°；⑤错误；‎ 故答案为：①②④‎ 点评： 本题考查线面的位置关系的判断，空间异面直线所成的角，以及三棱锥的体积的计算和多面体的外接球的关系，考查运算能力，属于中档题和易错题．‎ 三、选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）（坐标系与参数方程选做题）‎ ‎14．（5分）在极坐标系中，圆ρ=2上的点到直线ρcos（θ﹣）=3的距离的最小值是1．‎ 考点： 简单曲线的极坐标方程． ‎ 专题： 计算题；直线与圆；坐标系和参数方程．‎ 分析： 运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，化极坐标方程为直角坐标方程，再由圆心到直线的距离公式，结合d﹣r为最小，即可得到．‎ 解答： 解：圆ρ=2化为直角坐标方程均为x2+y2=4，‎ 直线ρcos（θ﹣）=3即为ρcosθ+ρsinθ=3，‎ 即有x+y﹣6=0，‎ 则圆心到直线的距离d==3，‎ 则圆上的点到直线的距离的最小值为d﹣r=3﹣2=1．‎ 故答案为：1．‎ 点评： 本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查直线和圆的关系，考查点到直线的距离公式，属于中档题．‎ 四、（几何证明选讲选做题）‎ ‎15．如图所示，过⊙O外一点A作一条直线与⊙O交于C，D两点，AB切⊙O于B，弦MN过CD的中点P．已知AC=4，AB=6，则MP•NP=．‎ - 22 -‎ 考点： 与圆有关的比例线段． ‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 由已知中，过⊙O外一点A作一条直线与⊙O交于C，D两点，AB切⊙O于B，我们由切割线定理，结合已知中AC=4，AB=6，我们易求出AD的长，进而求出弦CD的长，又由弦MN过CD的中点P，由相交弦定理我们易求出MP•NP．‎ 解答： 解：∵AB为⊙O的切线，ACD为⊙O的割线 由切割线定理可得：AB2=AC•AD 由AC=4，AB=6，故AD=9‎ 故CD=5‎ 又∵P是弦CD的中点 故PC=PD=‎ 由相交弦定理得MP•NP=PC•PD=‎ 故答案为：‎ 点评： 本题考查的知识点是与圆相关的比例线段，分析已知线段与未求线段与圆的关系，以选择恰当的定理是解答此题的关键．‎ 五、解答题（共80分）‎ ‎16．（12分）已知．‎ ‎（1）求f（x）的周期及其图象的对称中心；‎ ‎（2）△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，满足（‎2a﹣c）cosB=bcosC，求f（B）的值．‎ 考点： 二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法；正弦定理． ‎ 专题： 三角函数的图像与性质．‎ 分析： （1）利用两角和差的正弦公式、二倍角公式化简函数f（x）的解析式为sin（+）+1，由此可得f（x）的周期及其图象的对称中心．‎ ‎（2）△ABC中，由（‎2a﹣c）cosB=bcosC，利用正弦定理化简可得得2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，故有cosB=，由此求得 B 的值．‎ - 22 -‎ 解答： 解：（1）∵已知=sin+cos+1=sin（+）+1，‎ 故f（x）的周期为 =4π．‎ 由sin（+）=0 求得 +=kπ，k∈z，即 x=2kπ﹣，故函数的图象的对称中心为（2kπ﹣，0）．‎ ‎（2）△ABC中，∵（‎2a﹣c）cosB=bcosC，由正弦定理可得 （2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，‎ 化简可得2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，∴cosB=，∴B=．‎ ‎∴f（B）=sin（+）+1=+1．‎ 点评： 本题主要考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，三角函数的周期性及求法，正弦函数的对称中心、正弦定理，属于中档题．‎ ‎17．（12分）甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设甲面试合格的概率为，乙、丙面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响．‎ ‎（Ⅰ）求至少有1人面试合格的概率；‎ ‎（Ⅱ）求签约人数ξ的分布列和数学期望．‎ 考点： 离散型随机变量的期望与方差；互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列． ‎ 专题： 计算题．‎ 分析： （Ⅰ）用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由题意知A，B，C相互独立，且．由至少有1人面试合格的概率是1﹣P（），能求出至少有1人面试合格的概率．（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3．分别求了P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2）和P（ξ=3），由此能求出ξ的分布列和ξ的期望Eξ．‎ 解答： 解：（Ⅰ）用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格．‎ 由题意知A，B，C相互独立，‎ 且．‎ 至少有1人面试合格的概率是：‎ ‎1﹣P（）‎ ‎=1﹣‎ ‎=1﹣‎ - 22 -‎ ‎=．‎ ‎（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3．‎ P（ξ=0）=P（）+P（）+P（）‎ ‎=++‎ ‎=++‎ ‎=．‎ P（ξ=1）=P（AC）+P（）+‎ ‎=+‎ ‎=，‎ P（ξ=2）=P（BC）==，‎ P（ξ=3）=P（ABC）=P（A）P（B）P（C）==．‎ ‎∴ξ的分布列是 ‎ ‎ ξ 0 1 2 3‎ ‎ P（ξ） ‎ 故ξ的期望Eξ==．‎ 点评： 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生的运算能力，考查学生探究研究问题的能力，解题时要认真审题，理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，体现了化归的重要思想．‎ ‎18．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BCA=90°，AP=AC，点D，E分别在棱PB，PC上，且BC∥平面ADE ‎（Ⅰ）求证：DE⊥平面PAC；‎ ‎（Ⅱ）当二面角A﹣DE﹣P为直二面角时，求多面体ABCED与PAED的体积比．‎ - 22 -‎ 考点： 直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题． ‎ 专题： 计算题．‎ 分析： （I）欲证DE⊥平面PAC，观察本题的条件，BC⊥平面PAC易证，而BC∥平面ADE结合DE=平面PBC∩平面ADE，可证得BC∥ED，由此证法思路已明．‎ ‎（Ⅱ）由（I），结合二面角A﹣DE﹣P为直二面角，可证得AE⊥面PBC，即得AE⊥PC，再由，∠BCA=90°，AP=AC可得出E是中点，由于求多面体ABCED与PAED的体积比可以转化为求面BCED与面PAED的比，问题得解．‎ 解答： 解：（Ⅰ）∵BC∥平面ADE，BC⊂平面PBC，‎ 平面PBC∩平面ADE=DE ‎∴BC∥ED（2分）‎ ‎∵PA⊥底面ABC，BC⊂底面ABC∴PA⊥BC．（3分）‎ 又∠BCA=90°，∴AC⊥BC．‎ ‎∵PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC．（5分）‎ ‎∴DE⊥平面PAC．（6分）‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，DE⊥平面PAC，‎ 又∵AE⊂平面PAC，PE⊂平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，‎ ‎∴∠AEP为二面角A﹣DE﹣P的平面角，（8分）‎ ‎∴∠AEP=90°，即AE⊥PC，（9分）‎ ‎∵AP=AC，∴E是PC的中点，ED是△PBC的中位线．（10分）‎ ‎∴（12分）‎ 点评： 本题考查利用线面垂直的条件证明线面垂直以及求棱锥的体积比，本题中两个问题的证明都转化为了另外问题的证明，体现了做题的灵活性．‎ - 22 -‎ ‎19．（14分）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点（n，Sn），均在函数y=bx+r（b＞0）且b≠1，b，r均为常数）的图象上．‎ ‎（1）求r的值；‎ ‎（2）当b=2时，记bn=（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．‎ 考点： 数列与函数的综合；数列的求和． ‎ 专题： 等差数列与等比数列．‎ 分析： （1）由“对任意的n∈N+，点（n，Sn），均在函数y=bx+r（b＞0，且b≠1，b，r均为常数）的图象上”可得到Sn=bn+r，依次求出a1、a2、a3，由等比数列的性质（a2）2=a1×a3，解可得答案．‎ ‎（2）结合（1）可知an=（b﹣1）bn﹣1=2n﹣1，从而bn=，符合一个等差数列与等比数列相应项之积的形式，用错位相减法求解即可．‎ 解答： 解：（1）因为对任意的n∈N+，点（n，Sn），均在函数y=bx+r（b＞0，且b≠1，b，r均为常数）的图象上．‎ 所以得Sn=bn+r，‎ 当n=1时，a1=S1=b+r，‎ a2=S2﹣S1=b2+r﹣（b1+r）=b2﹣b1=（b﹣1）b，‎ a3=S3﹣S2=b3+r﹣（b2+r）=b3﹣b2=（b﹣1）b2，‎ 又因为{an}为等比数列，所以（a2）2=a1×a3，则[（b﹣1）b]2=（b﹣1）b2×（b+r）‎ 解可得r=﹣1，‎ ‎（2）当b=2时，an=（b﹣1）bn﹣1=2n﹣1，bn=‎ 则Tn=‎ Tn=‎ 相减，得Tn=‎ ‎+=‎ 所以Tn=‎ 点评： 本题主要考查数列与函数的综合运用，主要涉及了数列的通项与前n项和间的关系，错位相减法求和等问题，属中档题，是常考类型．‎ ‎20．（14分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B‎1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AB=1，BC=2，∠ABC=60°，E为BC的中点，AA1⊥平面ABCD．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面A1AE⊥平面A1DE；‎ ‎（Ⅱ）若DE=A1E，试求异面直线AE与A1D所成角的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求二面角C﹣A1D﹣E的余弦值．‎ - 22 -‎ 考点： 用空间向量求平面间的夹角；异面直线及其所成的角；二面角的平面角及求法． ‎ 专题： 计算题；空间位置关系与距离；空间角．‎ 分析： （1）根据题意，得△ABE是正三角形，∠AEB=60°，等腰△CDE中∠CED=（180°﹣∠ECD）=30°，所以∠AED=90°，得到DE⊥AE，结合DE⊥AA1，得DE⊥平面A1AE，从而得到平面A1AE⊥平面平面A1DE．‎ ‎（2）取BB1的中点F，连接EF、AF，连接B‎1C．证出EF∥A1D，可得∠AEF（或其补角）是异面直线AE与A1D所成的角．利用勾股定理和三角形中位线定理，算出△AEF各边的长，再用余弦定理可算出异面直线AE与A1D所成角的余弦值．‎ ‎（3）建立的空间直角坐标系中，求得平面A1DE的一个法向量，平面CA1D的法向量，利用向量数量积求解夹角余弦值，则易得二面角C﹣A1D﹣E的余弦值．‎ 解答： 解：（1）依题意，BE=EC=BC=AB=CD，‎ ‎∴△ABE是正三角形，∠AEB=60°，‎ 又∵△CDE中，∠CED=∠CDE=（180°﹣∠ECD）=30°‎ ‎∴∠AED=180°﹣∠CED﹣∠AEB=90°，即DE⊥AE，‎ ‎∵AA1⊥平面ABCD，DE⊆平面ABCD，∴DE⊥AA1，‎ ‎∵AA1∩AE=A，∴DE⊥平面A1AE，‎ ‎∵DE⊆平面A1DE，∴平面A1AE⊥平面A1DE．‎ ‎（2）取BB1的中点F，连接EF、AF，连接B‎1C，‎ ‎∵△BB‎1C中，EF是中位线，∴EF∥B‎1C ‎∵A1B1∥AB∥CD，A1B1=AB=CD，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形，可得B‎1C∥A1D ‎∴EF∥A1D，‎ 可得∠AEF（或其补角）是异面直线AE与A1D所成的角．‎ ‎∵△CDE中，DE=CD==A1E=，AE=AB=1‎ ‎∴A‎1A=，由此可得BF=，AF=EF==，‎ ‎∴cos∠AEF==，即异面直线AE与A1D所成角的余弦值为 - 22 -‎ ‎（Ⅲ）取BE的中点F，以A为原点，AF所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，AA1=‎ 则A（0，0，0），D（0，2，0），C（，，0），‎ A1（0，0，），‎ 又，‎ 设平面CA1D的法向量 则得，‎ 同理可得平面A1DE的一个法向量为=（）‎ 设二面角C﹣A1D﹣E的平面角为θ，且θ为锐角 则cosθ=|cos＜＞|===‎ 所以二面角C﹣A1D﹣E的余弦值为．‎ 点评： 本题在直平行六面体中，求证面面垂直并求异面直线所成角余弦，着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和异面直线所成角的求法等知识，属于中档题．‎ ‎21．（14分）已知函数．‎ - 22 -‎ ‎（1）当时，如果函数g（x）=f（x）﹣k仅有一个零点，求实数k的取值范围；‎ ‎（2）当a=2时，试比较f（x）与1的大小；‎ ‎（3）求证：（n∈N*）．‎ 考点： 不等式的证明；函数的零点；利用导数研究函数的极值． ‎ 专题： 数形结合；分类讨论；函数的性质及应用．‎ 分析： （1）利用函数f（x）的导数求出它的单调区间和极值，由题意知 k大于f（x）的极大值，或 k小于f（x）的极小值．‎ ‎（2）令h（x）=f（x）﹣1，由h′（x）＞0得h（x）在（0，+∞）上是增函数，利用h（1）=0，分x＞1、‎ ‎0＜x＜1、当x=1三种情况进行讨论．‎ ‎（3）根据（2）的结论，当x＞1时，，令，有，可得 ，由 ，证得结论．‎ 解答： 解：（1）当时，，定义域是（0，+∞），‎ ‎ 求得，令f'（x）=0，得，或x=2．‎ ‎∵当或x＞2时，f'（x）＞0； 当时，f'（x）＜0，‎ ‎∴函数f（x）在（0，]、（2，+∞）上单调递增，在上单调递减．‎ ‎∴f（x）的极大值是 ，极小值是 ．‎ ‎∵当x趋于 0时，f（x）趋于﹣∞；当x趋于+∞时，f（x）趋于+∞，‎ 由于当g（x）仅有一个零点时，函数f（x）的图象和直线y=k仅有一个交点，‎ k的取值范围是{k|k＞3﹣ln2，或}．‎ ‎（2）当a=2时，，定义域为（0，+∞）．‎ 令，∵，‎ ‎∴h（x）在（0，+∞）上是增函数． ①当x＞1时，h（x）＞h（1）=0，即f（x）＞1；‎ ‎②当0＜x＜1时，h（x）＜h（1）=0，即f（x）＜1； ③当x=1时，h（x）=h（1）=0，即f（x）=1．‎ ‎（3）证明：根据（2）的结论，当x＞1时，，即．‎ - 22 -‎ 令，则有，∴． ‎ ‎∵，∴．‎ 点评： 本题主要考查函数导数运算法则、利用导数求函数的极值、证明不等式等基础知识，考查分类讨论思想和数形结合思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力和创新意识，属于中档题．‎ - 22 -‎