广东省佛山一中2015届高三数学上学期期中试卷 文（含解析）.doc

佛山一中2015届高三数学上学期期中试卷（文科附解析）‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题的4个选项中，只有1项是正确的．请把答案填涂在答题卡上）.‎ ‎1．（5分）设集合A={x|x2﹣3x+2=0}，则满足A∪B={0，1，2}的集合B的个数是（）‎ ‎ A． 1 B． ‎3 ‎C． 4 D． 6‎ ‎2．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）‎ ‎ A． 3﹣4i B． 3+4i C． ﹣3﹣4i D． ﹣3+4i ‎3．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎4．（5分）设x，y∈R，向量=（x，1）=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则x+y=（）‎ ‎ A． 0 B． ‎1 ‎C． 2 D． ﹣2‎ ‎5．（5分）已知，则sin2α=（）‎ ‎ A． ﹣ B． ﹣ C． D． ‎ ‎6．（5分）若a=2x，b=logx，则“a＞b”是“x＞‎1”‎的（）‎ ‎ A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 ‎ C． 充要条件 D． 既不充分又不必要条件 ‎7．（5分）如图所示的程序框图，它的输出结果是（）‎ - 19 -‎ ‎ A． 3 B． ‎4 ‎C． 5 D． 6‎ ‎8．（5分）在区间[0，10]内随机取出两个数，则这两个数的平方和也在区间[0，10]内的概率是（）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎9．（5分）设函数表示不超过x的最大整数，则函数y=[f（x）]的值域是（）‎ ‎ A． {0，1} B． {0，﹣1} C． {﹣1，1} D． {1，1}‎ ‎10．（5分）已知函数f（x）=|2x﹣1|，a＜b＜c，且f（a）＞f（c）＞f（b），则下列结论中成立的是（）‎ ‎ A． a＜0，b＜0，c＜0 B． a＜0，b≥0，c＞‎0 ‎C． 2﹣a＜‎2c D． ‎2a+‎2c＜2‎ 二、填空题（本大题共3小题，其中11、12、13为必做题，14、15为选做题，二选一．每小题5分，共20分．请把正确答案填写在答题卷相应的横线上）.‎ ‎11．（5分）若f（x）=2x+2﹣xlga是奇函数，则实数a=．‎ ‎12．（5分）已知函数y=f（x）的图象在M（1，f（1））处的切线方程是+2，f（1）+f′（1）=．‎ ‎13．（5分）当k＞0时，两直线kx﹣y=0，2x+ky﹣2=0与x轴围成的三角形面积的最大值为．‎ - 19 -‎ 三、（坐标系与参数方程选做题）‎ ‎14．（5分）在极坐标系中，点A的极坐标为（2，0），直线l的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）+2=0，则点A到直线l的距离为．‎ 四、（几何证明选讲选做题）‎ ‎15．如图所示，过⊙O外一点A作一条直线与⊙O交于C，D两点，AB切⊙O于B，弦MN过CD的中点P．已知AC=4，AB=6，则MP•NP=．‎ 五、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎16．（12分）在△ABC中，边a、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足bcosC=（‎3a﹣c）cosB．‎ ‎（1）求cosB；‎ ‎（2）若•=4，b=4，求边a，c的值．‎ ‎17．（12分）年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某小区的老龄人有350人，他们的健康状况如下表：‎ 健康指数 2 1 0 ﹣1‎ ‎60岁至79岁的人数 120 133 32 15‎ ‎80岁及以上的人数 9 18 14 9‎ 其中健康指数的含义是：2代表“健康”，1代表“基本健康”，0代表“不健康，但生活能够自理”，﹣1代表“生活不能自理”．‎ ‎（Ⅰ）随机访问该小区一位80岁以下的老龄人，该老龄人生活能够自理的概率是多少？‎ ‎（Ⅱ）按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取5位，并随机地访问其中的3位．求被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率．‎ ‎18．（14分）a∈R，解关于x的不等式≥a（x﹣1）．‎ ‎19．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BCA=90°，AP=AC，点D，E分别在棱PB，PC上，且BC∥平面ADE．‎ ‎（Ⅰ）求证：DE⊥平面PAC；‎ ‎（Ⅱ）若PC⊥AD，且三棱锥P﹣ABC的体积为8，求多面体ABCED的体积．‎ - 19 -‎ ‎20．（14分）已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且a2n+an=2Sn ‎（1）求a1‎ ‎（2）求数列{an}的通项；‎ ‎（3）若bn=（n∈N*），Tn=b1+b2+…bn，求证：Tn＜．‎ ‎21．（14分）已知函数f（x）=（x2﹣3x+3）•ex的定义域为[﹣2，t]，设f（﹣2）=m，f（t）=n．‎ ‎（1）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数；‎ ‎（2）求证：m＜n；‎ ‎（3）求证：对于任意的t＞﹣2，总存在x0∈（﹣2，t），满足=（t﹣1）2；又若方程=（t﹣1）2；在（﹣2，t）上有唯一解，请确定t的取值范围．‎ 广东省佛山一中2015届高三上学期期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题的4个选项中，只有1项是正确的．请把答案填涂在答题卡上）.‎ ‎1．（5分）设集合A={x|x2﹣3x+2=0}，则满足A∪B={0，1，2}的集合B的个数是（）‎ ‎ A． 1 B． ‎3 ‎C． 4 D． 6‎ 考点： 并集及其运算． ‎ 专题： 集合．‎ 分析： 先求出集合A元素，根据集合关系和运算即可得到结论．‎ 解答： 解：A={x|x2﹣3x+2=0}={x|x=1或x=2}={1，2}，‎ 若A∪B={0，1，2}，则0∈B，‎ - 19 -‎ 则B={0}，{0，2}，{1，0}，{0，1，2}，共4个，‎ 故选：C 点评： 本题主要考查集合的基本关系的应用，比较基础．‎ ‎2．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）‎ ‎ A． 3﹣4i B． 3+4i C． ﹣3﹣4i D． ﹣3+4i 考点： 复数相等的充要条件． ‎ 专题： 数系的扩充和复数．‎ 分析： 根据题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得z的值．‎ 解答： 解：∵复数z满足（3+4i）z=25，则z====3﹣4i，‎ 故选：A．‎ 点评： 本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．‎ ‎3．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ 考点： y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义． ‎ 专题： 三角函数的图像与性质．‎ 分析： 根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的x值，求出函数的周期T==π，解得ω=2．由函数当x=时取得最大值2，得到+φ=+kπ（k∈Z），取k=0得到φ=﹣．由此即可得到本题的答案．‎ 解答： 解：∵在同一周期内，函数在x=时取得最大值，x=时取得最小值，‎ ‎∴函数的周期T满足=﹣=，‎ - 19 -‎ 由此可得T==π，解得ω=2，‎ 得函数表达式为f（x）=2sin（2x+φ）‎ 又∵当x=时取得最大值2，‎ ‎∴2sin（2•+φ）=2，可得+φ=+2kπ（k∈Z）‎ ‎∵，∴取k=0，得φ=﹣‎ 故选：A．‎ 点评： 本题给出y=Asin（ωx+φ）的部分图象，求函数的表达式．着重考查了三角函数的图象与性质、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换等知识，属于基础题．‎ ‎4．（5分）设x，y∈R，向量=（x，1）=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则x+y=（）‎ ‎ A． 0 B． ‎1 ‎C． 2 D． ﹣2‎ 考点： 平面向量的坐标运算． ‎ 专题： 平面向量及应用．‎ 分析： 利用向量垂直与数量积的关系、向量共线定理即可得出．‎ 解答： 解：∵⊥，∥，‎ ‎∴2x﹣4=0，2y+4=0，‎ 解得x=2，y=﹣2．‎ ‎∴x+y=0．‎ 故选：A．‎ 点评： 本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量共线定理，属于基础题．‎ ‎5．（5分）已知，则sin2α=（）‎ ‎ A． ﹣ B． ﹣ C． D． ‎ 考点： 二倍角的正弦． ‎ 专题： 计算题；三角函数的求值．‎ 分析： 条件两边平方，结合二倍角公式即可求解．‎ 解答： 解：将两边平方得，，‎ 可得，‎ 故选B．‎ 点评： 本题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简求值．‎ - 19 -‎ ‎6．（5分）若a=2x，b=logx，则“a＞b”是“x＞‎1”‎的（）‎ ‎ A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 ‎ C． 充要条件 D． 既不充分又不必要条件 考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． ‎ 专题： 函数的性质及应用；简易逻辑．‎ 分析： 先画出函数的图象，根据图象以及充分条件，必要条件的定义即可判断a＞b与x＞1的关系．‎ 解答： 解：如图，x=x0时，a=b，∴若a＞b，则得到x＞x0，且x0＜1，∴a＞b不一定得到x＞1；‎ ‎∴a＞b不是x＞1的充分条件；‎ 若x＞1，则由图象得到a＞b，∴a＞b是x＞1的必要条件；‎ ‎∴a＞b是x＞1的必要不充分条件．‎ 故选：B．‎ 点评： 本题考查指数函数、对数函数图象，充分条件，必要条件，必要不充分条件的概念．‎ ‎7．（5分）如图所示的程序框图，它的输出结果是（）‎ - 19 -‎ ‎ A． 3 B． ‎4 ‎C． 5 D． 6‎ 考点： 循环结构． ‎ 专题： 计算题；图表型．‎ 分析： 根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，执行语句k=k+1，从而到结论．‎ 解答： 解：∵k=0，a=45时，sina=cosa不满足判断框中的条件，‎ k=1，a=90时，sina＞cosa，不满足判断框中的条件，‎ k=2，a=135时，sina＞cosa，不满足判断框中的条件，‎ k=3，a=180时，sina＞cosa，不满足判断框中的条件，‎ k=4，a=225时，sina=cosa，不满足判断框中的条件，‎ k=5，a=270时，sina＜cosa，满足判断框中的条件，‎ 即输出的结果为5，‎ 故答案为：C 点评： 本题主要考查了循环结构，当满足条件，执行循环，属于基础题．‎ ‎8．（5分）在区间[0，10]内随机取出两个数，则这两个数的平方和也在区间[0，10]内的概率是（）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ 考点： 等可能事件的概率． ‎ 专题： 计算题；压轴题．‎ 分析： 首先分析题目求这两个数的平方和也在区间[0，10]内的概率，可以联想到用几何的方法求解，利用面积的比值直接求得结果．‎ 解答： 解：将取出的两个数分别用x，y表示，则x，y∈[0，10]‎ 要求这两个数的平方和也在区间[0，10]内，即要求0≤x2+y2≤10，‎ 故此题可以转化为求0≤x2+y2≤10在区域内的面积比的问题．‎ - 19 -‎ 即由几何知识可得到概率为；‎ 故选D．‎ 点评： 此题考查等可能时间概率的问题，利用几何概型的方法解决本题，概率知识在2015届高考中难度有所下降，对利用古典概型和几何概型的基本方法要熟练掌握．‎ ‎9．（5分）设函数表示不超过x的最大整数，则函数y=[f（x）]的值域是（）‎ ‎ A． {0，1} B． {0，﹣1} C． {﹣1，1} D． {1，1}‎ 考点： 函数的值域． ‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 先把函数的解析式变形，根据指数函数的值域和反比例函数的单调性求出函数的值域，利用[x]表示不超过x的最大整数可得本题的答案．‎ 解答： 解：f（x）==﹣，‎ ‎∵2x＞0，∴1+2x＞1，0＜＜1，‎ ‎∴﹣＜y＜，‎ ‎∵[x]表示不超过x的最大整数，‎ ‎∴y=[f（x）]的值域为{0，﹣1}，‎ 故选B．‎ 点评： 本题考查函数值域的求法，本题利用指数函数的值域与复合函数的单调性规律求解，解答要细心．‎ ‎10．（5分）已知函数f（x）=|2x﹣1|，a＜b＜c，且f（a）＞f（c）＞f（b），则下列结论中成立的是（）‎ ‎ A． a＜0，b＜0，c＜0 B． a＜0，b≥0，c＞‎0 ‎C． 2﹣a＜‎2c D． ‎2a+‎2c＜2‎ - 19 -‎ 考点： 指数函数单调性的应用． ‎ 专题： 计算题；函数的性质及应用．‎ 分析： 根据函数在区间（﹣∞，0）上是减函数，结合题设可得A不正确；根据函数的解析式，结合举反例的方法，可得到B、C不正确；利用函数的单调性结合函数的解析式，对a＜c且f（a）＞f（c）加以讨论，可得D是正确的．由此不难得到正确选项．‎ 解答： 解：对于A，若a＜0，b＜0，c＜0，因为a＜b＜c，所以a＜b＜c＜0，‎ 而函数f（x）=|2x﹣1|在区间（﹣∞，0）上是减函数，‎ 故f（a）＞f（b）＞f（c），与题设矛盾，所以A不正确；‎ 对于B，若a＜0，b≥0，c＞0，可设a=﹣1，b=2，c=3，‎ 此时f（c）=f（3）=7为最大值，与题设矛盾，故B不正确；‎ 对于C，取a=0，c=3，同样f（c）=f（3）=7为最大值，‎ 与题设矛盾，故C不正确；‎ 对于D，因为a＜c，且f（a）＞f（c），说明可能如下情况成立：‎ ‎（i）a、c位于函数的减区间（﹣∞，0），此时a＜c＜0，可得0＜‎2c＜‎2a＜1，所以‎2a+‎2c＜2成立；‎ ‎（ii）a、c不在函数的减区间（﹣∞，0），则必有a＜0＜c，所以f（a）=1﹣‎2a＞‎2c﹣1=f（c），‎ 化简整理，得‎2a+‎2c＜2成立．‎ 综上所述，可得只有D正确 故选D．‎ 点评： 本题以一个带绝对值的函数为例，在已知自变量大小关系和相应函数值的大小关系情况下，叫我们判断几个不等式的正确性，着重考查了函数的图象与单调性等知识点，属于中档题．‎ 二、填空题（本大题共3小题，其中11、12、13为必做题，14、15为选做题，二选一．每小题5分，共20分．请把正确答案填写在答题卷相应的横线上）.‎ ‎11．（5分）若f（x）=2x+2﹣xlga是奇函数，则实数a=．‎ 考点： 函数奇偶性的性质． ‎ - 19 -‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 由题设条件可知，可由函数是奇函数，建立方程f（x）+f（﹣x）=0，由此方程求出a的值 解答： 解：函数f（x）=2x+2﹣xlga是奇函数 ‎∴f（x）+f（﹣x）=0，‎ ‎∴2x+2﹣xlga+2﹣x+2xlga=0，即2x+2﹣x+lga（2x+2﹣x）=0‎ ‎∴lga=﹣1‎ ‎∴a=‎ 故答案为：．‎ 点评： 本题考查奇函数，解题的关键是熟练掌握奇函数的定义，由定义得出方程f（x）+f（﹣x）=0，由此方程求出参数的值．‎ ‎12．（5分）已知函数y=f（x）的图象在M（1，f（1））处的切线方程是+2，f（1）+f′（1）=3．‎ 考点： 导数的运算． ‎ 分析： 先将x=1代入切线方程可求出f（1），再由切点处的导数为切线斜率可求出f'（1）的值，最后相加即可．‎ 解答： 解：由已知切点在切线上，所以f（1）=，切点处的导数为切线斜率，所以，‎ 所以f（1）+f′（1）=3‎ 故答案为：3‎ 点评： 本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于以该点为切点的切线的斜率．‎ ‎13．（5分）当k＞0时，两直线kx﹣y=0，2x+ky﹣2=0与x轴围成的三角形面积的最大值为．‎ 考点： 简单线性规划． ‎ 专题： 数形结合．‎ 分析： 作出两直线与x轴围成的三角形，求出B的坐标，写出三角形面积公式，然后利用基本不等式求最值．‎ 解答： 解：由两直线kx﹣y=0，2x+ky﹣2=0与x轴围成的三角形如图，‎ - 19 -‎ 联立，解得B（）．‎ 则 ‎=．‎ 当且仅当k=，即k=时上式取等号．‎ 故答案为：．‎ 点评： 本题考查线性规划问题，近年来线性规划问题是2015届高考数学考试的热点，数形结合是数学思想的重要手段之一，是连接代数和几何的重要方法．随着要求数学知识从书本到实际生活的呼声不断升高，线性规划这一类新型数学应用问题要引起重视，是中档题．‎ 三、（坐标系与参数方程选做题）‎ ‎14．（5分）在极坐标系中，点A的极坐标为（2，0），直线l的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）+2=0，则点A到直线l的距离为．‎ 考点： 简单曲线的极坐标方程． ‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 先求出点A的坐标，直线l的普通方程，由点到直线的而距离公式求出点A到直线l的距离．‎ 解答： 解：由题意得 点A（2，0），直线l为 ρ（cosθ+sinθ）+2=0，即 x+y+2=0，‎ ‎∴点A到直线l的距离为 =2，故答案为 2．‎ 点评： 本题考查曲线的极坐标方程与普通方程的转化，点到直线的距离公式的应用．‎ 四、（几何证明选讲选做题）‎ ‎15．如图所示，过⊙O外一点A作一条直线与⊙O交于C，D两点，AB切⊙O于B，弦MN过CD的中点P．已知AC=4，AB=6，则MP•NP=．‎ - 19 -‎ 考点： 与圆有关的比例线段． ‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 由已知中，过⊙O外一点A作一条直线与⊙O交于C，D两点，AB切⊙O于B，我们由切割线定理，结合已知中AC=4，AB=6，我们易求出AD的长，进而求出弦CD的长，又由弦MN过CD的中点P，由相交弦定理我们易求出MP•NP．‎ 解答： 解：∵AB为⊙O的切线，ACD为⊙O的割线 由切割线定理可得：AB2=AC•AD 由AC=4，AB=6，故AD=9‎ 故CD=5‎ 又∵P是弦CD的中点 故PC=PD=‎ 由相交弦定理得MP•NP=PC•PD=‎ 故答案为：‎ 点评： 本题考查的知识点是与圆相关的比例线段，分析已知线段与未求线段与圆的关系，以选择恰当的定理是解答此题的关键．‎ 五、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎16．（12分）在△ABC中，边a、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足bcosC=（‎3a﹣c）cosB．‎ ‎（1）求cosB；‎ ‎（2）若•=4，b=4，求边a，c的值．‎ 考点： 正弦定理；平面向量数量积的运算；余弦定理． ‎ 专题： 解三角形．‎ 分析： （1）利用正弦定理把题设等式中的边换成角的正弦，进而利用两角和公式化简整理求得cosB的值．‎ ‎（2）由 •=4 可得 ac=12，再由余弦定理可得 a2+c2=40，由此求得边a，c的值．‎ 解答： 解：（1）在△ABC中，∵bcosC=（‎3a﹣c）cosB，由正弦定理可得 sinBcosC=（3sinA﹣sinC）cosB，‎ ‎∴3sinA•cosB﹣sinC•cosB=sinBcosC，化为：3sinA•cosB=sinC•cosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA．‎ - 19 -‎ ‎∵在△ABC中，sinA≠0，故cosB=．‎ ‎（2）由 •=4，b=4，可得，a•c•cosB=4，即 ac=12．…①．‎ 再由余弦定理可得 b2=32=a2+c2﹣‎2ac•cosB=a2+c2﹣，即 a2+c2=40，…②．‎ 由①②求得a=2，c=6； 或者a=6，c=2．‎ 综上可得，，或 ．‎ 点评： 本题以三角形为载体，主要考查了正弦定理、余弦定理的运用，考查两角和公式．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎17．（12分）年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某小区的老龄人有350人，他们的健康状况如下表：‎ 健康指数 2 1 0 ﹣1‎ ‎60岁至79岁的人数 120 133 32 15‎ ‎80岁及以上的人数 9 18 14 9‎ 其中健康指数的含义是：2代表“健康”，1代表“基本健康”，0代表“不健康，但生活能够自理”，﹣1代表“生活不能自理”．‎ ‎（Ⅰ）随机访问该小区一位80岁以下的老龄人，该老龄人生活能够自理的概率是多少？‎ ‎（Ⅱ）按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取5位，并随机地访问其中的3位．求被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率．‎ 考点： 古典概型及其概率计算公式． ‎ 专题： 概率与统计．‎ 分析： （Ⅰ）求出该小区80岁以下的老龄人数，即可求解老龄人生活能够自理的概率．‎ ‎（Ⅱ）按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取5位，并随机地访问其中的3位．写出5人中抽取3人的基本事件总数，被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的个数，即可求解健康指数不大于0的概率．‎ 解答： 解：（Ⅰ）解：该社区80岁以下的老龄人共有120+133+32+15=300人，…（ 1分）‎ 其中生活能够自理的人有120+133+32=285人，…（2分）‎ 记“随机访问该小区一位80岁以下的老龄人，该老人生活能够自理”为事件A，‎ 则P（A）==． …（4分）‎ ‎（Ⅱ）根据表中数据可知，社区健康指数大于0的老龄人共有280人，‎ 不大于0的老龄人共有70人，…（5分）‎ 所以，按照分层抽样，被抽取的5位老龄人中，有位为健康指数大于0的，‎ 依次记为：a，b，c，d，有一位健康指数不大于0的，记为e． …（7分）‎ 从这5人中抽取3人的基本事件有：（a，b，c）（a，b，d）（a，b，e）（a，c，d）（a，c，e）（a，d，e）‎ ‎（b，c，d）（b，c，e）（b，d，e）（c，d，e）共10种，…（9分）‎ 其中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的事件有：（a，b，e） （a，c，e）‎ ‎（a，d，e） （b，c，e）（b，d，e）（c，d，e）共6种，…（10分）‎ - 19 -‎ 记“被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于‎0”‎为事件B，‎ 则P（B）= …（12分）‎ 点评： 本题考查分层抽样，古典概型概率公式的应用，基本知识的考查．‎ ‎18．（14分）a∈R，解关于x的不等式≥a（x﹣1）．‎ 考点： 其他不等式的解法． ‎ 专题： 计算题；不等式的解法及应用．‎ 分析： 通过方程的根的大小对a的讨论，然后求出表达式的解集．‎ 解答： 解：原不等式可转化为≥0（*）．‎ ‎（1）当a=1时，（*）式为≥0，‎ 解得x＜0或x≥1．‎ ‎（2）当a≠1时，（*）可式为≥0‎ ‎①若a＜1，则a﹣1＜0，＜0，‎ 解得≤x＜0，或x≥1；‎ ‎②若1＜a≤2，则1﹣a＜0，≥1，‎ 解得x＜0，或1≤x≤；‎ ‎③若a＞2，则a﹣1＞1，0＜＜1，1﹣a＜0，‎ 解得x＜0，或≤x≤1；‎ 综上，当a=1时，不等式解集为{x|x＜0或x≥1}‎ 当a＜1时，不等式解集为{x|≤x＜0，或x≥1}‎ 当1＜a≤2时，不等式解集为{x|x＜0，或1≤x≤}‎ 当a＞2时，不等式解集为{x|x＜0，或≤x≤1}．‎ 点评： 本题考查不等式的解集的求法，分类讨论思想的应用，考查计算能力．‎ ‎19．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BCA=90°，AP=AC，点D，E分别在棱PB，PC上，且BC∥平面ADE．‎ ‎（Ⅰ）求证：DE⊥平面PAC；‎ ‎（Ⅱ）若PC⊥AD，且三棱锥P﹣ABC的体积为8，求多面体ABCED的体积．‎ - 19 -‎ 考点： 直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定． ‎ 专题： 空间位置关系与距离．‎ 分析： （Ⅰ）利用BC∥平面ADE，可得BC∥ED．利用PA⊥底面ABC，PA⊥BC．利用线面垂直的判定可得 BC⊥平面PAC，即可证明．‎ ‎（II）由（Ⅰ）知，DE⊥平面PAC，可得DE⊥PC．进而得到PC⊥平面ADE，AE⊥PC．由于AP=AC，可得E是PC的中点，ED是△PBC的中位线．得到==．即可得出VABCED=．‎ 解答： 解：（Ⅰ）∵BC∥平面ADE，BC⊂平面PBC，平面PBC∩平面ADE=DE ‎∴BC∥ED．‎ ‎∵PA⊥底面ABC，BC⊂底面ABC，‎ ‎∴PA⊥BC．‎ 又∠BCA=90°，∴AC⊥BC．‎ ‎∵PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC．‎ ‎∴DE⊥平面PAC．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，DE⊥平面PAC，‎ ‎∵PC⊂平面PAC，∴DE⊥PC，‎ 又∵PC⊥AD，AD∩DE=D，∴PC⊥平面ADE，∴AE⊥PC，‎ ‎∵AP=AC，∴E是PC的中点，ED是△PBC的中位线．‎ ‎==．‎ ‎∴VABCED===6．‎ 点评： 本题考查了线面平行于垂直的判定与性质定理、三角形的中位线定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎20．（14分）已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且a2n+an=2Sn ‎（1）求a1‎ ‎（2）求数列{an}的通项；‎ - 19 -‎ ‎（3）若bn=（n∈N*），Tn=b1+b2+…bn，求证：Tn＜．‎ 考点： 数列的求和． ‎ 专题： 计算题；等差数列与等比数列．‎ 分析： （1）a2n+an=2Sn中令n=1求a1‎ ‎（2）又a2n+an=2Sn有a2n+1+an+1=2Sn+1，两式相减得并整理得（an+1+an）（an+1﹣an﹣1）=0，数列{an}是以a1=1，公差为1的等差数列，以此求数列{an}的通项；‎ ‎（3）由（2）得出an=n，利用放缩法求证：Tn＜．‎ 解答： 解：（1）令n=1，得a12+a1=2S1=‎2a1，∵a1＞0，∴a1=1，‎ ‎（2）又a2n+an=2Sn，‎ 有a2n+1+an+1=2Sn+1，‎ 两式相减得并整理得（an+1+an）（an+1﹣an﹣1）=0，‎ ‎∵an＞0，∴an+1﹣an=1，∴数列{an}是以a1=1，公差为1的等差数列，‎ 通项公式为an=1+（n﹣1）×1=n；‎ ‎（3）n=1时b1=1＜符合…（9分）‎ n≥2时，因为==2（﹣）‎ 所以Tn=b1+b2+…bn＜1+2（++…+﹣）=1=‎ ‎∴Tn＜．‎ 点评： 本题考查等差数列的判定与通项公式求解，不等式的证明，是数列与不等式的结合．‎ ‎21．（14分）已知函数f（x）=（x2﹣3x+3）•ex的定义域为[﹣2，t]，设f（﹣2）=m，f（t）=n．‎ ‎（1）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数；‎ ‎（2）求证：m＜n；‎ ‎（3）求证：对于任意的t＞﹣2，总存在x0∈（﹣2，t），满足=（t﹣1）2；又若方程=（t﹣1）2；在（﹣2，t）上有唯一解，请确定t的取值范围．‎ 考点： 利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用． ‎ 专题： 计算题；证明题；导数的综合应用．‎ 分析： （1）求导得f′（x）=（2x﹣3）•ex+（x2﹣3x+3）•ex=x（x﹣1）ex，从而可得f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减，从而确定t的取值范围；‎ - 19 -‎ ‎（2）借助（1）可知，f（x）在x=1处取得极小值e，求出f（﹣2）=m=＜e，则f（x）在[﹣2，+∞）上的最小值为f（﹣2），从而得证；‎ ‎（3）化简=﹣x0，从而将=（t﹣1）2化为﹣x0=（t﹣1）2，令g（x）=x2﹣x﹣（t﹣1）2，则证明方程x2﹣x﹣（t﹣1）2=0在（﹣2，t）上有解，并讨论解的个数；由二次函数的性质讨论即可．‎ 解答： 解：（1）∵f′（x）=（2x﹣3）•ex+（x2﹣3x+3）•ex=x（x﹣1）ex，‎ 由f′（x）＞0可得，x＞1或x＜0；‎ 由f′（x）＞＜0可得，0＜x＜1；‎ ‎∴f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减，‎ 欲f（x）在[﹣2，t]上为单调函数，‎ 则﹣2＜t≤0；‎ ‎∴t的取值范围为（﹣2，0]．‎ ‎（2）证明：∵f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减，‎ ‎∴f（x）在x=1处取得极小值e，‎ 又∵f（﹣2）=m=＜e=f（1），‎ ‎∴f（x）在[﹣2，+∞）上的最小值为f（﹣2）．‎ 从而当t＞﹣2时，f（﹣2）＜f（t），即m＜n；‎ ‎（3）证明：∵=﹣x0，‎ ‎∴=（t﹣1）2可化为﹣x0=（t﹣1）2，‎ 令g（x）=x2﹣x﹣（t﹣1）2，‎ 则证明方程x2﹣x﹣（t﹣1）2=0在（﹣2，t）上有解，并讨论解的个数．‎ ‎∵g（﹣2）=6﹣（t﹣1）2=﹣（t+2）（t﹣4），‎ g（t）=t（t﹣1）﹣（t﹣1）2=（t+2）（t﹣1），‎ ‎①当t＞4或﹣2＜t＜1时，‎ g（﹣2）•g（t）＜0，则方程x2﹣x﹣（t﹣1）2=0在（﹣2，t）上有且只有一解；‎ ‎②当1＜t＜4时，g（﹣2）＞0，且g（t）＞0，‎ 又∵g（0）=﹣（t﹣1）2＜0，‎ ‎∴方程x2﹣x﹣（t﹣1）2=0在（﹣2，t）上有解，且有两解；‎ - 19 -‎ ‎③当t=1时，g（x）=x2﹣x=0，‎ 从而解得，x=0或x=1，‎ 故方程x2﹣x﹣（t﹣1）2=0在（﹣2，t）上有且只有一解；‎ ‎④当t=4时，g（x）=x2﹣x﹣6=0，‎ 从而解得，x=﹣2或x=3，‎ 故方程x2﹣x﹣（t﹣1）2=0在（﹣2，t）上有且只有一解；‎ 综上所述，对于任意的t＞﹣2，总存在x0∈（﹣2， t），满足=（t﹣1）2；‎ 当方程=（t﹣1）2在（﹣2，t）上有唯一解时，t的取值范围为（﹣2，1]∪[4，+∞）．‎ 点评： 本题考查了导数的综合应用，同时考查了分类讨论的数学思想应用，属于难题．‎ - 19 -‎