广东省揭阳一中、潮州金山中学、广大附中2015届高三数学上学期期中联考试卷 理（含解析）.doc

广东省2015届高三数学上学期期中联考试卷（理科含解析）‎ 一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）已知=（0，2），=（1，1），则下列结论中正确的是（）‎ ‎ A． （﹣）⊥（+） B． （﹣）⊥ C． ∥ D． ||=||‎ ‎2．（5分）若直线l1：x+（1+m）y=2﹣m与直线l2：2mx+4y=﹣16平行，则m=（）‎ ‎ A． m=﹣2 B． m=‎1 ‎C． m=﹣2或 m=1 D． ﹣‎ ‎3．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时f（x）=ex+m（m为常数），则f（﹣ln5）的值为（）‎ ‎ A． ﹣4 B． ‎4 ‎C． ﹣6 D． 6‎ ‎4．（5分）曲线+=1与曲线+=1（12＜k＜16）的（）‎ ‎ A． 长轴长与实轴长相等 B． 短轴长与虚轴长相等 ‎ C． 焦距相等 D． 离心率相等 ‎5．（5分）下列命题中，错误的是（）‎ ‎ A． 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交 ‎ B． 平行于同一平面的两个不同平面平行 ‎ C． 如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β ‎ D． 若直线l不平行平面α，则在平面α内不存在与l平行的直线 ‎6．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果为（）‎ - 20 -‎ ‎ A． 6 B． ‎5 ‎C． 8 D． 7‎ ‎7．（5分）“ac=bd”是“复数a+bi与c+di的积是纯虚数”的（）条件．‎ ‎ A． 充分必要 B． 充分不必要 ‎ C． 必要不充分 D． 既不充分也不必要 ‎8．（5分）定义一种新运算：a•b=已知函数f（x）=（1+）•log2x，若函数g（x）=f（x）﹣k恰有两个零点，则k的取值范围为（）‎ ‎ A． （1，2] B． （1，2） C． （0，2） D． （0，1）‎ 二.填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分．（一）必做题（9-13题）‎ ‎9．（5分）已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为120°的等腰三角形，则该三棱锥的体积为．‎ - 20 -‎ ‎10．（5分）已知数列{an}满足log3an+1=log3an﹣1，且a2+a4+a8=9，则log（a6+a8+a12）=．‎ ‎11．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=．‎ ‎12．（5分）．‎ ‎13．（5分）已知正实数x，y满足lnx+lny=0，且k（x+2y）≤x2+4y2恒成立，则k的最大值是．‎ 一、选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）坐标系与参数方程选做题 ‎14．（5分）极坐标系中，曲线ρ=﹣4sinθ和ρcosθ=1相交于点A，B，则|AB|=．‎ 一、几何证明选讲选做题 ‎15．如图所示，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB=2，BC=2，则⊙O的半径等于．‎ 三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎16．（12分）已知函数f（x）=2cosx（sinx﹣cosx）+1（x∈R）‎ ‎（1）求函数f（x）的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；‎ ‎（2）若f（x0）=，x0∈，求cos2x0的值．‎ ‎17．（12分）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“再来一瓶”或“谢谢惠顾”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“再来一瓶”字样即为中奖，中奖概率为．甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．‎ ‎（1）求甲、乙都中奖且丙没有中奖的概率；‎ ‎（2）求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ．‎ ‎18．（14分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B‎1C1的底面边长为1，点M在BC上，△AMC1是以M为直角顶点的等腰直角三角形．‎ - 20 -‎ ‎（1）求证：点M为BC的中点；‎ ‎（2）求点B到平面AMC1的距离；‎ ‎（3）求二面角M﹣AC1﹣C的大小．‎ ‎19．（14分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为F（1，0）．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设点O为坐标原点，过点F作直线l与椭圆E交于M，N两点，若OM⊥ON，求直线l的方程．‎ ‎20．（14分）设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn=2an﹣2n+1（n∈N*）．‎ ‎（1）求a1的值，并证明数列{}是等差数列；‎ ‎（2）设bn=log2，数列{}的前n项和为Bn，若存在整数m，使对任意n∈N*且n≥2，都有B3n﹣Bn＞成立，求m的最大值．‎ ‎21．（14分）已知函数f（x）=﹣x2+2lnx与g（x）=x+有相同极值点．‎ ‎（1）求实数a的值；‎ ‎（2）若x1，x2是区间内任意两个不同的数，求证：|f（x1）﹣f（x2）|＜6|x1﹣x2|；‎ ‎（3）若对于任意x1，x2∈，不等式≤1恒成立，求实数k的取值范围．‎ 广东省揭阳一中、潮州金山中学、广大附中联考2015届高三上学期期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 - 20 -‎ 一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）已知=（0，2），=（1，1），则下列结论中正确的是（）‎ ‎ A． （﹣）⊥（+） B． （﹣）⊥ C． ∥ D． ||=||‎ 考点： 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角． ‎ 专题： 平面向量及应用．‎ 分析： 根据平面向量数量积的概念与应用，判断两向量是否平行、垂直以及求它们的模长即可．‎ 解答： 解：∵=（0，2），=（1，1），‎ ‎∴（﹣）•（+）=﹣=4﹣2=2，∴（﹣）与（+）不垂直，A错误；‎ ‎（﹣）•=•﹣=2﹣2=0，∴（﹣）⊥，B正确；‎ ‎0×1﹣2×1=﹣2≠0，∴与不平行，C错误；‎ ‎||=2，||=，∴||≠||，D错误；‎ 故选：B．‎ 点评： 本题考查了平面向量数量积的应用问题，解题时应利用平面向量的数量积判断向量是否平行或垂直，以及求模长，是基础题．‎ ‎2．（5分）若直线l1：x+（1+m）y=2﹣m与直线l2：2mx+4y=﹣16平行，则m=（）‎ ‎ A． m=﹣2 B． m=‎1 ‎C． m=﹣2或 m=1 D． ﹣‎ 考点： 直线的一般式方程与直线的平行关系． ‎ 专题： 直线与圆．‎ 分析： 由两直线ax+by+c=0与mx+ny+d=0平行⇔（m≠0、n≠0、d≠0）解得即可．‎ 解答： 解：直线x+（1+m）y=2﹣m与2mx+4y=﹣16平行⇔‎ 解得：m=1．‎ 故选：B．‎ 点评： 本题考查直线与直线平行的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．‎ ‎3．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时f（x）=ex+m（m为常数），则f（﹣ln5）的值为（）‎ ‎ A． ﹣4 B． ‎4 ‎C． ﹣6 D． 6‎ - 20 -‎ 考点： 函数奇偶性的性质． ‎ 专题： 函数的性质及应用．‎ 分析： 利用奇函数的性质f（0）=0可得m，再利用f（x）=﹣f（﹣x）即可得出．‎ 解答： 解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=ex+m（m为常数），‎ ‎∴f（0）=e0+m=0，解得m=﹣1．‎ ‎∴当x≥0时，f（x）=ex﹣1，‎ ‎∴f（ln5）=eln5﹣1=4．‎ ‎∴f（﹣ln5）=﹣f（ln5）=﹣4．‎ 故选：A．‎ 点评： 本题考查了奇函数的性质与对数的运算法则，属于基础题．‎ ‎4．（5分）曲线+=1与曲线+=1（12＜k＜16）的（）‎ ‎ A． 长轴长与实轴长相等 B． 短轴长与虚轴长相等 ‎ C． 焦距相等 D． 离心率相等 考点： 椭圆的简单性质；双曲线的标准方程． ‎ 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析： 由曲线的标准方程分别计算其焦距即可判断出．‎ 解答： 解：曲线+=1是焦点在x轴上的椭圆，半焦距=2．‎ 曲线+=1（12＜k＜16）表示焦点在x轴上的双曲线，半焦距c2==2．‎ ‎∴两曲线的截距相等．‎ 故选：C．‎ 点评： 本题考查了标准方程及其性质，属于基础题．‎ ‎5．（5分）下列命题中，错误的是（）‎ ‎ A． 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交 ‎ B． 平行于同一平面的两个不同平面平行 ‎ C． 如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β ‎ D． 若直线l不平行平面α，则在平面α内不存在与l平行的直线 考点： 空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系． ‎ 专题： 计算题；压轴题；空间位置关系与距离．‎ 分析： 由直线与平面相交的性质，知A正确；由平面平行的判定定理，知B正确；由直线与平面垂直的性质定理，知C正确；当l⊂α时，在平面α内存在与l平行的直线，故D不正确．‎ 解答： 解：由直线与平面相交的性质，知一条直线与两个平行平面中的一个相交，‎ - 20 -‎ 则必与另一个平面相交，故A正确；‎ 由平面平行的判定定理知，平行于同一平面的两个不同平面平行，故B正确；‎ 由直线与平面垂直的性质定理，知如果平面α不垂直平面β，‎ 那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β，故C正确；‎ 若直线l不平行平面α，则当l⊂α时，在平面α内存在与l平行的直线，故D不正确．‎ 故选D．‎ 点评： 本题考查空间中直线与直线、直线与平面间的位置关系，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．‎ ‎6．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果为（）‎ ‎ A． 6 B． ‎5 ‎C． 8 D． 7‎ 考点： 程序框图． ‎ 专题： 算法和程序框图．‎ 分析： 根据直到型循环结构的程序框图，依次计算运行的结果，直到满足条件T≥S，运行终止，输出n值．‎ 解答： 解：由程序框图知：第一次运行的结果是T=22=4，n=2+1=3，S=32=9；‎ 第二次运行的结果是T=23=8，n=3+1=4，S=42=16；‎ 第三次运行的结果是T=24=16，n=4+1=5，S=52=25；‎ 第四次运行的结果是T=25=32，n=5+1=6，S=62=36；‎ 第五次运行的结果是T=26=64，n=6+1=7，S=72=49，满足条件T≥S，运行终止，输出n=7．‎ 故选D．‎ 点评： 本题流程了直到型循环结构的程序框图，读懂框图的流程是关键．‎ ‎7．（5分）“ac=bd”是“复数a+bi与c+di的积是纯虚数”的（）条件．‎ ‎ A． 充分必要 B． 充分不必要 ‎ C． 必要不充分 D． 既不充分也不必要 考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． ‎ 专题： 数系的扩充和复数．‎ - 20 -‎ 分析： ac=bd时，（a+bi）（c+di）=（ac﹣bd）+（ad+bc）i=（ad+bc）i，该复数不一定是纯虚数，当ad+bc=0时就不是；若“复数a+bi与c+di的积是纯虚数”时，（a+bi）（c+di）=（ac﹣bd）+（ad+bc）i，所以ac=bd，所以得到“ac=bd”是“复数a+bi与c+di的积是纯虚数”的必要不充分条件．‎ 解答： 解：（1）若ac=bd，则（a+bi）（c+di）=（ac﹣bd）+（ad+bc）i=（ad+bc）i，而（ad+bc）i不一定是纯虚数，当ad+bc=0时就不是；‎ ‎∴“ac=bd”不是“复数a+bi与c+di的积是纯虚数”的充分条件；‎ ‎（2）若复数a+bi与c+di的积是纯虚数，则由（a+bi）（c+di）=（ac﹣bd）+（ad+bc）i得：‎ ac﹣bd=0，即ac=bd；‎ ‎∴“ac=bd”是“复数a+bi与c+di的积是纯虚数”的必要条件；‎ 综上得“ac=bd”是“复数a+bi与c+di的积是纯虚数”的必要不充分条件．‎ 故选C．‎ 点评： 考查复数的概念，纯虚数的概念，复数的乘法运算，以及充分条件、必要条件、必要不充分条件的概念．‎ ‎8．（5分）定义一种新运算：a•b=已知函数f（x）=（1+）•log2x，若函数g（x）=f（x）﹣k恰有两个零点，则k的取值范围为（）‎ ‎ A． （1，2] B． （1，2） C． （0，2） D． （0，1）‎ 考点： 根的存在性及根的个数判断． ‎ 专题： 函数的性质及应用．‎ 分析： 由新定义可得函数f（x）的解析式，问题等价于函数f（x）与y=k的图象有两个交点，作出函数的图象可得答案．‎ 解答： 解：令1+=log2x，可解得x=4，此时函数值为2，‎ 而且当0＜x≤4时，1+≥log2x，当x＞4时1+＜log2x，‎ 故f（x）=（1+）•log2x=，‎ 函数g（x）=f（x）﹣k恰有两个零点等价于 函数f（x）与y=k的图象有两个交点，‎ 作出函数的图象：‎ 由图象可知，k的取值范围为（1，2）‎ 故选B - 20 -‎ 点评： 本题考查根的存在性即个数的判断，数形结合是解决问题的关键，属中档题．‎ 二.填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分．（一）必做题（9-13题）‎ ‎9．（5分）已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为120°的等腰三角形，则该三棱锥的体积为．‎ 考点： 由三视图求面积、体积． ‎ 专题： 空间位置关系与距离．‎ 分析： 根据已知中的三视图，可得该几何体是一个三棱锥，求出棱锥的底面面积及棱锥的高，代入棱锥体积公式，可得答案．‎ 解答： 解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个三棱锥 由一视图和俯视图可得底面底边长为2，‎ 由左视图可得底面底边上的高为1，‎ 故底面积S==‎ 由主视图和左视图可得棱锥的高h=2‎ 故棱锥的体积V=Sh==‎ 故答案为：‎ - 20 -‎ 点评： 本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知中的三视图判断出几何体的形状是解答的关键．‎ ‎10．（5分）已知数列{an}满足log3an+1=log3an﹣1，且a2+a4+a8=9，则log（a6+a8+a12）=2．‎ 考点： 等差数列的性质；对数的运算性质． ‎ 专题： 计算题；等差数列与等比数列．‎ 分析： 先由数列{an}满足log3an+1=log3an﹣1探讨数列，得到数列是以为公比的等比数列，再由a2+a4+a6=a2（1+q2+q4），a6+a8+a12=a6（1+q2+q4）=a2q4（1+q2+q4）求解．‎ 解答： 解：∵log3an﹣1=log3an+1‎ ‎∴an+1=an ‎∴数列{an}是以为公比的等比数列，‎ ‎∴a2+a4+a6=a2（1+q2+q4）=9‎ ‎∴a6+a8+a12=a6（1+q2+q4）=a2q4（1+q2+q4）=9×=，‎ ‎∴log（a6+a8+a12）=2‎ 故答案为：2．‎ 点评： 本题考查了等比数列的定义及其性质、对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎11．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=30°．‎ 考点： 正弦定理． ‎ 专题： 解三角形．‎ 分析： 已知sinC=2sinB利用正弦定理化简，代入第一个等式用b表示出a，再利用余弦定理列出关系式，将表示出的c与a代入求出cosA的值，即可确定出A的度数．‎ 解答： 解：将sinC=2sinB利用正弦定理化简得：c=2b，‎ 代入得a2﹣b2=bc=6b2，即a2=7b2，‎ ‎∴由余弦定理得：cosA===，‎ ‎∵A为三角形的内角，‎ ‎∴A=30°．‎ 故答案为：30°‎ 点评： 此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．‎ - 20 -‎ ‎12．（5分）．‎ 考点： 定积分． ‎ 专题： 计算题；导数的概念及应用．‎ 分析： 根据积分计算公式，求出被积函数x﹣sinx的原函数，再根据微积分基本定理加以计算，即可得到本题答案．‎ 解答： 解：根据题意，可得 ‎=（x2+cosx）‎ ‎=（×π2+cosπ）﹣（×02+cos0）=‎ 故答案为：‎ 点评： 本题求一个函数的原函数并求定积分值，考查定积分的运算和微积分基本定理等知识，属于基础题．‎ ‎13．（5分）已知正实数x，y满足lnx+lny=0，且k（x+2y）≤x2+4y2恒成立，则k的最大值是．‎ 考点： 基本不等式；函数单调性的性质． ‎ 专题： 函数的性质及应用．‎ 分析： 由题意可得xy=1，k应小于或等于的最小值．令 x+2y=t，可得 t≥2，且 =t﹣，故k应小于或等于t﹣ 的最小值．根据函数 t﹣‎ 在上的最大值和最小值；‎ ‎（2）若f（x0）=，x0∈，求cos2x0的值．‎ 考点： 三角函数中的恒等变换应用． ‎ 专题： 三角函数的图像与性质．‎ 分析： （1）函数f（x）可化简为f（x）=2sin（2x﹣），从而可求最小正周期及在区间上的最大值和最小值；‎ ‎（2）先求出sin（2x0），cos（2x0）的值，从而cos2x0=cos=﹣．‎ 解答： 解：（1）由f（x）=2cosx（sinx﹣cosx）+1（x∈R）得 f（x）=（2sinxcosx）﹣（2cos2x﹣1）=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣）‎ 所以函数f（x）的最小正周期为π - 20 -‎ 因为f（x）=2sin（2x﹣）在区间上是增函数，在区间上为减函数，‎ 又f（0）=﹣1，f（）=2，f（）=，‎ 所以函数f（x）在区间上的最大值为2，最小值为﹣1．‎ ‎（Ⅱ）解：由（1）可知f（x0）=2sin（2x0）‎ 又因为f（x0）=，所以sin（2x0）=‎ 由x0∈，得2x0∈‎ 从而cos（2x0）=﹣=﹣‎ 所以cos2x0=cos=cos（2x0）cos﹣sin（2x0）sin=﹣‎ 点评： 本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象与性质，属于基础题．‎ ‎17．（12分）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“再来一瓶”或“谢谢惠顾”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“再来一瓶”字样即为中奖，中奖概率为．甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．‎ ‎（1）求甲、乙都中奖且丙没有中奖的概率；‎ ‎（2）求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ．‎ 考点： 离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式． ‎ 专题： 概率与统计．‎ 分析： （1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么P（A）=P（B）=P（C）=，由此能求出甲、乙都中奖且丙没有中奖的概率．‎ ‎（2）ξ的可能值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ．‎ 解答： 解：（1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么 P（A）=P（B）=P（C）=，…（2分）‎ P（）=P（A）P（B）P（）=（）2•=．…（5分）‎ 答：甲、乙都中奖且丙没有中奖的概率为．…（6分）‎ ‎（2）ξ的可能值为0，1，2，3…（7分）‎ P（ξ=k）=，（k=0，1，2，3）…（9分）‎ 所以中奖人数ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3‎ - 20 -‎ P ‎ ‎…（10分）‎ Eξ=0×+1×+2×+3×=．…（12分）‎ 点评： 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．‎ ‎18．（14分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B‎1C1的底面边长为1，点M在BC上，△AMC1是以M为直角顶点的等腰直角三角形．‎ ‎（1）求证：点M为BC的中点；‎ ‎（2）求点B到平面AMC1的距离；‎ ‎（3）求二面角M﹣AC1﹣C的大小．‎ 考点： 二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算． ‎ 专题： 空间位置关系与距离；空间角．‎ 分析： （1）由已知得CC1⊥AM，AM⊥MC1且AM=MC1，从而AM⊥面CC‎1M，由此能证明点M为BC中点．‎ ‎（2）法一：过点B作BH⊥C‎1M，交其延长线于H，则AM⊥C‎1M，AM⊥CB，从而BH为点B到平面AMC1的距离，由此能求出结果．‎ 法二：设点B到平面AMC1的距离为h．则，由此利用等积法能求出点B到平面AMC1的距离．‎ ‎（3）法一：过M作MH⊥AC于H，作MG⊥AC1于G，连结GH．，∠MGH为二面角M﹣AC1﹣C的平面角，由此能求出二面角M﹣AC1﹣C的大小．‎ 法二：过M作MM1∥CC1，交B‎1C1于M1．以M为坐标原点，BC，AM，MM1分别为x轴，y轴，z轴，利用向量法能求出二面角M﹣AC1﹣C的大小．‎ 解答： （1）证明：∵在正三棱柱ABC﹣A1B‎1C1中，有CC1⊥底面ABC，AM⊂面ABC，‎ ‎∴CC1⊥AM，…（1分）‎ 又∵△AMC1是以点M为直角顶点的等腰直角三角形，‎ ‎∴AM⊥MC1且AM=MC1‎ ‎∵CC1∩C‎1M=C1，‎ ‎∴AM⊥面CC‎1M，…（2分）‎ ‎∵BC⊂面CC‎1M，‎ ‎∴AM⊥BC，…（3分）‎ ‎∵底面ABC是边长为1的正三角形，‎ - 20 -‎ ‎∴点M为BC中点．…（4分）‎ ‎（2）解法一：过点B作BH⊥C‎1M，交其延长线于H，‎ 由（1）知AM⊥C‎1M，AM⊥CB，‎ ‎∴AM⊥平面C1CBB1，‎ ‎∴AM⊥BH，∴BH⊥平面AMC1，‎ ‎∴BH为点B到平面AMC1的距离，…（6分）‎ ‎∴AM=C‎1M=，‎ 在Rt△CC‎1M中，解得CC1=，…（7分）‎ ‎∵△BHM∽△C‎1CM，‎ ‎∴，∴，‎ 解得BH=．…（9分）‎ ‎（2）解法二：设点B到平面AMC1的距离为h．‎ 则，…（5分）‎ 由（I）知 AM⊥C‎1M，AM⊥CB，‎ ‎∴AM⊥平面C1CBB1…（6分）‎ ‎∵AB=1，BM=，∴AM=MC1=，CC1=，…（7分）‎ ‎∴，…（8分）‎ ‎∴，‎ 解得h=．…（9分）‎ ‎（3）解法一：过M作MH⊥AC于H，作MG⊥AC1于G，连结GH．‎ ‎∵平面AC1⊥平面ABC，且面AC1∩面ABC=AC，‎ 又MH⊂面ABC，MH⊥AC，∴MH⊥面AC1，∴MH⊥AC1，‎ 又∵MG⊥AC1，且MH∩MG=M，‎ ‎∴AC1⊥面MHG，∴AC1⊥GH，‎ 故∠MGH为二面角M﹣AC1﹣C的平面角，…（11分）‎ 由（1）知MH==，‎ 在等腰直角三角形AMC1中，MG==，‎ ‎∴==．…（13分）‎ 因为二面角M﹣AC1﹣C为锐二面角，故，‎ - 20 -‎ 所以二面角M﹣AC1﹣C的大小为．…（14分）‎ ‎（3）解法二：过M作MM1∥CC1，交B‎1C1于M1．‎ 以M为坐标原点，BC，AM，MM1分别为x轴，y轴，z轴，‎ 建立空间直角坐标系．…（10分）‎ 设面ACC1的一个法向量为，‎ 则，取y=1，得=（﹣），…（11分）‎ 同理可求得面AMC1的一个法向量为=（﹣），…（12分）‎ 设二面角M﹣AC1﹣C的大小为θ，由图知θ为锐角，‎ 故cosθ=||==，解得．…（13分）‎ 故二面角M﹣AC1﹣C的大小为．…（14分）‎ - 20 -‎ 点评： 本题考查点M为BC的中点的证明，考查点B到平面AMC1的距离的求法，考查二面角M﹣AC1﹣C的大小的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．‎ ‎19．（14分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为F（1，0）．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设点O为坐标原点，过点F作直线l与椭圆E交于M，N两点，若OM⊥ON，求直线l的方程．‎ 考点： 椭圆的简单性质． ‎ 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析： （1）根据椭圆的几何性质，求出a、b的值即可；‎ ‎（2）讨论直线MN的斜率是否存在，设出MN的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，结合OM⊥ON，•=0求出直线的斜率k，即可求出直线l的方程．‎ 解答： 解：（1）依题意得，c=1，∴；…（2分）‎ 解得a=，b=1；‎ ‎∴椭圆E的标准方程为+y2=1；…（4分）‎ ‎（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），‎ ‎①当MN垂直于x轴时，MN的方程为x=1，不符题意；…（5分）‎ ‎②当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为y=k（x﹣1）；…（6分）‎ 由得：x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0，…（8分）‎ ‎∴x1+x2=，x1•x2=；…（10分）‎ ‎∴y1•y2=k2（x1﹣1）（x2﹣1）k2=；‎ 又∵OM⊥ON，∴•=0；‎ ‎∴x1•x2+y1y2==0，‎ 解得k=±，…（13分）‎ ‎∴直线l的方程为：y=±（x﹣1）．…（14分）‎ - 20 -‎ 点评： 本题考查了椭圆的几何性质的应用问题，也考查了直线与椭圆的应用问题，考查了根与系数关系的应用问题，平面向量的应用问题，是综合题．‎ ‎20．（14分）设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn=2an﹣2n+1（n∈N*）．‎ ‎（1）求a1的值，并证明数列{}是等差数列；‎ ‎（2）设bn=log2，数列{}的前n项和为Bn，若存在整数m，使对任意n∈N*且n≥2，都有B3n﹣Bn＞成立，求m的最大值．‎ 考点： 数列的求和；等差关系的确定． ‎ 专题： 等差数列与等比数列．‎ 分析： （1）当n=1时，a1=S1=‎2a1﹣22，解得a1．当n≥2时，由Sn=2an﹣2n+1（n∈N*）．可得．两式相减可得．即可证明．‎ ‎（2）由（1）可得=+（n﹣1）=n+1．可得．bn=log2==n，Bn=，B3n﹣Bn=…+．证明为单调递增数列即可得出．‎ 解答： 解：（1）当n=1时，a1=S1=‎2a1﹣22，解得a1=4．‎ 当n≥2时，由Sn=2an﹣2n+1（n∈N*）．可得．‎ 两式相减，得an=2an﹣2an﹣1﹣2n，‎ ‎∴=1．‎ ‎∴数列是以首项为2，公差为1的等差数列．‎ ‎（2）由（1）可得=+（n﹣1）=n+1．‎ ‎∴．‎ ‎∴bn=log2==n，‎ - 20 -‎ ‎∴Bn=，‎ 则B3n﹣Bn=…+．‎ 令f（n）=…+．‎ 则f（n+1）=+…++++，‎ ‎∴f（n+1）﹣f（n）===0．‎ 即f（n+1）＞f（n），‎ ‎∴数列{f（n）}为递增数列．‎ ‎∴当n≥2时，f（n）的最小值为f（2）==．‎ 据题意，，即m＜19．‎ 又m为整数，故m的最大值为18．‎ 点评： 本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎21．（14分）已知函数f（x）=﹣x2+2lnx与g（x）=x+有相同极值点．‎ ‎（1）求实数a的值；‎ ‎（2）若x1，x2是区间内任意两个不同的数，求证：|f（x1）﹣f（x2）|＜6|x1﹣x2|；‎ ‎（3）若对于任意x1，x2∈，不等式≤1恒成立，求实数k的取值范围．‎ 考点： 利用导数研究函数的极值． ‎ 专题： 计算题；证明题；导数的综合应用．‎ 分析： （1）求出f（x）的导数，求得单调区间，得到极大值点，再由条件求出g（x）的导数，得到方程，解出即可；‎ ‎（2）|f（x1）﹣f（x2）|＜6|x1﹣x2|⇔f（x1）﹣f（x2）＜6（x2﹣x1）⇔f（x1）+6x1＜f（x2）+6x2，令h（x）=f（x）+6x，求出导数，求出单调区间，即可得证；‎ ‎（3）求出f（x）在上的最值，运用导数求得g（x）在上的最值，讨论①k＞1时，不等式≤1恒成立，⇔k﹣1≥max⇔k≥max+1，②k＜1时，不等式≤1恒成立，⇔k﹣1≤min⇔k≤min+1，列出不等式，解出求并集即可．‎ - 20 -‎ 解答： （1）解：由f′（x）=﹣2x+=﹣，‎ 知当0＜x＜1时f′（x）＞0；‎ 当x＞1时f′（x）＜0；‎ ‎∴f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数．‎ ‎∴x=1为函数f（x）的极大值点．‎ 又函数f（x）=﹣x2+2lnx与g（x）=x+有相同极值点，‎ ‎∴x=1是函数g（x）的极值点，‎ ‎∵g′（x）=1﹣．∴g′（a）=1﹣a=0，解得a=1．‎ 经检验，当a=1时，函数g（x）取到极小值，符合题意．‎ ‎（2）证明：由（1）知函数f（x）在上单调递减，‎ 不妨设x1＜x2，∴|f（x1）﹣f（x2）|＜6|x1﹣x2|⇔f（x1）﹣f（x2）＜6（x2﹣x1）‎ ‎⇔f（x1）+6x1＜f（x2）+6x2，‎ 令h（x）=f（x）+6x，‎ 则h′（x）=﹣2x++6，因为h′（x）在（2，3）上单调递减，且h′（2）=﹣4+7=3＞0‎ 当x∈（2，3）时，h′（x）＞0，‎ 所以函数h（x）在上单调递增，∴h（x1）＜h（x2），所以问题得证．‎ ‎（3）解：∵f（）=﹣﹣2，f（1）=﹣1，f（3）=﹣9+2ln3，‎ ‎∵﹣9+2ln3＜﹣﹣2＜﹣1，即 f（3）＜f（）＜f（1），‎ ‎∴任意x1∈，f（x）min=f（3）=﹣9+2ln3，f（x1）max=f（1）=﹣1‎ 由（1）知g（x）=x，∴g′（x）=1﹣．‎ 当x∈时，g′（x）＜0；当x∈（1，3]时，g′（x）＞0．‎ 故g（x）在为减函数，在（1，3]上为增函数．‎ ‎∵g（）=e，g（1）=2，g（3）=，而 2＜e+＜，∴g（1）＜g（）＜g（3），‎ ‎∴任意x2∈，g（x2）min=g（1）=2，g（x2）max=g（3）=．‎ ‎①当k﹣1＞0，即k＞1时，对于任意x1，x2∈，不等式≤1恒成立，‎ ‎⇔k﹣1≥max⇔k≥max+1‎ 由于f（x1）﹣g（x2）≤f（1）﹣g（1）=﹣3，∴k≥﹣2又∵k＞1，∴k＞1．‎ ‎②当k﹣1＜0，即k＜1时，对于任意x1，x2∈，不等式≤1恒成立，‎ ‎⇔k﹣1≤min⇔k≤min+1‎ ‎∵f（x1）﹣g（x2）≥f（3）﹣g（3）=﹣9+2ln3﹣=2ln3﹣‎ - 20 -‎ ‎∴k+2ln3．又∵k＜1，∴k+2ln3．‎ 综上，所求的实数k的取值范围为（﹣∞，﹣+2ln3]∪（1，+∞）．‎ 点评： 本题考查导数的运用：求单调区间和求极值、最值，考查分类讨论的思想方法，不等式恒成立问题转化为求最值，考查构造函数运用导数求最值，考查运算能力，属于中档题．‎ - 20 -‎