广东省汕头市潮师高中2015届高三数学上学期期中试卷 理（含解析）.doc

汕头市2015届高三数学第一学期期中试卷（理科附解析）‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）已知M={x|﹣2≤x≤4，x∈Z}，N={x|﹣1＜x＜3}，则M∩N=（）‎ ‎ A． （﹣1，3） B． [﹣2，1） C． {0，1，2} D． {﹣2，﹣1，0}‎ ‎2．（5分）函数f（x）=的定义域是（）‎ ‎ A． （1，2） B． [1，2） C． （﹣∞，1）∪（2，+∞） D． （1，2]‎ ‎3．（5分）函数的零点所在的区间是（）‎ ‎ A． （0，1） B． （1，2） C． （2，3） D． （3，10）‎ ‎4．（5分）函数f（x）=sin，x∈[﹣1，1]，则（）‎ ‎ A． f（x）为偶函数，且在[0，1]上单调递减 ‎ B． f（x）为偶函数，且在[0，1]上单调递增 ‎ C． f（x）为奇函数，且在[﹣1，0]上单调递增 ‎ D． f（x）为奇函数，且在[﹣1，0]上单调递减 ‎5．（5分）若平面，满足|+|=1，+平行于y轴，=（2，﹣1），则=（）‎ ‎ A． （﹣1，1） B． （﹣2，2） C． （﹣1，1）或（﹣3，1） D． （﹣2，2）或（﹣2，0）‎ ‎6．（5分）平面向量、的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+|=（）‎ ‎ A． B． C． 3 D． 7‎ ‎7．（5分）在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，BE与AC相交于点F，若（m，n∈R），则的值为（）‎ ‎ A． 2 B． ﹣‎2 ‎C． 3 D． ﹣3‎ ‎8．（5分）已知函数f（x）=x2+lnx，∃x0∈[1，e]，使不等式f（x）≤m，则实数m的取值范围（）‎ ‎ A． m≥1+ B． m C． m≥1 D． m≥1+e - 17 -‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答 ‎9．（5分）定积分=．‎ ‎10．（5分）已知向量，满足，（﹣）⊥，向量与的夹角为．‎ ‎11．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则log‎4f（2）=．‎ ‎12．（5分）设曲线y=eax在点（0，1）处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a=．‎ ‎13．（5分）如图是用二分法求方程x2﹣2=0近似解的程序框图，若输入x1=1，x2=2，ɛ=0.3，则输出的m是．（注：框图中的“=”，即为“←”或为“：=”）‎ 三、填空题（共2小题，每小题3分，满分6分）‎ ‎14．（3分）在极坐标系中，设曲线C1：ρ=2sinθ，C2：ρ=2cosθ分别相较于A、B两点，则线段AB直平分线的极坐标方程为．‎ ‎15．（3分）（几何证明选讲）如图，圆O的直径AB=9，直线CE与圆O相切于点C，AD⊥CE于D，若AD=1，设∠ABC=θ，则sinθ=．‎ - 17 -‎ 三、解答题：本大题6小题，满分79分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎16．（12分）已知函数f（x）=sinx+cos（x﹣），求函数f（x）的单调递减区间．‎ ‎17．（11分）已知向量=（﹣3，2），=（2，1），=（3，﹣1），t∈R．‎ ‎（1）求||的最小值及相应的t值；‎ ‎（2）若与共线，求实数t．‎ ‎18．（14分）已知函数f（x）=2sin2（+x）﹣‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的周期；‎ ‎（Ⅱ）若x∈[，]，求f（x）的最大值和最小值；‎ ‎（Ⅲ）若f（+）=，a∈（0，），求sina的值．‎ ‎19．（14分）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=3，AD=2，AB=2，BC=6‎ ‎（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；‎ ‎（Ⅱ）求二面角P﹣BD﹣A的大小．‎ ‎20．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣ax2﹣（1﹣‎2a）x（a＞0）‎ ‎（1）求f（x）的最大值；‎ ‎（Ⅱ）判断函数f（x）在区间（，2）上的零点的个数（e自然对数的底数）．‎ - 17 -‎ ‎21．（14分）已知函数f（x）=ex，x∈R．‎ ‎（Ⅰ） 若直线y=kx+1与f（x）的反函数的图象相切，求实数k的值；‎ ‎（Ⅱ） 设x＞0，讨论曲线y=f（x）与曲线y=mx2（m＞0）公共点的个数．‎ ‎（Ⅲ） 设a＜b，比较与的大小，并说明理由．‎ 广东省汕头市潮师高中2015届高三上学期期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）已知M={x|﹣2≤x≤4，x∈Z}，N={x|﹣1＜x＜3}，则M∩N=（）‎ ‎ A． （﹣1，3） B． [﹣2，1） C． {0，1，2} D． {﹣2，﹣1，0}‎ 考点： 交集及其运算． ‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 由列举法写出集合M，然后直接取符合集合N的元素构成集合即可．‎ 解答： 解：由M={x|﹣2≤x≤4，x∈Z}={﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，N={x|﹣1＜x＜3}，‎ 所以M∩N={0，1，2}．‎ 故选C．‎ 点评： 本题考查了交集及其运算，是基础的会考题型．‎ ‎2．（5分）函数f（x）=的定义域是（）‎ ‎ A． （1，2） B． [1，2） C． （﹣∞，1）∪（2，+∞） D． （1，2]‎ 考点： 函数的定义域及其求法． ‎ 分析： 根据函数的解析式可得 ，解得x的范围，从而求得函数的定义域．‎ 解答： 解：∵函数f（x）=，∴，解得 1＜x＜2，故函数的定义域为 （1，2），‎ 故选A．‎ 点评： 本题主要考查求函数的定义域的方法，属于基础题．‎ ‎3．（5分）函数的零点所在的区间是（）‎ ‎ A． （0，1） B． （1，2） C． （2，3） D． （3，10）‎ - 17 -‎ 考点： 函数的零点与方程根的关系． ‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 本题考查的知识点是函数零点，要想判断函数零点所在的区间，我们可以将四个答案中的区间一一代入进行判断，看是否满足f（a）•f（b）＜0，‎ 解答： 解：∵f（2）=＜0‎ f（3）=＞0‎ ‎∴f（2）•f（3）＜0‎ ‎∴f（x）的零点点所在的区间是（2，3）‎ 故选C 点评： 连续函数f（x）在区间（a，b）上，如果f（a）•f（b）＜0，则函数f（x）在区间（a，b）必然存在零点．‎ ‎4．（5分）函数f（x）=sin，x∈[﹣1，1]，则（）‎ ‎ A． f（x）为偶函数，且在[0，1]上单调递减 ‎ B． f（x）为偶函数，且在[0，1]上单调递增 ‎ C． f（x）为奇函数，且在[﹣1，0]上单调递增 ‎ D． f（x）为奇函数，且在[﹣1，0]上单调递减 考点： 复合三角函数的单调性；正弦函数的奇偶性． ‎ 专题： 三角函数的图像与性质．‎ 分析： 利用诱导公式化简函数f（x）的解析式为cosπx，故函数为偶函数．再由当x∈[0，1]时，可得函数y=cosπx 是减函数，从而得出结论．‎ 解答： 解：∵函数f（x）=sin=cosπx，故函数为偶函数，故排除C、D．‎ 当x∈[0，1]时，πx∈[0，π]，函数y=cosπx 是减函数，‎ 故选A．‎ 点评： 本题主要考查诱导公式、余弦函数的奇偶性和单调性，属于中档题．‎ ‎5．（5分）若平面，满足|+|=1，+平行于y轴，=（2，﹣1），则=（）‎ ‎ A． （﹣1，1） B． （﹣2，2） C． （﹣1，1）或（﹣3，1） D． （﹣2，2）或（﹣2，0）‎ 考点： 平面向量数量积的运算． ‎ 专题： 平面向量及应用．‎ 分析： 设出向量的坐标，由题意，得到坐标的方程解之即可．‎ 解答： 解：设则=（x，y），因为平面，满足|+|=1，+平行于y轴，=（2，﹣1），‎ 所以+=（x+2，y﹣1），所以（x+2）2+（y﹣1）2=1，并且x+2=0，‎ - 17 -‎ 所以x=﹣2，y=2或者0；‎ 所以=（﹣2，0）或（﹣2，2）；‎ 故选D．‎ 点评： 本题考查了向量的坐标运算以及向量平行的性质，属于基础题．‎ ‎6．（5分）平面向量、的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+|=（）‎ ‎ A． B． C． 3 D． 7‎ 考点： 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角． ‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 根据题意，由的坐标，可得||，进而可得•的值，利用公式|+|2=2+2•+2，计算出|+|2，开方可得答案．‎ 解答： 解：根据题意，=（2，0），则||=2，‎ 又由||=1且、夹角为60°，则•=2×1×cos60°=1，‎ ‎|+|2=2+2•+2=4+2+1=7；‎ 则|+|=；‎ 故选B．‎ 点评： 本题考查数量积的运用，注意先根据的坐标，求出的模．‎ ‎7．（5分）在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，BE与AC相交于点F，若（m，n∈R），则的值为（）‎ ‎ A． 2 B． ﹣‎2 ‎C． 3 D． ﹣3‎ 考点： 向量在几何中的应用；平面向量的基本定理及其意义． ‎ 专题： 平面向量及应用．‎ 分析： 利用三角形的相似，可得，再利用向量的加法运算，即可得到结论．‎ 解答： 解：因为AD∥BC，所以△AEF∽△CBF，‎ 因为点E是AD的中点，所以．‎ 所以 - 17 -‎ ‎∵=‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴m=，n=﹣，‎ ‎∴=﹣2．‎ 故选B．‎ 点评： 本题考查向量的加法运算，考查三角形相似知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎8．（5分）已知函数f（x）=x2+lnx，∃x0∈[1，e]，使不等式f（x）≤m，则实数m的取值范围（）‎ ‎ A． m≥1+ B． m C． m≥1 D． m≥1+e 考点： 利用导数求闭区间上函数的最值． ‎ 专题： 计算题；函数的性质及应用．‎ 分析： 易知x2，lnx在[1，e]上都是增函数，从而可得f（x）=x2+lnx在[1，e]上是增函数，从而求出函数f（x）的取值范围，从而由题意求实数m的取值范围．‎ 解答： 解：∵x2，lnx在[1，e]上都是增函数，‎ ‎∴f（x）=x2+lnx在[1，e]上是增函数，‎ ‎∴≤f（x）≤，‎ 则∃x0∈[1，e]，使不等式f（x）≤m可化为 ‎≤m，‎ 即m．‎ 故选B．‎ 点评： 本题考查了函数的单调性的判断与应用，同时考查了存在性问题的处理方法，属于中档题．‎ - 17 -‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答 ‎9．（5分）定积分=e2．‎ 考点： 定积分． ‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 求出被积函数的原函数，将积分的上限、下限代入求值即可．‎ 解答： 解：=（lnx+x2）|1e ‎=lne+e2﹣（ln1+12）‎ ‎=e2故答案为：e2．‎ 点评： 本题考查利用微积分基本定理求积分值、考查定积分的公式，属于基础题．‎ ‎10．（5分）已知向量，满足，（﹣）⊥，向量与的夹角为．‎ 考点： 数量积表示两个向量的夹角． ‎ 专题： 平面向量及应用．‎ 分析： 由题意可得 （）•=﹣=0，再利用两个向量的数量积的定义求得 cos＜＞的值，即可求得向量与的夹角．‎ 解答： 解：由题意可得 （）•=﹣=0，即 1﹣1××cos＜＞=0，‎ 解得 cos＜＞=．‎ 再由＜＞∈[0，π]，可得＜＞=，‎ 故答案为 ．‎ 点评： 本题主要考查两个向量的数量积的定义，根据三角函数的值求角，属于中档题．‎ ‎11．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则log‎4f（2）=．‎ 考点： 幂函数的性质． ‎ 专题： 函数的性质及应用．‎ 分析： 设幂函数f（x）=xα，把点（，）代入可得，解得α，可得f（x）．再利用对数的运算性质即可得出．‎ 解答： 解：设幂函数f（x）=xα，‎ 把点（，）代入可得，解得α=．‎ - 17 -‎ ‎∴f（x）=．‎ ‎∴f（x）=．‎ ‎∴log‎4f（2）==．‎ 故答案为：．‎ 点评： 本题考查了幂函数的定义、对数的运算性质，属于基础题．‎ ‎12．（5分）设曲线y=eax在点（0，1）处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a=2．‎ 考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程． ‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再根据两直线垂直建立等式关系，解之即可．‎ 解答： 解：∵y=eax∴y′=aeax ‎∴曲线y=eax在点（0，1）处的切线方程是y﹣1=a（x﹣0），即ax﹣y+1=0‎ ‎∵直线ax﹣y+1=0与直线x+2y+1=0垂直 ‎∴﹣a=﹣1，即a=2．‎ 故答案为：2‎ 点评： 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及两直线垂直的应用等有关问题，属于基础题．‎ ‎13．（5分）如图是用二分法求方程x2﹣2=0近似解的程序框图，若输入x1=1，x2=2，ɛ=0.3，则输出的m是1.25．（注：框图中的“=”，即为“←”或为“：=”）‎ 考点： 程序框图． ‎ 专题： 图表型．‎ - 17 -‎ 分析： 按照用二分法求函数零点近似值得步骤求解即可．注意验证精确度的要求．‎ 解答： 解：令f（x）=x2﹣2，‎ 则f（1）=﹣1＜0，f（2）=2＞0，取m=1.5，f（1.5）=0.25＞0，此时|1.5﹣1|=0.5＞0.3，不合精确度要求．‎ 再取m=1.25，f（1.25）=﹣0.4375＜0．此时|1.25﹣1.5|=0.25＜0.3，符合精确度要求．‎ 则输出的m是 1.25．‎ 故答案可为：1.25．‎ 点评： 本题主要考查用二分法求区间根的问题，属于基础题型．二分法是把函数的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而求零点近似值的方法．‎ 三、填空题（共2小题，每小题3分，满分6分）‎ ‎14．（3分）在极坐标系中，设曲线C1：ρ=2sinθ，C2：ρ=2cosθ分别相较于A、B两点，则线段AB直平分线的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1．‎ 考点： 简单曲线的极坐标方程． ‎ 专题： 坐标系和参数方程．‎ 分析： 把曲线的极坐标分别化为直角坐标方程联立可得交点坐标，求出线段AB的垂直平分线的方程，再化为直角坐标方程即可．‎ 解答： 解：曲线C1：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，∴x2+y2=2y．‎ C2：ρ=2cosθ化为ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x．‎ 联立，解得，．‎ ‎∴A（0，0），B（1，1）．‎ 线段AB的中点为M．‎ ‎∵kAB=1，∴线段AB直平分线的斜率k=﹣1．‎ ‎∴线段AB直平分线的直角坐标方程为：，‎ 化为x+y=1．‎ ‎∴线段AB直平分线的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1．‎ 故答案为：ρcosθ+ρsinθ=1．‎ 点评： 本题考查了曲线的极坐标与直角坐标方程的互化、线段的垂直平分线的方程的求法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎15．（3分）（几何证明选讲）如图，圆O的直径AB=9，直线CE与圆O相切于点C，AD⊥CE于D，若AD=1，设∠ABC=θ，则sinθ=．‎ - 17 -‎ 考点： 与圆有关的比例线段． ‎ 专题： 直线与圆．‎ 分析： 利用圆的性质、切线的性质、三角形相似的判定与性质、三角函数的定义即可得出．‎ 解答： 解：∵直线CE与圆O相切于点C，∴∠ACD=∠ABC．‎ ‎∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ADC=∠ACB=90°．‎ ‎∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2=AB•AD=9×1=9，解得AC=3．‎ ‎∴．‎ 故答案为．‎ 点评： 熟练掌握圆的性质、切线的性质、三角形相似的判定与性质、三角函数的定义是解题的关键．‎ 三、解答题：本大题6小题，满分79分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎16．（12分）已知函数f（x）=sinx+cos（x﹣），求函数f（x）的单调递减区间．‎ 考点： 三角函数中的恒等变换应用． ‎ 专题： 三角函数的图像与性质．‎ 分析： 首先通过恒等变换不函数变形成正弦型函数，进一步求出单调区间．‎ 解答： 解：（1）已知：f（x）=sinx+cos（x﹣）=sinx+= …（1分）‎ 令：（k∈Z）‎ 解得：（k∈Z）‎ 所以：函数的单调递减区间为：[]（k∈Z）‎ 点评： 本题考查的知识点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的单调区间的求法．‎ ‎17．（11分）已知向量=（﹣3，2），=（2，1），=（3，﹣1），t∈R．‎ - 17 -‎ ‎（1）求||的最小值及相应的t值；‎ ‎（2）若与共线，求实数t．‎ 考点： 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量共线（平行）的坐标表示． ‎ 专题： 计算题；平面向量及应用．‎ 分析： （1）利用求模公式表示出||，根据二次函数的性质可得其最小值及相应的t值；‎ ‎（2）利用向量共线定理可得关于t的方程，解出即得t值；‎ 解答： 解：（1）∵=（﹣3，2），=（2，1），=（3，﹣1），‎ ‎∴+t=（﹣3，2）+t（2，1）=（﹣3+2t，2+t），‎ ‎∴|+t|==‎ ‎=≥=（当且仅当t=时等号成立）．‎ ‎（2）∵=（﹣3，2）﹣t（2，1）=（﹣3﹣2t，2﹣t），‎ 又与共线，‎ ‎∴（﹣3﹣2t）×（﹣1）=3×（2﹣t），解得t=．‎ 点评： 本题考查平面向量共线的坐标表示、利用数量积求模等知识，属基础题．‎ ‎18．（14分）已知函数f（x）=2sin2（+x）﹣‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的周期；‎ ‎（Ⅱ）若x∈[，]，求f（x）的最大值和最小值；‎ ‎（Ⅲ）若f（+）=，a∈（0，），求sina的值．‎ 考点： 三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法． ‎ 专题： 三角函数的求值；三角函数的图像与性质．‎ 分析： （Ⅰ）化简可得f（x）=1+2sin（2x﹣），从而可求f（x）的周期；‎ ‎（Ⅱ）若x∈[，]，则可确定2x﹣的取值范围，从而可求f（x）的最大值和最小值；‎ - 17 -‎ ‎（Ⅲ）由已知可求出sin（）=，从而可求cos（），故可求sinα=sin[（）+]的值．‎ 解答： 解：（Ⅰ）f（x）=2sin2（+x）﹣=[1﹣cos（+2x）]﹣cos2x=1+sin2x﹣cos2x=1+2sin（2x﹣）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）‎ ‎∴f（x）的周期T==π﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）‎ ‎（Ⅱ）∵x∈[，]，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）‎ ‎∴2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）‎ ‎∴f（x）max=3，f（x）min=2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）‎ ‎（Ⅲ）∵f（+）=1+2sin（）=1+2sin（）=∴sin（）=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）‎ ‎∵a∈（0，），所以，（未说明角的范围扣1分）∴cos（）=﹣﹣﹣（12分）‎ ‎∴sinα=sin[（）+]==﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）‎ 点评： 本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，属于基础题．‎ ‎19．（14分）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=3，AD=2，AB=2，BC=6‎ ‎（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；‎ ‎（Ⅱ）求二面角P﹣BD﹣A的大小．‎ 考点： 用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定． ‎ - 17 -‎ 专题： 综合题．‎ 分析： 解法一：（I）由已知中底面为直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=90°，且PA⊥平面ABCD，我们结合线面垂直的性质及勾股定理，可以得到BD与平面PAC中两个相交直线PA，AC均垂直，进而根据线面垂直的判定定理得到BD⊥平面PAC；‎ ‎（Ⅱ）连接PE，可得∠AEP为二面角P﹣BD﹣A的平面角，解三角形AEP即可得到二面角P﹣BD﹣A的大小．‎ 解法二：（I）以A为坐标原点，建立空间坐标系，根据向量垂直，数量积为零，判断出BD⊥AP，BD⊥AC，再由线面垂直的判定定理得到BD⊥平面PAC；‎ ‎（Ⅱ）分别求出平面PBD与平面ABD的一个法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角P﹣BD﹣A的大小．‎ 解答： 解法一：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD．∴BD⊥PA．‎ 又，．∴∠ABD=30°，∠BAC=60°，∴∠AEB=90°，即BD⊥AC．‎ 又PA∩AC=A．∴BD⊥平面PAC．‎ ‎…．．（6分）‎ ‎（Ⅱ）连接PE．∵BD⊥平面PAC．∴BD⊥PE，BD⊥AE．∴∠AEP为二面角P﹣BD﹣A的平面角．‎ 在Rt△AEB中，，‎ ‎∴，∴∠AEP=60°，∴二面角P﹣BD﹣A的大小为60°． …．．（12分）‎ 解法二：（Ⅰ）如图，建立坐标系，‎ 则A（0，0，0），，，D（0，2，0），P（0，0，3），‎ ‎∴，，，∴．‎ ‎∴BD⊥AP，BD⊥AC，‎ 又PA∩AC=A，∴BD⊥面PAC．‎ - 17 -‎ ‎（Ⅱ）设平面ABD的法向量为m=（0，0，1），‎ 设平面PBD的法向量为n=（x，y，1），‎ 则n，n∴解得∴．‎ ‎∴cos＜m，n＞==．∴二面角P﹣BD﹣A的大小为60°．‎ 点评： 本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面垂直的判定，（I）的关键是熟练掌握空间中直线与平面垂直的判定定理，（II）的关键法一是得到∠AEP为二面角P﹣BD﹣A的平面角，法二是求出平面PBD与平面ABD的一个法向量．‎ ‎20．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣ax2﹣（1﹣‎2a）x（a＞0）‎ ‎（1）求f（x）的最大值；‎ ‎（Ⅱ）判断函数f（x）在区间（，2）上的零点的个数（e自然对数的底数）．‎ 考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． ‎ 专题： 导数的综合应用．‎ 分析： （1）先求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值；（2）通过讨论a的范围，从而得出函数的零点的个数．‎ 解答： 解：（1）∵函数f（x）的定义域是（0，+∞），‎ f′（x）=﹣，‎ ‎∵x＞0，a＞0，∴2ax+1＞0，‎ ‎∴0＜x＜1时，f′（x）＞0，x＞1时，f′（x）＜0，‎ ‎∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，‎ ‎∴x=1时，f（x）最大值=f（1）=a﹣1；‎ ‎（2）由（1）得，x=1时，f（x）的最大值是a﹣1，‎ ‎①0＜a＜1时，f（1）＜0，函数f（x）与x轴没有交点，故函数f（x）没有零点，‎ ‎②a=1时，f（1）=0，若x≠1，则f（x）＜f（1），即f（x）＜0，且x=1∈（，2），‎ 此时，函数f（x）与x轴只有一个交点，故函数f（x）只有一个零点，‎ ‎③a＞1时，f（1）＞0，又f=﹣a﹣＜0，f（2）=ln2﹣2＜0，‎ 函数f（x）与x轴有2个交点，故函数f（x）有2个零点，‎ 综上：0＜a＜1时，f（x）没有零点，a=1时，f（x）有1个零点，a＞1时，f（x）有2个零点．‎ 点评： 本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查了函数的零点问题，考查了导数的应用，是一道中档题．‎ ‎21．（14分）已知函数f（x）=ex，x∈R．‎ ‎（Ⅰ） 若直线y=kx+1与f（x）的反函数的图象相切，求实数k的值；‎ - 17 -‎ ‎（Ⅱ） 设x＞0，讨论曲线y=f（x）与曲线y=mx2（m＞0）公共点的个数．‎ ‎（Ⅲ） 设a＜b，比较与的大小，并说明理由．‎ 考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；反函数；根的存在性及根的个数判断；不等关系与不等式． ‎ 专题： 压轴题；导数的综合应用．‎ 分析： （I）先求出其反函数，利用导数得出切线的斜率即可；‎ ‎（II）由f（x）=mx2，令h（x）=，利用导数研究函数h（x）的单调性即可得出；‎ ‎（III）利用作差法得 ===，令g（x）=x+2+（x﹣2）ex（x＞0），利用导数研究其单调性即可证明．‎ 解答： 解：（I）函数f（x）=ex的反函数为g（x）=lnx，∴．‎ 设直线y=kx+1与g（x）的图象相切于点P（x0，y0），则，解得，k=e﹣2，‎ ‎∴k=e﹣2．‎ ‎（II）当x＞0，m＞0时，令f（x）=mx2，化为m=，‎ 令h（x）=，则，‎ 则x∈（0，2）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；x∈（2，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增．‎ ‎∴当x=2时，h（x）取得极小值即最小值，．‎ ‎∴当时，曲线y=f （x） 与曲线y=mx2（m＞0）公共点的个数为0；‎ 当时，曲线y=f （x） 与曲线y=mx2（m＞0）公共点的个数为1；‎ - 17 -‎ 当时，曲线y=f （x） 与曲线y=mx2（m＞0）公共点个数为2．‎ ‎（Ⅲ） =‎ ‎=‎ ‎=，‎ 令g（x）=x+2+（x﹣2）ex（x＞0），则g′（x）=1+（x﹣1）ex．‎ g′′（x）=xex＞0，∴g′（x）在（0，+∞）上单调递增，且g′（0）=0，‎ ‎∴g′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，‎ 而g（0）=0，∴在（0，+∞）上，有g（x）＞g（0）=0．‎ ‎∵当x＞0时，g（x）=x+2+（x﹣2）•ex＞0，且a＜b，‎ ‎∴，‎ 即当a＜b时，．‎ 点评： 本题综合考查了利用导数研究切线、单调性、方程得根的个数、比较两个实数的大小等基础知识，考查了分类讨论的思想方法、转化与化归思想方法，考查了推理能力和计算能力．‎ - 17 -‎