广东省汕头市金山中学2015届高三数学上学期期中试卷 理（含解析）.doc

汕头市2015届高三数学上学期期中试题（理科附解析）‎ 一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（5分）设集合，，则M∩N=（）‎ ‎ A． （﹣1，+∞） B． [﹣1，2） C． （﹣1，2） D． [﹣1，2]‎ ‎2．（5分）已知α，β角的终边均在第一象限，则“α＞β”是“sinα＞sinβ”的（）‎ ‎ A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 ‎ C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎3．（ 5分）函数周期为π，其图象的一条对称轴是x=，则此函数的解析式可以为（）‎ ‎ A． y=sin（+） B． y=sin（2x+） C． y=sin（2x﹣） D． y=sin（2x﹣）‎ ‎4．（5分）设、都是非零向量，下列四个条件中，一定能使+=成立的是（）‎ ‎ A． =﹣ B． ∥ C． =2 D． ⊥‎ ‎5．（5分）方程ln（x+1）﹣=0，（x＞0）的根存在的大致区间是（）‎ ‎ A． （0，1） B． （1，2） C． （2，e） D． （3，4）‎ ‎6．（5分）已知向量、的夹角为45°，且||=1，|2﹣|=，则||=（）‎ ‎ A． 3 B． ‎2‎ C． D． 1‎ ‎7．（5分）已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）‎ ‎ A． （0，） B． （，1） C． （1，2） D． （2，+∞）‎ ‎8．（5分）设向量=（a1，a2），=（b1，b2），定义一种向量积：⊗=（a1，a2）⊗（b1，b2）=（a1b1，a2b2）．已知向量=（，4），=（‎ - 21 -‎ ‎，0），点P在y=cosx的图象上运动，点Q在y=f（x）的图象上运动，且满足（其中O为坐标原点），则y=f（x）在区间[，]上的最大值是（）‎ ‎ A． 4 B． ‎2 ‎C． D． ‎ 二、填空题：（本大题共5小题，作答6小题，每小题5分，共30分.）必做题（9～13题）‎ ‎9．（5分）函数y=的定义域为．‎ ‎10．（5分）图中阴影部分的面积等于．‎ ‎11．（5分）已知是R上的减函数，则a的取值范围是．‎ ‎12．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若=，则的值是．‎ ‎13．（5分）已知函数f（x）=aln（x+1）﹣x2，若在区间（0，1）内任取两个实数p，q，且p≠q，不等式恒成立，则实数a的取值范围是．‎ - 21 -‎ 二.选做题（14、15题，只能从中选做一题，两题都选只计算14题得分）（几何证明选讲选做题）‎ ‎14．（5分）如图，PA是圆O的切线，切点为A，PO交圆O于B，C两点，PA=，PB=1，则∠PAB=．‎ ‎（坐标系与参数方程选做题）‎ ‎15．在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为，曲线C的参数方程为（α为参数）．求点M到曲线C上的点的距离的最小值．‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）‎ ‎16．（12分）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：‎ x x1 x2 x3‎ ωx+ϕ 0 π 2π Asin（ωx+ϕ） 0 0 ﹣ 0‎ ‎（Ⅰ）请写出上表的x1、x2、x3，并直接写出函数的解析式；‎ ‎（Ⅱ）将f（x）的图象沿x轴向右平移个单位得到函数g（x）的图象，P、Q分别为函数g（x）图象的最高点和最低点（如图），求∠OQP的大小．‎ ‎17．（12分）设函数．‎ - 21 -‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的最大值，并写出使f（x）取最大值是x的集合；‎ ‎（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若．求a的最小值．‎ ‎18．（14分）已知函数f（x）=x2﹣ax（a≠0），g（x）=lnx，f（x）图象与x轴异于原点的交点M处的切线为l1，g（x﹣1）与x轴的交点N处的切线为l2，并且l1与l2平行．‎ ‎（1）求f（2）的值；‎ ‎（2）已知实数t≥，求u=xlnx，x∈[1，e]的取值范围及函数y=f（u+t）的最值．‎ ‎19．（14分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2﹣4n+4，（n∈N*）．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）数列{bn}中，令bn=，Tn=b121+b222+b323+…+bn2n，求Tn；‎ ‎（3）设各项均不为零的数列{cn}中，所有满足ci•ci+1＜0的正整数i的个数称为这个数列{cn}的变号数．令cn=1﹣（n为正整数），求数列{cn}的变号数．‎ ‎20．（14分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F．⊙M的圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切．过原点O作倾斜角为的直线n，交l于点A，交⊙M于另一点B，且AO=OB=2．‎ ‎（Ⅰ）求⊙M和抛物线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若P为抛物线C上的动点，求的最小值；‎ ‎（Ⅲ）过l上的动点Q向⊙M作切线，切点为S，T，求证：直线ST恒过一个定点，并求该定点的坐标．‎ ‎21．（14分）已知函数f（x）=x2+a（x+lnx），x＞0，a∈R是常数．‎ ‎（1）求函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（2）若函数y=f（x）图象上的点都在第一象限，试求常数a的取值范围；‎ ‎（3）证明：∀a∈R，存在ξ∈（1，e），使f′（ξ）=．‎ - 21 -‎ 广东省汕头市金山中学2015届高三上学期期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（5分）设集合，，则M∩N=（）‎ ‎ A． （﹣1，+∞） B． [﹣1，2） C． （﹣1，2） D． [﹣1，2]‎ 考点： 指数函数的单调性与特殊点；交集及其运算；其他不等式的解法． ‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 由题意，可先化简两个集合，得，，再由交集的运算求出交集，即可选出正确答案．‎ 解答： 解：由题意，，‎ ‎∴M∩N={x|﹣1≤x＜2}∩{x|x＞﹣1}=（﹣1，2），‎ 故选C．‎ 点评： 本题考查求集合的交，解分式不等式，指数不等式，解题的关键是正确化简两个集合及理解交的运算．‎ ‎2．（5分）已知α，β角的终边均在第一象限，则“α＞β”是“sinα＞sinβ”的（）‎ ‎ A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 ‎ C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断；正弦函数的单调性． ‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 取特值验证可得α＞β不是sinα＞sinβ的充分条件；α＞β不是sinα＞sinβ的必要条件，所以α＞β是sinα＞sinβ的即不充分也不必要条件．‎ 解答： 解：由题意得 当α=390°，β=60°时有sinα＜sinβ 所以α＞β不是sinα＞sinβ的充分条件．‎ 当sinα=，sinβ=时 因为α，β角的终边均在第一象限 所以不妨取α=60°，β=390°‎ 所以α＞β不是sinα＞sinβ的必要条件．‎ 因此α＞β是sinα＞sinβ的即不充分也不必要条件．‎ 故选D．‎ - 21 -‎ 点评： 本题以判断是否是充要条件作为考查工具考查三角函数的知识点，由于本题是选择题因此可以利用特值的方法判断．特值法是做选择题时一种快速灵活简便的方法．‎ ‎3．（5分）函数周期为π，其图象的一条对称轴是x=，则此函数的解析式可以为（）‎ ‎ A． y=sin（+） B． y=sin（2x+） C． y=sin（2x﹣） D． y=sin（2x﹣）‎ 考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． ‎ 专题： 三角函数的图像与性质．‎ 分析： 通过函数的周期排除A，利用图象的一条对称轴是x=，验证函数是否取得最值得到选项即可．‎ 解答： 解：∵函数的周期为π，‎ ‎∴ω=2，A不正确；‎ 函数的图象的一条对称轴是x=，‎ ‎∴2x﹣=，y=sin（2x﹣）取得最大值，‎ 故选：D．‎ 点评： 本题考查三角函数的基本性质的应用，基本知识的考查．‎ ‎4．（5分）设、都是非零向量，下列四个条件中，一定能使+=成立的是（）‎ ‎ A． =﹣ B． ∥ C． =2 D． ⊥‎ 考点： 平行向量与共线向量． ‎ 专题： 平面向量及应用．‎ 分析： 根据向量共线定理，可得若+=成立，则向量、共线且方向相反，对照各个选项并结合数乘向量的含义，可得本题答案．‎ 解答： 解：由+=得若=﹣=，即，则向量、共线且方向相反，‎ 因此当向量、共线且方向相反时，能使+=成立，‎ 对照各个选项，可得B项中向量、的方向相同或相反，‎ C项中向量向量、的方向相同，‎ - 21 -‎ D项中向量、的方向互相垂直．‎ 只有A项能确定向量、共线且方向相反．‎ 故选：A 点评： 本题考查了数乘向量的含义与向量共线定理等知识，属于基础题．‎ ‎5．（5分）方程ln（x+1）﹣=0，（x＞0）的根存在的大致区间是（）‎ ‎ A． （0，1） B． （1，2） C． （2，e） D． （3，4）‎ 考点： 函数零点的判定定理． ‎ 专题： 函数的性质及应用．‎ 分析： 令f（x）=ln（x+1）﹣，得出f（1）f（2）＜0，从而得出答案．‎ 解答： 解：令f（x）=ln（x+1）﹣，‎ 而f（1）=ln2﹣2＜0，f（2）=ln3﹣1＞0，‎ ‎∴方程ln（x+1）﹣=0，（x＞0）的根存在的大致区间是（1，2），‎ 故选：B．‎ 点评： 他考查了函数的零点问题，特殊值代入是方法之一，本题属于基础题．‎ ‎6．（5分）已知向量、的夹角为45°，且||=1，|2﹣|=，则||=（）‎ ‎ A． 3 B． ‎2‎ C． D． 1‎ 考点： 平面向量数量积的运算． ‎ 专题： 计算题；平面向量及应用．‎ 分析： 将|2﹣|=平方，然后将夹角与||=1代入，得到||的方程，解方程可得．‎ 解答： 解：因为、的夹角为45°，且||=1，|2﹣|=，‎ 所以42﹣4•+2=10，即||2﹣2||﹣6=0，‎ 解得||=3或||=﹣（舍），‎ 故选A．‎ 点评： 本题解题的关键是将模转化为数量积，从而得到所求向量模的方程，利用到了方程的思想．‎ ‎7．（5分）已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）‎ - 21 -‎ ‎ A． （0，） B． （，1） C． （1，2） D． （2，+∞）‎ 考点： 函数的零点． ‎ 专题： 函数的性质及应用．‎ 分析： 画出函数f（x）、g（x）的图象，由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，数形结合求得k的范围．‎ 解答： 解：由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）‎ 和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，‎ 如图所示：KOA=，‎ 数形结合可得 ＜k＜1，‎ 故选：B．‎ 点评： 本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．‎ ‎8．（5分）设向量=（a1，a2），=（b1，b2），定义一种向量积：⊗=（a1，a2）⊗（b1，b2）=（a1b1，a2b2）．已知向量=（，4），=（，0），点P在y=cosx的图象上运动，点Q在y=f（x）的图象上运动，且满足（其中O为坐标原点），则y=f（x）在区间[，]上的最大值是（）‎ ‎ A． 4 B． ‎2 ‎C． D． ‎ 考点： 平面向量数量积的运算． ‎ 专题： 平面向量及应用．‎ - 21 -‎ 分析： 设=（x0，y0），=（x，y），由题意可得y0=cosx0，再把=（x，y）=+，化简为（，4y0），可得x0=2x﹣，y0=y．故有y=4cos（2x﹣），再根据余弦函数的定i义域和值域求得y=f（x）在区间[，]上的最大值．‎ 解答： 解：设=（x0，y0），=（x，y），由题意可得y0=cosx0，‎ ‎=（x，y）=+=+（，0）‎ ‎=（，4y0）+（，0）=（，4y0），‎ 即 x=，y=4y0； 即x0=2x﹣，y0=y．‎ ‎∴y=cos（2x﹣），y=4cos（2x﹣）．‎ ‎∵点Q在y=f（x）的图象上运动，∴f（x）=4cos（2x﹣）．‎ 当时，，∴当时，f（x）取得最大值为4，‎ 故选：A．‎ 点评： 本题主要考查两个向量的数量积的运算，余弦函数的定义域和值域，属于中档题．‎ 二、填空题：（本大题共5小题，作答6小题，每小题5分，共30分.）必做题（9～13题）‎ ‎9．（5分）函数y=的定义域为（2，+∞）．‎ 考点： 函数的定义域及其求法． ‎ 专题： 函数的性质及应用．‎ 分析： 根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．‎ 解答： 解：要使函数f（x）有意义，则log2x﹣1＞0，‎ 即log2x＞1，‎ 解得x＞2，‎ 故函数的定义域为{x|x＞2}，‎ 故答案为：{x|x＞2}或（2，+∞）‎ 点评： 本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．‎ ‎10．（5分）图中阴影部分的面积等于1．‎ - 21 -‎ 考点： 定积分． ‎ 专题： 计算题；导数的概念及应用．‎ 分析： 根据题意，所求面积为函数3x2在区间[0，1]上的定积分值，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案．‎ 解答： 解：根据题意，该阴影部分的面积为 ‎=x3=（13﹣03）=1‎ 故答案为：1‎ 点评： 本题求曲线围成的曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题．‎ ‎11．（5分）已知是R上的减函数，则a的取值范围是．‎ 考点： 对数函数的单调性与特殊点；函数单调性的性质． ‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 由函数f（x）为单调递减函数可得，g（x）=（‎3a﹣1）x+‎4a在（﹣∞，1]，函数h（x）=logax在（1，+∞）单调递减，且g（1）≥h（1），代入解不等式可求a的范围 解答： 解：由函数f（x）为单调递减函数可得，g（x）=（‎3a﹣1）x+‎4a在（﹣∞，1]，函数h（x）=logax在（1，+∞）单调递减，且g（1）≥h（1）‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 故答案为：‎ 点评： 本题主要考查了分段函数的单调性的应用，解题的关键主要应用一次函数与对数函数的单调性，要注意在端点值1处的处理．‎ - 21 -‎ ‎12．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若=，则的值是．‎ 考点： 平面向量数量积的运算． ‎ 专题： 平面向量及应用．‎ 分析： 根据所给的图形，把已知向量用矩形的边所在的向量来表示，做出要用的向量的模长，表示出要求得向量的数量积，注意应用垂直的向量数量积等于0，得到结果．‎ 解答： 解：∵，‎ ‎====||=，‎ ‎∴||=1，||=﹣1，‎ ‎∴=（）（）==﹣=﹣2++2=，‎ 故答案为：‎ 点评： 本题考查平面向量的数量积的运算．本题解题的关键是把要用的向量表示成已知向量的和的形式，本题是一个中档题目．‎ ‎13．（5分）已知函数f（x）=aln（x+1）﹣x2，若在区间（0，1）内任取两个实数p，q，且p≠q，不等式恒成立，则实数a的取值范围是[15，+∞）．‎ 考点： 不等式；函数恒成立问题． ‎ 专题： 计算题；压轴题．‎ 分析： 由于 表示点（p+1，f（p+1）） 与点（q+1，f（q+1））连线的斜率，故函数图象上在区间 ‎（1，2）内任意两点连线的斜率大于1，故有 f′ （x）=﹣2x＞1 在（1，2）内恒成立，即 a＞2x2+3x+1在 - 21 -‎ ‎（1，2）内恒成立，由此求得a的取值范围．‎ 解答： 解：由于 表示点（p+1，f（p+1）） 与点（q+1，f（q+1））连线的斜率，‎ 因实数p，q在区间（0，1）内，故p+1 和q+1在区间（1，2）内．‎ ‎∵不等式恒成立，∴函数图象上在区间（1，2）内任意两点连线的斜率大于1，‎ 故函数的导数大于1在（1，2）内恒成立．‎ 由函数的定义域知，x＞﹣1，∴f′（x）=﹣2x＞1 在（1，2）内恒成立．‎ 即 a＞2x2+3x+1在（1，2）内恒成立．‎ 由于二次函数y=2x2+3x+1在[1，2]上是单调增函数，‎ 故 x=2时，y=2x2+3x+1 在[1，2]上取最大值为15，∴a≥15，‎ 故答案为[15，+∞）．‎ 点评： 本题考查斜率公式的应用，函数的恒成立问题，以及利用函数的单调性求函数的最值．‎ 二.选做题（14、15题，只能从中选做一题，两题都选只计算14题得分）（几何证明选讲选做题）‎ ‎14．（5分）如图，PA是圆O的切线，切点为A，PO交圆O于B，C两点，PA=，PB=1，则∠PAB=30°．‎ 考点： 与圆有关的比例线段；弦切角． ‎ 专题： 选作题；立体几何．‎ 分析： 连接OA，则OA⊥PA，利用切割线定理，求出PO，OA，即可求出∠PAB．‎ 解答： 解：连接OA，则OA⊥PA．‎ ‎∵PA是圆O的切线，‎ ‎∴PA2=PB•PC，‎ ‎∵PA=，PB=1，‎ ‎∴PC=3，‎ ‎∴PO=2，OA=1，‎ ‎∴sin∠PAB=，‎ ‎∴∠PAB=30°．‎ 故答案为：30°．‎ 点评： 本题考查切割线定理，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ - 21 -‎ ‎（坐标系与参数方程选做题）‎ ‎15．在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为，曲线C的参数方程为（α为参数）．求点M到曲线C上的点的距离的最小值5﹣．‎ 考点： 简单曲线的极坐标方程；圆的参数方程． ‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 利用x=ρcosθ，y=ρsinθ即可把点M的坐标化为直角坐标，进而即可求出直线OM的方程；再把曲线C的参数方程化为化为普通方程，再利用|MA|﹣r即可求出最小值．‎ 解答： 解：由曲线C的参数方程（α为参数），‎ 化成普通方程为：（x﹣1）2+y2=2，‎ 圆心为A（1，0），半径为r=，‎ 由于点M在曲线C外，故点M到曲线C上的点的距离的最小值为|MA|．‎ 故答案为：5﹣．‎ 点评： 充分利用极坐标与普通方程的互化公式及点M到曲线（圆）C上的点的距离的最小值为|MA|﹣r是解题的关键．‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）‎ ‎16．（12分）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：‎ x x1 x2 x3‎ ωx+ϕ 0 π 2π Asin（ωx+ϕ） 0 0 ﹣ 0‎ ‎（Ⅰ）请写出上表的x1、x2、x3，并直接写出函数的解析式；‎ ‎（Ⅱ）将f（x）的图象沿x轴向右平移个单位得到函数g（x）的图象，P、Q分别为函数g（x）图象的最高点和最低点（如图），求∠OQP的大小．‎ - 21 -‎ 考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． ‎ 专题： 三角函数的图像与性质．‎ 分析： （Ⅰ）由表中数据列关于ω、φ的二元一次方程组，求得ω、φ的值，得到函数解析式，进一步求得x1、x2、x3；‎ ‎（Ⅱ）由函数图象平移求得，求出最高点和最低点的坐标，进一步求出三角形OPQ的边长，由余弦定理求得∠OQP的大小．‎ 解答： 解：（Ⅰ）由表可知，+φ=，+φ=，‎ 解得，ω=，φ=．‎ 由x1+=0、x2+=π、x3+=2π，得 ‎，，．‎ ‎∴；‎ ‎（Ⅱ）将f（x）的图象沿x轴向右平移个单位得到函数，‎ ‎∵P、Q分别为该图象的最高点和最低点，‎ ‎∴．‎ ‎∴OP=2，PQ=4，，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ 点评： 本题考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解函数解析式，考查了y=Asin（ωx+φ）的性质，考查了余弦定理的应用，训练了五点作图法，是中档题．‎ ‎17．（12分）设函数．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的最大值，并写出使f（x）取最大值是x的集合；‎ ‎（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若．求a的最小值．‎ 考点： 余弦定理；三角函数的化简求值；正弦函数的定义域和值域． ‎ 专题： 计算题．‎ 分析：‎ - 21 -‎ ‎ （Ⅰ）把函数解析式第一项利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，合并整理后，再利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，由余弦函数的值域得到余弦函数的最大值为1，可得出函数f（x）的最大值，并根据余弦函数的图象与性质得出此时x的范围，即可确定出使f（x）取最大值是x的集合；‎ ‎（Ⅱ）由f（B+C）=，将B+C代入第一问化简后的式子中，利用诱导公式化简后得到cos（‎2A﹣）的值，由A为三角形的内角，得出‎2A﹣的范围，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，进而确定出cosA的值，再利用余弦定理表示出a2=b2+c2﹣2bccosC，利用完全平方公式化简后，将b+c及cosC的值代入，并利用基本不等式求出bc的最大值，可得出a的最小值．‎ 解答： 解：（Ⅰ）f（x）=cos（2x﹣）+2cos2x ‎=（cos2xcos+sin2xsin）+（1+cos2x）‎ ‎=cos2x﹣sin2x+1=cos（2x+）+1，（3分）‎ ‎∵﹣1≤cos（2x+）≤1，即cos（2x+）最大值为1，‎ ‎∴f（x）的最大值为2，（4分）‎ 要使f（x）取最大值，cos（2x+）=1，即2x+=2kπ（k∈Z），‎ 解得：x=kπ﹣（k∈Z），‎ 则x的集合为{x|x=kπ﹣（k∈Z）}；（6分）‎ ‎（Ⅱ）由题意，f（B+C）=cos[2（B+C）+]+1=，即cos（2π﹣‎2A+）=，‎ 化简得：cos（‎2A﹣）=，（8分）‎ ‎∵A∈（0，π），∴‎2A﹣∈（﹣，），‎ 则有‎2A﹣=，即A=，（10分）‎ 在△ABC中，b+c=2，cosA=，‎ 由余弦定理，a2=b2+c2﹣2bccos=（b+c）2﹣3bc=4﹣3bc，（12分）‎ 由b+c=2知：bc≤=1，当且仅当b=c=1时取等号，‎ ‎∴a2≥4﹣3=1，‎ 则a取最小值1．（14分）‎ 点评： 此题考查了余弦定理，三角函数的化简求值，余弦函数的图象与性质，基本不等式，两角和与差的余弦函数公式，二倍角的余弦函数公式，特殊角的三角函数值，以及余弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．‎ - 21 -‎ ‎18．（14分）已知函数f（x）=x2﹣ax（a≠0），g（x）=lnx，f（x）图象与x轴异于原点的交点M处的切线为l1，g（x﹣1）与x轴的交点N处的切线为l2，并且l1与l2平行．‎ ‎（1）求f（2）的值；‎ ‎（2）已知实数t≥，求u=xlnx，x∈[1，e]的取值范围及函数y=f（u+t）的最值．‎ 考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用． ‎ 专题： 计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．‎ 分析： （1）分别求出f（x）、g（x﹣1）的导数，由l1与l2平行，得它们的斜率相等，即有切线的斜率相等，得到a的方程，解出a，即可得到f（2）；‎ ‎（2）u=xlnx，当x∈[1，e]时，u′=lnx+1＞0，则u在[1，e]单调递增，即可得到取值范围；又化简y=f（u+t）=u2+（2t﹣1）u+t2﹣t图象的对称轴u=，考虑与区间的关系抛，由t有u=≤0，即函数在[0，e]上单调递增，即可得到最值．‎ 解答： 解：（1）y=f（x）图象与x轴异于原点的交点M（a，0），f′（x）=2x﹣a，‎ y=g（x﹣1）=ln（x﹣1）图象与x轴的交点N（2，0），g′（x﹣1）=，‎ 由题意可得l1，l2的斜率相等，即，则a=1，‎ ‎∴f（x）=x2﹣x，f（2）=22﹣2=2；‎ ‎（2）u=xlnx，当x∈[1，e]时，u′=lnx+1＞0，‎ ‎∴u=xlnx在[1，e]单调递增，则u的取值范围是：0≤u≤e；‎ 又y=f（u+t）=u2+（2t﹣1）u+t2﹣t图象的对称轴u=，抛物线开口向上，‎ 由t有u=≤0，即函数在[0，e]上单调递增； ‎ ymin=y|u=0=t2﹣t，，‎ 综上：当t时，；．‎ 点评： 本题考查导数的几何意义：曲线在某点处的切线的斜率，考查运用导数判断单调性，以及应用单调性求最值，同时考查两直线的位置关系以及运算能力，属于中档题．‎ ‎19．（14分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2﹣4n+4，（n∈N*）．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）数列{bn}中，令bn=，Tn=b121+b222+b323+…+bn2n，求Tn；‎ ‎（3）设各项均不为零的数列{cn}中，所有满足ci•ci+1＜0的正整数i的个数称为这个数列{cn}的变号数．令cn=1﹣（n为正整数），求数列{cn}的变号数．‎ - 21 -‎ 考点： 数列的求和；数列的函数特性． ‎ 专题： 等差数列与等比数列．‎ 分析： （1）利用an与sn的关系求通项公式；‎ ‎（2）由题意得bn=n，，利用错位相减法求和；‎ ‎（3）根据变好数的定义，列出不等式求解即可．‎ 解答： 解：（1）∵，∴S1=1…（1分）‎ 又当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣5…（3分）‎ 所以…（4分）‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴bn=n，…（5分）…（6分）‎ ‎，‎ ‎∴…（9分）‎ ‎（3）解法一：由题设…（10分）‎ ‎∵n≥3时，，‎ ‎∴n≥3时，数列{cn}递增…（12分）‎ ‎∵，由，可知a4•a5＜0，即n≥3时，有且只有1个变号数；‎ 又∵c1=﹣3，c2=5，c3=﹣3，即c1•c2＜0，c2•c3＜0，∴此处变号数有2个．…（13分）‎ 综上，数列{cn}共有3个变号数，即变号数为3．…（14分）‎ 解法二：由题设…（10分）‎ n≥2时，令；‎ 又∵c1=﹣3，c2=5，∴n=1时也有c1•c2＜0．…（13分）‎ 综上得：数列{cn}共有3个变号数，即变号数为3． …（14分）‎ 点评： 本题主要考查求数列的通项公式、前n项和知识，考查公式法及错位相减法的运用能力和学生的运算求解能力，综合性强，属于难题．‎ - 21 -‎ ‎20．（14分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F．⊙M的圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切．过原点O作倾斜角为的直线n，交l于点A，交⊙M于另一点B，且AO=OB=2．‎ ‎（Ⅰ）求⊙M和抛物线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若P为抛物线C上的动点，求的最小值；‎ ‎（Ⅲ）过l上的动点Q向⊙M作切线，切点为S，T，求证：直线ST恒过一个定点，并求该定点的坐标．‎ 考点： 圆锥曲线的综合；直线与圆锥曲线的综合问题． ‎ 专题： 计算题；压轴题．‎ 分析： （I）根据可求出p的值，从而求出抛物线方程，求出圆心和半径可求出⊙M的方程；‎ ‎（II）先表示出然后根据点在抛物线上将y消去，求关于x 的二次函数的最小值即可；‎ ‎（III）以点Q这圆心，QS为半径作⊙Q，则线段ST即为⊙Q与⊙M的公共弦，设点Q（﹣1，t），根据QS2=QM2﹣4=t2+5，求出直线ST的方程，使直线与t无关，可求出定点坐标．‎ 解答： 解：（Ⅰ）因为，即p=2，所以抛物线C的方程为y2=4x（2分）‎ 设⊙M的半径为r，则，所以⊙M的方程为（x﹣2）2+y2=4（5分）‎ ‎（Ⅱ）设P（x，y）（x≥0），则=x2﹣3x+2+y2=x2+x+2（8分）‎ 所以当x=0时，有最小值为2（10分）‎ ‎（Ⅲ）以点Q这圆心，QS为半径作⊙Q，则线段ST即为⊙Q与⊙M的公共弦（11分）‎ 设点Q（﹣1，t），则QS2=QM2﹣4=t2+5，‎ 所以⊙Q的方程为（x+1）2+（y﹣t）2=t2+5（13分）‎ 从而直线ST的方程为3x﹣ty﹣2=0（*）（14分）‎ - 21 -‎ 因为一定是方程（*）的解，所以直线ST恒过一个定点，且该定点坐标为（16分）‎ 点评： 本题主要考查了圆的方程和抛物线方程，以及向量数量积的最值和直线恒过定点问题，是一道综合题，有一定的难度．‎ ‎21．（14分）已知函数f（x）=x2+a（x+lnx），x＞0，a∈R是常数．‎ ‎（1）求函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（2）若函数y=f（x）图象上的点都在第一象限，试求常数a的取值范围；‎ ‎（3）证明：∀a∈R，存在ξ∈（1，e），使f′（ξ）=．‎ 考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用． ‎ 专题： 计算题；证明题；分类讨论；导数的综合应用．‎ 分析： （1）求出函数f（x）的导数，求出切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；‎ ‎（2）讨论a=0，a＞0，a＜0，运用对数函数的性质，以及分离参数，构造函数应用导数求极值、最值，即可得到a的范围；‎ ‎（3）设函数g（x）=f′（x）﹣=2x﹣（e+1）+﹣，计算g（1），g（e），讨论当a＞e（e﹣1）2或时，由零点存在定理，即可得证；当时，求出g（x）的最小值，判断它小于0，再由零点存在定理，即可得证．‎ 解答： （1）解：函数f（x）=x2+a（x+lnx）的导数f′（x）=2x+a（1+），‎ f（1）=1+a，f′（1）=2+‎2a，‎ 则函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线为y﹣（1+a）=（2+‎2a）（x﹣1），‎ 即y=（1+a）（2x﹣1）；‎ ‎（2）解：①a=0时，f（x）=x2，因为x＞0，所以点（x，x2）在第一象限，‎ 依题意，f（x）=x2+a（x+lnx）＞0；‎ ‎②a＞0时，由对数函数性质知，x∈（0，1）时，lnx∈（﹣∞，0），alnx∈（﹣∞，0），‎ 从而“∀x＞0，f（x）=x2+a（x+lnx）＞‎0”‎不成立；‎ ‎③a＜0时，由f（x）=x2+a（x+lnx）＞0得，‎ 设，g′（x）=+，‎ x （0，1） 1 （1，+∞）‎ g′（x） ﹣ 0 +‎ - 21 -‎ g（x） ↘ 极小值 ↗‎ 则g（x）≥g（1）=﹣1，从而，﹣1＜a＜0；‎ 综上所述，常数a的取值范围﹣1＜a≤0．‎ ‎（3）证明：直接计算知，‎ 设函数g（x）=f′（x）﹣=2x﹣（e+1）+﹣，‎ ‎，，‎ 当a＞e（e﹣1）2或时，＜0，‎ 因为y=g（x）的图象是一条连续不断的曲线，所以存在ξ∈（1，e），使g（ξ）=0，‎ 即ξ∈（1，e），使f′（ξ）=；‎ 当时，g（1）、g（e）≥0，而且g（1）、g（e）之中至少一个为正，‎ 由均值不等式知，，等号当且仅当时成立，‎ 所以g（x）有最小值，且，‎ 此时存在ξ∈（1，e）（或），使g（ξ）=0． ‎ 综上所述，∀a∈R，存在ξ∈（1，e），使f′（ξ）=．‎ 点评： 本题考查导数的综合应用：求切线方程和求单调区间、极值和最值，同时考查函数的零点存在定理，以及分类讨论的思想方法，属于综合题．‎ - 21 -‎ - 21 -‎