广东省汕头市金山中学2015届高三数学上学期期中试卷 文（含解析）.doc

汕头市2015届高三数学上学期期中试题（文科含解析）‎ 一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．（5分）全集U={a，b，c，d，e}，M={a，d}，N={a，c，e}，则N∩∁UM为（）‎ ‎ A． {c，e} B． {a，c} C． {d，e} D． {a，e}‎ ‎2．（5分）命题“∀x∈R，|x|+x2≥‎0”‎的否定是（）‎ ‎ A． ∀x∈R，|x|+x2＜0 B． ∀x∈R，|x|+x2≤0‎ ‎ C． ∃x0∈R，|x0|+x02＜0 D． ∃x0∈R，|x0|+x02≥0‎ ‎3．（5分）设函数f（x）=xlnx，则（）‎ ‎ A． x=1为f（x）的极大值点 B． x=1为f（x）的极小值点 ‎ C． x=为f（x）的极大值点 D． x=为f（x）的极小值点 ‎4．（5分）若tanα＞0，则（）‎ ‎ A． sinα＞0 B． cosα＞‎0 ‎C． sin2α＞0 D． cos2α＞0‎ ‎5．（5分）若函数是R上的单调减函数，则实数a的取值范围是（）‎ ‎ A． （﹣∞，2） B． C． （0，2） D． ‎ ‎6．（5分）已知b＞0，log5b=a，lgb=c，5d=10，则下列等式一定成立的是（）‎ ‎ A． d=ac B． a=cd C． c=ad D． d=a+c ‎7．（5分）函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）‎ ‎ A． （﹣1，+∞） B． （﹣∞，﹣1） C． （2，+∞） D． （﹣∞，﹣2）‎ ‎8．（5分）在函数①y=cos丨2x丨，②y=丨cosx丨，③y=cos（2x+）④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（）‎ ‎ A． ①②③ B． ①③④ C． ②④ D． ①③‎ ‎9．（5分）已知函数f（x）=4﹣x2，g（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，g（x）=log2x，则函数y=f（x）•g（x）的大致图象为（）‎ - 17 -‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎10．（5分）设函数f（x）=xa+1（a∈Q）的定义域为[﹣b，﹣a]∪（a，b]，其中0＜a＜b，且f（x）在[a，b]上的最大值为6，最小值为3，则f（x）在[﹣b，﹣a]上的最大值与最小值的和是（）‎ ‎ A． ﹣5 B． ‎9 ‎C． ﹣5或9 D． 以上不对 二.填空题（本大题共3小题，每小题5分，满分15分．）（一）必做题（11-13题）‎ ‎11．（5分）函数f（x）=的定义域是．‎ ‎12．（5分）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是．‎ ‎13．（5分）如图所示，函数y=f（x）的图象由两条射线和三条线段组成，若∀x∈R，f（x）＞f（x﹣1），则正实数a的取值范围为．‎ ‎（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）（坐标系与参数方程选做题）‎ ‎14．（5分）在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ=sinθ与ρcosθ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2交点的直角坐标为．‎ - 17 -‎ ‎（几何证明选讲选做题）‎ ‎15．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则=．‎ 三.解答题（本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎16．（12分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+‎3a2≤0，其中a＞0；命题q：实数x满足x2﹣x﹣6≤0，且¬p是¬q的必要不充分条件，求a的取值范围．‎ ‎17．（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．‎ ‎（1）求A的值；‎ ‎（2）若f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．‎ ‎18．（14分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：‎ ‎（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；‎ ‎（Ⅱ）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；‎ ‎（Ⅲ）从成绩在[50，70）的学生任选2人，求此2人的成绩都在[60，70）中的概率．‎ ‎19．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；‎ ‎（Ⅱ）设AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．‎ - 17 -‎ ‎20．（14分）设等差数列{an}的公差为d，点（an，bn）（n∈N*）在函数f（x）=2x的图象上．‎ ‎（1）证明：数列{bn}为等比数列；‎ ‎（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{anbn}2（n∈N*）的前n项和Sn．‎ ‎21．（14分）已知函数f（x）=ex+e﹣x，其中e是自然对数的底数．‎ ‎（1）证明：f（x）是R上的偶函数．‎ ‎（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x02+3x0）成立．试比较ea﹣1与ae﹣1的大小，并证明你的结论．‎ 广东省汕头市金山中学2015届高三上学期期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．（5分）全集U={a，b，c，d，e}，M={a，d}，N={a，c，e}，则N∩∁UM为（）‎ ‎ A． {c，e} B． {a，c} C． {d，e} D． {a，e}‎ 考点： 交、并、补集的混合运算． ‎ 专题： 集合．‎ 分析： 根据全集U及M求出M的补集，找出N与M补集的交集即可．‎ 解答： 解：∵全集U={a，b，c，d，e}，M={a，d}，N={a，c，e}，‎ ‎∴∁UM={b，c，e}，‎ 则N∩∁UM={c，e}．‎ 故选：A．‎ 点评： 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．‎ ‎2．（5分）命题“∀x∈R，|x|+x2≥‎0”‎的否定是（）‎ - 17 -‎ ‎ A． ∀x∈R，|x|+x2＜0 B． ∀x∈R，|x|+x2≤0‎ ‎ C． ∃x0∈R，|x0|+x02＜0 D． ∃x0∈R，|x0|+x02≥0‎ 考点： 命题的否定． ‎ 专题： 简易逻辑．‎ 分析： 根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．‎ 解答： 解：根据全称命题的否定是特称命题，则命题“∀x∈R，|x|+x2≥‎0”‎的否定∃x0∈R，|x0|+x02＜0，‎ 故选：C．‎ 点评： 本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．‎ ‎3．（5分）设函数f（x）=xlnx，则（）‎ ‎ A． x=1为f（x）的极大值点 B． x=1为f（x）的极小值点 ‎ C． x=为f（x）的极大值点 D． x=为f（x）的极小值点 考点： 利用导数研究函数的极值． ‎ 专题： 导数的概念及应用．‎ 分析： 确定函数的定义域，求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数f（x）的极小值．‎ 解答： 解：函数的定义域为（0，+∞）‎ 求导函数，可得f′（x）=1+lnx 令f′（x）=1+lnx=0，可得x=‎ ‎∴0＜x＜时，f′（x）＜0，x＞时，f′（x）＞0‎ ‎∴x=时，函数取得极小值﹣，‎ 故选D．‎ 点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的极小值，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．‎ ‎4．（5分）若tanα＞0，则（）‎ ‎ A． sinα＞0 B． cosα＞‎0 ‎C． sin2α＞0 D． cos2α＞0‎ 考点： 三角函数值的符号． ‎ 专题： 三角函数的求值．‎ 分析： 化切为弦，然后利用二倍角的正弦得答案．‎ 解答： 解：∵tanα＞0，‎ ‎∴，‎ 则sin2α=2sinαcosα＞0．‎ 故选：C．‎ 点评： 本题考查三角函数值的符号，考查了二倍角的正弦公式，是基础题．‎ - 17 -‎ ‎5．（5分）若函数是R上的单调减函数，则实数a的取值范围是（）‎ ‎ A． （﹣∞，2） B． C． （0，2） D． ‎ 考点： 函数单调性的性质；指数函数的单调性与特殊点． ‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 由函数是单调减函数，则有a﹣2＜0，且注意2（a﹣2）≤．‎ 解答： 解：∵函数是R上的单调减函数，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 故选B 点评： 本题主要考查分段函数的单调性问题，要注意不连续的情况．‎ ‎6．（5分）已知b＞0，log5b=a，lgb=c，5d=10，则下列等式一定成立的是（）‎ ‎ A． d=ac B． a=cd C． c=ad D． d=a+c 考点： 对数值大小的比较． ‎ 专题： 函数的性质及应用．‎ 分析： 利用指数式与对数式的互化、对数的运算性质和换底公式即可得出．‎ 解答： 解：由5d=10，可得，‎ ‎∴cd=lgb=log5b=a．‎ 故选：B．‎ 点评： 本题考查了指数式与对数式的互化、对数的运算性质和换底公式，属于基础题．‎ ‎7．（5分）函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）‎ ‎ A． （﹣1，+∞） B． （﹣∞，﹣1） C． （2，+∞） D． （﹣∞，﹣2）‎ 考点： 导数的运算． ‎ 专题： 导数的概念及应用．‎ - 17 -‎ 分析： 构建函数F（x）=f（x）﹣（2x+4），由f（﹣1）=2得出F（﹣1）的值，求出F（x）的导函数，根据f′（x）＞2，得到F（x）在R上为增函数，根据函数的增减性即可得到F（x）大于0的解集，进而得到所求不等式的解集．‎ 解答： 解：设F（x）=f（x）﹣（2x+4），‎ 则F（﹣1）=f（﹣1）﹣（﹣2+4）=2﹣2=0，‎ 又对任意x∈R，f′（x）＞2，所以F′（x）=f′（x）﹣2＞0，‎ 即F（x）在R上单调递增，‎ 则F（x）＞0的解集为（﹣1，+∞），‎ 即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞）．‎ 故选：A 点评： 本题考查学生灵活运用函数思想求解不等式，解题的关键是构建函数，确定函数的单调性，属于中档题．‎ ‎8．（5分）在函数①y=cos丨2x丨，②y=丨cosx丨，③y=cos（2x+）④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（）‎ ‎ A． ①②③ B． ①③④ C． ②④ D． ①③‎ 考点： 三角函数的周期性及其求法． ‎ 专题： 三角函数的图像与性质．‎ 分析： 根据三角函数的周期性，求出各个函数的最小正周期，从而得出结论．‎ 解答： 解：∵函数①y=cos丨2x丨=cos2x，它的最小正周期为 =π，‎ ‎②y=丨cosx丨的最小正周期为=π，‎ ‎③y=cos（2x+）的最小正周期为 =π，‎ ‎④y=tan（2x﹣）的最小正周期为 ，‎ 故选：A．‎ 点评： 本题主要考查三角函数的周期性及求法，属于基础题．‎ - 17 -‎ ‎9．（5分）已知函数f（x）=4﹣x2，g（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，g（x）=log2x，则函数y=f（x）•g（x）的大致图象为（）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ 考点： 函数的图象；函数奇偶性的性质． ‎ 专题： 压轴题；数形结合．‎ 分析： 由已知中函数f（x）=4﹣x2，当x＞0时，g（x）=log2x，我们易判断出函数在区间（0，+∞）上的形状，再根据函数奇偶性的性质，我们根据“奇×偶=奇”，可以判断出函数y=f（x）•g（x）的奇偶性，进而根据奇函数图象的特点得到答案．‎ 解答： 解：∵函数f（x）=4﹣x2，是定义在R上偶函数 g（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，‎ 故函数y=f（x）•g（x）为奇函数，共图象关于原点对称，故A，C不正确 又∵函数f（x）=4﹣x2，当x＞0时，g（x）=log2x，‎ 故当0＜x＜1时，y=f（x）•g（x）＜0；‎ 当1＜x＜2时，y=f（x）•g（x）＞0；‎ 当x＞2时，y=f（x）•g（x）＜0；故D不正确 故选B 点评： 本题考查的知识点是函数的图象和函数奇偶性质的性质，在判断函数的图象时，分析函数的单调性，奇偶性，特殊点是最常用的方法．‎ ‎10．（5分）设函数f（x）=xa+1（a∈Q）的定义域为[﹣b，﹣a]∪（a，b]，其中0＜a＜b，且f（x）在[a，b]上的最大值为6，最小值为3，则f（x）在[﹣b，﹣a]上的最大值与最小值的和是（）‎ ‎ A． ﹣5 B． ‎9 ‎C． ﹣5或9 D． 以上不对 考点： 函数的最值及其几何意义． ‎ 专题： 综合题；函数的性质及应用．‎ 分析： 先根据函数f（x）=xα+1得f（x）﹣1=xα，由题意知函数y=xα，或是奇函数或是偶函数，再根据奇（偶）函数的图象特征，利用函数y=xα在区间[a，b]上的最大值为6，最小值为3，根据图象的对称性可得y=xα在区间[﹣b，﹣a]上的最大值与最小值的情况，从而得出答案．‎ 解答： 解：令g（x）=xα，定义域为[﹣b，﹣a]∪[a，b]，则 ‎∵函数f（x）=xα+1（α∈Q）在区间[a，b]上的最大值为6，最小值为3，‎ - 17 -‎ ‎∴g（x）=xα在区间[a，b]上的最大值为5，最小值为2，‎ 若g（x）=xα是偶函数，则g（x）=xα在区间[﹣b，﹣a]上的最大值为5，最小值为2，‎ ‎∴函数f（x）=xα+1（α∈Q）在区间[﹣b，﹣a]上的最大值为6，最小值为3，最大值与最小值的和9；‎ 若g（x）=xα是奇函数，则g（x）=xα在区间[﹣b，﹣a]上的最大值为﹣2，最小值为﹣5，‎ ‎∴函数f（x）=xα+1（α∈Q）在区间[﹣b，﹣a]上的最大值为﹣1，最小值为﹣4，最大值与最小值的和﹣5；‎ ‎∴f（x）在区间[﹣b，﹣a]上的最大值与最小值的和为﹣5或9．‎ 故选：C．‎ 点评： 本题考查函数的最值，考查函数的奇偶性，考查分类讨论的数学思想，正确运用幂函数的性质是关键．‎ 二.填空题（本大题共3小题，每小题5分，满分15分．）（一）必做题（11-13题）‎ ‎11．（5分）函数f（x）=的定义域是（0，3）∪（3，+∞）．‎ 考点： 函数的定义域及其求法． ‎ 专题： 函数的性质及应用．‎ 分析： 根据函数成立的条件，建立条件关系即可得到结论．‎ 解答： 解：要使函数f（x）有意义，则，‎ 即，‎ 解得x＞0且x≠3，‎ 故函数的定义域为（0，3）∪（3，+∞）‎ 故答案为：（0，3）∪（3，+∞）‎ 点评： 本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．‎ ‎12．（5分）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是（0，）．‎ 考点： 根的存在性及根的个数判断． ‎ 专题： 函数的性质及应用．‎ 分析： 在同一坐标系中画出函数的图象与直线y=a的图象，利用数形结合判断a的范围即可．‎ - 17 -‎ 解答： 解：f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），在同一坐标系中画出函数f（x）与y=a的图象如图：由图象可知．‎ 故答案为：（0，）．‎ 点评： 本题考查函数的图象以函数的零点的求法，数形结合的应用．‎ ‎13．（5分）如图所示，函数y=f（x）的图象由两条射线和三条线段组成，若∀x∈R，f（x）＞f（x﹣1），则正实数a的取值范围为（0，）．‎ 考点： 函数的图象． ‎ 专题： 函数的性质及应用．‎ 分析： 由已知中的函数图象可得f（‎4a）=a，f（﹣‎4a）=﹣a，若∀x∈R，f（x）＞f（x﹣1），则，解不等式可得正实数a的取值范围．‎ 解答： 解：由已知可得：a＞0，‎ 且f（‎4a）=a，f（﹣‎4a）=﹣a，‎ 若∀x∈R，f（x）＞f（x﹣1），‎ 则，解得a＜，‎ - 17 -‎ 故正实数a的取值范围为：（0，），‎ 故答案为：（0，）‎ 点评： 本题考查的知识点是函数的图象，其中根据已知分析出不等式组，是解答的关键．‎ ‎（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）（坐标系与参数方程选做题）‎ ‎14．（5分）在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ=sinθ与ρcosθ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2交点的直角坐标为（1，2）．‎ 考点： 点的极坐标和直角坐标的互化． ‎ 专题： 坐标系和参数方程．‎ 分析： 直接由x=ρcosθ，y=ρsinθ化极坐标方程为直角坐标方程，然后联立方程组求得答案．‎ 解答： 解：由2ρcos2θ=sinθ，得：2ρ2cos2θ=ρsinθ，‎ 即y=2x2．‎ 由ρcosθ=1，得x=1．‎ 联立，解得：．‎ ‎∴曲线C1与C2交点的直角坐标为（1，2）．‎ 故答案为：（1，2）．‎ 点评： 本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查了方程组的解法，是基础题．‎ ‎（几何证明选讲选做题）‎ ‎15．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则=3．‎ 考点： 三角形的面积公式． ‎ 专题： 解三角形．‎ 分析： 证明△CDF∽△AEF，可求．‎ 解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形，EB=2AE，‎ ‎∴AB∥CD，CD=3AE，‎ ‎∴△CDF∽△AEF，‎ ‎∴==3．‎ - 17 -‎ 故答案为：3．‎ 点评： 本题考查三角形相似的判断，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ 三.解答题（本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎16．（12分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+‎3a2≤0，其中a＞0；命题q：实数x满足x2﹣x﹣6≤0，且¬p是¬q的必要不充分条件，求a的取值范围．‎ 考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． ‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 利用不等式的解法求解出命题p，q中的不等式范围问题，结合二者的关系得出关于字母a的不等式，从而求解出a的取值范围．‎ 解答： 解：x2﹣4ax+‎3a2=0对应的根为a，‎3a；由于a＞0，‎ 则x2﹣4ax+‎3a2＜0的解集为（a，‎3a），故命题p成立有x∈（a，‎3a）；‎ 由x2﹣x﹣6≤0得x∈[﹣2，3]，故命题q成立有x∈[﹣2，3]，‎ 若¬p是¬q的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件，‎ 因此有（a，‎3a）⊊[﹣2，3]，解得，﹣2≤a≤1‎ 又a＞0，所以0＜a≤1，‎ 故a的取值范围为：0＜a≤1．‎ 点评： 本题考查一元二次不等式的解法，考查二次不等式与二次函数的关系，注意数形结合思想的运用．‎ ‎17．（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．‎ ‎（1）求A的值；‎ ‎（2）若f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．‎ 考点： 两角和与差的正弦函数． ‎ 专题： 三角函数的求值；三角函数的图像与性质．‎ 分析： （1）通过函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=，直接求A的值；‎ ‎（2）利用函数的解析式，通过f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求出cosθ，利用两角差的正弦函数求f（﹣θ）．‎ 解答： 解：（1）∵函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=，‎ ‎∴f（）=Asin（+）=Asin=，‎ ‎∴．‎ ‎（2）由（1）可知：函数f（x）=3sin（x+），‎ - 17 -‎ ‎∴f（θ）﹣f（﹣θ）=3sin（θ+）﹣3sin（﹣θ+）‎ ‎=3[（）﹣（）]‎ ‎=3•2sinθcos=3sinθ=，‎ ‎∴sinθ=，‎ ‎∴cosθ=，‎ ‎∴f（﹣θ）=3sin（）=3sin（）=3cosθ=．‎ 点评： 本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的解析式的求法，基本知识的考查．‎ ‎18．（14分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：‎ ‎（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；‎ ‎（Ⅱ）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；‎ ‎（Ⅲ）从成绩在[50，70）的学生任选2人，求此2人的成绩都在[60，70）中的概率．‎ 考点： 古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图． ‎ 专题： 概率与统计．‎ 分析： （Ⅰ）根据频率分布直方图求出a的值；‎ ‎（Ⅱ）由图可知，成绩在[50，60）和[60，70）的频率分别为0.1和0.15，用样本容量20乘以对应的频率，即得对应区间内的人数，从而求出所求．‎ ‎（Ⅲ）分别列出满足[50，70）的基本事件，再找到在[60，70）的事件个数，根据古典概率公式计算即可．‎ 解答： 解：（Ⅰ）根据直方图知组距=10，由（‎2a+‎3a+‎6a+‎7a+‎2a）×10=1，解得a=0.005．‎ ‎（Ⅱ）成绩落在[50，60）中的学生人数为2×0.005×10×20=2，‎ 成绩落在[60，70）中的学生人数为3×0.005×10×20=3．‎ ‎（Ⅲ）记成绩落在[50，60）中的2人为A，B，成绩落在[60，70）中的3人为C，D，E，则成绩在[50，70）的学生任选2人的基本事件有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10个，‎ 其中2人的成绩都在[60，70）中的基本事件有CD，CE，DE共3个，‎ 故所求概率为P=．‎ 点评： 本题考查频率分布直方图的应用以及古典概型的概率的应用，属于中档题．‎ - 17 -‎ ‎19．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；‎ ‎（Ⅱ）设AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．‎ 考点： 点、线、面间的距离计算；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定． ‎ 专题： 空间位置关系与距离．‎ 分析： （Ⅰ）设BD与AC 的交点为O，连结EO，通过直线与平面平行的判定定理证明PB∥平面AEC；‎ ‎（Ⅱ）通过AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求出AB，作AH⊥PB角PB于H，说明AH就是A到平面PBC的距离．通过解三角形求解即可．‎ 解答： 解：（Ⅰ）证明：设BD与AC 的交点为O，连结EO，‎ ‎∵ABCD是矩形，‎ ‎∴O为BD的中点 ‎∵E为PD的中点，‎ ‎∴EO∥PB．‎ EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC ‎∴PB∥平面AEC；‎ ‎（Ⅱ）∵AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，‎ ‎∴V==，‎ ‎∴AB=，‎ 作AH⊥PB交PB于H，‎ 由题意可知BC⊥平面PAB ‎∴BC⊥AH，‎ 故AH⊥平面PBC．‎ 又 A到平面PBC的距离．‎ - 17 -‎ 点评： 本题考查直线与平面垂直，点到平面的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．‎ ‎20．（14分）设等差数列{an}的公差为d，点（an，bn）（n∈N*）在函数f（x）=2x的图象上．‎ ‎（1）证明：数列{bn}为等比数列；‎ ‎（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{anbn}2（n∈N*）的前n项和Sn．‎ 考点： 数列与函数的综合；数列的函数特性；数列的求和． ‎ 专题： 等差数列与等比数列．‎ 分析： （1）利用等比数列的定义证明即可；‎ ‎（2）先由（Ⅰ）求得an，bn，再利用错位相减求数列{anbn2}的前n项和Sn．‎ 解答： （1）证明：由已知得，bn=2an＞0，‎ 当n≥1时，==2an+1﹣an=2d，‎ ‎∴数列{bn}为首项是‎2a1，公比为2d的等比数列；‎ ‎（2）解：f′（x）=2xln2‎ ‎∴函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程为y﹣‎2a2=‎2a2ln2（x﹣a2），‎ ‎∵在x轴上的截距为2﹣，‎ ‎∴a2﹣=2﹣，∴a2=2，‎ ‎∴d=a2﹣a1=1，an=n，bn=2n，anbn2=n4n，‎ ‎∴Tn=1•4+2•42+3•43+…+（n﹣1）•4n﹣1+n•4n，‎ ‎4Tn=1•42+2•43+…+（n﹣1）•4n+n•4n+1，‎ ‎∴Tn﹣4Tn=4+42+…+4n﹣n•4n+1=﹣n•4n+1=，‎ ‎∴Tn=．‎ - 17 -‎ 点评： 本题考查等差数列与等比数列的概念，等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式，导数的几何意义等知识；考查学生的运算求解能力、推理论证能力，属中档题．‎ ‎21．（14分）已知函数f（x）=ex+e﹣x，其中e是自然对数的底数．‎ ‎（1）证明：f（x）是R上的偶函数．‎ ‎（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x02+3x0）成立．试比较ea﹣1与ae﹣1的大小，并证明你的结论．‎ 考点： 函数奇偶性的判断；函数恒成立问题；不等式比较大小． ‎ 专题： 函数的性质及应用．‎ 分析： （1）根据函数奇偶性的定义即可证明f（x）是R上的偶函数；‎ ‎（2）利用参数分离法，将不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，进行转化求最值问题即可求实数m的取值范围．‎ ‎（3）构u造函数，利用函数的单调性，最值与单调性之间的关系，分别进行讨论即可得到结论．‎ 解答： （1）证明：∵f（x）=ex+e﹣x，‎ ‎∴f（﹣x）=e﹣x+ex=f（x），‎ ‎∴f（x）是R上的偶函数；‎ ‎（2）解：若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，‎ 即m（ex+e﹣x﹣1）≤e﹣x﹣1，‎ ‎∵x＞0，‎ ‎∴ex+e﹣x﹣1＞0，‎ 即m≤在（0，+∞）上恒成立，‎ 设t=ex，（t＞1），则m≤在（1，+∞）上恒成立，‎ ‎∵=﹣=﹣，当且仅当t=2，即x=ln2时等号成立，‎ ‎∴m≤；‎ ‎（3）令g（x）=ex+e﹣x﹣a（﹣x3+3x），‎ 则g′（x）=ex﹣e﹣x+‎3a（x2﹣1），‎ 当x＞1，g′（x）＞0，即函数g（x）在[1，+∞）上单调递增，‎ 故此时g（x）的最小值g（1）=e+﹣‎2a，‎ 由于存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，‎ 故e+﹣‎2a＜0，‎ - 17 -‎ 即a＞（e+），‎ 令h（x）=x﹣（e﹣1）lnx﹣1，‎ 则h′（x）=1﹣，‎ 由h′（x）=1﹣=0，解得x=e﹣1，‎ ‎①当0＜x＜e﹣1时，h′（x）＜0，此时函数单调递减，‎ ‎②当x＞e﹣1时，h′（x）＞0，此时函数单调递增，‎ ‎∴h（x）在（0，+∞）上的最小值为h（e﹣1），‎ 注意到h（1）=h（e）=0，‎ ‎∴当x∈（1，e﹣1）⊆（0，e﹣1）时，h（e﹣1）≤h（x）＜h（1）=0，‎ 当x∈（e﹣1，e）⊆（e﹣1，+∞）时，h（x）＜h（e）=0，‎ ‎∴h（x）＜0，对任意的x∈（1，e）成立．‎ ‎①a∈（（e+），e）⊆（1，e）时，h（a）＜0，即a﹣1＜（e﹣1）lna，从而ae﹣1＞ea﹣1，‎ ‎②当a=e时，ae﹣1=ea﹣1，‎ ‎③当a∈（e，+∞），e）⊆（e﹣1，+∞）时，当a＞e﹣1时，h（a）＞h（e）=0，即a﹣1＞（e﹣1）lna，从而ae﹣1＜ea﹣1．‎ 点评： 本题考查函数奇偶性的判断、最值以及恒成立问题的处理方法，关键是借助于导数解答本题．‎ - 17 -‎