广东省湛江市2015届高三数学上学期期中试卷 文（含解析）.doc

湛江市2015届高三数学第一学期期中试卷（文科附解析） ‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）已知集合A={﹣1，1，3}，B={1，3，5}，则A∪B=（）‎ ‎ A． {﹣1，1，3，5} B． {1，3} C． {﹣1，5} D． {﹣1，1，1，3，3，5}‎ ‎2．（5分）已知复数z满足（1﹣i）z=1+i，则复数z=（）‎ ‎ A． 1+i B． 1﹣i C． i D． ﹣i ‎3．（5分）某校2014-2015学年高一、2014-2015学年高二、2015届高三三个年级依次有600、500、400名同学，用分层抽样的方法从该校抽取n名同学，其中2014-2015学年高一的同学有30名，则n=（）‎ ‎ A． 65 B． ‎75 ‎C． 50 D． 150‎ ‎4．（5分）函数f（x）=的定义域是（）‎ ‎ A． x∈R B． x∈（0，3） C． x∈（1，3） D． x∈（﹣∞，1]∪[3，+∞）‎ ‎5．（5分）下列函数是增函数的是（）‎ ‎ A． y=tanx（x∈（0，）∪（，π）） B． y=x ‎ C． y=cosx（x∈（0，π）） D． y=2﹣x ‎6．（5分）“sinθ•cosθ＞‎0”‎是“θ是第一象限角”的（）‎ ‎ A． 充分必要条件 B． 充分非必要条件 ‎ C． 必要非充分条件 D． 非充分非必要条件 ‎7．（5分）在△ABC，边a、b所对的角分别为A、B，若cosA=﹣，B=，b=1，则a=（）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎8．（5分）若一个几何体的主视图和左视图是边长为2的等边三角形，俯视图是一个圆，则这个几何体的体积是（）‎ ‎ A． π B． C． D． 不能确定 ‎9．（5分）抛物线y2=16x的焦点到双曲线﹣=1的一条渐近线的距离为（）‎ - 17 -‎ ‎ A． 2 B． ‎4 ‎C． D． 2‎ ‎10．（5分）在平面直角坐标中，O为坐标原点，设向量=，=，其中=（3，1），=（1，3），若=λ+μ，且0≤λ≤μ≤1，C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是（）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ 二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分.（一）必做题（11～13题）‎ ‎11．（5分）为了解一片防风林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）、根据所得数据画出样品的频率分布直方图（如图），那么在这100株树木中，底部周长大于‎100cm的株数是．‎ ‎12．（5分）等差数列{an}中，a5=10，a12=31，则该数列的通项公式an=（n∈N+）‎ ‎13．（5分）设函数f（x）=，g（x）=a（a∈R），若这两个函数的图象有3个交点，则a=．‎ 选做题（14-15题，考生只能从中选择一题）（坐标系与参数方程选做题）‎ - 17 -‎ ‎14．（5分）直线（t为参数）被圆x2+y2=4截得的弦长为．‎ ‎（几何证明选讲选做题）‎ ‎15．（几何证明选做题）‎ 如图圆O的直径AB=6，P是AB的延长线上一点，过点P作圆O的切线，切点为C，连接AC，若∠CPA=30°，则PC=．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎16．（12分）已知函数f（x）=2sin（2x+）+m，且f（）=6．‎ ‎（1）求m的值；‎ ‎（2）若f（θ）=，且θ∈（，），求sin（4θ+）的值．‎ ‎17．（12分）某兴趣小组由4男2女共6名同学．‎ ‎（1）从6人中任意选取3人参加比赛，求所选3人中至少有1名女同学的概率；‎ ‎（2）将6人平均分成两组进行比赛，列出所有的分组方法．‎ ‎18．（14分）如图，已知棱柱ABCD﹣A1B‎1C1D1的底面是正方形，且AA1⊥平面ABCD，E为棱AA1的中点，F为线段BD1的中点．‎ ‎（1）证明：EF∥平面ABCD；‎ ‎（2）证明：EF⊥平面BB1D1D．‎ ‎19．（14分）数列{an}的前n项和记作Sn，满足 Sn=2an+3n﹣12（n∈N*）‎ ‎（Ⅰ）证明数列{an﹣3}为等比数列，并求出数列{an}的通项公式；‎ - 17 -‎ ‎（Ⅱ）记bn=nan，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn．‎ ‎20．（14分）如图，点F是椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点，定点P的坐标为（﹣8，0），线段MN为椭圆的长轴，已知|MN|=8，且该椭圆的离心率为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过点P的直线与椭圆相交于两点A、B，求证：∠AFM=∠BFN；‎ ‎（3）记△ABF的面积为S，求S的最大值．‎ ‎21．（14分）已知函数（a∈R）．‎ ‎（Ⅰ）当a=﹣1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，讨论f（x）的单调性．‎ 广东省湛江市2015届高三上学期期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）已知集合A={﹣1，1，3}，B={1，3，5}，则A∪B=（）‎ ‎ A． {﹣1，1，3，5} B． {1，3} C． {﹣1，5} D． {﹣1，1，1，3，3，5}‎ 考点： 并集及其运算． ‎ 专题： 集合．‎ 分析： 利用并集的性质求解．‎ 解答： 解：∵集合A={﹣1，1，3}，B={1，3，5}，‎ ‎∴A∪B={﹣1，1，3，5}．‎ 故选：A．‎ 点评： 本题考查并集的求法，是基础题，解题时要注意并集性质的合理运用．‎ ‎2．（5分）已知复数z满足（1﹣i）z=1+i，则复数z=（）‎ ‎ A． 1+i B． 1﹣i C． i D． ﹣i - 17 -‎ 考点： 复数代数形式的乘除运算． ‎ 专题： 数系的扩充和复数．‎ 分析： 由复数的除法进行变行即可求出 解答： 解：由题设（1﹣i）z=1+i得z==‎ 故选C．‎ 点评： 复数的除法与乘法是复数的基本运算 ‎3．（5分）某校2014-2015学年高一、2014-2015学年高二、2015届高三三个年级依次有600、500、400名同学，用分层抽样的方法从该校抽取n名同学，其中2014-2015学年高一的同学有30名，则n=（）‎ ‎ A． 65 B． ‎75 ‎C． 50 D． 150‎ 考点： 分层抽样方法． ‎ 专题： 概率与统计．‎ 分析： 利用分层抽样的性质求解．‎ 解答： 解：由题意得：‎ ‎，‎ 解得n=75．‎ 故选：B．‎ 点评： 本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分层抽样的性质的合理运用．‎ ‎4．（5分）函数f（x）=的定义域是（）‎ ‎ A． x∈R B． x∈（0，3） C． x∈（1，3） D． x∈（﹣∞，1]∪[3，+∞）‎ 考点： 一元二次不等式的解法． ‎ 专题： 计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．‎ 分析： 要使函数有意义，则需x2﹣4x+3≥0，运用二次不等式的解法，即可得到定义域．‎ 解答： 解：要使函数有意义，则需x2﹣4x+3≥0，‎ 解得，x≥3或x≤1，‎ 则定义域为[3，+∞）∪（﹣∞，1]．‎ 故选D．‎ 点评： 本题考查函数的定义域的求法，考查二次不等式的解法，属于基础题．‎ ‎5．（5分）下列函数是增函数的是（）‎ ‎ A． y=tanx（x∈（0，）∪（，π）） B． y=x ‎ C． y=cosx（x∈（0，π）） D． y=2﹣x - 17 -‎ 考点： 正切函数的单调性． ‎ 专题： 函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．‎ 分析： 根据函数的定义域直接确定函数的单调性 解答： 解：（1）y=tanx（x）函数在定义域x不具有单调性．‎ ‎（2）y=cosx（x∈（0，π））在定义域内为单调递减函数．‎ ‎（3）y=2﹣x在定义域内为单调递减函数．‎ 故选B 点评： 本题考查的知识要点：函数的单调性与定义域的关系 ‎6．（5分）“sinθ•cosθ＞‎0”‎是“θ是第一象限角”的（）‎ ‎ A． 充分必要条件 B． 充分非必要条件 ‎ C． 必要非充分条件 D． 非充分非必要条件 考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． ‎ 专题： 简易逻辑．‎ 分析： 由sinθ•cosθ＞0推不出θ在第一象限，由θ在第一象限能推出sinθ•cosθ＞0，从而得出结论．‎ 解答： 解：由sinθ•cosθ＞0⇒θ在第一象限或第三象限，‎ θ在第一象限⇒sinθ•cosθ＞0，‎ ‎∴“sinθ•cosθ＞‎0”‎是“θ在第一象限”的必要不充分条件，‎ 故选：C．‎ 点评： 本题考查了充分必要条件，考查了三角函数问题，是一道基础题．‎ ‎7．（5分）在△ABC，边a、b所对的角分别为A、B，若cosA=﹣，B=，b=1，则a=（）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ 考点： 正弦定理． ‎ 专题： 解三角形．‎ 分析： 由cosA的值求出sinA的值，再由sinB与b的值，利用正弦定理求出a的值即可．‎ 解答： 解：∵△ABC中，cosA=﹣，‎ ‎∴sinA==，‎ ‎∵B=，b=1，‎ - 17 -‎ ‎∴由正弦定理=得：a===．‎ 故选：A．‎ 点评： 此题考查了正弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．‎ ‎8．（5分）若一个几何体的主视图和左视图是边长为2的等边三角形，俯视图是一个圆，则这个几何体的体积是（）‎ ‎ A． π B． C． D． 不能确定 考点： 由三视图求面积、体积． ‎ 专题： 空间位置关系与距离．‎ 分析： 根据几何体的三视图得出该几何体是圆锥，求出圆锥的体积即可．‎ 解答： 解：根据几何体的三视图知，‎ 该几何体是底面直径为2，母线长为2的圆锥，‎ ‎∴这个圆锥的体积是 V圆锥=S底面h ‎=•π•‎ ‎=．‎ 故选：B．‎ 点评： 本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题时应根据三视图得出该几何体是什么图形，是基础题．‎ ‎9．（5分）抛物线y2=16x的焦点到双曲线﹣=1的一条渐近线的距离为（）‎ ‎ A． 2 B． ‎4 ‎C． D． 2‎ 考点： 抛物线的简单性质；双曲线的简单性质． ‎ 专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析： 确定抛物线的焦点位置，进而可确定抛物线的焦点坐标；求出双曲线渐近线方程，利用点到直线的距离公式可得结论．‎ 解答： 解：抛物线y2=16x的焦点F的坐标为（4，0）；双曲线﹣=1的一条渐近线方程为x﹣y=0，‎ - 17 -‎ ‎∴抛物线y2=16x的焦点到双曲线﹣=1的一条渐近线的距离为=2，‎ 故选：D．‎ 点评： 本题考查双曲线、抛物线的标准方程，以及双曲线、抛物线的简单性质，考查点到直线的距离公式的应用，求出焦点坐标和一条渐近线方程，是解题的突破口．‎ ‎10．（5分）在平面直角坐标中，O为坐标原点，设向量=，=，其中=（3，1），=（1，3），若=λ+μ，且0≤λ≤μ≤1，C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是（）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ 考点： 平面向量的综合题． ‎ 专题： 综合题．‎ 分析： 由=（3，1），=（1，3），=λ+μ，知=（3λ+μ，λ+3μ），由0≤λ≤μ≤1，0≤3λ+μ≤λ+3μ≤4，由此能得到正确答案．‎ 解答： 解：∵向量=，=，‎ ‎=（3，1），=（1，3），‎ ‎=λ+μ，‎ ‎∴‎ ‎=（3λ+μ，λ+3μ），‎ ‎∵0≤λ≤μ≤1，‎ ‎∴0≤3λ+μ≤4，‎ ‎0≤λ+3μ≤4，‎ - 17 -‎ 且3λ+μ≤λ+3μ．‎ 故选A．‎ 点评： 本题考查平面向量的综合题，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．‎ 二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分.（一）必做题（11～13题）‎ ‎11．（5分）为了解一片防风林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）、根据所得数据画出样品的频率分布直方图（如图），那么在这100株树木中，底部周长大于‎100cm的株数是70．‎ 考点： 用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图． ‎ 专题： 概率与统计．‎ 分析： 在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，每一小组的频率等于这一组的频数除以样本容量．频率分布直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率．底部周长小于‎100cm的矩形的面积求和乘以样本容量即可．‎ 解答： 解：由图可知：底部周长小于‎110cm的株树为：100×（1﹣0.01×10+0.02×10）=70，‎ 故答案为70．‎ 点评： 本小题主要考查样本的频率分布直方图的知识和分析问题以及解决问题的能力．统计初步在近两年2015届高考中每年都以小题的形式出现，基本上是低起点题．‎ ‎12．（5分）等差数列{an}中，a5=10，a12=31，则该数列的通项公式an=3n﹣5（n∈N+）‎ 考点： 等差数列的通项公式． ‎ 专题： 等差数列与等比数列．‎ 分析： 由已知条件利用等差数列的通项公式求出首项和公差，由此能求出该数列的通项公式．‎ 解答： 解：∵等差数列{an}中，a5=10，a12=31，‎ ‎∴，‎ 解得a1=﹣2，d=3，‎ ‎∴an=﹣2+3（n﹣1）=3n﹣5．‎ 故答案为：3n﹣5．‎ 点评： 本题考查数列的通项公式的求法，是基础题，解题时要认真审题．‎ - 17 -‎ ‎13．（5分）设函数f（x）=，g（x）=a（a∈R），若这两个函数的图象有3个交点，则a=1．‎ 考点： 根的存在性及根的个数判断． ‎ 专题： 函数的性质及应用．‎ 分析： 画出函数图象，数形结合求出使图象交点为3个时的a值．‎ 解答： 解：函数f（x）=的图象如图，‎ 由图象可知，使已知函数与g（x）的图象有两个交点只有a=1．‎ 故答案为：1．‎ 点评： 本题考查了利用数形结合解答函数图象交点问题，考查学生的画图能力和视图能力．‎ 选做题（14-15题，考生只能从中选择一题）（坐标系与参数方程选做题）‎ ‎14．（5分）直线（t为参数）被圆x2+y2=4截得的弦长为．‎ 考点： 直线与圆相交的性质；直线的参数方程． ‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 先将直线的参数方程化成普通方程，再根据弦心距与半径构成的直角三角形求解即可．‎ - 17 -‎ 解答： 解：∵直线 （t为参数）‎ ‎∴直线的普通方程为x+y﹣1=0‎ 圆心到直线的距离为d==，‎ l=2 =，‎ 故答案为：．‎ 点评： 本题主要考查了直线的参数方程，以及直线和圆的方程的应用，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎（几何证明选讲选做题）‎ ‎15．（几何证明选做题）‎ 如图圆O的直径AB=6，P是AB的延长线上一点，过点P作圆O的切线，切点为C，连接AC，若∠CPA=30°，则PC=3．‎ 考点： 与圆有关的比例线段． ‎ 专题： 压轴题；直线与圆．‎ 分析： 连接OC，由PC是⊙O的切线，可得OC⊥PC，于是，即可解出．‎ 解答： 解：连接OC，∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，‎ 又∵∠CPA=30°，R=3，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 故答案为．‎ 点评： 熟练掌握圆的切线的性质及直角三角形的边角关系是解题的关键．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎16．（12分）已知函数f（x）=2sin（2x+）+m，且f（）=6．‎ ‎（1）求m的值；‎ - 17 -‎ ‎（2）若f（θ）=，且θ∈（，），求sin（4θ+）的值．‎ 考点： 二倍角的正弦． ‎ 专题： 计算题；三角函数的求值．‎ 分析： （1）利用函数f（x）=2sin（2x+）+m，且f（）=6，即可求出m的值；‎ ‎（2）求出，再利用同角三角函数的关系，二倍角的正弦公式，即可求sin（4θ+）的值．‎ 解答： 解：（1）∵，∴m=4．‎ ‎（2）由，得，即，‎ ‎∵，∴．‎ ‎∴，‎ ‎．‎ 点评： 本题考查二倍角的正弦，考查同角三角函数的关系，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎17．（12分）某兴趣小组由4男2女共6名同学．‎ ‎（1）从6人中任意选取3人参加比赛，求所选3人中至少有1名女同学的概率；‎ ‎（2）将6人平均分成两组进行比赛，列出所有的分组方法．‎ 考点： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率． ‎ 专题： 概率与统计．‎ 分析： 记4名男同学为：A，B，C，D，2名女同学为1，2‎ ‎（1）列举出从6人中任意选取3人的所有情况及至少有1名女同学的情况，代入古典概型概率计算公式，可得答案．；‎ ‎（2）将6人平均分成两组进行比赛，每组应该有2男1女，列举可得所有的分组方法．‎ 解答： 解：记4名男同学为：A，B，C，D，2名女同学为1，2‎ ‎（1）从6人中任意选取3人，共有：‎ ABC，ABD，AB1，AB2，ACD，AC1，AC2，AD1，AD2，A12，‎ BCD，BC1，BC2，BD1，BD2，B12，CD1，CD2，C12，D12，共20种…4分 至少有1名女同学的是：‎ AB1，AB2，AC1，AC2，AD1，AD2，A12，BC1，BC2，BD1，‎ BD2，B12，CD1，CD2，C12，D12共16种，‎ ‎∴所选3人中至少有1名女同学的概率为 ‎（2）将6人平均分成两组进行比赛，共有：‎ - 17 -‎ ABC，D12；ABD，C12；AB1，CD2；‎ AB2，CD1；ACD，B12；AC1，BD2；‎ AC2，BD1；AD1，BC2；AD2，BC1；‎ A12，BCD共10种分组方法．‎ 点评： 本题考查的知识点是列举法计算基本事件及事件发生的概率，难度不大，属于基础题．‎ ‎18．（14分）如图，已知棱柱ABCD﹣A1B‎1C1D1的底面是正方形，且AA1⊥平面ABCD，E为棱AA1的中点，F为线段BD1的中点．‎ ‎（1）证明：EF∥平面ABCD；‎ ‎（2）证明：EF⊥平面BB1D1D．‎ 考点： 直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． ‎ 专题： 空间位置关系与距离．‎ 分析： （1）根据中的找出平行线，利用判断定理证明．（2）利用线线，线面，垂直的性质，判断定理转换求解．‎ 解答： （1）证明：连接AC交BD与O，连接OF，‎ ‎∵ABCD是 正方形 ‎∴O是BD的中点，BD⊥OA，‎ 又∵F为线段BD1的中点 ‎∴OF∥DD1且OF=‎ ‎∵E为棱AA1的中点，‎ ‎∴OF∥AE且OF=AE ‎∴EF∥OA，‎ ‎∵OA⊂平面ABCD，且EF⊄平面ABCD ‎∴EF∥平面ABCD ‎（2）证明：∵AA1⊥平面ABCD且AA1∥DD1，‎ ‎∴DD1⊥平面ABCD ‎∴DD1⊥OA ‎∵BD⊥OA且BD⊂平面BB1D1D，D1D⊂平面BB1D1D，BD∩1D1D=D ‎∴OA⊥平面BB1D1D ‎∵EF∥OA ‎∴EF⊥平面BB1D1D．‎ - 17 -‎ 点评： 本题考查了直线与平面平行垂直的判断定理，的运用，属于中档题．‎ ‎19．（14分）数列{an}的前n项和记作Sn，满足 Sn=2an+3n﹣12（n∈N*）‎ ‎（Ⅰ）证明数列{an﹣3}为等比数列，并求出数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记bn=nan，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn．‎ 考点： 数列的求和；等比数列的通项公式． ‎ 专题： 等差数列与等比数列．‎ 分析： （Ⅰ）由已知条件推导出an﹣3=2（an﹣1﹣3），a1﹣3=6，由此能证明{an﹣3}是首项为6，公比为2的等比数列，并能求出数列{an}的通项公式．‎ ‎（Ⅱ）由bn=nan=3n（2n+1），利用错位相减法能求出 数列{bn}的前n项和Tn．‎ 解答： （Ⅰ）证明：把n=1代入Sn=2an+3n﹣12，‎ 得a1=‎2a1+3﹣12，解得a1=9，‎ 当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（2an+3n﹣12）﹣[2an﹣1+3（n﹣1）﹣12]=2an﹣2an﹣1+3 ‎ ‎∴an﹣3=2an﹣1﹣6=2（an﹣1﹣3），‎ ‎∵a1﹣3=9﹣3=6，‎ ‎∴{an﹣3}是首项为6，公比为2的等比数列．‎ ‎∴an﹣3=6•2n﹣1，‎ ‎∴an=6•2n﹣1+3=3（2n+1）．‎ ‎（Ⅱ）解：∵bn=nan=3n（2n+1）‎ ‎∴Tn=3（1×2+2×22+3×23+…+n×2n）+，①‎ 设A=1×2+2×22+3×23+…+n×2n，‎ ‎2A‎=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+2，‎ 两式相减，得：A=n×2n+1﹣（2+22+23+…+2n）‎ ‎=n×2n+1﹣‎ ‎=（n﹣1）•2n+1+2，代入①式得 ‎ Tn=3[（n﹣1）•2n+1+2）+‎ ‎=3（n﹣1）•2n+1++6．‎ 点评： 本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，注意错位相减求和法的合理运用．‎ - 17 -‎ ‎20．（14分）如图，点F是椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点，定点P的坐标为（﹣8，0），线段MN为椭圆的长轴，已知|MN|=8，且该椭圆的离心率为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过点P的直线与椭圆相交于两点A、B，求证：∠AFM=∠BFN；‎ ‎（3）记△ABF的面积为S，求S的最大值．‎ 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题． ‎ 专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题．‎ 分析： （1）由已知得，由此能求出椭圆方程．‎ ‎（2）当直线AB的斜率为0时，成立；当直线AB的斜率不为0时，设AB的方程为x=my﹣8，代入椭圆方程整理，得：（‎3m2‎+4）y2﹣48my+144=0，由此利用韦达定理结合已知条件能证明∠AFM=∠BFN．‎ ‎（3）由已知条件推导出S=S△PBF﹣S△PAF≤3，由此能求出△ABF的面积S的最大值为3．‎ 解答： （1）解：∵|MN|=8，且该椭圆的离心率为，‎ ‎∴，‎ 解得a=4，b=，‎ ‎∴椭圆方程为．‎ ‎（2）证明：当直线AB的斜率为0时，∠AFM=∠BFM=0°，成立；‎ 当直线AB的斜率不为0时，设AB的方程为x=my﹣8，‎ 代入椭圆方程整理，得：（‎3m2‎+4）y2﹣48my+144=0，‎ ‎∴△=576（m2﹣4），设A（xA，yA），B（xB，yB），‎ - 17 -‎ ‎，yAyB=，‎ ‎∴kAF+kBF==‎ ‎=‎ ‎=，‎ ‎∵﹣6•=0，‎ ‎∴kAF=﹣kBF，‎ ‎∴∠AFM=∠BFN．‎ ‎（3）解：S=S△PBF﹣S△PAF=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎≤=3，‎ 当且仅当3=，即m=±（此时△＞0）时取等号，‎ ‎∴△ABF的面积S的最大值为3．‎ 点评： 本题考查椭圆的标准方程的求法，考查两角相等的证明，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．‎ ‎21．（14分）已知函数（a∈R）．‎ ‎（Ⅰ）当a=﹣1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，讨论f（x）的单调性．‎ 考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性． ‎ 专题： 综合题；压轴题；分类讨论．‎ - 17 -‎ 分析： （I）欲求在点（2，f（2））处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．‎ ‎（II）先对函数y=f（x）进行求导，然后令导函数大于0（或小于0）求出x的范围，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可得到答案，若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论．‎ 解答： 解：（Ⅰ）当a=﹣1时，，x∈（0，+∞）．‎ 所以，x∈（0，+∞）．（求导、定义域各一分）（2分）‎ 因此f′（2）=1．即曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为1．（3分）‎ 又f（2）=ln2+2，（4分）‎ 所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为x﹣y+ln2=0．（5分）‎ ‎（Ⅱ）因为，‎ 所以=，x∈（0，+∞）．（7分）‎ 令g（x）=ax2﹣x+1﹣a，x∈（0，+∞），‎ ‎①当a=0时，g（x）=﹣x+1，x∈（0，+∞），‎ 当x∈（0，1）时，g（x）＞0，此时f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；（8分）‎ 当x∈（1，+∞）时，g（x）＜0，此时f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．（9分）‎ ‎②当时，由f′（x）=0即解得x1=1，，此时，‎ 所以当x∈（0，1）时，g（x）＞0，此时f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；（10分）时，g（x）＜0，此时f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；（11分）时，，此时，函数f（x）单调递减．（12分）‎ 综上所述：当a=0时，函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；‎ 当时，函数f（x）在（0，1）上单调递减，在上单调递增；‎ 在上单调递减．（13分）‎ 点评： 本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等知识，解答的关键是导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．‎ - 17 -‎