广东省珠海市2015届高三数学上学期期末试卷 文（含解析）.doc

珠海市2015届高三数学第一学期期末试卷（文科含解析） ‎ 一、选择题：‎ ‎1．（5分）设集合A={x|y=lg（x﹣1）}，B={y|y=2x，x∈R}，则A∪B=（）‎ ‎ A． ∅ B． R C． （1，+∞） D． （0，+∞）‎ ‎2．（5分）已知复数z满足（3+i）z=i，则z=（）‎ ‎ A． +i B． ﹣+i C． ﹣+i D． ﹣﹣i ‎3．（5分）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C的方程是（）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎4．（5分）下列函数为偶函数的是（）‎ ‎ A． f（x）=x2+ B． f（x）=log2x C． f（x）=4x﹣4﹣x D． f（x）=|x﹣2|+|x+2|‎ ‎5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）‎ ‎ A． B． C． π D． ‎ ‎6．（5分）函数y=cos（2x+）的图象可由函数y=cos2x的图象（）‎ ‎ A． 向左平移个单位长度而得到 ‎ B． 向右平移个单位长度而得到 - 22 -‎ ‎ C． 向左平移个单位长度而得到 ‎ D． 向右平移个单位长度而得到 ‎7．（5分）设Sn为等比数列{an}的前n项和，‎27a2+a5=0，则=（）‎ ‎ A． 10 B． ﹣‎5 ‎C． 9 D． ﹣8‎ ‎8．（5分）执行如图的程序框图，若输出的S=48，则输入k的值可以为（）‎ ‎ A． 4 B． ‎6 ‎C． 8 D． 10‎ ‎9．（5分）若变量x，y满足约束条件，从可行域里任意取一点（x，y）则2x﹣y＞0的概率为（）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎10．（5分）已知集合S={P|P=（x1，x2，x3），xi∈{0，1}，i=1，2，3}对于A=（a1，a2，a3），B=（b1，b2，b3）∈S，定义A与B的差为A﹣B=（|a1﹣b1|，|a2﹣b2|，|a3﹣b3|），定义A与B之间的距离为d（A，B）=|ai﹣bi|．对于∀A，B，C∈S，则下列结论中一定成立的是（）‎ ‎ A． d（A，C）+d（B，C）=d（A，B） B． d（A，C）+d（B，C）＞d（A，B）‎ ‎ C． d（A﹣C，B﹣C）=d（A，B） D． d（A﹣C，B﹣C）＞d（A，B）‎ - 22 -‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置.‎ ‎11．（5分）函数f（x）=ex•lnx在点（1，0）处的切线方程为．‎ ‎12．（5分）已知正△ABC的边长为3，点F是边AB上一点，且BF=BA，则•=．‎ ‎13．（5分）21×1=2，22×1×3=3×4，23×1×3×5=4×5×6，24×1×3×5×7=5×6×7×8，…依此类推，第n个等式为．‎ ‎14．（5分）在极坐标系中，曲线ρ=2sinθ与ρsinθ﹣ρcosθ=2相交于点A、B两点，则|AB|=．‎ ‎15．如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为‎6cm，‎8cm，以AC为直径的圆与AB交于点D则BD=cm．‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎16．（12分）设向量=（sinx，cos2x），=（cosx，），函数f（x）=•‎ ‎（1）求函数f（x）的最小正周期．‎ ‎（2）若0＜α＜，f（）=，求cosα的值．‎ ‎17．（12分）某学校一个生物兴趣小组对学校的人工湖中养殖的某种鱼类进行观测研究，在饲料充足的前提下，兴趣小组对饲养时间x（单位：月）与这种鱼类的平均体重y（单位：千克）得到一组观测值，如下表：‎ xi（月） 1 2 3 4 5‎ yi（千克） 0.5 0.9 1.7 2.1 2.8‎ ‎（1）在给出的坐标系中，画出关于x，y两个相关变量的散点图．‎ ‎（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量y关于变量x的线性回归直线方程．‎ ‎（3）预测饲养满12个月时，这种鱼的平均体重（单位：千克）‎ - 22 -‎ ‎（参考公式：=，=﹣）‎ ‎18．（14分）已知平行四边形ABCD，AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，把三角形ADE沿DE折起至A1DE位置，使得A‎1C=4，F是线段A‎1C的中点．‎ ‎（1）求证：BF∥面A1DE；‎ ‎（2）求证：面A1DE⊥面DEBC；‎ ‎（3）求四棱锥A1﹣DEBC的体积．‎ ‎19．（14分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n•an+1，其中a1=1‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若bn=+，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜2n+．‎ ‎20．（14分）已知函数f（x）=x2﹣x﹣alnx，a∈R．‎ ‎（1）若f（x）在区间[，+∞）上单调递增，求a的取值范围；‎ ‎（2）试讨论f（x）的单调区间．‎ - 22 -‎ ‎21．（14分）已知抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F（0，1）‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）过点F作直线交抛物线C于A、B两点，若直线AO与BO分别交直线l：y=x﹣2于M、N两点，当|MN|=时，求直线AB的方程．‎ 广东省珠海市2015届高三上学期期末数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 一、选择题：‎ ‎1．（5分）设集合A={x|y=lg（x﹣1）}，B={y|y=2x，x∈R}，则A∪B=（）‎ ‎ A． ∅ B． R C． （1，+∞） D． （0，+∞）‎ 考点： 并集及其运算． ‎ 专题： 集合．‎ 分析： 求出集合A，B，根据并集运算进行求解．‎ 解答： 解：A={x|y=lg（x﹣1）}={x|x＞1}，B={y|y=2x，x∈R}={y|y＞0}，‎ 则A∪B={x|x＞0}，‎ 故选：D 点评： 本题主要考查集合的基本运算，比较基础．‎ ‎2．（5分）已知复数z满足（3+i）z=i，则z=（）‎ ‎ A． +i B． ﹣+i C． ﹣+i D． ﹣﹣i 考点： 复数代数形式的乘除运算． ‎ 专题： 数系的扩充和复数．‎ 分析： 利用复数的运算法则即可得出．‎ 解答： 解：∵（3+i）z=i，‎ ‎∴==．‎ 故选：A．‎ - 22 -‎ 点评： 本题考查了复数的运算法则，属于基础题．‎ ‎3．（5分）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C的方程是（）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ 考点： 椭圆的标准方程． ‎ 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析： 由已知可知椭圆的焦点在x轴上，由焦点坐标得到c，再由离心率求出a，由b2=a2﹣c2求出b2，则椭圆的方程可求．‎ 解答： 解：由题意设椭圆的方程为．‎ 因为椭圆C的右焦点为F（1，0），所以c=1，又离心率等于，‎ 即，所以a=2，则b2=a2﹣c2=3．‎ 所以椭圆的方程为．‎ 故选D．‎ 点评： 本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，属中档题．‎ ‎4．（5分）下列函数为偶函数的是（）‎ ‎ A． f（x）=x2+ B． f（x）=log2x C． f（x）=4x﹣4﹣x D． f（x）=|x﹣2|+|x+2|‎ 考点： 函数奇偶性的判断． ‎ 专题： 函数的性质及应用．‎ 分析： 根据函数奇偶性的定义进行判断即可．‎ 解答： 解：A．f（1）=1+1=2，f（﹣1）=1﹣1=0，则f（﹣1）≠f（1），故f（x）不是偶函数，‎ B．函数的定义域为（0，+∞），定义域关于原点不对称，故函数f（x）是非奇非偶函数．‎ C．f（﹣x）=4﹣x﹣4x=﹣（4x﹣4﹣x）=﹣f（x），则f（x）是奇函数，‎ D．f（﹣x）=|﹣x﹣2|+|﹣x+2|=|x+2|+|x﹣2|=f（x），故函数f（x）是偶函数，‎ 故选：D 点评： 本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．‎ ‎5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）‎ - 22 -‎ ‎ A． B． C． π D． ‎ 考点： 由三视图求面积、体积． ‎ 专题： 空间位置关系与距离．‎ 分析： 判断三视图复原的几何体的特征，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．‎ 解答： 解：由三视图可知几何体是半圆锥，底面圆的半径为1，高为2．‎ 所以半圆锥的体积为：=．‎ 故选：B．‎ 点评： 本题考查简单几何体的三视图，几何体是体积的求法，考查计算能力以及空间想象能力．‎ ‎6．（5分）函数y=cos（2x+）的图象可由函数y=cos2x的图象（）‎ ‎ A． 向左平移个单位长度而得到 ‎ B． 向右平移个单位长度而得到 ‎ C． 向左平移个单位长度而得到 ‎ D． 向右平移个单位长度而得到 考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． ‎ 专题： 三角函数的图像与性质．‎ 分析： 由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换即可求解．‎ 解答： 解：把函数y=cos2x的图象向左平移个单位即可得到函数y=cos[2（x+）]=cos（2x+）的图象，‎ 故选：A．‎ - 22 -‎ 点评： 本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．注意诱导公式的合理运用，属于基础题．‎ ‎7．（5分）设Sn为等比数列{an}的前n项和，‎27a2+a5=0，则=（）‎ ‎ A． 10 B． ﹣‎5 ‎C． 9 D． ﹣8‎ 考点： 等比数列的前n项和． ‎ 专题： 等差数列与等比数列．‎ 分析： 由已知得，解得q=﹣3，由此能求出的值．‎ 解答： 解：∵Sn为等比数列{an}的前n项和，‎27a2+a5=0，‎ ‎∴，‎ 解得q=﹣3，‎ ‎∴===10．‎ 故选：A．‎ 点评： 本题考查等比数列的前4项和与前2项和的比值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．‎ ‎8．（5分）执行如图的程序框图，若输出的S=48，则输入k的值可以为（）‎ ‎ A． 4 B． ‎6 ‎C． 8 D． 10‎ 考点： 程序框图． ‎ - 22 -‎ 专题： 算法和程序框图．‎ 分析： 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，S的值，当S=48时，由题意，此时应该满足条件n=10＞k，退出循环，输出S的值为48，故应有：7＜k＜10．‎ 解答： 解：模拟执行程序框图，可得 n=1，S=1‎ 不满足条件n＞k，n=4，S=6‎ 不满足条件n＞k，n=7，S=19‎ 不满足条件n＞k，n=10，S=48‎ 由题意，此时应该满足条件n=10＞k，退出循环，输出S的值为48，‎ 故应有：7＜k＜10‎ 故选：C．‎ 点评： 本题主要考查了程序框图和算法，根据退出循环的条件分析k的取值范围是解题的关键，属于基础题．‎ ‎9．（5分）若变量x，y满足约束条件，从可行域里任意取一点（x，y）则2x﹣y＞0的概率为（）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ 考点： 几何概型． ‎ 专题： 概率与统计．‎ 分析： 画出可行域，求出面积，利用几何概型的公式解答即可．‎ 解答： 解：可行域如图：其面积为×2×4=4，‎ 满足2x﹣y＞0的区域为△OCD，其面积为×2×2=2，‎ 由几何概型的公式可得2x﹣y＞0的概率为；‎ 故选B．‎ - 22 -‎ 点评： 本题考查了可行域的画法以及几何概型的概率公式的运用．‎ ‎10．（5分）已知集合S={P|P=（x1，x2，x3），xi∈{0，1}，i=1，2，3}对于A=（a1，a2，a3），B=（b1，b2，b3）∈S，定义A与B的差为A﹣B=（|a1﹣b1|，|a2﹣b2|，|a3﹣b3|），定义A与B之间的距离为d（A，B）=|ai﹣bi|．对于∀A，B，C∈S，则下列结论中一定成立的是（）‎ ‎ A． d（A，C）+d（B，C）=d（A，B） B． d（A，C）+d（B，C）＞d（A，B）‎ ‎ C． d（A﹣C，B﹣C）=d（A，B） D． d（A﹣C，B﹣C）＞d（A，B）‎ 考点： 进行简单的合情推理． ‎ 专题： 推理和证明．‎ 分析： 因为每个数位上都是0或者1，取差的绝对值仍然是0或者1，符合Sn的要求．然后是减去C的数位，不管减去的是0还是1，每一个a和每一个b都是同时减去的，因此不影响他们原先的差．‎ 解答： 解：设A=（a1，a2，a3），B=（b1，b2，b3），C=（c1，c2，c3）∈S 因ai，bi∈0，1，故|ai﹣bi|∈0，1，（i=1，2，3）a1b1∈0，1，‎ 即A﹣B=（|a1﹣b1|，|a2﹣b2|，|a3﹣b3|）∈S 又ai，bi，ci∈（0，1），i=1，2，3‎ 当ci=0时，有||ai﹣ci|﹣|bi﹣ci||=|ai﹣bi|；‎ 当ci=1时，有||ai﹣ci|﹣|bi﹣ci||=|（1﹣ai）﹣（1﹣bi）=|ai﹣bi|，‎ 故d（A﹣C，B﹣C）=d（A，B）成立．‎ 点评： 本题是综合考查集合、数列与推理综合的应用，这道题目的难点主要出现在读题上，需要仔细分析，以找出解题的突破点．题目所给的条件其实包含两个定义，第一个是关于Sn的，其实Sn - 22 -‎ 中的元素就是一个n维的坐标，其中每个坐标值都是0或者1，也可以这样理解，就是一个n位数字的数组，每个数字都只能是0和1，第二个定义叫距离，距离定义在两者之间，如果直观理解就是看两个数组有多少位不同，因为只有0和1才能产生一个单位的距离，因此这个大题最核心的就是处理数组上的每一位数，然后将处理的结果综合起来，就能看到整体的性质了．‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置.‎ ‎11．（5分）函数f（x）=ex•lnx在点（1，0）处的切线方程为ex﹣y﹣e=0．‎ 考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程． ‎ 专题： 导数的综合应用．‎ 分析： 求出函数的导数，求出切线方程 斜率，然后求解切线方程即可．‎ 解答： 解：函数f（x）=ex•lnx，‎ ‎∴f′（x）=ex•lnx+，=e．‎ 所求切线方程为：y=e（x﹣1），即：ex﹣y﹣e=0．‎ 故答案为：ex﹣y﹣e=0．‎ 点评： 本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．‎ ‎12．（5分）已知正△ABC的边长为3，点F是边AB上一点，且BF=BA，则•=3．‎ 考点： 平面向量数量积的运算． ‎ 专题： 平面向量及应用．‎ 分析： 利用已知条件转化为与的关系，然后求解数量积即可．‎ 解答： 解：正△ABC的边长为3，点F是边AB上一点，且BF=BA，‎ ‎∴=+，‎ ‎∴•=（+）==6．‎ 故答案为：6．‎ 点评： 本题考查平面向量的数量积的求法，注意与、的关系是解题的关键．‎ ‎13．（5分）21×1=2，22×1×3=3×4，23×1×3×5=4×5×6，24×1×3×5×7=5×6×7×8，…依此类推，第n个等式为2n×1×3×…（2n﹣1）=（n+1）•…（2n﹣1）•2n．‎ 考点： 归纳推理． ‎ 专题： 综合题．‎ 分析： 由已知中21×1=2，22×1×3=3×4，23×1×3×5=4×5×6，24×1×3×5×7=5×6×7×8，…，式子左边是2的指数幂与连续奇数的积，式子右边是连续整数的积，分析出等式两边数的个数及起始数与n的关系，即可推断出答案．‎ 解答： 解：观察已知中的等式：‎ - 22 -‎ ‎21×1=2，‎ ‎22×1×3=3×4，‎ ‎23×1×3×5=4×5×6，‎ ‎24×1×3×5×7=5×6×7×8，‎ ‎…‎ 由此推断，第n个等式为：‎ ‎2n×1×3×…（2n﹣1）=（n+1）•…（2n﹣1）•2n 故答案为：2n×1×3×…（2n﹣1）=（n+1）•…（2n﹣1）•2n 点评： 本题考查的知识点是归纳推理，其中分析出等式两边数的个数及起始数与n的关系，是解答本题的关键．‎ ‎14．（5分）在极坐标系中，曲线ρ=2sinθ与ρsinθ﹣ρcosθ=2相交于点A、B两点，则|AB|=．‎ 考点： 简单曲线的极坐标方程． ‎ 专题： 坐标系和参数方程．‎ 分析： 把圆与直线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式可得圆心C到直线的距离d．再利用弦长公式可得|AB|=2．‎ 解答： 解：曲线ρ=2sinθ化为ρ2=2ρsinθ，∴x2+y2=2y，配方为x2+（y﹣1）2=1，可得圆心C（0，1），半径r=1．‎ ρsinθ﹣ρcosθ=2化为y﹣x=2，即x﹣y+2=0．‎ 则圆心C到直线的距离d==．‎ ‎∴|AB|=2==．‎ 故答案为：．‎ 点评： 本题考查了把圆与直线的极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎15．如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为‎6cm，‎8cm，以AC为直径的圆与AB交于点D则BD=cm．‎ 考点： 与圆有关的比例线段． ‎ 专题： 直线与圆．‎ - 22 -‎ 分析： 由已知条件，利用切割线定理和勾股定理得，由此能求出BD的长．‎ 解答： 解：∵Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为‎6cm，‎8cm，‎ 以AC为直径的圆与AB交于点D，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 解得BD+AD=10，BD==．‎ 故答案为：．‎ 点评： 本题考查与圆有关的线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理和勾股定理的合理运用．‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎16．（12分）设向量=（sinx，cos2x），=（cosx，），函数f（x）=•‎ ‎（1）求函数f（x）的最小正周期．‎ ‎（2）若0＜α＜，f（）=，求cosα的值．‎ 考点： 三角函数的周期性及其求法；平面向量数量积的运算． ‎ 专题： 计算题；三角函数的图像与性质．‎ 分析： （1）由三角函数恒等变换化简函数解析式可得f（x）=sin（2x+），由周期公式即可得解．‎ ‎（2）注意到角，由已知先求得sin（），cos（）的值，从而由两角差的余弦公式即可代入求解．‎ 解答： （本题12分）‎ 解：（1）…（2分）‎ ‎==…（4分）‎ 所以最正周期…（5分）‎ ‎（2）由得：…（6分）‎ - 22 -‎ 所以，‎ 因为0＜α＜，‎ 所以，，‎ 所以……（9分）‎ ‎…（11分） ‎ ‎=…（12分）‎ 点评： 本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换，三角函数的周期性及其求法及倍角公式，两角和与差的余弦公式的应用，属于中档题．‎ ‎17．（12分）某学校一个生物兴趣小组对学校的人工湖中养殖的某种鱼类进行观测研究，在饲料充足的前提下，兴趣小组对饲养时间x（单位：月）与这种鱼类的平均体重y（单位：千克）得到一组观测值，如下表：‎ xi（月） 1 2 3 4 5‎ yi（千克） 0.5 0.9 1.7 2.1 2.8‎ ‎（1）在给出的坐标系中，画出关于x，y两个相关变量的散点图．‎ ‎（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量y关于变量x的线性回归直线方程．‎ ‎（3）预测饲养满12个月时，这种鱼的平均体重（单位：千克）‎ ‎（参考公式：=，=﹣）‎ 考点： 线性回归方程． ‎ - 22 -‎ 专题： 计算题；概率与统计．‎ 分析： （1）利用所给数据，可得散点图；‎ ‎（2）利用公式，计算回归系数，即可得到回归方程；‎ ‎（3）x=12代入回归方程，即可得到结论．‎ 解答： 解：（1）散点图如图所示…（3分）‎ ‎（2）由题设=3，=1.6，…（4分）‎ ‎∴===0.58，‎ a=﹣=﹣0.14…（9分）‎ 故回归直线方程为y=0.58x﹣0.14…（10分）‎ ‎（3）当x=12时，y=0.58×12﹣0.14=6.82…（11分）‎ 饲养满12个月时，这种鱼的平均体重约为‎6.82千克．…（12分）‎ 点评： 本题考查回归分析的初步运用，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎18．（14分）已知平行四边形ABCD，AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，把三角形ADE沿DE折起至A1DE位置，使得A‎1C=4，F是线段A‎1C的中点．‎ ‎（1）求证：BF∥面A1DE；‎ ‎（2）求证：面A1DE⊥面DEBC；‎ ‎（3）求四棱锥A1﹣DEBC的体积．‎ - 22 -‎ 考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定． ‎ 专题： 空间位置关系与距离．‎ 分析： （1）取DA1的中点G，连接FG、GE，通过证明BF∥EG，利用直线与平面平行的判定定理证明BF∥平面A1DE．‎ ‎（2）取DE的中点H，连接A1H、CH，通过证明A1H⊥面DEBC，然后通过平面与平面垂直的判定定理证明面A1DE⊥面DEBC．‎ ‎（3）利用（2）的结果，直接求解几何体的体积即可．‎ 解答： （本题14分）‎ 解：（1）证明：取DA1的中点G，连接FG、GE，‎ ‎∵F为A‎1C中点，‎ ‎∴GF∥DC，且，‎ ‎∵E为平行四边形ABCD边AB的中点，‎ ‎∴EB∥DC，且，‎ ‎∴EB∥GF，且EB=GF，‎ ‎∴四边形BFGE是平行四边形，‎ ‎∴BF∥EG，‎ ‎∵EG⊂平面A1DE，BF⊄平面A1DE ‎∴BF∥平面A1DE…（4分）‎ ‎（2）取DE的中点H，连接A1H、CH，‎ ‎∵AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，‎ ‎∴△DAE为等边三角形，即折叠后△DA1E也为等边三角形，‎ ‎∴A1H⊥DE，且，‎ 在△DHC中，DH=1，DC=4，∠HDC=60°‎ - 22 -‎ 根据余弦定理，可得，‎ 在△A1HC中，，HC=13，A‎1C=4，‎ ‎∴，即A1H⊥HC 又∵，所以A1H⊥面DEBC 又∵A1H⊂面A1DE∴面A1DE⊥面DEBC…（10分）‎ ‎（3）由第（2）问知A1H⊥面DEBC，‎ ‎…（14分）‎ 点评： 本题考查直线与平面平行与垂直的判定定理，平面与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象力以及计算能力．‎ ‎19．（14分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n•an+1，其中a1=1‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若bn=+，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜2n+．‎ 考点： 数列与不等式的综合；数列递推式． ‎ 专题： 等差数列与等比数列．‎ 分析： （1）求出数列的首项，通过，得到数列的递推关系式，利用累加法求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）化简bn=+，为，然后求解数列{bn}的前n项和为Tn，即可证明：Tn＜2n+．‎ 解答： （本题14分）‎ 解：（1）令n=1，得，即，由已知a1=1，得a2=2…（1分）‎ 把式子中的n用n﹣1替代，得到 - 22 -‎ 由可得 即，即 即得：，…（3分）‎ 所以：‎ 即 …（6分）‎ 又∵a2=2，所以∵an=n（n≥2）‎ 又∵a1=1，∴an=n…（8分）‎ ‎（2）由（1）知 又∵…（11分）‎ ‎∴‎ ‎∴…（14分）‎ 点评： 本题考查数列与不等式的应用，数列的递推关系式以及数列的求和的方法，通项公式的求法，考查分析问题解决问题的能力．‎ ‎20．（14分）已知函数f（x）=x2﹣x﹣alnx，a∈R．‎ ‎（1）若f（x）在区间[，+∞）上单调递增，求a的取值范围；‎ ‎（2）试讨论f（x）的单调区间．‎ 考点： 利用导数研究函数的单调性． ‎ 专题： 导数的综合应用．‎ 分析： （1）利用f（x）在区间上单调递增，f′（x）≥0恒成立，得到a≤x2﹣x，求出二次函数在的最小值，即可得到a的取值范围．‎ - 22 -‎ ‎（2）求出导数，构造函数g（x）=x2﹣x﹣a，考察函数g（x）=x2﹣x﹣a，计算△=1+‎4a，10．当△＞0分两种情况讨论：①当a≥0时：求出函数单调区间．②当时：求出函数的单调区间．‎ ‎20．当△≤0即时，g（x）≥0对任意的x∈（0，+∞）恒成立，得到当时，f（x）的单调增区间为（﹣∞，+∞）．‎ 解答： （本题14分）‎ 解：（1）因为f（x）在区间上单调递增，则当，f′（x）≥0恒成立…（2分）‎ 由得：a≤x2﹣x 因为二次函数在的最小值为，…（4分）‎ 从而有，‎ 所以，当时，f（x）在上单调递减．…（5分）‎ ‎（2），构造函数g（x）=x2﹣x﹣a，则，‎ ‎∵函数的定义域为（0，+∞），‎ ‎∴g（x）与f'（x）同正负…（6分）‎ 考察函数g（x）=x2﹣x﹣a，计算△=1+‎4a，‎ 下面对△进行讨论10．当△＞0即时，‎ 分两种情况讨论：‎ ‎①当a≥0时：‎ 当时，g（x）＞0，即f'（x）＞0，‎ 所以f（x）的单调增区间为；‎ 且当时，g（x）＜0，即f'（x）＜0，‎ 所以f（x）的单调减区间为…（8分）‎ ‎②当时：‎ 当和时，g（x）＞0，即f'（x）＞0，‎ - 22 -‎ 所以f（x）的单调增区间为和；…（9分）‎ 当时，g（x）＜0，即f'（x）＜0，‎ 所以f（x）的单调减区间为…（10分）‎ ‎20．当△≤0即时，g（x）≥0对任意的x∈（0，+∞）恒成立，‎ 所以f'（x）≥0对任意的x∈（0，+∞）恒成立，‎ 所以f（x）的单调增区间为（﹣∞，+∞）…（12分）‎ 综上，当a≥0时，f（x）的单调增区间为，单调减区间为 当时，f（x）的单调增区间为和，‎ 单调减区间为 当时，f（x）的单调增区间为（﹣∞，+∞）…（14分）‎ 点评： 本题考查函数的导数的应用，函数的单调性，分类讨论以及构造法的应用，考查导数的综合应用．‎ ‎21．（14分）已知抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F（0，1）‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）过点F作直线交抛物线C于A、B两点，若直线AO与BO分别交直线l：y=x﹣2于M、N两点，当|MN|=时，求直线AB的方程．‎ 考点： 直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程． ‎ 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析： （1）利用抛物线的焦点坐标求出p，然后求出抛物线方程．‎ - 22 -‎ ‎（2）设，求出，联立AO的方程与直线l，求出M坐标，同理求出N的坐标，推出MN的距离表达式，设AB：y=kx+1，推出弦长公式求出MN，即可解得k．‎ 解答： （本题14分）解：（1）由已知可得抛物线的方程为：x2=2py（p＞0），且，‎ 所以抛物线方程是：x2=4y…（2分）‎ ‎（2）设，所以，‎ 所以AO的方程是：，‎ 由，‎ 同理由，…（4分）‎ 所以，‎ ‎…（7分）‎ 设AB：y=kx+1，由，…（9分）‎ ‎∴…（10分）‎ ‎∴‎ 化简得17k2+48k+31=0…（12分）‎ 解得k=﹣1或…（14分）‎ - 22 -‎ 直线的方程为：y=﹣x+1或y=x+1．‎ 点评： 本题考查抛物线标准方程的求法，直线与抛物线的位置关系，弦长公式的应用，考查分析问题解决问题的能力．‎ - 22 -‎