河南省开封四中2015届高三数学上学期期中试卷 理（含解析）.doc

开封市2015届高三数学上学期期中试题（理科含解析） ‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）已知i为虚数单位，复数z=1+i，z为其共轭复数，则等于（）‎ ‎ A． ﹣1﹣i B． 1﹣i C． ﹣1+i D． 1+i ‎2．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果为（）‎ ‎ A． 6 B． ‎5 ‎C． 8 D． 7‎ ‎3．（5分）要得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）‎ ‎ A． 向左平移个单位 B． 向右平移个单位 ‎ C． 向左平移个单位 D． 向右平移个单位 ‎4．（5分）数列{an}满足a1=2，an=，其前n项积为Tn，则T2015=（）‎ ‎ A． 2 B． ‎1 ‎C． 3 D． ﹣6‎ ‎5．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）‎ - 25 -‎ ‎ A． 64﹣ B． 64﹣ C． 64﹣16π D． 64﹣‎ ‎6．（5分）△ABC中，a，b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a，b、c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b等于（）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎7．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=1相交，则双曲线的离心率的取值范围是（）‎ ‎ A． （1，2） B． （，+∞） C． （1，） D． （2，+∞）‎ ‎8．（5分）若‎2m+8n＜2，则点（m，n）必在（）‎ ‎ A． 直线x+y=1的左下方 B． 直线x+y=1的右上方 ‎ C． 直线x+3y=1的左下方 D． 直线x+3y=1的右上方 ‎9．（5分）在二项式的展开式中只有第五项的二项式系数最大，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项都互不相邻的概率为（）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎10．（5分）在△ABC中，|AB|=3，|AC|=2，=，则直线AD通过△ABC的（）‎ ‎ A． 垂心 B． 外心 C． 重心 D． 内心 ‎11．（5分）抛物线C1：的焦点与双曲线C2：的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（）‎ - 25 -‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎12．（5分）函数f（x）=，直线y=m与函数f（x）的图象相交于四个不同的点，从小到大，交点横坐标依次记为a，b，c，d，下列说法错误的是（）‎ ‎ A． m∈‎ ‎16．（5分）给出下列命题，其中正确的命题是（把所有正确的命题的选项都填上）．‎ ‎①函数y=f（x﹣2）和y=f（2﹣x）的图象关于直线x=2对称；‎ ‎②在R上连续的函数f（x）若是增函数，则对任意x0∈R均有f'（x0）＞0成立；‎ ‎③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；‎ ‎④若P为双曲线x2﹣=1上一点，F1、F2为双曲线的左右焦点，且|PF2|=4，则|PF1|=2或6；‎ ‎⑤如果（1+x+x2）（x﹣a）5（a为实常数）的展开式中所有项的系数和为0，则展开式中含x4项的系数为﹣5．‎ 三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（12分）数列{an}满足a1=，an+1=（n∈N*）‎ ‎（Ⅰ）求证：{}为等差数列，并求出{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设bn=﹣1，数列{bn}的前n项和为Bn，对任意n≥2都有B3n﹣Bn＞成立，求整数m的最大值．‎ ‎18．（12分）某单位从一所学校招收某类特殊人才．对20位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：‎ 逻辑思维能力 运动协调能力 一般 良好 优秀 一般 2 2 1‎ 良好 4 b 1‎ 优秀 1 3 a 例如，表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生有4人．由于部分数据丢失，只知道从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为．‎ ‎（Ⅰ）求a，b的值；‎ - 25 -‎ ‎（Ⅱ）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率；‎ ‎（Ⅲ）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．‎ ‎19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B‎1C1中，已知AB⊥侧面BB‎1C1C，AB=BC=1，BB1=2，∠BCC1=．‎ ‎（1）求证：C1B⊥平面ABC；‎ ‎（2）设=λ（0≤λ≤1），且平面AB1E与BB1E所成的锐二面角的大小为30°，试求λ的值．‎ ‎20．（12分）定圆M：=16，动圆N过点F且与圆M相切，记圆心N的轨迹为E．‎ ‎（I）求轨迹E的方程；‎ ‎（Ⅱ）设点A，B，C在E上运动，A与B关于原点对称，且|AC|=|CB|，当△ABC的面积最小时，求直线AB的方程．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=alnx﹣x﹣，a∈R．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ） 证明：（x﹣1）（e﹣x﹣x）+2lnx＜．‎ 请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.几何证明选讲 ‎22．（10分）已知，如图，AB是圆O的直径，AC切⊙O于点A，AC=AB，CO交⊙O于点P，CO的延长线交⊙O于点F，BP的延长线交AC于点E．‎ ‎（Ⅰ）求证：FA∥BE：；‎ ‎（Ⅱ）求证：；‎ ‎（Ⅲ）若⊙O的直径AB=2，求tan∠CPE的值．‎ - 25 -‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣）．‎ ‎（1）求圆C的直角坐标方程；‎ ‎（2）若P（x，y）是直线l与圆面ρ≤4sin（θ﹣）的公共点，求x+y的取值范围．‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎24．已知a＞0，b＞0，且a2+b2=，若a+b≤m恒成立，‎ ‎（Ⅰ）求m的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若2|x﹣1|+|x|≥a+b对任意的a，b恒成立，求实数x的取值范围．‎ 河南省开封四中2015届高三上学期期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）已知i为虚数单位，复数z=1+i，z为其共轭复数，则等于（）‎ ‎ A． ﹣1﹣i B． 1﹣i C． ﹣1+i D． 1+i 考点： 复数代数形式的混合运算． ‎ 专题： 数系的扩充和复数．‎ 分析： 求出复数的共轭复数，代入所求表达式，化简为a+bi的形式，即可．‎ 解答： 解：∵复数z=1+i，∴，‎ - 25 -‎ 则，‎ 故选：A．‎ 点评： 本题考查复数代数形式的混合运算，基本知识的考查．‎ ‎2．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果为（）‎ ‎ A． 6 B． ‎5 ‎C． 8 D． 7‎ 考点： 程序框图． ‎ 专题： 算法和程序框图．‎ 分析： 根据直到型循环结构的程序框图，依次计算运行的结果，直到满足条件T≥S，运行终止，输出n值．‎ 解答： 解：由程序框图知：第一次运行的结果是T=22=4，n=2+1=3，S=32=9；‎ 第二次运行的结果是T=23=8，n=3+1=4，S=42=16；‎ 第三次运行的结果是T=24=16，n=4+1=5，S=52=25；‎ 第四次运行的结果是T=25=32，n=5+1=6，S=62=36；‎ 第五次运行的结果是T=26=64，n=6+1=7，S=72=49，满足条件T≥S，运行终止，输出n=7．‎ 故选D．‎ 点评： 本题流程了直到型循环结构的程序框图，读懂框图的流程是关键．‎ ‎3．（5分）要得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）‎ ‎ A． 向左平移个单位 B． 向右平移个单位 ‎ C． 向左平移个单位 D． 向右平移个单位 考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． ‎ 专题： 计算题．‎ - 25 -‎ 分析： 首先对函数式进行整理，利用诱导公式把余弦转化成正弦，看出两个函数之间的差别，得到平移的方向和大小．‎ 解答： 解：∵==sin（+）=sin（2x+）=sin2（x+）‎ ‎∴y=sin2x只要向左平移个单位就可以得到上面的解析式的图象．‎ 故选A．‎ 点评： 本题考查三角函数的图象的平移，本题解题的关键是把要平移的两个函数之间的不同名转化成同名，本题是一个易错题．‎ ‎4．（5分）数列{an}满足a1=2，an=，其前n项积为Tn，则T2015=（）‎ ‎ A． 2 B． ‎1 ‎C． 3 D． ﹣6‎ 考点： 数列递推式；数列的求和． ‎ 专题： 等差数列与等比数列．‎ 分析： 根据数列{an}满足a1=2，an=，可得数列{an}是周期为4的周期数列，且T4=a‎1a2a3a4=1，即可得出结论．‎ 解答： 解：∵a1=2，an=，‎ ‎∴a1==2，解得a2=﹣3，‎ 则=a2=﹣3，解得a3=﹣，‎ 则=a3=﹣，解得a4=，‎ 则=a4=，解得a5=2，‎ ‎…，‎ 则an的取值具备周期性，周期数为4，‎ 且T4=a‎1a2a3a4=﹣3×（﹣）××2=1，‎ 则T2015=a‎1a2a3a4…a2015=a‎1a2a3═2×（﹣3）×（﹣）=3．‎ - 25 -‎ 故选：C 点评： 本题考查数列递推式，考查学生分析解决问题的能力，确定数列{an}是周期为4的周期数列，且T4=a‎1a2a3a4=1，是关键．‎ ‎5．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）‎ ‎ A． 64﹣ B． 64﹣ C． 64﹣16π D． 64﹣‎ 考点： 由三视图求面积、体积． ‎ 专题： 计算题；空间位置关系与距离．‎ 分析： 几何体是正方体内挖去两个圆锥，且两圆锥的底面分别是正方体上、下面的内接圆，根据三视图判断正方体的边长，圆锥的底面半径与高，代入正方体与圆锥的体积公式计算．‎ 解答： 解：由三视图知：、几何体是正方体内挖去两个圆锥，且两圆锥的底面分别是正方体上、下面的内接圆，‎ 两圆锥的顶点重合，‎ ‎∵正方体的边长为4，∴挖去两个圆锥的底面半径都为2，上圆锥的高为3，下圆锥的高为1，‎ ‎∴几何体的体积．‎ 故选：A．‎ 点评： 本题考查了由三视图求几何体的体积，判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解答此类问题的关键．‎ ‎6．（5分）△ABC中，a，b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a，b、c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b等于（）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ 考点： 解三角形． ‎ 专题： 计算题；压轴题．‎ 分析： 先根据等差中项的性质可求得2b=a+c，两边平方求得a，b和c的关系式，利用三角形面积公式求得ac的值，进而把a，b和c的关系式代入余弦定理求得b的值．‎ 解答： 解：∵a，b、c成等差数列，∴2b=a+c，得a2+c2=4b2﹣‎2ac，‎ 又∵△ABC的面积为，∠B=30°，‎ - 25 -‎ 故由，‎ 得ac=6．‎ ‎∴a2+c2=4b2﹣12．‎ 由余弦定理，得，‎ 解得．‎ 又b为边长，∴．‎ 故选B 点评： 本题主要考查了余弦定理的运用．考查了学生分析问题和基本的运算能力．‎ ‎7．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=1相交，则双曲线的离心率的取值范围是（）‎ ‎ A． （1，2） B． （，+∞） C． （1，） D． （2，+∞）‎ 考点： 双曲线的简单性质． ‎ 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析： 双曲线与圆（x﹣2）2+y2=1相交，可得圆心（2，0）到渐近线的距离＜1，化简即可．‎ 解答： 解：取双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线y=x，‎ ‎∵双曲线与圆（x﹣2）2+y2=1相交，‎ ‎∴圆心（2，0）到渐近线的距离＜1，化为，‎ ‎∴e＞2．‎ ‎∴双曲线的离心率的取值范围是e＞2．‎ 故选：D．‎ 点评： 本题考查了双曲线与圆的标准方程及其性质、点到直线的距离公式，属于基础题．‎ ‎8．（5分）若‎2m+8n＜2，则点（m，n）必在（）‎ ‎ A． 直线x+y=1的左下方 B． 直线x+y=1的右上方 ‎ C． 直线x+3y=1的左下方 D． 直线x+3y=1的右上方 考点： 二元一次不等式（组）与平面区域． ‎ 专题： 计算题；不等式的解法及应用．‎ - 25 -‎ 分析： 由题意可得，2≤‎2m+8n＜2，从而可推出m+3n＜1．‎ 解答： 解：∵‎2m+8n＜2，‎ 又∵2≤‎2m+8n＜2，‎ ‎∴2（m+3n）＜2，‎ ‎∴m+3n＜1，‎ 故点（m，n）必在直线x+3y=1的左下方，‎ 故选C．‎ 点评： 本题考查了二元一次不等式表示的平面区域的确定及基本不等式的应用，属于基础题．‎ ‎9．（5分）在二项式的展开式中只有第五项的二项式系数最大，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项都互不相邻的概率为（）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ 考点： 二项式系数的性质；古典概型及其概率计算公式． ‎ 专题： 概率与统计；排列组合；二项式定理．‎ 分析： 由二项式系数的性质得到n的值，由通项公式可得展开式中的有理项的个数，求出9项的全排列数，由插空排列求出有理项都互不相邻的排列数，最后由古典概型概率计算公式得答案．‎ 解答： 解：∵二项式的展开式中只有第五项的二项式系数最大，‎ ‎∴二项式的二项展开式共有9项，则n=8．‎ 其通项为=，‎ 当r=0，4，8时，项为有理项．‎ 展开式的9项全排列共有种，‎ 有理项互不相邻可把6个无理项全排，把3个有理项在形成的7个空中插孔即可，有种．‎ ‎∴有理项都互不相邻的概率为=．‎ 故选：D．‎ 点评： 本题考查二项式系数的性质，考查简单的排列组合知识，训练了利用古典概型概率计算公式求概率，是中档题．‎ - 25 -‎ ‎10．（5分）在△ABC中，|AB|=3，|AC|=2，=，则直线AD通过△ABC的（）‎ ‎ A． 垂心 B． 外心 C． 重心 D． 内心 考点： 向量在几何中的应用． ‎ 专题： 综合题；平面向量及应用．‎ 分析： 首先根据已知条件可知||=||=，又因为=，设=，=，由向量加法的平行四边形法则可知四边形AEDF为菱形，从而可确定直线AD通过△ABC的内心．‎ 解答： 解：∵|AB|=3，|AC|=2‎ ‎∴||=||=．‎ 设=，=，‎ 则||=||，‎ ‎∴==+．‎ 由向量加法的平行四边形法则可知，四边形AEDF为菱形．‎ ‎∴AD为菱形的对角线，‎ ‎∴AD平分∠EAF．‎ ‎∴直线AD通过△ABC的内心．‎ 故选：D．‎ 点评： 本题考查向量加法的平行四边形法则及其几何意义，属于中档题．‎ ‎11．（5分）抛物线C1：的焦点与双曲线C2：的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ 考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；双曲线的简单性质． ‎ 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析： 由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数在x取直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p的关系，把M点的坐标代入直线方程即可求得p的值．‎ 解答： 解：由，得x2=2py（p＞0），‎ 所以抛物线的焦点坐标为F（）．‎ - 25 -‎ 由，得，．‎ 所以双曲线的右焦点为（2，0）．‎ 则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为，‎ 即①．‎ 设该直线交抛物线于M（），则C1在点M处的切线的斜率为．‎ 由题意可知，得，代入M点得M（）‎ 把M点代入①得：．‎ 解得p=．‎ 故选：D．‎ 点评： 本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数，是中档题．‎ ‎12．（5分）函数f（x）=，直线y=m与函数f（x）的图象相交于四个不同的点，从小到大，交点横坐标依次记为a，b，c，d，下列说法错误的是（）‎ ‎ A． m∈，又∵cd=e4，‎ ‎∴a+b+c+d=c+﹣2在（，]是递减函数，∴a+b+c+d∈‎ ‎∴③是正确的；‎ 若关于x的方程f（x）+x=m恰有三个不同实根，则y=f（x）与y=﹣x+m有三个不同的交点，‎ 而直线y=﹣x+3 与y=﹣x+均与y=f（x）有三个交点，∴m不唯一．∴④是不正确的．‎ 故选D．‎ 点评： 本题考查函数的图象，分段函数，零点与方程的根之间的关系，综合性较强．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．（5分）如图，矩形ABCD内的阴影部分是由曲线f（x）=2x2﹣2x及直线y=2x围成的，现向矩形ABCD内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为．‎ - 25 -‎ 考点： 定积分在求面积中的应用． ‎ 专题： 导数的综合应用．‎ 分析： 根据见对方的几何意义，求出两条曲线的交点，由此可得所求面积为函数f（x）=2x2﹣2x及y=2x在区间上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案．‎ 解答： 解：∵f（x）=2x2﹣2x及直线y=2x的交点为C（0，0）和（2，4）‎ ‎∴曲线f（x）=2x2﹣2x及直线y=2x所围图形的面积为S===（2x2﹣）=，‎ 矩形ABCD的面积2×=9；‎ ‎∴矩形ABCD内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为；‎ 故答案为：．‎ 点评： 本题求两条曲线围成的曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题．‎ ‎14．（5分）已知变量x，y满足约束条件，若z=kx+y的最大值为5，则实数k=或．‎ 考点： 简单线性规划． ‎ 专题： 不等式的解法及应用．‎ 分析： 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合即可得到结论．‎ 解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 由z=kx+y得y=﹣kx+z，‎ ‎∴直线的截距最大，对应的z也取得最大值，‎ 即平面区域在直线y=﹣kx+z的下方，‎ 若﹣k＜0，平移直线y=﹣kx+z，由图象可知当直线y=﹣kx+z经过点B时，直线y=﹣kx+z的截距最大，此时z最大为5，‎ - 25 -‎ 即kx+y=5‎ 由，解得，‎ 即B（5，4），‎ 此时5k+4=5，解得k=，‎ 若﹣k＞0，平移直线y=﹣kx+z，由图象可知当直线y=﹣kx+z经过点A时，直线y=﹣kx+z的截距最大，此时z最大为5，‎ 即kx+y=5‎ 由，解得，‎ 即A（﹣3，4），‎ 此时﹣3k+4=5，解得k=‎ 故答案为：或 点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，结合数形结合是解决本题的关键．‎ ‎15．（5分）已知直角梯形ABCD，AB⊥AD，CD⊥AD，AB=2AD=2CD=2，沿AC折叠成三棱锥，当三棱锥体积最大时，求此时三棱锥外接球的体积．‎ 考点： 球的体积和表面积；球内接多面体． ‎ 专题： 球．‎ 分析： 画出图形，确定三棱锥外接球的半径，然后求解外接球的体积即可．‎ 解答： 解：已知直角梯形ABCD，AB⊥AD，CD⊥AD，AB=2AD=2CD=2，沿AC折叠成三棱锥，如图：AB=2，AD=1，CD=1，‎ ‎∴AC=，BC=，‎ ‎∴BC⊥AC，‎ 取AC的中点E，AB的中点O，连结DE，OE，∵当三棱锥体积最大时，‎ ‎∴平面DCA⊥平面ACB，‎ ‎∴OB=OA=OC=OD，‎ - 25 -‎ ‎∴OB=1，就是外接球的半径为1，‎ 此时三棱锥外接球的体积：=．‎ 故答案为：．‎ 点评： 本题考查折叠问题，三棱锥的外接球的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．‎ ‎16．（5分）给出下列命题，其中正确的命题是①⑤（把所有正确的命题的选项都填上）．‎ ‎①函数y=f（x﹣2）和y=f（2﹣x）的图象关于直线x=2对称；‎ ‎②在R上连续的函数f（x）若是增函数，则对任意x0∈R均有f'（x0）＞0成立；‎ ‎③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；‎ ‎④若P为双曲线x2﹣=1上一点，F1、F2为双曲线的左右焦点，且|PF2|=4，则|PF1|=2或6；‎ ‎⑤如果（1+x+x2）（x﹣a）5（a为实常数）的展开式中所有项的系数和为0，则展开式中含x4项的系数为﹣5．‎ 考点： 命题的真假判断与应用． ‎ 专题： 常规题型；空间位置关系与距离；简易逻辑；二项式定理．‎ 分析： ①设（a，b）是函数y=f（x﹣2）图象上的任意一点，说明点（a，b）关于直线x=2对称的点（4﹣a，b）在y=f（2﹣x）的图象上即可，‎ ‎②举反例f（x）=x3；‎ ‎③侧面都是等腰三角形时侧棱也不一定都相等；‎ ‎④由题意知，a=1，c=，4＜1+，则由|PF2|=4，可得|PF1|=4+2=6；故不正确；‎ ‎⑤由题意可得（1+1+12）（1﹣a）5=0，则a=1，从而求展开式中含x4项的系数为﹣+﹣=﹣5．‎ 解答： 解：①设（a，b）是函数y=f（x﹣2）图象上的任意一点，‎ 则点（a，b）关于直线x=2对称的点（4﹣a，b）；‎ ‎∵b=f（a﹣2），y=f（2﹣（4﹣a））=f（a﹣2）=b，‎ ‎∴（4﹣a，b）在y=f（2﹣x）的图象上，‎ ‎∴函数y=f（x﹣2）和y=f（2﹣x）的图象关于直线x=2对称；‎ ‎②不正确，例如f（x）=x3；‎ ‎③不正确，侧面都是等腰三角形时侧棱也不一定都相等；‎ ‎④由题意知，a=1，c=，4＜1+，‎ - 25 -‎ 则由|PF2|=4，‎ 可得|PF1|=4+2=6；故不正确；‎ ‎⑤∵（1+x+x2）（x﹣a）5（a为实常数）的展开式中所有项的系数和为0，‎ ‎∴（1+1+12）（1﹣a）5=0，‎ 则a=1，‎ 则（1+x+x2）（x﹣1）5，‎ 则展开式中含x4项的系数为﹣+﹣=﹣5，故正确；‎ 故答案为：①⑤．‎ 点评： 本题考查了命题的真假性的判断，函数图象对称性的判断，导数与函数单调性的关系，三棱锥的结构特征，双曲线的定义与应用及二项展开式等，考点丰富，属于难题．‎ 三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（12分）数列{an}满足a1=，an+1=（n∈N*）‎ ‎（Ⅰ）求证：{}为等差数列，并求出{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设bn=﹣1，数列{bn}的前n项和为Bn，对任意n≥2都有B3n﹣Bn＞成立，求整数m的最大值．‎ 考点： 数列的求和；等差数列的性质． ‎ 专题： 等差数列与等比数列．‎ 分析： （Ⅰ）由已知条件推导出===﹣1+，由此能证明{}为等差数列，并能求出{an}的通项公式．‎ ‎（2）bn=﹣1=，令Cn=B3n﹣Bn=，从而得到{Cn}为单调递增数列，由此能求出整数m的最大值．‎ 解答： 解：（Ⅰ）∵数列{an}满足a1=，an+1=（n∈N*），‎ ‎∴===﹣1+，‎ ‎∴=﹣1，‎ - 25 -‎ ‎∵=，‎ ‎∴{}是首项为﹣2，公差为﹣1的等差数列，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎（2）bn=﹣1=，‎ 令Cn=B3n﹣Bn=，‎ ‎∴Cn+1﹣Cn=‎ ‎=‎ ‎=＞=0，‎ ‎∴Cn+1﹣Cn＞0，‎ ‎∴{Cn}为单调递增数列，‎ ‎∴（B3n﹣Bn）min=B6﹣B2=，‎ ‎∴m＜19，‎ 又m∈N*，‎ ‎∴m的最大值为18．‎ 点评： 本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查整数的最大值的求法，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．‎ ‎18．（12分）某单位从一所学校招收某类特殊人才．对20位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：‎ 逻辑思维能力 运动协调能力 一般 良好 优秀 一般 2 2 1‎ 良好 4 b 1‎ 优秀 1 3 a 例如，表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生有4人．由于部分数据丢失，只知道从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为．‎ ‎（Ⅰ）求a，b的值；‎ - 25 -‎ ‎（Ⅱ）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率；‎ ‎（Ⅲ）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．‎ 考点： 离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式． ‎ 专题： 计算题；概率与统计．‎ 分析： （Ⅰ）由表格数据可知，运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有（6+a）人．记“从20位学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生”为事件A，事件A的概率即为，由此建立方程即可求出a，b．‎ ‎（Ⅱ）由题意可知，至少有一项能力测试优秀的学生共有8人，求其对立事件的概率，易求至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率．‎ ‎（Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出其概率列出分布列，利用公式求出期望即可．‎ 解答： 解：（Ⅰ）设事件A：从20位学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．‎ 由题意可知，运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有（6+a）人．‎ 则P（A）==，解得a=2．‎ 所以b=4． …（4分）‎ ‎（Ⅱ）设事件B：从20人中任意抽取2人，至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．‎ 由题意可知，至少有一项能力测试优秀的学生共有8人．‎ 则P（B）=1﹣P（）=1﹣=． …（7分）‎ ‎（Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2．‎ ‎20位学生中运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为8人．‎ 所以P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==．‎ 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2‎ P ‎ 所以，Eξ=0×+1×+2×==． …（13分）‎ 点评： 本题考查离散型随机变量的期望与方差，求解问题的关键是正确理解题意以及熟练掌握求概率的方法．‎ ‎19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B‎1C1中，已知AB⊥侧面BB‎1C1C，AB=BC=1，BB1=2，∠BCC1=．‎ ‎（1）求证：C1B⊥平面ABC；‎ - 25 -‎ ‎（2）设=λ（0≤λ≤1），且平面AB1E与BB1E所成的锐二面角的大小为30°，试求λ的值．‎ 考点： 与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定． ‎ 专题： 空间角．‎ 分析： （1）由已知条件推导出AB⊥BC1，BC⊥BC1，由此能证明C1B⊥平面ABC．‎ ‎（2）以B为原点，BC，BA，BC1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．利用向量法能求出λ的值．‎ 解答： （1）证明：AB⊥侧面BB‎1C1C，BC1⊂侧面BB‎1C1C，∴AB⊥BC1，‎ 在△BCC1中，BC=1，CC1=BB1=2，∠BCC1=，‎ 由余弦定理得：B=BC2+C﹣2BC•CC1•cos∠BCC1‎ ‎=12+22﹣2×1×2×cos=3，‎ ‎∴BC1=，…3 分 ‎∴BC2+B=C，∴BC⊥BC1，‎ ‎∵BC∩AB=B，∴C1B⊥平面ABC．…（5分）‎ ‎（2）解：由（1）知，BC，BA，BC1两两垂直，‎ 以B为原点，BC，BA，BC1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．‎ 则，．…（7分）‎ ‎∴，∴，∴，‎ 则．‎ 设平面AB1E的法向量为，‎ 则，∴，‎ 令，则，∴．…（10分）‎ - 25 -‎ ‎∵AB⊥侧面BB‎1C1C，∴=（0，1，0）是平面BEB1的一个法向量，‎ ‎∴|cos＜＞|=||=，‎ 两边平方并化简得2λ2﹣5λ+3=0，‎ ‎∴λ=1或（舍去）．…（12分）‎ ‎∴λ的值是1．‎ 点评： 本题考查直线与平面垂直的证明，考查满足条件的实数值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．‎ ‎20．（12分）定圆M：=16，动圆N过点F且与圆M相切，记圆心N的轨迹为E．‎ ‎（I）求轨迹E的方程；‎ ‎（Ⅱ）设点A，B，C在E上运动，A与B关于原点对称，且|AC|=|CB|，当△ABC的面积最小时，求直线AB的方程．‎ 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题． ‎ 专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析： （I）因为|NM|+|NF|=4＞|FM|，所以点N的轨迹E为椭圆，且，所以b=1，从而可求求轨迹E的方程；‎ ‎（Ⅱ）分类讨论，直线AB的方程为y=kx，代入椭圆方程，求出|OA|，|OC|，可得S△ABC=2S△OAC=|OA|×|OC|，利用基本不等式求最值，即可求直线AB的方程．‎ 解答： 解：（Ⅰ）因为点在圆内，所以圆N内切于圆M，因为|NM|+|NF|=4＞|FM|，所以点N的轨迹E为椭圆，且，所以b=1，所以轨迹E的方程为．…（4分）‎ ‎（Ⅱ）（i）当AB为长轴（或短轴）时，依题意知，点C就是椭圆的上下顶点（或左右顶点），‎ 此时|AB|=2．…（5分）‎ ‎（ii）当直线AB的斜率存在且不为0时，设其斜率为k，直线AB的方程为y=kx，‎ 联立方程得，‎ 所以|OA|2=．…（7分）‎ - 25 -‎ 由|AC|=|CB|知，△ABC为等腰三角形，O为AB的中点，OC⊥AB，所以直线OC的方程为，‎ 由解得，=，，…（9分）‎ S△ABC=2S△OAC=|OA|×|OC|=，‎ 由于，所以，…（11分）‎ 当且仅当1+4k2=k2+4，即k=±1时等号成立，此时△ABC面积的最小值是，‎ 因为，所以△ABC面积的最小值为，此时直线AB的方程为y=x或y=﹣x．…（12分）‎ 点评： 本题考查椭圆方程，考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=alnx﹣x﹣，a∈R．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ） 证明：（x﹣1）（e﹣x﹣x）+2lnx＜．‎ 考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． ‎ 专题： 导数的综合应用．‎ 分析： （1）先求导，再根据导数为正函数增，导数为负函数减；‎ ‎（2）构造函数，求其最大值，然后利用放缩法证明即可．‎ 解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），‎ ‎，‎ 当a≤0，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）内单调递减；‎ 当a＞0，时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；‎ 时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．…（6分）‎ - 25 -‎ ‎（Ⅱ）当a=2时，由（Ⅰ）可知f（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）内单调递减，，即 ；‎ 令，‎ g'（x）=（2﹣x）（e﹣x+1），‎ 易知，‎ 所以．…（12分）‎ 点评： 本题主要考查导数的综合应用，利用导数求函数的单调性、求最值，常常与不等式联系在一起，较综合，一般比较难．‎ 请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.几何证明选讲 ‎22．（10分）已知，如图，AB是圆O的直径，AC切⊙O于点A，AC=AB，CO交⊙O于点P，CO的延长线交⊙O于点F，BP的延长线交AC于点E．‎ ‎（Ⅰ）求证：FA∥BE：；‎ ‎（Ⅱ）求证：；‎ ‎（Ⅲ）若⊙O的直径AB=2，求tan∠CPE的值．‎ 考点： 相似三角形的判定；与圆有关的比例线段． ‎ 专题： 立体几何．‎ 分析： （I）利用圆的性质、平行线的判定定理即可得出；‎ ‎（II）利用弦切角定理可证明△APC∽△FAC，进而得出；‎ ‎（III）利用割线定理可得AC2=CP•CF=CP•（CP+PF），解得CP．再利用（2）中的结论，及在Rt△FAP中，tan∠F=即可得出．‎ 解答： （I）证明：在⊙O中，∵直径AB与FP交于点O，‎ ‎∴OA=OF．‎ ‎∴∠OAF=∠F．‎ ‎∵∠B=∠F，‎ - 25 -‎ ‎∴∠OAF=∠B．‎ ‎∴FA∥BE．‎ ‎（2）∵AC为⊙O的切线，PA是弦，‎ ‎∴∠PAC=∠F．‎ ‎∵∠C=∠C，‎ ‎∴△APC∽△FAC．∴．‎ ‎∴．‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴．‎ ‎（3）∵AC切⊙O于点A，CPF为⊙O的割线，则AC2=CP•CF=CP•（CP+PF），‎ ‎∵PF=AB=AC=2，‎ ‎∴CP（CP+2）=4．‎ 整理得CP2+2CP﹣4=0，‎ 解得CP=．‎ ‎∵CP＞0，∴‎ ‎∵FA∥BE，∴∠CPE=∠F．‎ ‎∵FP为⊙O的直径，∴∠FAP=90°．‎ 由（2）中证得，‎ 在Rt△FAP中，tan∠F=．‎ ‎∴tan∠CPE=tan∠F=．‎ 点评： 本题考查了圆的性质、平行线的判定定理、弦切角定理、相似三角形的判定与性质定理、圆的割线定理、直角三角形的边角关系，考查了推理能力和计算能力，属于难题．‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣）．‎ ‎（1）求圆C的直角坐标方程；‎ ‎（2）若P（x，y）是直线l与圆面ρ≤4sin（θ﹣）的公共点，求x+y的取值范围．‎ 考点： 直线的参数方程；参数方程化成普通方程． ‎ 专题： 选作题；坐标系和参数方程．‎ 分析： （1）利用极坐标与直角坐标的方程互化的方法，可得圆C的直角坐标方程；‎ - 25 -‎ ‎（2）将代入z=x+y得z=﹣t，又直线l过C（﹣1，），圆C的半径是2，可得结论．‎ 解答： 解：（1）因为圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣），‎ 所以ρ2=4ρ（sinθ﹣cosθ），‎ 所以圆C的直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣2y=0．…（5分）‎ ‎（2）设z=x+y 由圆C的方程x2+y2+2x﹣2y=0，可得（x+1）2+（y﹣）2=4‎ 所以圆C的圆心是（﹣1，），半径是2‎ 将代入z=x+y得z=﹣t …（8分）‎ 又直线l过C（﹣1，），圆C的半径是2，‎ 由题意有：﹣2≤t≤2‎ 所以﹣2≤t≤2‎ 即x+y的取值范围是．…（10分）‎ 点评： 本题考查直线的参数方程与圆的极坐标方程与普通方程的互化，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎24．已知a＞0，b＞0，且a2+b2=，若a+b≤m恒成立，‎ ‎（Ⅰ）求m的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若2|x﹣1|+|x|≥a+b对任意的a，b恒成立，求实数x的取值范围．‎ 考点： 绝对值不等式． ‎ 专题： 不等式的解法及应用．‎ 分析： （Ⅰ）变形已知表达式，利用柯西不等式，求出a+b的最大值，即可求m的最小值；‎ ‎（Ⅱ）通过2|x﹣1|+|x|≥a+b对任意的a，b恒成立，结合（Ⅰ）的结果，利用x的范围分类讨论，求出实数x的取值范围．‎ 解答： 解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且a2+b2=，‎ ‎∴9=（a2+b2）（12+12）≥（a+b）2，‎ ‎∴a+b≤3，（当且仅当，即时取等号）‎ 又∵a+b≤m恒成立，∴m≥3．‎ 故m的最小值为3．…（4分）‎ - 25 -‎ ‎（II）要使2|x﹣1|+|x|≥a+b恒成立，须且只须2|x﹣1|+|x|≥3．‎ ‎∴或或 ‎∴或．…（7分）‎ 点评： 本题考查绝对值不等式的解法，函数恒成立的应用，考查计算能力．‎ - 25 -‎