河南省郑州四十七中2015届高三数学上学期期中试卷 文（含解析）.doc

郑州四2015届高三数学上学期期中试题（文科含解析）‎ 一、选择题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．‎ ‎1．（5分）已知复数z=，则z的虚部是（）‎ ‎ A． B． ﹣ C． ﹣i D． ﹣‎ ‎2．（5分）下列命题中的假命题是（）‎ ‎ A． ∀x∈R，21﹣x＞0‎ ‎ B． ∀x∈（0，+∞），2x＞‎ ‎ C． ∃x0∈R，当x＞x0时，恒有1.1x＜x4‎ ‎ D． ∃α∈R，使函数 y=xα的图象关于y轴对称 ‎3．（5分）已知A={x||x﹣1|≥1，x∈R}，B={x|log2x＞1，x∈R}，则“x∈A”是“x∈B”的（）‎ ‎ A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 ‎ C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎4．（5分）若向量||=，||=2，（﹣）⊥，则、的夹角是（）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎5．（5分）设数列{an}的前n项和为Sn，点（n，）（n∈N*）均在函数y=x+的图象上，则a2014=（）‎ ‎ A． 2014 B． ‎2013 ‎C． 1012 D． 1011‎ ‎6．（5分）如果实数x，y满足不等式组，目标函数z=kx﹣y的最大值为6，最小值为0，则实数k的值为（）‎ ‎ A． 1 B． ‎2 ‎C． 3 D． 4‎ ‎7．（5分）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x3+x2+1，则f（1）+g（1）=（）‎ ‎ A． ﹣3 B． ﹣‎1 ‎C． 1 D． 3‎ - 23 -‎ ‎8．（5分）函数f（x）=的图象大致是（）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎9．（5分）在各项均为正数的等比数列{an}中，若am+1•am﹣1=2am（m≥2），数列{an}的前n项积为Tn，若T‎2m﹣1=512，则m的值为（）‎ ‎ A． 4 B． ‎5 ‎C． 6 D． 7‎ ‎10．（5分）已知函数f（x）=sin2xcosφ+cos2xsinφ，（x∈R），（z∈R）其中φ为实数，且f（x）≤f（）对任意实数R恒成立，记p=f（），q=f（），r=f（），则p、q、r的大小关系是（）‎ ‎ A． r＜p＜q B． q＜r＜p C． p＜q＜r D． q＜p＜r - 23 -‎ ‎11．（5分）已知函数f（x）=，且g（x）=f（x）﹣mx﹣m在（﹣1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（）‎ ‎ A． （﹣，﹣2]∪（0，] B． （﹣，﹣2]∪（0，] C． （﹣，﹣2]∪（0，] D． （﹣，﹣2]∪（0，]‎ ‎12．（5分）已知f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=（c）=0，现给出如下结论：‎ ‎①f（0）=f（3）；‎ ‎②f（0）f（1）＜0；‎ ‎③f（1）f（3）＜0；‎ ‎④a2+b2+c2=18．‎ 其中正确结论个数为（）‎ ‎ A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 二、填空题本大题共四小题，每小题5分．‎ ‎13．（5分）若等比数列{an}的各项均为正数，且a‎10a11+a‎9a12=2e5，则lna1+lna2+…+lna20=．‎ ‎14．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为．‎ ‎15．（5分）若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（，）是减函数，则a的取值范围是．‎ ‎16．（5分）已知函数f（x）的定义域为，部分对应值如下表．‎ x ﹣1 0 4 5‎ f（x） 1 2 2 1‎ f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示：‎ 下列关于f（x）的命题：‎ ‎①函数f（x）是周期函数；‎ ‎②函数f（x）在是减函数；‎ ‎③如果当x∈时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；‎ ‎④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；‎ ‎⑤函数y=f（x）﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个．‎ 其中正确命题的序号是．‎ - 23 -‎ 三、解答题解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（11分）已知函数f（x）的定义域为（﹣2，2），函数g（x）=f（x﹣1）+f（3﹣2x）．‎ ‎（1）求函数g（x）的定义域；‎ ‎（2）若f（x）是奇函数且在定义域内单调递减，求不等式g（x）≤0的解集．‎ ‎18．（10分）已知递增等比数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且S3=2S2+1．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若数列{bn}满足bn=2n﹣1+an（n∈N*），且{bn}的前n项和Tn．求证：Tn≥2．‎ ‎19．（11分）已知向量=（cosx+sinx，2cosx），=（cosx﹣sinx，﹣sinx）．‎ ‎（1）求f（x）=•的最小正周期和单调减区间；‎ ‎（2）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，g（B）=，b=2，求a的值．‎ ‎20．（16分）已知命题：“∃x∈{x|﹣1＜x＜1}，使等式x2﹣x﹣m=0成立”是真命题，‎ ‎（1）求实数m的取值集合M；‎ ‎（2）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．‎ ‎21．（12分）设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数．‎ ‎（Ⅰ）令g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x）），n∈N+，求gn（x）的表达式；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）设n∈N+，比较g（1）+g（2）+…+g（n）与n﹣f（n）的大小，并加以证明．‎ ‎22．（10分）如图，⊙O和⊙O′都经过A，B两点，AC是⊙O′的切线，交⊙O于点C，AD是⊙O的切线，交⊙O′于点D，求证：AB2=BC•BD．‎ - 23 -‎ ‎23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsin（θ+）=a，曲线C2的参数方程为，（θ为参数，0≤θ≤π）．‎ ‎（Ⅰ）求C1的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）当C1与C2有两个公共点时，求实数a的取值范围．‎ ‎24．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，一直曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），l与C分别交于M，N．‎ ‎（1）写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；‎ ‎（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．‎ 河南省郑州四十七中2015届高三上学期期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 一、选择题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．‎ ‎1．（5分）已知复数z=，则z的虚部是（）‎ ‎ A． B． ﹣ C． ﹣i D． ﹣‎ 考点： 复数代数形式的乘除运算． ‎ 专题： 数系的扩充和复数．‎ 分析： 由复数代数形式的除法运算化简复数z，从而求得复数z的虚部．‎ 解答： 解：由=，‎ 则复数z的虚部是．‎ 故选：B．‎ - 23 -‎ 点评： 本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数z的虚部的求法，是基础题．‎ ‎2．（5分）下列命题中的假命题是（）‎ ‎ A． ∀x∈R，21﹣x＞0‎ ‎ B． ∀x∈（0，+∞），2x＞‎ ‎ C． ∃x0∈R，当x＞x0时，恒有1.1x＜x4‎ ‎ D． ∃α∈R，使函数 y=xα的图象关于y轴对称 考点： 命题的真假判断与应用． ‎ 专题： 简易逻辑．‎ 分析： 由指数函数的定义域和值域判断A；对x分类讨论判断B；由指数函数爆炸性判断C；举例说明D正确．‎ 解答： 解：由指数函数的定义域和值域可知，∀x∈R，21﹣x＞0，选项A为真命题；‎ 当0＜x＜1时，2x＞1，，有．当x=1时，．当x＞1时，．‎ ‎∴∀x∈（0，+∞），2x＞，命题B为真命题；‎ ‎∵y=1.1x为底数大于1的指数函数，y=x4为幂函数，‎ ‎∴∃x0∈R，当x＞x0时，恒有1.1x＞x4，选项C为假命题；‎ 当α为偶数时，函数y=xα是偶函数，其图象关于y轴对称，选项D为真命题．‎ 故选：C．‎ 点评： 本题考查了命题的真假判断与应用，考查了学生对教材基础知识的掌握程度，是基础题．‎ ‎3．（5分）已知A={x||x﹣1|≥1，x∈R}，B={x|log2x＞1，x∈R}，则“x∈A”是“x∈B”的（）‎ ‎ A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 ‎ C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件 考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． ‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 利用绝对值不等式的解法与对数不等式的解法，我们易求出集合A，B，然后判断集合A，B的包含关系，再结合“谁小谁充分，谁大谁必要”的原则，即可得到“x∈A”是“x∈B”的什么条件．‎ 解答： 解：∵A={x||x﹣1|≥1，x∈R}‎ ‎={x|x﹣1≥1或x﹣1≤﹣1}‎ ‎={x|x≥2或x≤0}，‎ B={x|log2x＞1，x∈R}‎ ‎={x|log2x＞log22，x∈R}‎ ‎={x|x＞2}，‎ ‎∵B⊊A - 23 -‎ ‎∴“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件 故选：B 点评： 本题考查的知识点是必要条件，充分条件与充要条件的判断，其中利用绝对值不等式的解法与对数不等式的解法，求出集合A，B，是解答本题的关键．‎ ‎4．（5分）若向量||=，||=2，（﹣）⊥，则、的夹角是（）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ 考点： 平面向量数量积的运算． ‎ 专题： 平面向量及应用．‎ 分析： 利用数量积的定义、向量垂直与数量积的关系即可得出．‎ 解答： 解：∵向量||=，||=2，（﹣）⊥，设向量与的夹角是θ．‎ ‎∴=﹣=2﹣2cosθ=0，‎ ‎∴cosθ=．‎ ‎∵θ∈，∴θ=．‎ 故选：D．‎ 点评： 本题考查了数量积的定义、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．‎ ‎5．（5分）设数列{an}的前n项和为Sn，点（n，）（n∈N*）均在函数y=x+的图象上，则a2014=（）‎ ‎ A． 2014 B． ‎2013 ‎C． 1012 D． 1011‎ 考点： 数列的求和． ‎ 专题： 等差数列与等比数列．‎ 分析： 由已知得Sn=，从而a2014=S2014﹣S2013，由此能求出结果．‎ 解答： 解：设数列{an}的前n项和为Sn，‎ 点（n，）（n∈N*）均在函数y=x+的图象上，‎ ‎∴=，‎ ‎∴Sn=，‎ ‎∴a2014=S2014﹣S2013=﹣（）‎ ‎=2014．‎ 故选：A．‎ - 23 -‎ 点评： 本题考查数列的第2014项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数列的性质的合理运用．‎ ‎6．（5分）如果实数x，y满足不等式组，目标函数z=kx﹣y的最大值为6，最小值为0，则实数k的值为（）‎ ‎ A． 1 B． ‎2 ‎C． 3 D． 4‎ 考点： 简单线性规划． ‎ 专题： 计算题；作图题；不等式的解法及应用．‎ 分析： 首先作出其可行域，再由题意讨论目标函数在哪个点上取得最值，解出k．‎ 解答： 解：作出其平面区域如右图：‎ A（1，2），B（1，﹣1），C（3，0），‎ ‎∵目标函数z=kx﹣y的最小值为0，‎ ‎∴目标函数z=kx﹣y的最小值可能在A或B时取得；‎ ‎∴①若在A上取得，则k﹣2=0，则k=2，此时，‎ z=2x﹣y在C点有最大值，z=2×3﹣0=6，成立；‎ ‎②若在B上取得，则k+1=0，则k=﹣1，‎ 此时，z=﹣x﹣y，在B点取得的应是最大值，‎ 故不成立，‎ 故选B．‎ 点评： 本题考查了简单线性规划的应用，要注意分类讨论，属于基础题．‎ - 23 -‎ ‎7．（5分）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x3+x2+1，则f（1）+g（1）=（）‎ ‎ A． ﹣3 B． ﹣‎1 ‎C． 1 D． 3‎ 考点： 函数解析式的求解及常用方法；函数的值． ‎ 专题： 函数的性质及应用．‎ 分析： 将原代数式中的x替换成﹣x，再结合着f（x）和g（x）的奇偶性可得f（x）+g（x），再令x=1即可．‎ 解答： 解：由f（x）﹣g（x）=x3+x2+1，将所有x替换成﹣x，得 f（﹣x）﹣g（﹣x）=﹣x3+x2+1，‎ 根据f（x）=f（﹣x），g（﹣x）=﹣g（x），得 f（x）+g（x）=﹣x3+x2+1，再令x=1，计算得，‎ f（1）+g（1）=1．‎ 故选：C．‎ 点评： 本题属于容易题，是对函数奇偶性的考查，在2015届高考中，函数奇偶性的考查一般相对比较基础，学生在掌握好基础知识的前提下，做题应该没有什么障碍．本题中也可以将原代数式中的x直接令其等于﹣1也可以得到计算结果．‎ ‎8．（5分）函数f（x）=的图象大致是（）‎ ‎ A． B． ‎ - 23 -‎ ‎ C． D． ‎ 考点： 函数的图象． ‎ 专题： 函数的性质及应用．‎ 分析： 由于函数f（x）=为偶函数，其图象关于y轴对称，可排除C、D，利用极限思想（如x→0+，y→+∞）可排除B，从而得到答案A．‎ 解答： 解：定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），‎ f（x）=，==f（x），‎ ‎∴f（﹣x）=f（x），f（x）为偶函数，．‎ ‎∴其图象关于y轴对称，可排除C，D；‎ 又当x→0时，cos（πx）→1，x2→0，‎ ‎∴f（x）→+∞．故可排除B；‎ 而A均满足以上分析．‎ 故选A．‎ 点评： 本题考查奇偶函数图象的对称性，考查极限思想的运用，考查排除法的应用，属于中档题．‎ ‎9．（5分）在各项均为正数的等比数列{an}中，若am+1•am﹣1=2am（m≥2），数列{an}的前n项积为Tn，若T‎2m﹣1=512，则m的值为（）‎ ‎ A． 4 B． ‎5 ‎C． 6 D． 7‎ 考点： 等比数列的前n项和． ‎ 专题： 等差数列与等比数列．‎ 分析： 由已知条件推导出am=2，从而Tn=2n，由T‎2m﹣1=512，得‎22m﹣1=512=29，由此能求出结果．‎ 解答： 解：设数列{an}公比为q - 23 -‎ am﹣1=，am+1=am•q，‎ ‎∵am+1•am﹣1=2am，∴，‎ ‎∴，‎ 解得am=2，或am=0（舍），‎ ‎∴Tn=2n，‎ ‎∵T‎2m﹣1=512，∴‎22m﹣1=512=29，‎ ‎∴‎2m﹣1=9，解得m=5．‎ 故选：B．‎ 点评： 本题考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．‎ ‎10．（5分）已知函数f（x）=sin2xcosφ+cos2xsinφ，（x∈R），（z∈R）其中φ为实数，且f（x）≤f（）对任意实数R恒成立，记p=f（），q=f（），r=f（），则p、q、r的大小关系是（）‎ ‎ A． r＜p＜q B． q＜r＜p C． p＜q＜r D． q＜p＜r 考点： 两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象． ‎ 专题： 计算题；三角函数的图像与性质．‎ 分析： 根据两角和的正弦公式化简得f（x）=sin（2x+φ），结合题意可得f（）=sin（+φ）=1达到f（x）的最大值，从而算出φ=，可得f（x）=sin（2x+）．由此利用三角函数的诱导公式与正弦函数的单调性加以计算，即可得出p、q、r的大小关系．‎ 解答： 解：由题意，得f（x）=sin2xcosφ+cos2xsinφ=sin（2x+φ），‎ ‎∵f（x）≤f（）对任意实数R恒成立，‎ ‎∴f（）是函数f（x）的最大值，即f（）=sin（2×+φ）=1，‎ 可得+φ=+2kπ（k∈Z），取k=0得φ=，‎ ‎∴f（x）=sin（2x+），‎ 由此可得p=f（）=sin，q=f（）=sin，r=f（）=sin，‎ ‎∵sin=sin（π+）=﹣sin，sin=sin（π+）=﹣sin=﹣sin，‎ sin=sin（2π+）=sin，‎ - 23 -‎ ‎∴sin＜sin＜0＜sin，即p＜q＜r．‎ 故选：C 点评： 本题已知正弦型三角函数的最大值对应的x值，比较几个函数值的大小关系．着重考查了三角函数的诱导公式、正弦函数的图象与性质等知识，属于中档题．‎ ‎11．（5分）已知函数f（x）=，且g（x）=f（x）﹣mx﹣m在（﹣1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（）‎ ‎ A． （﹣，﹣2]∪（0，] B． （﹣，﹣2]∪（0，] C． （﹣，﹣2]∪（0，] D． （﹣，﹣2]∪（0，]‎ 考点： 分段函数的应用． ‎ 专题： 函数的性质及应用．‎ 分析： 由g（x）=f（x）﹣mx﹣m=0，即f（x）=m（x+1），作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论．‎ 解答： 解：由g（x）=f（x）﹣mx﹣m=0，即f（x）=m（x+1），‎ 分别作出函数f（x）和y=h（x）=m（x+1）的图象如图：‎ 由图象可知f（1）=1，h（x）表示过定点A（﹣1，0）的直线，‎ 当h（x）过（1，1）时，m=此时两个函数有两个交点，此时满足条件的m的取值范围是0＜m≤，‎ 当h（x）过（0，﹣2）时，h（0）=﹣2，解得m=﹣2，此时两个函数有两个交点，‎ 当h（x）与f（x）相切时，两个函数只有一个交点，‎ 此时，‎ 即m（x+1）2+3（x+1）﹣1=0，‎ 当m=0时，x=，只有1解，‎ 当m≠0，由△=9+‎4m=0得m=﹣，此时直线和f（x）相切，‎ ‎∴要使函数有两个零点，‎ 则﹣＜m≤﹣2或0＜m≤，‎ 故选：A - 23 -‎ 点评： 本题主要考查函数零点的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．‎ ‎12．（5分）已知f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=（c）=0，现给出如下结论：‎ ‎①f（0）=f（3）；‎ ‎②f（0）f（1）＜0；‎ ‎③f（1）f（3）＜0；‎ ‎④a2+b2+c2=18．‎ 其中正确结论个数为（）‎ ‎ A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 考点： 二次函数的性质． ‎ 专题： 函数的性质及应用．‎ 分析： 根据f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0，确定函数的极值点及a、b、c的大小关系，由此可得结论 解答： 解：求导函数可得f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3）‎ ‎∴当1＜x＜3时，f'（x）＜0；当x＜1，或x＞3时，f'（x）＞0‎ 所以f（x）的单调递增区间为（﹣∞，1）和（3，+∞）单调递减区间为（1，3）‎ 所以f（x）极大值=f（1）=1﹣6+9﹣abc=4﹣abc，‎ f（x）极小值=f（3）=27﹣54+27﹣abc=﹣abc 要使f（x）=0有三个解a、b、c，那么结合函数f（x）草图可知：‎ a＜1＜b＜3＜c 及函数有个零点x=b在1～3之间，‎ 所以f（1）=4﹣abc＞0，且f（3）=﹣abc＜0‎ 所以0＜abc＜4‎ ‎∵f（0）=﹣abc，‎ ‎∴f（0）=f（3）‎ ‎∴f（0）＜0‎ ‎∴f（0）f（1）＜0，f（1）f（3）＜0，‎ ‎∵f（a）=f（b）=（c）=0，‎ ‎∴x3﹣6x2+9x﹣abc ‎=（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c）‎ - 23 -‎ ‎=x3﹣（a+b+c）x2+（ab+ac+bc）x﹣abc，‎ ‎∴a+b+c=6①，ab+ac+bc=9②，‎ 把②代入①2得：a2+b2+c2=18；‎ 故答案为：①②③④‎ 点评： 本题考查函数的零点、极值点，解不等式，综合性强，利用数形结合可以使本题直观．‎ 二、填空题本大题共四小题，每小题5分．‎ ‎13．（5分）若等比数列{an}的各项均为正数，且a‎10a11+a‎9a12=2e5，则lna1+lna2+…+lna20=50．‎ 考点： 等比数列的性质． ‎ 专题： 计算题；等差数列与等比数列．‎ 分析： 直接由等比数列的性质结合已知得到a‎10a11=e5，然后利用对数的运算性质化简后得答案．‎ 解答： 解：∵数列{an}为等比数列，且a‎10a11+a‎9a12=2e5，‎ ‎∴a‎10a11+a‎9a12=‎2a10a11=2e5，‎ ‎∴a‎10a11=e5，‎ ‎∴lna1+lna2+…lna20=ln（a‎1a2…a20）=ln（a‎10a11）10‎ ‎=ln（e5）10=lne50=50．‎ 故答案为：50．‎ 点评： 本题考查了等比数列的运算性质，考查对数的运算性质，考查了计算能力，是基础题．‎ ‎14．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为．‎ 考点： 正弦定理． ‎ 专题： 解三角形．‎ 分析： 由条件利用正弦定理求得a=c，b=c．再由余弦定理可得cosA= 的值．‎ 解答： 解：在△ABC中，∵b﹣c=a，2sinB=3sinC，利用正弦定理可得2b=‎3c，求得a=c，b=c．‎ 再由余弦定理可得 cosA==，‎ 故答案为：．‎ - 23 -‎ 点评： 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于基础题．‎ ‎15．（5分）若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（，）是减函数，则a的取值范围是（﹣∞，2]．‎ 考点： 复合三角函数的单调性． ‎ 专题： 函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．‎ 分析： 利用二倍角的余弦公式化为正弦，然后令t=sinx换元，根据给出的x的范围求出t的范围，结合二次函数的图象的开口方向及对称轴的位置列式求解a的范围．‎ 解答： 解：由f（x）=cos2x+asinx ‎=﹣2sin2x+asinx+1，‎ 令t=sinx，‎ 则原函数化为y=﹣2t2+at+1．‎ ‎∵x∈（，）时f（x）为减函数，‎ 则y=﹣2t2+at+1在t∈（，1）上为减函数，‎ ‎∵y=﹣2t2+at+1的图象开口向下，且对称轴方程为t=．‎ ‎∴，解得：a≤2．‎ ‎∴a的取值范围是（﹣∞，2]．‎ 故答案为：（﹣∞，2]．‎ 点评： 本题考查复合函数的单调性，考查了换元法，关键是由换元后函数为减函数求得二次函数的对称轴的位置，是中档题．‎ ‎16．（5分）已知函数f（x）的定义域为，部分对应值如下表．‎ x ﹣1 0 4 5‎ f（x） 1 2 2 1‎ f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示：‎ 下列关于f（x）的命题：‎ ‎①函数f（x）是周期函数；‎ ‎②函数f（x）在是减函数；‎ ‎③如果当x∈时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；‎ ‎④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；‎ ‎⑤函数y=f（x）﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个．‎ 其中正确命题的序号是②⑤．‎ - 23 -‎ 考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数的周期性；函数的零点；利用导数研究函数的单调性． ‎ 专题： 阅读型．‎ 分析： 先由导函数的图象和原函数的关系画出原函数的大致图象，再借助与图象和导函数的图象，对五个命题，一一进行验证，对于假命题采用举反例的方法进行排除即可得到答案．‎ 解答： 解：由导函数的图象和原函数的关系得，原函数的大致图象可由以下两种代表形式，如图：‎ 由图得：①为假命题．函数f（x）不能断定为是周期函数．‎ ‎②为真命题，因为在上导函数为负，故原函数递减；‎ ‎③为假命题，当t=5时，也满足x∈时，f（x）的最大值是2；‎ ‎④为假命题，当a离1非常接近时，对于第二个图，y=f（x）﹣a有2个零点，也可以是3个零点．‎ ‎⑤为真命题，动直线y=a与y=f（x）图象交点个数可以为0、1、2、3、4个，故函数y=f（x）﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个．‎ 综上得：真命题只有②⑤．‎ 故答案为：②⑤‎ 点评： 本题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系．二者之间的关系是：导函数为正，原函数递增；导函数为负，原函数递减．‎ 三、解答题解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（11分）已知函数f（x）的定义域为（﹣2，2），函数g（x）=f（x﹣1）+f（3﹣2x）．‎ ‎（1）求函数g（x）的定义域；‎ ‎（2）若f（x）是奇函数且在定义域内单调递减，求不等式g（x）≤0的解集．‎ 考点： 函数的定义域及其求法；函数单调性的性质；函数奇偶性的性质． ‎ 专题： 函数的性质及应用．‎ 分析： （1）由题意知，，解此不等式组得出函数g（x）的定义域．‎ - 23 -‎ ‎（2）等式g（x）≤0，即 f（x﹣1）≤﹣f（3﹣2x）=f（2x﹣3），有，解此不等式组，‎ 可得结果．‎ 解答： 解：（1）∵数f（x）的定义域为（﹣2，2），函数g（x）=f（x﹣1）+f（3﹣2x）．‎ ‎∴，∴＜x＜，函数g（x）的定义域（，）．‎ ‎（2）∵f（x）是奇函数且在定义域内单调递减，不等式g（x）≤0，‎ ‎∴f（x﹣1）≤﹣f（3﹣2x）=f（2x﹣3），∴，∴＜x≤2，‎ 故不等式g（x）≤0的解集是 （，2]．‎ 点评： 本题考查函数的定义域的求法，利用函数的单调性和奇偶性解不等式，属于基础题．‎ ‎18．（10分）已知递增等比数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且S3=2S2+1．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若数列{bn}满足bn=2n﹣1+an（n∈N*），且{bn}的前n项和Tn．求证：Tn≥2．‎ 考点： 数列与不等式的综合；数列的求和． ‎ 专题： 等差数列与等比数列．‎ 分析： （1）设公比为q，由题意1+q+q2=2（1+q）+1，由此能求出．‎ ‎（2）由bn=2n﹣1+an=2n﹣1+2n﹣1，=n2+2n﹣1，由此能证明Tn≥2．‎ 解答： （1）解：设公比为q，由题意：q＞1，a1=1，‎ 则a2=q，，‎ ‎∵S3=2S2+1，∴a1+a2+a3=2（a1+a2）+1，…（2分）‎ 则1+q+q2=2（1+q）+1，‎ 解得：q=2或q=﹣1（舍去），‎ ‎∴．…（4分）‎ ‎（2）证明：bn=2n﹣1+an=2n﹣1+2n﹣1，…（6分）‎ - 23 -‎ ‎=+‎ ‎=n2+2n﹣1．…（8分）‎ 又∵在，k∈z ‎（2）∵将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，‎ ‎∴g（x）=cosx，∵f（）=0，g（B）=，b=2，∴sin（A+）=0，COSB=，‎ ‎∵在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，‎ ‎∴A=，B=∵，b=2∴得：，即a=，‎ 点评： 本题考查了向量在三角函数中的应用，结合正弦定理，三角函数的图象性质解决问题．‎ ‎20．（16分）已知命题：“∃x∈{x|﹣1＜x＜1}，使等式x2﹣x﹣m=0成立”是真命题，‎ ‎（1）求实数m的取值集合M；‎ ‎（2）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．‎ 考点： 复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法． ‎ 专题： 计算题．‎ 分析： （1）利用参数分离法将m用x表示，结合二次函数的性质求出m的取值范围，从而可求集合M；‎ ‎（2）若x∈N是x∈M的必要条件，则M⊆N分类讨论①当a＞2﹣a即a＞1时，N={x|2﹣a＜x＜a}，②当a＜2﹣a即a＜1时，N={x|a＜x＜2﹣a}，③当a=2﹣a即a=1时，N=φ三种情况进行求解 - 23 -‎ 解答： 解：（1）由x2﹣x﹣m=0可得m=x2﹣x=‎ ‎∵﹣1＜x＜1‎ ‎∴‎ M={m|}‎ ‎（2）若x∈N是x∈M的必要条件，则M⊆N ‎①当a＞2﹣a即a＞1时，N={x|2﹣a＜x＜a}，则即 ‎②当a＜2﹣a即a＜1时，N={x|a＜x＜2﹣a}，则即 ‎③当a=2﹣a即a=1时，N=φ，此时不满足条件 综上可得 点评： 本题主要考查了二次函数在闭区间上的值域的求解，集合之间包含关系的应用，体现了分类讨论思想的应用．‎ ‎21．（12分）设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数．‎ ‎（Ⅰ）令g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x）），n∈N+，求gn（x）的表达式；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）设n∈N+，比较g（1）+g（2）+…+g（n）与n﹣f（n）的大小，并加以证明．‎ 考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． ‎ 专题： 导数的综合应用．‎ 分析： （Ⅰ）由已知，，…可得用数学归纳法加以证明；‎ ‎（Ⅱ）由已知得到ln（1+x）≥恒成立构造函数φ（x）=ln（1+x）﹣（x≥0），利用导数求出函数的最小值即可；‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）中取a=1，可得，令则，n依次取1，2，3…，然后各式相加即得到不等式．‎ - 23 -‎ 解答： 解：由题设得，‎ ‎（Ⅰ）由已知，‎ ‎，‎ ‎…‎ 可得 下面用数学归纳法证明．①当n=1时，，结论成立．‎ ‎②假设n=k时结论成立，即，‎ 那么n=k+1时，=即结论成立．‎ 由①②可知，结论对n∈N+成立．‎ ‎（Ⅱ）已知f（x）≥ag（x）恒成立，即ln（1+x）≥恒成立．‎ 设φ（x）=ln（1+x）﹣（x≥0），则φ′（x）=，‎ 当a≤1时，φ′（x）≥0（仅当x=0，a=1时取等号成立），‎ ‎∴φ（x）在有φ′（x）＜0，∴φ（x）在∈（0，a﹣1]上单调递减，‎ ‎∴φ（a﹣1）＜φ（0）=0‎ 即当a＞1时存在x＞0使φ（x）＜0，‎ 故知ln（1+x）≥不恒成立，‎ 综上可知，实数a的取值范围是（﹣∞，1]．‎ ‎（Ⅲ）由题设知，g（1）+g（2）+…+g（n）=，‎ n﹣f（n）=n﹣ln（n+1），‎ 比较结果为g（1）+g（2）+…+g（n）＞n﹣ln（n+1）‎ 证明如下：上述不等式等价于，‎ 在（Ⅱ）中取a=1，可得，‎ - 23 -‎ 令则 故有，‎ ln3﹣ln2，…‎ ‎，‎ 上述各式相加可得结论得证．‎ 点评： 本题考查数学归纳法；考查构造函数解决不等式问题；考查利用导数求函数的最值，证明不等式，属于一道综合题．‎ ‎22．（10分）如图，⊙O和⊙O′都经过A，B两点，AC是⊙O′的切线，交⊙O于点C，AD是⊙O的切线，交⊙O′于点D，求证：AB2=BC•BD．‎ 考点： 与圆有关的比例线段． ‎ 专题： 立体几何．‎ 分析： 由已知条件得△ACB∽△DAB，由此能证明AB2=BC•BD．‎ 解答： （本小题满分为8分）‎ 证明：因为AC是⊙O的切线，AD是⊙O′的切线，‎ 所以∠1=∠C，∠2=∠D，（3分）‎ 所以△ACB∽△DAB，（4分）‎ 故，（6分）‎ 所以AB2=BC•BD．（8分）‎ 点评： 本题考查AB2=BC•BD的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意三角形相似的性质的灵活运用．‎ - 23 -‎ ‎23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsin（θ+）=a，曲线C2的参数方程为，（θ为参数，0≤θ≤π）．‎ ‎（Ⅰ）求C1的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）当C1与C2有两个公共点时，求实数a的取值范围．‎ 考点： 参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系． ‎ 专题： 直线与圆．‎ 分析： （Ⅰ）利用极坐标方程的定义即可求得；‎ ‎（Ⅱ）数形结合：作出图象，根据图象即可求出有两交点时a的范围．‎ 解答： 解：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ（sinθ+cosθ）=a，‎ ‎∴曲线C1的直角坐标方程为x+y﹣a=0．‎ ‎（Ⅱ）曲线C2的直角坐标方程为（x+1）2+（y+1）2=1（﹣1≤y≤0），为半圆弧，‎ 如图所示，曲线C1为一族平行于直线x+y=0的直线，‎ 当直线C1过点P时，利用得a=﹣2±，‎ 舍去a=﹣2﹣，则a=﹣2+，‎ 当直线C1过点A、B两点时，a=﹣1，‎ ‎∴由图可知，当﹣1≤a＜﹣2+时，曲线C1与曲线C2有两个公共点．‎ 点评： 本题考查参数方程化普通方程及直线与圆的位置关系，属基础题．‎ ‎24．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，一直曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），l与C分别交于M，N．‎ ‎（1）写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；‎ ‎（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．‎ 考点： 参数方程化成普通方程． ‎ 专题： 坐标系和参数方程．‎ 分析： （1）首先，对于曲线C：根据极坐标与直角坐标变换公式，方程ρsin2θ=2acosθ（a＞0），两边同乘以ρ，化成直角坐标方程，对于直线l：消去参数t即可得到普通方程；‎ - 23 -‎ ‎（2）首先，联立方程组，消去y整理，然后，设点M，N分别对应参数t1，t2，从而，得到|PM|=|t1|，|PN|=|t2|，|MN|=|t1﹣t2|，然胡，结合一元二次方程根与系数的关系，建立含有a的关系式，求解a的取值．‎ 解答： 解：（1）∵，‎ 方程ρsin2θ=2acosθ（a＞0），两边同乘以ρ，‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为y2=2ax（a＞0）；‎ 直线l的普通方程为x﹣y﹣2=0．‎ ‎（2）联立方程组 ‎，‎ 消去y并整理，得 t2﹣2（4+a）t+8（4+a）=0 （*）‎ ‎△=‎8a（4+a）＞0．‎ 设点M，N分别对应参数t1，t2，恰为上述方程的根．‎ 则|PM|=|t1|，|PN|=|t2|，|MN|=|t1﹣t2|．‎ 由题设得（t1﹣t2）2=|t1t2|，‎ 即（t1+t2）2﹣4t1t2=|t1t2|．‎ 由（*）得t1+t2=2（4+a），t1t2=8（4+a）＞0，则有 ‎（4+a）2﹣5（4+a）=0，得a=1，或a=﹣4．‎ ‎∵a＞0，‎ ‎∴a=1．‎ 点评： 本题重点考查了极坐标方程和直角坐标方程的互化，参数方程和普通方程的互化，直线与曲线的位置关系等知识，属于中档题．‎ - 23 -‎