湖南省株洲三中2015届高三数学上学期期中试卷 理（含解析）.doc

株洲三中2015届高三数学上学期期中试题（理科含解析） ‎ 一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）‎ ‎1．（5分）已知集合M={x|（x﹣1）2＜4，x∈R}，N={﹣1，0，1，2，3}，则M∩N=（）‎ ‎ A． {0，1，2} B． {﹣1，0，1，2} C． {﹣1，0，2，3} D． {0，1，2，3}‎ ‎2．（5分）已知，其中i为虚数单位，则a+b=（）‎ ‎ A． ﹣1 B． ‎1 ‎C． 2 D． 3‎ ‎3．（5分）下列命题中真命题是（）‎ ‎ A． B． ∃x∈（﹣∞，0），2x＞1‎ ‎ C． ∀x∈R，x2≥x﹣1 D． ∀x∈（0，π），sinx＞cosx ‎4．（5分）设函数f（x）=，则函数g（x）=f（x）﹣log2x的零点个数为（）‎ ‎ A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 ‎5．（5分）函数y=的图象大致是（）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎6．（5分）给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（）‎ ‎ A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 ‎ C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 - 16 -‎ ‎7．（5分）若函数f（x）=，则f（f（10））=（）‎ ‎ A． lg101 B． ‎2 ‎C． 1 D． 0‎ ‎8．（5分）若存在正数x使2x（x﹣a）＜1成立，则a的取值范围是（）‎ ‎ A． （﹣∞，+∞） B． （﹣2，+∞） C． （0，+∞） D． （﹣1，+∞）‎ ‎9．（5分）已知函数，则不等式f（2﹣x2）+f（2x+1）＞0的解集是（）‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． （﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） D． （﹣1，3）‎ ‎10．（5分）若函数在（﹣∞，0）上有最小值﹣5，（a，b为常数），则函数f（x）在（0，+∞）上 ‎（）‎ ‎ A． 有最大值5 B． 有最小值‎5 ‎C． 有最大值3 D． 有最大值9‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共25分）（11、12、13任选两小题作答，若三道题都作答，则取前两题计分）‎ ‎11．（5分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为．‎ ‎12．（5分）在极坐标系中，点（2，）到直线ρsinθ=2的距离等于．‎ ‎13．在实数范围内，不等式||x﹣2|﹣1|≤1的解集为．‎ ‎14．（5分）曲线f（x）=x2+alnx在点（1，f（1））处的切线斜率为4，则a=．‎ ‎15．（5分）函数f（x）=的定义域为．‎ ‎16．（5分）已知f（x）=，θ∈，则f′（1）取值范围为．‎ - 16 -‎ 三、解答题（本大题共6个小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（12分）计算：‎ ‎（1）2++﹣；‎ ‎（2）log22•log3•log5．‎ ‎18．（12分）已知集合A={x|2﹣a≤x≤2+a}，B={x|x2﹣5x+4≥0}，‎ ‎（1）当a=3时，求A∩B，A∪（∁RB）；‎ ‎（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．‎ ‎19．（12分）已知函数f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1‎ ‎（1）求f（9），f（27）的值 ‎（2）解不等式f（x）+f（x﹣8）＜2．‎ ‎20．（13分）如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A﹣BCF，其中BC=．‎ ‎（1）证明：DE∥平面BCF；‎ ‎（2）证明：CF⊥平面ABF；‎ ‎（3）当AD=时，求三棱锥F﹣DEG的体积VF﹣DEG．‎ ‎21．（13分）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4； 白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片 （假设取到任何一张卡片的可能性相同）．‎ ‎（Ⅰ）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率．‎ ‎（Ⅱ）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．‎ - 16 -‎ ‎22．（13分）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d）若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．‎ ‎（Ⅰ）求a，b，c，d的值；‎ ‎（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．‎ 湖南省株洲三中2015届高三上学期期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）‎ ‎1．（5分）已知集合M={x|（x﹣1）2＜4，x∈R}，N={﹣1，0，1，2，3}，则M∩N=（）‎ ‎ A． {0，1，2} B． {﹣1，0，1，2} C． {﹣1，0，2，3} D． {0，1，2，3}‎ 考点： 交集及其运算；一元二次不等式的解法． ‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 求出集合M中不等式的解集，确定出M，找出M与N的公共元素，即可确定出两集合的交集．‎ 解答： 解：由（x﹣1）2＜4，解得：﹣1＜x＜3，即M={x|﹣1＜x＜3}，‎ ‎∵N={﹣1，0，1，2，3}，‎ ‎∴M∩N={0，1，2}．‎ 故选A 点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．‎ ‎2．（5分）已知，其中i为虚数单位，则a+b=（）‎ ‎ A． ﹣1 B． ‎1 ‎C． 2 D． 3‎ 考点： 复数代数形式的混合运算． ‎ 专题： 数系的扩充和复数．‎ 分析： 先化简复数，再利用复数相等，解出a、b，可得结果．‎ 解答： 解：由得a+2i=bi﹣1，所以由复数相等的意义知a=﹣1，b=2，所以a+b=1‎ 另解：由得﹣ai+2=b+i（a，b∈R），则﹣a=1，b=2，a+b=1．‎ 故选B．‎ 点评： 本题考查复数相等的意义、复数的基本运算，是基础题．‎ ‎3．（5分）下列命题中真命题是（）‎ ‎ A． B． ∃x∈（﹣∞，0），2x＞1‎ ‎ C． ∀x∈R，x2≥x﹣1 D． ∀x∈（0，π），sinx＞cosx 考点： 命题的真假判断与应用． ‎ - 16 -‎ 专题： 常规题型．‎ 分析： 根据倍角公式及三角函数的值域，我们可以判断A的正误，根据指数函数的性质，我们可以判断B的真假，解一元二次不等式，可以判断C的正误，根据三角函数的性质，我们可判断D的对错，进而得到答案．‎ 解答： 解：∵sinxcosx=sin2x，若sinxcosx=，则sin2x=＞1，故A错误；‎ ‎∵当x∈（﹣∞，0），2x＜1恒成立，故B错误；‎ ‎∵方程x2﹣x+1=0的△=1﹣4=﹣3＜0，函数y=x2﹣x+1的图象为开口朝上的抛物线，故x2﹣x+1≥0恒成立，即∀x∈R，x2≥x﹣1，故C正确；‎ ‎∵当x=∈∈（0，π），sinx=cosx，故∀x∈（0，π），sinx＞cosx，故D错误；‎ 故选C 点评： 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，其中利用函数的性质，逐一分析四个结论的正误是解答本题的关键．‎ ‎4．（5分）设函数f（x）=，则函数g（x）=f（x）﹣log2x的零点个数为（）‎ ‎ A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 考点： 根的存在性及根的个数判断． ‎ 专题： 函数的性质及应用．‎ 分析： 令g（x）=0，得到方程f（x）=log2x，然后分别作出函数y=f（x）与y=log2x的图象，观察交点的个数，即为函数g（x）的零点个数．‎ 解答： 解：g（x）=0得f（x）=log2x，在同一坐标系下分别作出函数y=f（x）与y=log2x的图象，‎ 如图：‎ 由图象可知两个图象共有3个交点，‎ 则函数g（x）=f（x）﹣log2x的零点个数为3个．‎ 故选C．‎ - 16 -‎ 点评： 本题考查函数与方程问题，求解此类问题的基本方法是令g（x）=0，将函数分解为两个基本初等函数，然后在同一坐标系下，作出两函数的图象，则两函数图象的交点个数，即为函数零点的个数．‎ ‎5．（5分）函数y=的图象大致是（）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ 考点： 函数的图象． ‎ 专题： 函数的性质及应用．‎ 分析： 根据函数的定义域排除C，再利用x=﹣1，排除A，再根据x趋向于正穷时，函数的值趋向于0，故排除D，问题得以解决．‎ 解答： 解：因为函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），故排除C．‎ 当x=﹣1时，y=﹣2，故排除A，‎ 当x趋向于正穷时，函数的值趋向于0，故排除D，‎ - 16 -‎ 故选：B 点评： 本题主要考查了指数函数和幂函数的图象和性质，选特殊的值时关键，属于基础题．‎ ‎6．（5分）给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（）‎ ‎ A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 ‎ C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定． ‎ 专题： 简易逻辑．‎ 分析： 根据互为逆否命题真假性相同，可将已知转化为q是¬p的充分不必要条件，进而根据逆否命题及充要条件的定义得到答案．‎ 解答： 解：∵¬p是q的必要而不充分条件，‎ ‎∴q是¬p的充分不必要条件，即q⇒¬p，但¬p不能⇒q，‎ 其逆否命题为p⇒¬q，但¬q不能⇒p，‎ 则p是¬q的充分不必要条件．‎ 故选A．‎ 点评： 本题考查的知识点是充要条件的判断，其中将已知利用互为逆否命题真假性相同，转化为q是¬p的充分不必要条件，是解答的关键．‎ ‎7．（5分）若函数f（x）=，则f（f（10））=（）‎ ‎ A． lg101 B． ‎2 ‎C． 1 D． 0‎ 考点： 函数的值． ‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 通过分段函数，直接求出f（10），然后求出f（f（10）的值．‎ 解答： 解：因为函数f（x）=，‎ 所以f（10）=lg10=1；‎ f（f（10）=f（1）=2．‎ 故选B．‎ 点评： 本题考查分段函数的值的求法，考查计算能力．‎ ‎8．（5分）若存在正数x使2x（x﹣a）＜1成立，则a的取值范围是（）‎ ‎ A． （﹣∞，+∞） B． （﹣2，+∞） C． （0，+∞） D． （﹣1，+∞）‎ 考点： 其他不等式的解法；函数单调性的性质． ‎ 专题： 不等式的解法及应用．‎ 分析： 转化不等式为，利用x是正数，通过函数的单调性，求出a的范围即可．‎ - 16 -‎ 解答： 解：因为2x（x﹣a）＜1，所以，‎ 函数y=是增函数，x＞0，所以y＞﹣1，即a＞﹣1，‎ 所以a的取值范围是（﹣1，+∞）．‎ 故选：D．‎ 点评： 本题考查不等式的解法，函数单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力．‎ ‎9．（5分）已知函数，则不等式f（2﹣x2）+f（2x+1）＞0的解集是（）‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． （﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） D． （﹣1，3）‎ 考点： 奇偶性与单调性的综合． ‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 注意函数在定义域内是奇函数且是单调增函数，将不等式等价转化后，利用单调性来解．‎ 解答： 解：函数在定义域内是奇函数且是单调增函数，不等式即：f（2﹣x2）＞f（﹣2x﹣1），‎ ‎∴2﹣x2＞﹣2x﹣1，即：x2﹣2x﹣3＜0，‎ ‎∴﹣1＜x＜3，‎ 故答案选D．‎ 点评： 本题中，函数表达式只说明函数是奇函数，且是增函数，没有必要根据f（x）的解析式求f（2﹣x2）和f（2x+1）得解析式．‎ ‎10．（5分）若函数在（﹣∞，0）上有最小值﹣5，（a，b为常数），则函数f（x）在（0，+∞）上 ‎（）‎ ‎ A． 有最大值5 B． 有最小值‎5 ‎C． 有最大值3 D． 有最大值9‎ 考点： 利用导数研究函数的单调性． ‎ 专题： 计算题；导数的综合应用．‎ 分析： 先令g（x）=ax3+blog2（x+），判断其奇偶性，再由函数在（﹣∞，0）上有最小值﹣5，得到函数g（x）在（﹣∞，0）上有最小值﹣7，从而有g（x）在（0，+∞）上有最大值7，则由f（x）=g（x）+2得到结论．‎ 解答： 解：令g（x）=ax3+blog2（x+），‎ 其定义域为R，‎ - 16 -‎ 又g（﹣x）=a（﹣x）3+blog2（﹣x+）‎ ‎=﹣=﹣g（x）‎ 所以g（x）是奇函数．‎ 由根据题意：在（﹣∞，0）上有最小值﹣5，‎ 所以函数g（x）在（﹣∞，0）上有最小值﹣7，‎ 由函数g（x）在（0，+∞）上有最大值7，‎ 所以f（x）=g（x）+2在（0，+∞）上有最大值9．‎ 故选D．‎ 点评： 本题主要考查函数的构造进而研究性质，若看到x与﹣x这样的信息，一般与函数的奇偶性有关．‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共25分）（11、12、13任选两小题作答，若三道题都作答，则取前两题计分）‎ ‎11．（5分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为5．‎ 考点： 与圆有关的比例线段． ‎ 专题： 直线与圆．‎ 分析： 利用直角△ABC的边角关系即可得出BC，利用弦切角定理可得∠BCD=∠A=60°．利用直角△BCD的边角关系即可得出CD，BD．再利用切割线定理可得CD2=DE•DB，即可得出DE．‎ 解答： 解：在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，∴BC=AB•sin60°=．‎ ‎∵CD是此圆的切线，∴∠BCD=∠A=60°．‎ 在Rt△BCD中，CD=BC•cos60°=，BD=BC•sin60°=15．‎ 由切割线定理可得CD2=DE•DB，∴，解得DE=5．‎ 故答案为5．‎ 点评： 熟练掌握直角三角形的边角关系、弦切角定理、切割线定理是解题的关键．‎ ‎12．（5分）在极坐标系中，点（2，）到直线ρsinθ=2的距离等于．‎ 考点： 简单曲线的极坐标方程． ‎ 专题： 坐标系和参数方程．‎ 分析： 直线ρsinθ=2化为y=2．即可得出．‎ 解答： 解：直线ρsinθ=2化为y=2．‎ - 16 -‎ ‎∴点（2，）到直线ρsinθ=2的距离=．‎ 故答案为：．‎ 点评： 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，属于基础题．‎ ‎13．在实数范围内，不等式||x﹣2|﹣1|≤1的解集为．‎ 考点： 绝对值不等式的解法． ‎ 专题： 选作题；不等式．‎ 分析： 利用绝对值不等式的等价形式，利用绝对值不等式几何意义求解即可．‎ 解答： 解：不等式||x﹣2|﹣1|≤1的解集，就是﹣1≤|x﹣2|﹣1≤1的解集，也就是0≤|x﹣2|≤2的解集，‎ ‎0≤|x﹣2|≤2的几何意义是数轴上的点到2的距离小于等于2的值，所以不等式的解为：0≤x≤4．‎ 所以不等式的解集为．‎ 故答案为：．‎ 点评： 本题考查绝对值不等式的解法，绝对值不等式的几何意义，注意不等式的等价转化是解题的关键．‎ ‎14．（5分）曲线f（x）=x2+alnx在点（1，f（1））处的切线斜率为4，则a=2．‎ 考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程． ‎ 专题： 导数的概念及应用．‎ 分析： 由求导公式求导函数，由题意得求出f′（1）=4，代入求出a的值．‎ 解答： 解：由题意得f（x）=x2+alnx，则f′（x）=2x+，‎ 因为在点（1，f（1））处的切线斜率为4，‎ 所以f′（1）=4，即2+a=4，解得a=2，‎ 故答案为：2．‎ 点评： 本题考查导数的几何意义，属于基础题．‎ ‎15．（5分）函数f（x）=的定义域为（0，2]．‎ 考点： 函数的定义域及其求法． ‎ 专题： 函数的性质及应用．‎ 分析： 由二次根式的被开方数大于或等于0，且对数的真数大于0，可求出x的取值范围．‎ 解答： 解：∵f（x）=，‎ ‎∴1﹣2log4x≥0，‎ 即log4x≤；‎ - 16 -‎ 解得0＜x≤2，‎ ‎∴f（x）的定义域是（0，2]．‎ 故答案为：（0，2]．‎ 点评： 本题考查了求函数的定义域的问题，求函数的定义域，应使函数的解析式有意义，从而列出不等式（组），求出自变量的取值范围，通常是基础题．‎ ‎16．（5分）已知f（x）=，θ∈，则f′（1）取值范围为．‎ 考点： 导数的运算． ‎ 专题： 导数的概念及应用．‎ 分析： 由导数的运算和三角函数公式易得f′（1）=2sin（θ+），由θ的范围和三角函数的知识可得．‎ 解答： 解：∵f（x）=，‎ ‎∴f′（x）=sinθ•x2+cosθ•x ‎∴f′（1）=sinθ+cosθ ‎=2（sinθ+cosθ）=2sin（θ+），‎ ‎∵θ∈，∴θ+∈，‎ ‎∴sin（θ+）∈，∴2sin（θ+）∈，‎ ‎∴f′（1）取值范围为：‎ 故答案为：‎ 点评： 本题考查导数的运算，涉及三角函数的值域，属基础题．‎ 三、解答题（本大题共6个小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（12分）计算：‎ ‎（1）2++﹣；‎ ‎（2）log22•log3•log5．‎ 考点： 对数的运算性质；根式与分数指数幂的互化及其化简运算． ‎ 专题： 函数的性质及应用．‎ 分析： （1）化负指数为正指数，化0指数幂为1，然后直接利用有理指数幂的运算性质化简求值；‎ ‎（2）直接利用对数的运算性质化简求值．‎ 解答： 解：（1）2++﹣‎ - 16 -‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=2；‎ ‎（2）log22•log3•log5‎ ‎=‎ ‎=﹣4log32×（﹣2log53）‎ ‎=8×‎ ‎=8log52．‎ 点评： 本题考查了有理指数幂的化简求值，考查了对数的运算性质，是基础的计算题．‎ ‎18．（12分）已知集合A={x|2﹣a≤x≤2+a}，B={x|x2﹣5x+4≥0}，‎ ‎（1）当a=3时，求A∩B，A∪（∁RB）；‎ ‎（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．‎ 考点： 集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算． ‎ 专题： 计算题．‎ 分析： （1）当a=3时，求出集合A，B，然后求出CRB，即可求A∩B，A∪（CRB）；‎ ‎（2）若A∩B=Φ，只需2﹣a＞1，并且2+a＜4，即可求实数a的取值范围．‎ 解答： 解：（1）当a=3时，A={x|﹣1≤x≤5}，B={x|x2﹣5x+4≥0}={x|x≤1或x≥4}，‎ CRB={x|1＜x＜4}‎ 所以A∩B={x|﹣1≤x≤5}∩{x|x≤1或x≥4}={x|﹣1≤x≤1或4≤x≤5}，‎ A∪（CRB）={x|﹣1≤x≤5}∪{x|1＜x＜4}={x|﹣1≤x≤5}；‎ ‎（2）A∩B=Φ所以或2﹣a＞2+a，解得a＜1或a＜0，‎ 所以a的取值范围是（﹣∞，1）‎ 点评： 本题考查集合的基本运算，不等式的解集的求法，注意等价变形的应用，常考题型．‎ ‎19．（12分）已知函数f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1‎ ‎（1）求f（9），f（27）的值 ‎（2）解不等式f（x）+f（x﹣8）＜2．‎ 考点： 抽象函数及其应用；函数单调性的性质． ‎ 专题： 计算题．‎ 分析： （1）从分利用条件f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1，‎ - 16 -‎ ‎（2）利用条件：函数f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数，列出不等式组，解出此不等式组．‎ 解答： 解：（1）f（9）=f（3）+f（3）=2，‎ f（27）=f（9）+f（3）=3‎ ‎（2）∵f（x）+f（x﹣8）=f＜f（9）‎ 而函数f（x）是定义在（0，+∞）上为增函数，‎ ‎∴‎ 即原不等式的解集为（8，9）‎ 点评： 本题考查抽象函数的定义域、单调性及函数值．‎ ‎20．（13分）如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A﹣BCF，其中BC=．‎ ‎（1）证明：DE∥平面BCF；‎ ‎（2）证明：CF⊥平面ABF；‎ ‎（3）当AD=时，求三棱锥F﹣DEG的体积VF﹣DEG．‎ 考点： 直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定． ‎ 专题： 空间位置关系与距离；立体几何．‎ 分析： （1）在等边三角形ABC中，由AD=AE，可得，在折叠后的三棱锥A﹣BCF中也成立，故有DE∥BC，再根据直线和平面平行的判定定理证得DE∥平面BCF．‎ ‎（2）由条件证得AF⊥CF ①，且．在三棱锥A﹣BCF中，由，可得BC2=BF2+CF2，从而 CF⊥BF②，结合①②，证得CF⊥平面ABF．‎ ‎（3）由（1）可知GE∥CF，结合（2）可得GE⊥平面DFG．再由 ，运算求得结果．‎ - 16 -‎ 解答： 解：（1）在等边三角形ABC中，AD=AE，∴，在折叠后的三棱锥A﹣BCF中也成立，‎ ‎∴DE∥BC．‎ 又∵DE⊄平面BCF，BC⊂平面BCF，‎ ‎∴DE∥平面BCF．‎ ‎（2）在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AF⊥BC，即AF⊥CF ①，且．‎ ‎∵在三棱锥A﹣BCF中，，∴BC2=BF2+CF2，∴CF⊥BF②．‎ 又∵BF∩AF=F，∴CF⊥平面ABF．‎ ‎（3）由（1）可知GE∥CF，结合（2）可得GE⊥平面DFG．‎ ‎∴=．‎ 点评： 本题主要考查直线和平面平行的判定定理、直线和平面垂直的判定的定理的应用，用等体积法求三棱锥的体积，属于中档题．‎ ‎21．（13分）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4； 白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片 （假设取到任何一张卡片的可能性相同）．‎ ‎（Ⅰ）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率．‎ ‎（Ⅱ）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．‎ 考点： 离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差． ‎ 专题： 概率与统计．‎ 分析： （I）从7张卡片中取出4张的所有可能结果数有，然后求出取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的结果数，代入古典概率的求解公式即可求解 ‎（II）先判断随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值 解答： 解：（I）设取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片为事件A，则 P（A）==‎ 所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为 ‎（II）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4‎ P（X=1）=‎ - 16 -‎ P（X=2）=‎ P（X=3）==‎ P（X=4）==‎ X的分布列为 EX==‎ x 1 2 3 4‎ P ‎ 点评： 本题主要考查了古典概型及计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列及期望值的求解，考查了运用概率知识解决实际问题的能力．‎ ‎22．（13分）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d）若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．‎ ‎（Ⅰ）求a，b，c，d的值；‎ ‎（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．‎ 考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题． ‎ 专题： 压轴题；导数的综合应用．‎ 分析： （Ⅰ）对f（x），g（x）进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），从而解出a，b，c，d的值；‎ ‎（Ⅱ）由（I）得出f（x），g（x）的解析式，再求出F（x）及它的导函数，通过对k的讨论，判断出F（x）的最值，从而判断出f（x）≤kg（x）恒成立，从而求出k的范围．‎ 解答： 解：（Ⅰ）由题意知f（0）=2，g（0）=2，f′（0）=4，g′（0）=4，‎ 而f′（x）=2x+a，g′（x）=ex（cx+d+c），故b=2，d=2，a=4，d+c=4，‎ 从而a=4，b=2，c=2，d=2；‎ ‎（Ⅱ）由（I）知，f（x）=x2+4x+2，g（x）=2ex（x+1）‎ 设F（x）=kg（x）﹣f（x）=2kex（x+1）﹣x2﹣4x﹣2，‎ 则F′（x）=2kex（x+2）﹣2x﹣4=2（x+2）（kex﹣1），‎ 由题设得F（0）≥0，即k≥1，‎ 令F′（x）=0，得x1=﹣lnk，x2=﹣2，‎ ‎①若1≤k≤e2，则﹣2＜x1≤0，从而当x∈（﹣2，x1）时，F′（x）＜0，当x∈（x1，+∞）时，F′（x）＞0，‎ 即F（x）在（﹣2，x1）上减，在（x1，+∞）上是增，故F（x）在．‎ 点评： 此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，函数恒成立问题，考查分类讨论思想，解题的关键是能够利用导数工具研究函数的性质，此题是一道中档题．‎ - 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