浙江省温州市十校联合体2015届高三数学上学期期中试卷 文（含解析）.doc

温州市2015届高三数学上学期期中试卷（文科含解析）‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．（5分）设集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，4}，则∁U（A∩B）=（）‎ ‎ A． {2} B． {3} C． {1，4} D． {1，3，4}‎ ‎2．（5分）已知复数z满足，则|z|=（）‎ ‎ A． B． C． D． 2‎ ‎3．（5分）点P（cosα，tanα）在第二象限是角α的终边在第三象限的（）‎ ‎ A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 ‎ C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎4．（5分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是 （）‎ ‎ A． 若β⊥α，l⊥α，则l∥β B． 若l∥β，l∥α，则α∥β ‎ C． 若l⊥α，α∥β，则l⊥β D． 若l∥α，α⊥β，则l⊥β ‎5．（5分）已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a3=7﹣a2，则S4=（）‎ ‎ A． 15 B． ‎14 ‎C． 13 D． 12‎ ‎6．（5分），是两个向量，||=1，||=2，且（+）⊥，则与的夹角为（）‎ ‎ A． 30° B． 60° C． 120° D． 150°‎ ‎7．（5分）同时具有性质“①最小正周期是π，②图象关于直线x=对称”的一个函数是（）‎ ‎ A． y=sin（+） B． y=cos（x+） C． y=cos（2x﹣） D． y=sin（2x﹣）‎ ‎8．（5分）x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）‎ ‎ A． 或﹣1 B． 2或 C． 2或1 D． 2或﹣1‎ ‎9．（5分）已知函数f（x）=x﹣m+5，当1≤x≤9时，f（x）＞1有恒成立，则实数m的取值范围为（）‎ - 17 -‎ ‎ A． m＜ B． m＜‎5 ‎C． m＜4 D． m≤5‎ ‎10．（5分）已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）‎ ‎ A． （0，） B． （0，） C． [，1） D． [，1）‎ 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分．）‎ ‎11．（4分）已知角α的终边经过点P（﹣4，3），则cosα=．‎ ‎12．（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ‎13．（4分）设f（x）=，则f（f（2））的值为．‎ ‎14．（4分）设直线过点（0，a），其斜率为1，且与圆x2+y2=2相切，则a的值为．‎ ‎15．（4分）函数f（x）=的定义域为．‎ ‎16．（4分）已知f（x）=asinx++5，若f[lg（lg2）]=3，则f[lg（log210）]=．‎ ‎17．（4分）已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=﹣（x﹣1）2+1，满足f[f（a）]=的实数a的个数为个．‎ 三、解答题（本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ - 17 -‎ ‎18．（14分）已知a，b，c为△ABC的三个内角A、B、C的对边，向量=（2sinB，2﹣cos2B），=（2sin2（+），﹣1），⊥，a=，b=1．‎ ‎（1）求角B的大小；‎ ‎（2）求c的值．‎ ‎19．（14分）等差数列{an}中，a7=4，a19=‎2a9．数列{bn}满足bn=an•．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{bn}的前n项和Sn．‎ ‎20．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B‎1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点．‎ ‎（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；‎ ‎（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC‎1A；‎ ‎（3）求三棱锥C﹣BC1D的体积．‎ ‎21．（15分）已知函数f（x）=x2+（b+1）x+1是定义在[a﹣2，a]上的偶函数，g（x）=f（x）+|x﹣t|，其中a，b，t均为常数．‎ ‎（1）求实数a，b的值；‎ ‎（2）试讨论函数y=g（x）的奇偶性；‎ ‎（3）若﹣≤t≤，求函数y=g（x）的最小值．‎ ‎22．（15分）如图，已知抛物线y2=2px（p＞0）上点（2，a）到焦点F的距离为3，直线l：my=x+t（t≠0）交抛物线C于A，B两点，且满足OA⊥OB．圆E是以（﹣p，p）为圆心，p为直径的圆．‎ ‎（1）求抛物线C和圆E的方程；‎ ‎（2）设点M为圆E上的任意一动点，求当动点M到直线l的距离最大时的直线方程．‎ - 17 -‎ 浙江省温州市十校联合体2015届高三上学期期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．（5分）设集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，4}，则∁U（A∩B）=（）‎ ‎ A． {2} B． {3} C． {1，4} D． {1，3，4}‎ 考点： 交、并、补集的混合运算． ‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 根据两个集合的并集的定义求得A∩B，再根据补集的定义求得∁U（A∩B）．‎ 解答： 解：∵集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，4}，∴A∩B={2}，∴∁U（A∩B）={1，3，4}，‎ 故选D．‎ 点评： 本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集、并集的定义和求法，属于基础题．‎ ‎2．（5分）已知复数z满足，则|z|=（）‎ ‎ A． B． C． D． 2‎ 考点： 复数求模． ‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 首先根据所给的等式表示出z，是一个复数除法的形式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母同时进行乘法运算，得到最简形式．‎ 解答： 解：∵，‎ ‎∴=，‎ 所以|z|=‎ 故选A．‎ - 17 -‎ 点评： 本题考查复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，把复数整理成整式形式，再进行复数的乘方运算，合并同类项，得到结果．‎ ‎3．（5分）点P（cosα，tanα）在第二象限是角α的终边在第三象限的（）‎ ‎ A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 ‎ C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． ‎ 专题： 简易逻辑．‎ 分析： 根据三角函数的定义以及充分条件和必要条件进行判断即可得到结论．‎ 解答： 解：若P（cosα，tanα）在第二象限，‎ 则，‎ 即，‎ 则α位于第三象限，‎ 则点P（cosα，tanα）在第二象限是角α的终边在第三象限的充要条件，‎ 故选：C 点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的定义，比较基础．‎ ‎4．（5分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是 （）‎ ‎ A． 若β⊥α，l⊥α，则l∥β B． 若l∥β，l∥α，则α∥β ‎ C． 若l⊥α，α∥β，则l⊥β D． 若l∥α，α⊥β，则l⊥β 考点： 空间中直线与平面之间的位置关系． ‎ 专题： 证明题．‎ 分析： A：由题意可得l∥β或者l⊂β．B：由题意可得：α∥β或者α与β相交．C：根据线面垂直的定义可得：若l⊥α，α∥β，则l⊥β是正确的．D：若l∥α，α⊥β，则l⊥β或者l∥β或者l与β相交．‎ 解答： 解：A：若β⊥α，l⊥α，则l∥β或者l⊂β，所以A错误．‎ B：若l∥β，l∥α，则α∥β或者α与β相交，所以B错误．‎ C：根据线面垂直的定义可得：若l⊥α，α∥β，则l⊥β是正确的，所以C正确．‎ D：若l∥α，α⊥β，则l⊥β或者l∥β或者l与β相交，所以D错误．‎ 故选C．‎ 点评： 解决此类问题的关键是熟练掌握空间中直线与平面的位置关系（平行关系与垂直关系），即掌握判断其位置关系的判断定理与性质定理．‎ ‎5．（5分）已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a3=7﹣a2，则S4=（）‎ ‎ A． 15 B． ‎14 ‎C． 13 D． 12‎ 考点： 等差数列的性质；等差数列的前n项和． ‎ 专题： 等差数列与等比数列．‎ - 17 -‎ 分析： 利用已知条件求出a3+a2的值，然后求解S4的值．‎ 解答： 解：由题意可知a3=7﹣a2，‎ a3+a2=7，‎ S4=a‎1a2+a3+a4=2（a3+a2）=14．‎ 故选：B．‎ 点评： 本题考查等差数列的基本性质，数列求和，基本知识的考查．‎ ‎6．（5分），是两个向量，||=1，||=2，且（+）⊥，则与的夹角为（）‎ ‎ A． 30° B． 60° C． 120° D． 150°‎ 考点： 数量积表示两个向量的夹角；平面向量数量积的运算． ‎ 专题： 平面向量及应用．‎ 分析： 设，的夹角为θ，0°≤θ≤180°，则由题意可得（）•=0，解得cosθ=﹣，可得θ 的值．‎ 解答： 解：设，的夹角为θ，0°≤θ≤180°，则由题意可得（）•=0，‎ 即 +=1+1×2×cosθ=0，解得cosθ=﹣，∴θ=120°，‎ 故选C．‎ 点评： 本题主要考查两个向量垂直的性质，根据三角函数的值求角，属于中档题．‎ ‎7．（5分）同时具有性质“①最小正周期是π，②图象关于直线x=对称”的一个函数是（）‎ ‎ A． y=sin（+） B． y=cos（x+） C． y=cos（2x﹣） D． y=sin（2x﹣）‎ 考点： 三角函数的周期性及其求法；正弦函数的对称性． ‎ 专题： 三角函数的求值．‎ 分析： 利用周长公式及对称性判断即可得到结果．‎ 解答： 解：A、y=sin（+），‎ ‎∵ω=，∴T=4π，不合题意；‎ B、y=cos（x+），‎ ‎∵ω=1，∴T=2π，不合题意；‎ C、y=cos（2x﹣），‎ ‎∵ω=2，∴T=π，‎ - 17 -‎ 令2x﹣=0，即x=，不合题意；‎ D、y=sin（2x﹣），‎ ‎∵ω=2，∴T=π，‎ 令2x﹣=，即x=，即图象关于直线x=对称，符合题意，‎ 故选：D．‎ 点评： 此题考查了三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的对称性，熟练掌握周期公式是解本题的关键．‎ ‎8．（5分）x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）‎ ‎ A． 或﹣1 B． 2或 C． 2或1 D． 2或﹣1‎ 考点： 简单线性规划． ‎ 专题： 不等式的解法及应用．‎ 分析： 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值．‎ 解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．‎ 由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．‎ 若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，‎ 若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，‎ 则直线y=ax+z与直线2x﹣y+2=0平行，此时a=2，‎ 若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，‎ 则直线y=ax+z与直线x+y﹣2=0，平行，此时a=﹣1，‎ 综上a=﹣1或a=2，‎ 故选：D - 17 -‎ 点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．注意要对a进行分类讨论，同时需要弄清楚最优解的定义．‎ ‎9．（5分）已知函数f（x）=x﹣m+5，当1≤x≤9时，f（x）＞1有恒成立，则实数m的取值范围为（）‎ ‎ A． m＜ B． m＜‎5 ‎C． m＜4 D． m≤5‎ 考点： 其他不等式的解法． ‎ 专题： 不等式的解法及应用．‎ 分析： 令t=，则由1≤x≤9可得t∈[1，3]，由题意可得f（x）=g（t）=t2﹣mt+5＞1在[1，3]上恒成立，即gmin（t）＞1．再利用二次函数的性质，分类讨论求得实数m的取值范围．‎ 解答： 解：令t=，则由1≤x≤9可得t∈[1，3]，‎ 由题意可得f（x）=g（t）=t2﹣mt+5=+5﹣＞1在[1，3]上恒成立，‎ 故有gmin（t）＞1．‎ ‎①当＜1时，函数g（t）在[1，3]上单调递增，函数g（t）的最小值为g（1）=6﹣m，‎ 由6﹣m＞1，求得m＜5，综合可得m＜2．‎ ‎②当∈[1，3]时，函数g（t）在[1，]上单调递减，在（ 3]上单调递增，‎ 函数g（t）的最小值为g（）=5﹣＞1，由此求得﹣4＜t＜4，综合可得2≤m＜4．‎ ‎③当＞3时，函数g（t）在[1，3]上单调递减，函数g（t）的最小值为g（3）=14﹣‎3m，‎ 由14﹣‎3m＞1，求得m＜，综合可得m无解．‎ 综上可得，m＜4．‎ 点评： 本题主要考查二次函数的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．‎ - 17 -‎ ‎10．（5分）已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）‎ ‎ A． （0，） B． （0，） C． [，1） D． [，1）‎ 考点： 椭圆的简单性质． ‎ 专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析： 作出简图，则＞，则e=．‎ 解答： 解：由题意，如图 若在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，‎ 由∠APO＞45°，‎ 即sin∠APO＞sin45°，‎ 即＞，‎ 则e=，‎ 故选A．‎ 点评： 本题考查了椭圆的基本性质应用，属于基础题．‎ 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分．）‎ ‎11．（4分）已知角α的终边经过点P（﹣4，3），则cosα=．‎ 考点： 任意角的三角函数的定义． ‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 先求出角α的终边上的点P（﹣4，3）到原点的距离为 r，再利用任意角的三角函数的定义cosα= 求出结果．‎ 解答： 解：角α的终边上的点P（﹣4，3）到原点的距离为 r=5，‎ - 17 -‎ 由任意角的三角函数的定义得 cosα==．‎ 故答案为：．‎ 点评： 本题考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，考查计算能力．‎ ‎12．（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为3‎ 考点： 由三视图求面积、体积． ‎ 专题： 计算题；空间位置关系与距离．‎ 分析： 通过三视图复原的几何体的形状，结合三视图的数据求出几何体的体积即可．‎ 解答： 解：由题意可知几何体是底面是底面为2的等边三角形，高为3的直三棱柱，‎ 所以几何体的体积为：=3．‎ 故答案为：3．‎ 点评： 本题考查三视图与直观图的关系，几何体的体积的求法，考查计算能力．‎ ‎13．（4分）设f（x）=，则f（f（2））的值为1．‎ 考点： 函数的值． ‎ 专题： 函数的性质及应用．‎ 分析： 直接利用分段函数，由里及外求解f（f（2））的值即可．‎ 解答： 解：f（x）=，则f（2）=log33=1，‎ f（f（2））=f（1）=e1﹣1=1．‎ 故答案为：1．‎ 点评： 本题考查分段函数的应用，函数值的求法，基本知识的考查．‎ ‎14．（4分）设直线过点（0，a），其斜率为1，且与圆x2+y2=2相切，则a的值为±2．‎ 考点： 圆的切线方程． ‎ 专题： 计算题；直线与圆．‎ 分析： 由题意可得直线的方程y=x+a，然后根据直线与圆相切的性质，利用点到直线的距离公式即可 求解a - 17 -‎ 解答： 解：由题意可得直线的方程y=x+a 根据直线与圆相切的性质可得，‎ ‎∴a=±2‎ 故答案为：±2‎ 点评： 本题主要考查了直线与圆的相切的性质的应用，点到直线的距离公式的应用，属于基础 试题 ‎15．（4分）函数f（x）=的定义域为{x|0＜x≤2且x≠1}．‎ 考点： 对数函数的定义域． ‎ 专题： 函数的性质及应用．‎ 分析： 由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0，且分式的分母不等于0联立不等式组得答案．‎ 解答： 解：由，得0＜x≤2且x≠1．‎ ‎∴函数f（x）=的定义域为{x|0＜x≤2且x≠1}．‎ 故答案为：{x|0＜x≤2且x≠1}．‎ 点评： 本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式组的解法，是基础题．‎ ‎16．（4分）已知f（x）=asinx++5，若f[lg（lg2）]=3，则f[lg（log210）]=7．‎ 考点： 正弦函数的奇偶性；函数奇偶性的性质． ‎ 专题： 三角函数的图像与性质．‎ 分析： 由题意可得 f（x）+f（﹣x）=10，f[lg（lg2）]=f[﹣lg（log210）]=3，从而求得f[lg（log210）]的值．‎ 解答： 解：由题意可得，f[lg（lg2）]=f[﹣lg（log210）]=3，∵f（x）=asinx++5，∴f（x）+f（﹣x）=10．‎ ‎∴f[lg（log210）]=10﹣f[lg（lg2）]=7，‎ 故答案为：7．‎ 点评： 本题主要考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数性质的灵活运用．‎ ‎17．（4分）已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=﹣（x﹣1）2+1，满足f[f（a）]=的实数a的个数为8个．‎ - 17 -‎ 考点： 函数奇偶性的性质． ‎ 专题： 综合题．‎ 分析： 令f（a）=x，则f[f（a）]=，转化为f（x）=．先解f（x）=在x≥0时的解，再利用偶函数的性质，求出f（x）=在x＜0时的解，最后解方程f（a）=x即可．‎ 解答： 解：令f（a）=x，则f[f（a）]=，变形为f（x）=；‎ 当x≥0时，f（x）=﹣（x﹣1）2+1=，解得x1=1+，x2=1﹣；‎ ‎∵f（x）为偶函数，‎ ‎∴当x＜0时，f（x）=的解为x3=﹣1﹣，x4=﹣1+；‎ 综上所述，f（a）=1+或1﹣或﹣1﹣或﹣1+．‎ 当a≥0时，‎ f（a）=﹣（a﹣1）2+1=1+，方程无解；‎ f（a）=﹣（a﹣1）2+1=1﹣，方程有2解；‎ f（a）=﹣（a﹣1）2+1=﹣1﹣，方程有1解；‎ f（a）=﹣（a﹣1）2+1=﹣1+，方程有1解；‎ 故当a≥0时，方程f（a）=x有4解，‎ 由偶函数的性质，易得当a＜0时，方程f（a）=x也有4解，‎ 综上所述，满足f[f（a）]=的实数a的个数为8，‎ 故答案为：8．‎ 点评： 题综合考查了函数的奇偶性和方程的解的个数问题，同时运用了函数与方程思想、转化思想和分类讨论等数学思想方法，对学生综合运用知识解决问题的能力要求较高，是2015届高考的热点问题．‎ 三、解答题（本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎18．（14分）已知a，b，c为△ABC的三个内角A、B、C的对边，向量=（2sinB，2﹣cos2B），=（2sin2（+），﹣1），⊥，a=，b=1．‎ ‎（1）求角B的大小；‎ ‎（2）求c的值．‎ 考点： 余弦定理的应用；平面向量的综合题． ‎ 专题： 解三角形．‎ - 17 -‎ 分析： （1）⊥，则，则有化简后即可求角B的大小；‎ ‎（2）由余弦定理即可求c的值．‎ 解答： 解：（1）根据已知，有，则 则 所以，‎ 又B∈（0，π），则或 又a＞b，所以B=‎ ‎（2）由余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB 故有1=3+c2﹣‎‎3c 解得c=2或c=1．‎ 点评： 本题主要考察了余弦定理的应用，平面向量的综合应用，属于中档题．‎ ‎19．（14分）等差数列{an}中，a7=4，a19=‎2a9．数列{bn}满足bn=an•．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{bn}的前n项和Sn．‎ 考点： 等差数列与等比数列的综合． ‎ 专题： 等差数列与等比数列．‎ 分析： （1）设出等差数列的公差，利用方程组的思想求出首项和公差即可；‎ ‎（2）利用错位相减法求数列{bn}的前n项和．‎ 解答： 解：（1）设等差数列{an}的公差为d，因为a7=4，a19=‎2a9，‎ 所以，‎ 解得a1=1，d=，‎ 所以等差数列{an}的通项公式为；‎ ‎（2）由（1）得bn=an•=（n+1）2n，‎ 所以数列{bn}的前n项和Sn=2•21+3•22+4•23+…+n•2n﹣1+（n+1）2n，‎ ‎ 2Sn=2•22+3•23+4•24+…+n•2n+（n+1）•2n+1，‎ 两式相减得﹣Sn=2•21+（22+23+…+2n）﹣（n+1）2n+1‎ ‎=4+‎ - 17 -‎ ‎=4+22（2n﹣1﹣1）﹣（n+1）2n+1‎ ‎=﹣n2n+1．‎ 点评： 本题考查了等差数列的通项公式的求法以及利用错位相减法求等差数列与等比数列的通项乘积形式的数列的前n项和．‎ ‎20．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B‎1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点．‎ ‎（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；‎ ‎（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC‎1A；‎ ‎（3）求三棱锥C﹣BC1D的体积．‎ 考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定． ‎ 专题： 综合题；空间位置关系与距离．‎ 分析： （1）连接B‎1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B‎1C的中点．可得DO为△AB‎1C中位线，A1B∥OD，结合线面平行的判定定理，得A1B∥平面BC1D；‎ ‎（2）由AA1⊥底面ABC，得AA1⊥BD．正三角形ABC中，中线BD⊥AC，结合线面垂直的判定定理，得BD⊥平面ACC‎1A1，最后由面面垂直的判定定理，证出平面BC1D⊥平面ACC‎1A；‎ ‎（3）利用等体积转换，即可求三棱锥C﹣BC1D的体积．‎ 解答： （1）证明：连接B‎1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B‎1C的中点．‎ ‎∵D为AC中点，得DO为△AB‎1C中位线，‎ ‎∴A1B∥OD．‎ ‎∵OD⊂平面AB‎1C，A1B⊄平面AB‎1C，‎ ‎∴直线AB1∥平面BC1D；‎ ‎（2）证明：∵AA1⊥底面ABC，‎ ‎∴AA1⊥BD，‎ ‎∵底面ABC正三角形，D是AC的中点 ‎∴BD⊥AC ‎∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面ACC‎1A1，‎ ‎∵BD⊂平面BC1D，∴平面BC1D⊥平面ACC‎1A；‎ ‎（3）解：由（2）知，△ABC中，BD⊥AC，BD=BCsin60°=3，‎ ‎∴S△BCD==，‎ ‎∴VC﹣BC1D=VC1﹣BCD=••6=9．‎ - 17 -‎ 点评： 本题给出直三棱柱，求证线面平行、面面垂直并探索三棱锥的体积，着重考查了空间线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了锥体体积公式的应用，属于中档题．‎ ‎21．（15分）已知函数f（x）=x2+（b+1）x+1是定义在[a﹣2，a]上的偶函数，g（x）=f（x）+|x﹣t|，其中a，b，t均为常数．‎ ‎（1）求实数a，b的值；‎ ‎（2）试讨论函数y=g（x）的奇偶性；‎ ‎（3）若﹣≤t≤，求函数y=g（x）的最小值．‎ 考点： 函数奇偶性的性质；二次函数的性质． ‎ 分析： （1）利用偶函数的性质可得：，解出即可．‎ ‎（2）利用函数的奇偶性的定义即可得出；‎ ‎（3）去掉绝对值符号，利用二次函数的单调性即可得出．‎ 解答： 解：（1）∵函数f（x）=x2+（b+1）x+1是定义在[a﹣2，a]上的偶函数，‎ ‎∴，‎ 解得．‎ ‎（2）由（1）可得f（x）=x2+1‎ 得g（x）=f（x）+|x﹣t|=x2+|x﹣t|+1，x∈[﹣1，1]．‎ 当t=0时，函数y=g（x）为偶函数．）‎ 当t≠0时，函数y=g（x）为非奇非偶函数．‎ ‎（3）g（x）=f（x）+|x﹣t|=，﹣≤t≤，‎ 当x≥t时，函数y=g（x）在[﹣1，1]上单调递增，则g（x）≥g（t）=t2+1．‎ 当x＜t时，函数y=g（x）在[﹣1，1]上单调递减，则g（x）＞g（t）=t2+1．‎ 综上，函数y=g（x）的最小值为1．‎ 点评： 本题考查了函数的奇偶性、二次函数的单调性、绝对值的意义，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎22．（15分）如图，已知抛物线y2=2px（p＞0）上点（2，a）到焦点F的距离为3，直线l：my=x+t（t≠0）交抛物线C于A，B两点，且满足OA⊥OB．圆E是以（﹣p，p）为圆心，p为直径的圆．‎ ‎（1）求抛物线C和圆E的方程；‎ - 17 -‎ ‎（2）设点M为圆E上的任意一动点，求当动点M到直线l的距离最大时的直线方程．‎ 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题． ‎ 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析： （1）由焦点弦的性质可得2+=3，解得p，即可得出；‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立方程，可得根与系数的关系．利用OA⊥OB得x1x2+y1y2=0，可得t=﹣4，故直线AB过定点N（4，0）．由于当MN⊥l，动点M经过圆心E（﹣2，2）时到直线l的距离d取得最大值．即可得出．‎ 解答： 解：（1）由题意得2+=3，得p=2，‎ ‎∴抛物线C和圆E的方程分别为：y2=4x；‎ ‎（x+2）2+（y﹣2）2=1．‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ 联立方程，‎ 整理得y2﹣4my+4t=0，‎ 由韦达定理得…①‎ 则，‎ 由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0，‎ 即（m2+1）y1y2﹣mt（y1+y2）+t2=0，‎ 将 ①代入上式整理得t2+4t=0，‎ 由t≠0得t=﹣4．‎ 故直线AB过定点N（4，0）．‎ ‎∴当MN⊥l，动点M经过圆心E（﹣2，2）时到直线l的距离d取得最大值．‎ 由kMN==﹣，得kl=3．‎ 此时的直线方程为l：y=3（x﹣4），即3x﹣y﹣12=0．‎ - 17 -‎ 点评： 本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系、点到直线的距离公式、直线的方程，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ - 17 -‎