2014-2015学年福建省莆田市哲理中学高一（上）期末数学试卷
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内，每小题5分，共60分.）
1．﹣300°化为弧度是（ ）
A． B． ﹣ C． ﹣ D． ﹣
2．圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣4=0的圆心坐标是（ ）
A． （﹣2，4） B． （2，﹣4） C． （﹣1，2） D． （1，2）
3．已知两平行直线l1：x﹣y=0与l2：x﹣y+b=0的距离为，则实数b=（ ）
A． B． 2 C． D． ±2
4．直线+=1与x，y轴所围成的三角形的面积等于（ ）
A． 6 B． 12 C． 24 D． 60
5．一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，已知这个正方体的体积是8，则这个球的表面积是（ ）
A． 4π B． 8π C． 12π D． 24π
6．圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=2被x轴截得的弦长等于（ ）
A． 1 B． C． 2 D． 3
7．圆x2+y2=1和圆x2+y2﹣6y+5=0的位置关系是（ ）
A． 外切 B． 内切 C． 外离 D． 内含
8．图是截去了一个角的正方体，则它的俯视图为（ ）
A． B． C． D．
9．已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
10．设有两条直线a，b和两个平面α、β，则下列命题中错误的是（ ）
A． 若a∥α，且a∥b，则b⊂α或b∥α B． 若a∥b，且a⊥α，b⊥β，则α∥β
C． 若α∥β，且a⊥α，b⊥β，则a∥b D． 若a⊥b，且a∥α，则b⊥α
11．已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2）．若直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A． B． C． k≥2或 D． k≤2
12．由直线y=x+1上的点向圆x2﹣6x+y2+8=0引切线，则切线长的最小值为（ ）
A． 1 B． 2 C． D． 3
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上.）
13．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为 ．
14．已知扇形的周长等于它所在圆的周长的一半，则这个扇形的圆心角是 ．
15．曲线y=1+（﹣2≤x≤2）与直线y﹣4=k（x﹣2）有两个交点时，实数k的取值范围是 ．
16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则下列四个命题：
①P在直线BC1上运动时，三棱锥A﹣D1PC的体积不变；
②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；
③P在直线BC1上运动时，二面角P﹣AD1﹣C的大小不变；
④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是过D1点的直线，其中真命题的编号是 ．（写出所有真命题的编号）
三、解答题（本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（12分）（2014秋•莆田校级期末）已知△ABC的三个顶点A（4，﹣6），B（﹣4，0），C（﹣1，4），求：
（1）BC边的垂直平分线EF的方程；
（2）AB边的中线的方程．
18．（12分）（2014秋•莆田校级期末）如图：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，∠ACB=90°．E为BB1的中点，D点在AB上且DE=．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面A1ABB1；
（Ⅱ）求三棱锥A1﹣CDE的体积．
19．（12分）（2014秋•莆田校级期末）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为a
（1）求直线BC1与AC所成的角；
（2）求直线D1B与平面ABCD所成角的正切值；
（3）求证：平面BDD1⊥平面ACA1．
20．（12分）（2014秋•莆田校级期末）已知圆：x2+y2+x﹣6y+c=0，直线l过（1，1）且斜率为．若圆与直线交于P，Q两点，且OP⊥OQ．求
（1）直线l方程；
（2）求c的值．
21．（12分）（2014秋•莆田校级期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点．
（1）求证：平面PAB∥平面EFG；
（2）在线段PB上确定一点Q，使PC⊥平面ADQ，并给出证明；
（3）证明平面EFG⊥平面PAD，并求点D到平面EFG的距离．
22．（14分）（2015春•中山期末）已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29=0相切．求：
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）设直线ax﹣y+5=0与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
2014-2015学年福建省莆田市哲理中学高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内，每小题5分，共60分.）
1．﹣300°化为弧度是（ ）
A． B． ﹣ C． ﹣ D． ﹣
考点： 弧度与角度的互化．
专题： 三角函数的求值．
分析： 根据角度户弧度之间的关系进行转化即可．
解答： 解：∵180°=πrad，
∴1°=rad，
∴﹣300°×=rad，
故选B．
点评： 本题考查弧度与角度的互化，角度化为弧度用度数乘以 ，弧度化为角度用度数乘以 ，正确做对本题关键是熟练记忆转化的规则．
2．圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣4=0的圆心坐标是（ ）
A． （﹣2，4） B． （2，﹣4） C． （﹣1，2） D． （1，2）
考点： 圆的一般方程．
专题： 直线与圆．
分析： 圆的方程化为标准方程，可得圆心坐标．
解答： 解：圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣4=0可化为（x﹣1）2+（y﹣2）2=9，
∴圆心坐标是（1，2），
故选D．
点评： 本题考查圆的方程，将圆的方程化为标准方程是关键．
3．已知两平行直线l1：x﹣y=0与l2：x﹣y+b=0的距离为，则实数b=（ ）
A． B． 2 C． D． ±2
考点： 两条平行直线间的距离．
专题： 计算题．
分析： 利用点到直线的距离求解平行线之间的距离，即可得到结果．
解答： 解：在直线x﹣y=0上取（0，0），由点到直线的距离公式有，所以b=±2．
故选D．
点评： 本题考查两条直线的距离的求法，点到直线的距离公式的应用，基本知识的考查．
4．直线+=1与x，y轴所围成的三角形的面积等于（ ）
A． 6 B． 12 C． 24 D． 60
考点： 直线的截距式方程．
专题： 直线与圆．
分析： 令x=0，解得y=4；令y=0，解得x=3．即可得出三角形的面积．
解答： 解：令x=0，解得y=4；令y=0，解得x=3．
∴直线4x+3y=12与x，y轴所围成的三角形的面积S=×3×4=6．
故选：A．
点评： 本题考查了直线与坐标轴的交点坐标、三角形的面积计算公式，属于基础题．
5．一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，已知这个正方体的体积是8，则这个球的表面积是（ ）
A． 4π B． 8π C． 12π D． 24π
考点： 球的体积和表面积．
专题： 计算题；空间位置关系与距离．
分析： 正方体的体积求出正方体的棱长，可得球的半径，利用球的表面积即可得出结论．
解答： 解：∵正方体的体积是8，
∴正方体的棱长为2，
∴正方体的体对角线为2，
设球的半径为R，则R=，
∴4πR2=12π．
故选：C．
点评： 本题考查球内接多面体，棱柱、棱锥、棱台的体积的求法，考查计算能力．
6．圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=2被x轴截得的弦长等于（ ）
A． 1 B． C． 2 D． 3
考点： 直线与圆的位置关系．
专题： 直线与圆．
分析： 在圆的方程中，令y=0，求出x，即可得到弦长．
解答： 解：令y=0，可得（x﹣1）2=1，解得x﹣1=±1，∴x=2，或x=0．
∴圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=2被x轴截得的弦长等于2﹣0=2，
故选C．
点评： 本题考查直线与圆的位置关系，考查圆中弦长的计算，属于基础题．
7．圆x2+y2=1和圆x2+y2﹣6y+5=0的位置关系是（ ）
A． 外切 B． 内切 C． 外离 D． 内含
考点： 圆与圆的位置关系及其判定．
专题： 计算题．
分析： 根据题意先求出两圆的圆心和半径，根据两圆的圆心距等于两圆的半径之和，得出两圆相外切．
解答： 解：圆x2+y2﹣6y+5=0 的标准方程为：x2+（y﹣3）2=4，
所以其表示以（0，3）为圆心，以2为半径的圆，
所以两圆的圆心距为3，正好等于两圆的半径之和，
所以两圆相外切，
故选A．
点评： 本题考查两圆的位置关系，由两圆的圆心距等于两圆的半径之和，得出两圆相外切．
8．图是截去了一个角的正方体，则它的俯视图为（ ）
A． B． C． D．
考点： 简单空间图形的三视图．
分析： 根据几何体的形状确定出俯视图即可．
解答： 解：根据几何体的形状得俯视图为，
故选：D．
点评： 此题考查了简单空间图形的三视图，弄清几何体三视图的画法是解本题的关键．
9．已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积．
专题： 计算题．
分析： 由题意通过其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，求出四棱锥的底面面积，然后求出四棱锥的体积．
解答： 解：一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，
则四棱锥的底面面积为：2，所以四棱锥的体积为：=2；
故选D．
点评： 本题是基础题，在斜二测画法中，平面图形的面积与斜二侧水平放置的图形的面积之比为2，是需要牢记的结论，也是解题的根据．
10．设有两条直线a，b和两个平面α、β，则下列命题中错误的是（ ）
A． 若a∥α，且a∥b，则b⊂α或b∥α B． 若a∥b，且a⊥α，b⊥β，则α∥β
C． 若α∥β，且a⊥α，b⊥β，则a∥b D． 若a⊥b，且a∥α，则b⊥α
考点： 命题的真假判断与应用．
专题： 证明题．
分析： A：若a∥α，且a∥b，则b⊂α或b∥α；B：由线面垂直的性质可判断；C：由线面垂直的性质定理可判断；D：b⊥α也有可能b⊆α
解答： 证明：A：若a∥α，且a∥b，则b⊂α或b∥α，正确
B：若a∥b，且a⊥α，则b⊥α，又b⊥β，则由线面垂直的性质可知α∥β，正确
C：若α∥β，且a⊥α，则a⊥β，又b⊥β，由线面垂直的性质定理可知a∥b，正确
D：若a⊥b，且a∥α，则b⊥α也有可能b⊆α，错误
故选D
点评： 本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面之间关系的判定方法及性质定理是解答此类问题的关键．
11．已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2）．若直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A． B． C． k≥2或 D． k≤2
考点： 直线的斜率．
分析： 首先求出直线PA、PB的斜率，然后结合图象即可写出答案．
解答： 解：直线PA的斜率k==2，直线PB的斜率k′==，
结合图象可得直线l的斜率k的取值范围是k≥2或k≤．
故选C．
点评： 本题考查直线斜率公式及斜率变化情况．
12．由直线y=x+1上的点向圆x2﹣6x+y2+8=0引切线，则切线长的最小值为（ ）
A． 1 B． 2 C． D． 3
考点： 圆的切线方程．
专题： 直线与圆．
分析： 由已知得切线最短则圆心和点的距离最小，则此时就是C到x﹣y+1=0的距离d==2，由勾股定理切线长最小值为：=．
解答： 解：圆x2﹣6x+y2+8=0⇒（x﹣3）2+y2=1的圆心C（3，0），半径r=1，
∵半径一定，
∴切线最短则圆心和点的距离最小，
则此时就是C到x﹣y+1=0的距离
d==2，
由勾股定理切线长最小值为：=．
故选：C．
点评： 本题考查圆的切线长的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上.）
13．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为 2π ．
考点： 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
专题： 空间位置关系与距离．
分析： 边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，从而可求圆柱的侧面积．
解答： 解：边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，
则所得几何体的侧面积为：1×2π×1=2π，
故答案为：2π
点评： 本题是基础题，考查旋转体的侧面积的求法，考查计算能力．
14．已知扇形的周长等于它所在圆的周长的一半，则这个扇形的圆心角是 （π﹣2）rad ．
考点： 弧长公式．
专题： 计算题．
分析： 由题意，本题中的等量关系是扇形的周长等于弧所在的圆的半周长，可令圆心角为θ，半径为r，弧长为l，建立方程，求得弧长与半径的关系，再求扇形的圆心角．
解答： 解：令圆心角为θ，半径为r，弧长为l
由题意得2r+l=πr
∴l=（π﹣2）r
∴θ==π﹣2
故答案为：（π﹣2）rad．
点评： 本题考查弧长公式，解题的关键是熟练掌握弧长公式，且能利用公式建立方程进行运算，本题考查对公式的准确记忆能力
15．曲线y=1+（﹣2≤x≤2）与直线y﹣4=k（x﹣2）有两个交点时，实数k的取值范围是 （，] ．
考点： 直线与圆的位置关系．
专题： 计算题；直线与圆．
分析： 将曲线方程化简，可得曲线表示以C（0，1）为圆心、半径r=2的圆的上半圆．再将直线方程化为点斜式，可得直线经过定点A（2，4）且斜率为k．作出示意图，设直线与半圆的切线为AD，半圆的左端点为B（﹣2，1），当直线的斜率k大于AD的斜率且小于或等于AB的斜率时，直线与半圆有两个相异的交点．由此利用直线的斜率公式与点到直线的距离公式加以计算，可得实数k的取值范围．
解答： 解：化简曲线y=1+（﹣2≤x≤2），得x2+（y﹣1）2=4（y≥1）
∴曲线表示以C（0，1）为圆心，半径r=2的圆的上半圆．
∵直线kx﹣y﹣2k+4=0可化为y﹣4=k（x﹣2），
∴直线经过定点A（2，4）且斜率为k．
又∵半圆y=1+（﹣2≤x≤2）与直线y﹣4=k（x﹣2）有两个交点，
∴设直线与半圆的切线为AD，半圆的左端点为B（﹣2，1），
当直线的斜率k大于AD的斜率且小于或等于AB的斜率时，
直线与半圆有两个相异的交点．
由点到直线的距离公式，当直线与半圆相切时满足=2，
解之得k=，即kAD=．
又∵直线AB的斜率kAB=，∴直线的斜率k的范围为k∈（，]．
故答案为：（，]．
点评： 本题给出直线与半圆有两个不同的交点，求直线的斜率k的取值范围．着重考查了直线的方程、圆的方程、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．
16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则下列四个命题：
①P在直线BC1上运动时，三棱锥A﹣D1PC的体积不变；
②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；
③P在直线BC1上运动时，二面角P﹣AD1﹣C的大小不变；
④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是过D1点的直线，其中真命题的编号是 ①③④ ．（写出所有真命题的编号）
考点： 异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积；与二面角有关的立体几何综合题．
专题： 压轴题；规律型；转化思想．
分析： ①易知BC1∥平面AD1C，所以BC1上任意一点到平面AD1C的距离相等，底不变，所以体积不变．
②通过举例说明，如直线AB与平面ACD1所成角和直线AC1与平面ACD1所成角不相等．
③P在直线BC1上运动时，可知AP的轨迹是平面PAD1，即二面角P﹣AD1﹣C的大小不受影响．
④空间中到点D和C1距离相等的点的轨迹是线段DC1的中垂面，又点M在面A1B1C1D1内，则点M的轨迹是面A1B1C1D1与 线段DC1的中垂面的交线，即AD1，所以必过D1点．
解答： 解：①∵BC1∥平面ACD1，∴BC1∥上任意一点到平面AD1C的距离相等，所以体积不变，正确．
②P在直线BC1上运动时，直线AB与平面ACD1所成角和直线AC1与平面ACD1所成角不相等，所以不正确．
③当P在直线BC1上运动时，AP的轨迹是平面PAD1，即二面角P﹣AD1﹣C的大小不受影响，所以正确．
④∵空间中到点D和C1距离相等的点的轨迹是线段DC1的中垂面，又点M在面A1B1C1D1内，则点M的轨迹是面A1B1C1D1与 线段DC1的中垂面的交线，即AD1，所以正确．
故答案为：①③④
点评： 本题主要考查三棱锥体积的转化，线面角，二面角以及点的轨迹问题，考查全面，灵活，是一道好题．
三、解答题（本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（12分）（2014秋•莆田校级期末）已知△ABC的三个顶点A（4，﹣6），B（﹣4，0），C（﹣1，4），求：
（1）BC边的垂直平分线EF的方程；
（2）AB边的中线的方程．
考点： 待定系数法求直线方程．
专题： 直线与圆．
分析： （1）由条件求得直线BC的斜率和线段BC的中点的坐标，可得BC边的垂直平分线EF的斜率，再利用点斜式求出BC边的垂直平分线EF的方程．
（2）求出AB的中点为M（0，﹣3），再根据C（﹣1，4），利用两点式求得AB边的中线CM的方程．
解答： 解：（1）由题意可得直线BC的斜率为=，线段BC的中点为（﹣，2），
故BC边的垂直平分线EF的斜率为﹣
故BC边的垂直平分线EF的方程为 y﹣2=﹣•（x+），即 3x+4y﹣=0．
（2）由于AB的中点为M（0，﹣3），C（﹣1，4），故AB边的中线CM的方程为 =，即 7x+y+3=0．
点评： 本题主要考查直线的斜率公式，用点斜式、两点式求直线的方程，属于基础题．
18．（12分）（2014秋•莆田校级期末）如图：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，∠ACB=90°．E为BB1的中点，D点在AB上且DE=．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面A1ABB1；
（Ⅱ）求三棱锥A1﹣CDE的体积．
考点： 直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．
专题： 空间位置关系与距离．
分析： （Ⅰ）根据DE=，可得D为AB的中点，然后利用线面垂直的判定定理，证明CD⊥AB，即可证明CD⊥平面A1ABB1；
（Ⅱ）根据锥体的条件公式确定三棱锥的底面积和高即可以求出锥体的体积．
解答： 解：（Ⅰ）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，∠ACB=90°，
∴△ACB为等腰直角三角形，∴AB=2，
∵E为BB1的中点，∴BE=1，
又DE=，
∴BD=，即D为AB的中点，
∴CD⊥AB．
又AA1⊥CD，AA1∩AB=A，
∴CD⊥平面A1ABB1．
（Ⅱ）∵CD⊥平面A1ABB1，
∴CD是三棱锥C﹣A1DE的高，且CD=．
，
∴=4=．
又=．
∴三棱锥A1﹣CDE的体积为．
点评： 本题主要考查线面垂直的判断，以及三棱锥的体积的计算，利用等积法将三棱锥转化为规则的三棱锥是解决本题关键．
19．（12分）（2014秋•莆田校级期末）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为a
（1）求直线BC1与AC所成的角；
（2）求直线D1B与平面ABCD所成角的正切值；
（3）求证：平面BDD1⊥平面ACA1．
考点： 平面与平面垂直的判定；异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角．
专题： 空间位置关系与距离；空间角．
分析： （1）连接AD1，D1C，证明∠D1AC为直线BC1与AC所成的角，即可求得结论；
（2）利用DD1⊥平面ABCD，可得∠D1DB为直线D1B与平面ABCD所成的角，利用正切函数可得结论；
（3）利用线面垂直的判定定理证明AC⊥平面BD1D，再利用面面垂直的判定定理证明平面ACA1⊥平面BD1D．
解答： （1）解：连接AD1，D1C，则
∵ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，∴四边形ABC1D1是平行四边形
∴AD1∥BC1，
∴∠D1AC为直线BC1与AC所成的角，
∵△AD1C是等边三角形，
∴直线BC1与AC所成的角为60°；
（2）解：∵DD1⊥平面ABCD，∴∠D1DB为直线D1B与平面ABCD所成的角，
在Rt△D1DB中，tan∠D1DB==
∴直线D1B与平面ABCD所成角的正切值为；
（3）证明：∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD
∴DD1⊥AC
∵BD⊥AC，BD∩DD1=D
∴AC⊥平面BD1D
∵AC⊂平面ACA1，
∴平面ACA1⊥平面BD1D﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）
点评： 本题考查空间角，考查面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是正确作出空间角．
20．（12分）（2014秋•莆田校级期末）已知圆：x2+y2+x﹣6y+c=0，直线l过（1，1）且斜率为．若圆与直线交于P，Q两点，且OP⊥OQ．求
（1）直线l方程；
（2）求c的值．
考点： 直线与圆的位置关系．
专题： 综合题；直线与圆．
分析： （1）利用直线l过（1，1）且斜率为，可得直线的方程；
（20先将直线与圆的方程联立，得到5y2﹣20y+12+m=0，再由韦达定理分别求得y1•y2=．因为OP⊥OQ，转化为x1•x2+y1•y2=0求解．
解答： 解：（1）∵直线l过（1，1）且斜率为，
所以直线的方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即x+2y﹣3=0；
（2）设P、Q的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），
由OP⊥OQ可得：•=0，
所以x1•x2+y1•y2=0．
由x+2y﹣3=0得x=3﹣2y代入x2+y2+x﹣6y+c=0
化简得：5y2﹣20y+12+c=0，
所以y1+y2=4，y1•y2=．
所以x1•x2+y1•y2=（3﹣2y1）•（3﹣2y2）+y1•y2=9﹣6（y1+y2）+5y1•y2
=9﹣6×4+5×=c﹣3=0
解得：c=3．
点评： 本题主要考查直线与圆的位置关系其其方程的应用，应用了韦达定理，体现了数形结合的思想，是常考题型，属中档题．
21．（12分）（2014秋•莆田校级期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点．
（1）求证：平面PAB∥平面EFG；
（2）在线段PB上确定一点Q，使PC⊥平面ADQ，并给出证明；
（3）证明平面EFG⊥平面PAD，并求点D到平面EFG的距离．
考点： 直线与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算．
专题： 空间位置关系与距离．
分析： （1）由已知可得EG∥PB，从而可证EG∥平面PAB，则只要再证明EF∥平面PAB，即证EF∥AB，结合已知容易证，根据平面与平面平行的判定定理可得．
（2）若使得PC⊥平面ADQ，即证明PC⊥平面ADE，当Q为PB的中点时，PC⊥AE，AD⊥PC即可．
（3）欲证平面EFG⊥平面PAD，根据面面垂直的判定定理可知在平面EFG内一直线与平面PAD垂直，CD⊥AD，CD⊥PD，AD∩PD=D，满足线面垂直的判定定理，则CD⊥平面PAD，再根据EF∥CD，则EF⊥平面PAD，满足定理条件，取AD中点H，连接FH，GH，在平面PAD内，作DO⊥FH，垂足为O，则DO⊥平面EFGH，DO即为D到平面EFG的距离，在三角形PAD中，求出DO即可．
解答： 解：（1）证明：E，G分别是PC，BC的中点得EG∥PB，
∵EG⊄平面PAB，PB∥平面PAB
∴EG∥平面PAB
又E，F分别是PC，PD的中点，
∴EF∥CD，又AB∥CD
∴EF∥AB
∵EF⊈平面PAB，AB⊆平面PAB
∴EF∥平面PAB，
又∵EG，EF⊂平面EFG，EG∩EF=E，
∴平面PAB∥平面EFG．
（2）Q为PB的中点，连QE，DE，又E是PC的中点，
∴QE∥BC，又BC∥AD，∴QE∥AD
∴平面ADQ，即平面ADEQ，
∵PD⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD
∴PD⊥DC，又PD=AB=2，ABCD是正方形，
∴等腰直角三角形PDC
由E为PC的中点知DE⊥PC．
∵PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD
∴PD⊥AD，
又AD⊥DC，PD∩CD=D，
∴AD⊥面PDC．
∵PC⊂面PDC
∴AD⊥PC，且AD∩DE=D．
∴PC⊥平面ADEQ，
即PC⊥平面ADQ
由于EQ∥BC∥AD，
∴ADEQ为平面四边形，
由PD⊥平面ABCD，得AD⊥PD，
又AD⊥CD，PD∩CD=D，
∴AD⊥平面PDC，
∵PC⊂平面PDC，
∴AD⊥PC，
又三角形PDC为等腰直角三角形，E为斜边中点，
∴DE⊥PC，AD∩DE=D，
∴PC⊥平面ADQ．
（2）∵CD⊥AD，CD⊥PD，AD∩PD=D，
∴CD⊥平面PAD，
又EF∥CD，
∴EF⊥平面PAD，
∵EF⊂平面EFG，
∴平面EFG⊥平面PAD．
取AD中点H，连接FH，GH，
则HG∥CD∥EF，平面EFGH即为平面EFG，
在平面PAD内，作DO⊥FH，垂足为O，
则DO⊥平面EFGH，
DO即为D到平面EFG的距离，
在三角形PAD中，H，F为AD，PD中点，
∴DO=FDsin45°=．
即D到平面EFG的距离为．
点评： 本题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、点到平面的距离等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，属于中档题．
22．（14分）（2015春•中山期末）已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29=0相切．求：
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）设直线ax﹣y+5=0与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
考点： 直线和圆的方程的应用．
专题： 直线与圆．
分析： （Ⅰ）利用点到直线的距离求出半径，从而求圆的方程；
（Ⅱ）利用圆心到直线的距离小于半径可求出实数a的取值范围；
（Ⅲ）假设存在利用直线与圆的位置关系性质解决．
解答： 解：（Ⅰ）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．
由于圆与直线4x+3y﹣29=0相切，且半径为5，所以，，
即|4m﹣29|=25．
因为m为整数，故m=1．
故所求的圆的方程是（x﹣1）2+y2=25．
（Ⅱ）直线ax﹣y+5=0即y=ax+5．代入圆的方程，消去y整理，得
（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1=0．
由于直线ax﹣y+5=0交圆于A，B两点，
故△=4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，
即12a2﹣5a＞0，解得 a＜0，或．
所以实数a的取值范围是．
（Ⅲ）设符合条件的实数a存在，
由（2）得a≠0，则直线l的斜率为，
l的方程为，
即x+ay+2﹣4a=0．
由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上．
所以1+0+2﹣4a=0，解得．
由于，
故存在实数a=，使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB．
点评： 本题主要考查了圆的标准方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系等知识的综合应用，以及存在性问题的解决技巧，属于难题．
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