2015-2016-1学期高三九月月考数学试题
一、选择题：（本大题共有12道小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合,,则( B )
A． B． C． D．
2. 下列函数中既是奇函数，又在上单调递增的是 （ C ）
A． B． C． D．
3. 给出两个命题:命题命题“存在”的否定是“任意”；命题：函数是奇函数. 则下列命题是真命题的是( C )
A. B. C. D.
4.若函数f(x)＝x2－ax－a在区间上的最大值为1，则实数a等于( D )
A．－1 B．1 C．－2 D． 2
5 已知函数是函数的导函数，则的图象大致是( A )
A． B． C． D．
6．已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且的一个充分不必要条件是，则a的取值范围是 ( B )
A．(－∞，1] B．
7．7. 已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是 ( B )
A．(0，2) B．(－∞，1] C．(－∞，1) D．(0，2]
8．若f(x)＝是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为( C )
A．(1，＋∞) B．(4，8) C． B. (0，4] C.
D．
11．(文)已知是奇函数，则（ A ）
A..14 B． 12 C． 10 D．-8
11. (理)若函数的大小关系是 (C )
A． B．
C． D．不确定
12．已知函数y＝f(x)为奇函数，且对定义域内的任意x都有f(1＋x)＝－f(1－x)．当x∈(2，3)时，f(x)＝log2(x－1)．给出以下4个结论：其中所有正确结论的为 （ A ）
①函数y＝f(x)的图象关于点(k，0)(k∈Z)成中心对称；
②函数y＝|f(x)|是以2为周期的周期函数；
③函数y＝f(|x|)在(k，k＋1)(k∈Z)上单调递增；
④当x∈(－1，0)时，f(x)＝－log2(1－x)．
A．①②④ B．②③ C．①④ D．①②③④
二、填空题（本大题共有4道小题，每小题5分,共20分）
13.已知实数满足则的最大值__-4_______
14. 已知，则函数在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 .
15. 若函数()满足且时，,函数,则函数在区间内零点的个数有__12_个.
16. 存在区间（），使得，
则称区间为函数的一个“稳定区间”.给出下列4 个函数：
①；②；③ ； ④
其中存在“稳定区间”的函数有②__③_ .（把所有正确的序号都填上）
三、解答题(本大题共有5道小题，每小题12分,共60分)
17.（本小题满分12分）
设向量，，其中，，函数
的图象在轴右侧的第一个最高点（即函数取得最大值的点）为，在原点右侧与轴的第一个交点为.
（Ⅰ）求函数的表达式；
（Ⅱ）在中，角A，B，C的对边分别是，若，
且，求边长．
解：解：（I）因为， -----------------------------1分
由题意， -----------------------------3分
将点代入，得，
所以，又因为 -------------------5分
即函数的表达式为． ---------------------6分
（II）由，即
又 ------------------------8分
由 ，知，
所以 -----------------10分
由余弦定理知
所以 ----------------------------------------------------12分
18.（文）（本小题满分12分）为了解某市的交通状况，现对其6条道路进行评估，得分分别为：5,6,7,8,9,10.规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如下表：
评估的平均得分
全市的总体交通状况等级
不合格
合格
优秀
（Ⅰ）求本次评估的平均得分，并参照上表估计该市的总体交通状况等级；
（Ⅱ）用简单随机抽样方法从这6条道路中抽取2条，它们的得分组成一个样本，求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.
【解析】：
（Ⅰ）6条道路的平均得分为.-----------------3分
∴该市的总体交通状况等级为合格. -----------------5分
（Ⅱ）设表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过”. -----7分
从条道路中抽取条的得分组成的所有基本事件为：，，，，，，，，，，，，，，，共个基本事件． -----------------9分
事件包括，，，，，，共个基本事件，
∴．
答：该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过的概率为.------12分
18.（理）（本小题满分l 2分）
在2015年全国高校自主招生考试中，某高校设计了一个面试考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立回答全部问题．规定：至少正确回答其中2题的便可通过．已知6道备选题中考生甲有4题能正确回答，2题不能回答；考生乙每题正确回答的概率都为，且每题正确回答与否互不影响．
(I)分别写出甲、乙两考生正确回答题数的分布列，并计算其数学期望；
(II)试用统计知识分析比较两考生的通过能力．
解析：(I)设考生甲、乙正确回答的题目个数分别为ξ、η，则ξ的可能取值为1，2，3，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，
∴考生甲正确完成题数的分布列为
ξ
1
2
3
P
Eξ＝1×＋2×＋3×＝2. ………………………………………..4分
又η～B(3，)，其分布列为P(η＝k)＝C·()k·()3－k，k＝0，1，2，3；
∴Eη＝np＝3×＝2. ………………………………………6分
(II)∵Dξ＝(2－1)2×＋(2－2)2×＋(2－3)2×＝，
Dη＝npq＝3××＝， ∴DξP(η≥2)． ………………10分
从回答对题数的数学期望考查，两人水平相当；从回答对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成2题的概率考查，甲获得通过的可能性大．因此可以判断甲的实验通过能力较强．………………12分
19（理）在四棱锥中，平面，是的中点，
,, .
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
A
B
C
D
P
E
解：（Ⅰ）取的中点,连接,,
则∥.
因为
所以.………………………………1分
因为 平面，平面
所以
又
所以 ⊥平面 ……………………………………………………………3分
因为平面,所以 ⊥；
又 ∥，所以 ；
又因为 , ；
所以 ⊥平面 ……………………………………………………………5分
因为平面，所以 …………………………6分
（注：也可建系用向量证明）
A
B
C
D
P
E
F
y
z
x
（Ⅱ）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
则,,，,,
，.
………………………………………………8分
设平面的法向量为，则 所以
令.所以. ……………………9分
由（Ⅰ）知⊥平面,平面,所以⊥.
同理⊥.所以平面
所以平面的一个法向量 . …………………10分
所以， ……………………11分
由图可知，二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为． ……………………12分
A
B
C
D
P
E
19.(文)在四棱锥中，平面，
是的中点， ,
，.
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求证：．
证明：（Ⅰ）取的中点,连接,.
则有 ∥.
A
B
C
D
P
E
F
M
因为 平面，平面
所以∥平面．……………………2分
由题意知,
所以 ∥.
同理 ∥平面．…………………4分
又因为 平面,平面,
所以 平面∥平面．
因为 平面
所以 ∥平面． ……………………………………………………………6分
（Ⅱ）取的中点,连接,,则∥.
因为,所以 .………………………………………7分
因为 平面，平面，所以
又
所以 ⊥平面 ……………………………………………………………9分
因为平面所以 ⊥
又 ∥，所以
又因为,
所以 ⊥平面 ……………………………………………………………11分
因为平面
所以 ………………………………………………………………12分
20. (本小题满分12分) 已知椭圆的离心率为，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．.
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆C相交于A、B两点，且，判断△AOB的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．
【解析】：
(1)由题意知，∴，即，
又，∴，
故椭圆的方程为 4分
(II)设，由得
，
，.
7分
8分
, , ,
,
12分
21．（文）已知函数，其中a∈R.
(1)当时，求曲线在点处的切线的斜率；
(2)当时，求函数的单调区间与极值．
解：(1)当a＝0时，f(x)＝x2ex，f′(x)＝(x2＋2x)ex，故f′(1)＝3e.
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为3e. …4分
(2)f′(x)＝ ex
令f′(x)＝0，解得x＝－2a，或x＝a－2， …6分
由a≠知，－2a≠a－2.
以下分两种情况讨论：
①若a>，则－2a0)，
当a>0时，f(x)的单调递增区间为(0,1]，单调递减区间为(1，＋∞)；
当af(1)，
即f(x)>－2，所以f(x)＋2>0. …………6分
(2) 由(1)得－ln x＋x－3＋2>0，即－ln x＋x－1>0，
所以ln x
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