2014-2015学年甘肃省张掖市民乐一中高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）
1．有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体可能是一个（ ）
A． 棱台 B． 棱锥 C． 棱柱 D． 正八面体
2．如果U={1，2，3，4，5}，M={1，2，3}，N={2，3，5}，那么（CUM）∩N等于（ ）
A． φ B． {1，3} C． {4} D． {5}
3．下列四个图形中，不是以x为自变量的函数的图象是（ ）
A． B． C． D．
4．过点（1，2），且倾斜角为30°的直线方程是（ ）
A． y+2=（x+1） B． y﹣2=（x﹣1） C． x﹣3y+6﹣=0 D． x﹣y+2﹣=0
5．设a=90.8，b=270.45，c=（）﹣1.5，则a，b，c大小关系为（ ）
A． a＞b＞c B． a＜b＜c C． a＞c＞b D． b＞c＞a
6．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）
A． 25π B． 50π C． 125π D． 都不对
7．已知两条直线l1：x+2ay﹣1=0，l2：x﹣4y=0，且l1∥l2，则满足条件a的值为（ ）
A． B． C． ﹣2 D． 2
8．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）
A． 若m∥α，n∥α，则m∥n B． 若m⊥α，n⊂α，则m⊥n
C． 若m⊥α，m⊥n，则n∥α D． 若m∥α，m⊥n，则n⊥α
9．直线3x+4y+2=0与圆x2+y2﹣2x=0的位置关系是（ ）
A． 相离 B． 相切 C． 相交 D． 无法判断
10．如图正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，二面角D′﹣AB﹣D的大小是（ ）
A． 30° B． 45° C． 60° D． 90°
11．给出下列命题
①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直
②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行
③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直
④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直
其中正确命题的个数为（ ）
A． 0个 B． 1个 C． 2个 D． 3个
12．已知x0是函数f（x）=2x+的一个零点．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），则（ ）
A． f（x1）＜0，f（x2）＜0 B． f（x1）＜0，f（x2）＞0 C． f（x1）＞0，f（x2）＜0 D． f（x1）＞0，f（x2）＞0
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．两平行直线x+3y﹣4=0与2x+6y﹣9=0的距离是 ．
14．函数y=的定义域为 ．
15．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与A1B1所成角的余弦值为 ．
16．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B与平面BB1D1D所成的角为 ．
三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）（2014秋•张掖校级期末）求经过点A（2，﹣1），B（5，1）的直线的两点式方程，并把它化成点斜式，斜截式和截距式．
18．（10分）（2014秋•张掖校级期末）已知集合A={x|﹣2≤x≤7}，B={x|m+1＜x＜2m﹣1}且B≠∅，若A∪B=A，求m的取值范围．
19．（12分）（2014秋•张掖校级期末）已知圆心为C的圆经过点 A（1，1）和B（2，﹣2），且圆心C在 直线L：x﹣y+1=0上，求圆C的标准方程．
20．（12分）（2015春•海南期末）已知关于x，y的方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．
（1）当m为何值时，方程C表示圆．
（2）若圆C与直线l：x+2y﹣4=0相交于M，N两点，且MN=，求m的值．
21．（12分）（2014秋•张掖校级期末）已知函数f（x）=x+，且f（1）=2．
（1）求m；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）函数f（x）在（1，+∞）上是增函数还是减函数？并证明．
22．（14分）（2014•江西）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD．
（1）求证：AB⊥PD；
（2）若∠BPC=90°，PB=，PC=2，问AB为何值时，四棱锥P﹣ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值．
2014-2015学年甘肃省张掖市民乐一中高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）
1．有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体可能是一个（ ）
A． 棱台 B． 棱锥 C． 棱柱 D． 正八面体
考点： 简单空间图形的三视图．
专题： 空间位置关系与距离．
分析： 根据主视图、左视图、俯视图的形状，将它们相交得到几何体的形状．
解答： 解：由三视图知，从正面和侧面看都是梯形，
从上面看为正方形，下面看是正方形，
并且可以想象到连接相应顶点的四条线段就是几何体的四条侧棱，
故这个三视图是四棱台．
故选A．
点评： 本题考查几何体的三视图与直观图之间的相互转化．
2．如果U={1，2，3，4，5}，M={1，2，3}，N={2，3，5}，那么（CUM）∩N等于（ ）
A． φ B． {1，3} C． {4} D． {5}
考点： 交、并、补集的混合运算．
专题： 计算题．
分析： 根据补集的定义求出 CUM，再利用两个集合的交集的定义，求得（CUM）∩N．
解答： 解：∵U={1，2，3，4，5}，M={1，2，3}，
∴CUM={4，5}，
∵N={2，3，5}，
（CUM）∩N={4，5}∩{2，3，5}={5}，
故选D．
点评： 本题考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，求出 CUM 是解题的关键．
3．下列四个图形中，不是以x为自变量的函数的图象是（ ）
A． B． C． D．
考点： 函数的概念及其构成要素．
专题： 图表型．
分析： 根据函数的定义中“定义域内的每一个x都有唯一函数值与之对应”判断．
解答： 解：由函数定义知，定义域内的每一个x都有唯一函数值与之对应，
A、B、D选项中的图象都符合；C项中对于大于零的x而言，有两个不同的值与之对应，不符合函数定义．
故选C．
点评： 本题的考点是函数的定义，考查了对函数定义的理解以及读图能力．
4．过点（1，2），且倾斜角为30°的直线方程是（ ）
A． y+2=（x+1） B． y﹣2=（x﹣1） C． x﹣3y+6﹣=0 D． x﹣y+2﹣=0
考点： 直线的点斜式方程．
专题： 直线与圆．
分析： 根据已知选择点斜式方程来求解．
解答： 解：由直线方程的点斜式得y﹣2=tan30°（x﹣1）=，
整理得x﹣3y+6﹣=0．
故选C．
点评： 本题考察直线的点斜式方程，需要记住特殊角的正切值，以及点斜式方程的结构．
5．设a=90.8，b=270.45，c=（）﹣1.5，则a，b，c大小关系为（ ）
A． a＞b＞c B． a＜b＜c C． a＞c＞b D． b＞c＞a
考点： 对数值大小的比较．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 考察指数函数y=3x在R上的单调性即可得出．
解答： 解：∵指数函数y=3x在R上的单调递增，
a=90.8=31.6，b=270.45=31.35，c=（）﹣1.5=31.5，
∴a＞c＞b．
故选：C．
点评： 本题考查了指数函数的单调性，属于基础题．
6．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）
A． 25π B． 50π C． 125π D． 都不对
考点： 球的体积和表面积；球内接多面体．
专题： 计算题．
分析： 由题意长方体的外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，就是求出球的直径，然后求出球的表面积．
解答： 解：因为长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，
所以长方体的对角线就是确定直径，长方体的对角线为：，
所以球的半径为：，
所以这个球的表面积是：=50π．
故选B．
点评： 本题是基础题，考查球的内接多面体的有关知识，球的表面积的求法，注意球的直径与长方体的对角线的转化是本题的解答的关键，考查计算能力，空间想象能力．
7．已知两条直线l1：x+2ay﹣1=0，l2：x﹣4y=0，且l1∥l2，则满足条件a的值为（ ）
A． B． C． ﹣2 D． 2
考点： 直线的一般式方程与直线的平行关系．
专题： 直线与圆．
分析： 根据两直线平行，直线方程中一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求得a的值．
解答： 解：根据两条直线l1：x+2ay﹣1=0，l2：x﹣4y=0，且l1∥l2，可得，求得 a=﹣2，
故选C．
点评： 本题主要考查两直线平行的性质，两直线平行，直线方程中一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，属于基础题．
8．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）
A． 若m∥α，n∥α，则m∥n B． 若m⊥α，n⊂α，则m⊥n
C． 若m⊥α，m⊥n，则n∥α D． 若m∥α，m⊥n，则n⊥α
考点： 空间中直线与直线之间的位置关系．
专题： 空间位置关系与距离．
分析： A．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；
B．运用线面垂直的性质，即可判断；
C．运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；
D．运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断．
解答： 解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；
B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；
D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．
故选B．
点评： 本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型．
9．直线3x+4y+2=0与圆x2+y2﹣2x=0的位置关系是（ ）
A． 相离 B． 相切 C． 相交 D． 无法判断
考点： 直线与圆的位置关系．
专题： 计算题；直线与圆．
分析： 求出圆心到直线的距离d，与圆的半径r比较大小即可判断出直线与圆的位置关系，即可得到正确答案．
解答： 解：由圆的方程x2+y2﹣2x=0得到圆心坐标（1，0），半径r=1
则圆心（1，0）到直线3x+4y+2=0的距离d==1=r，
所以直线与圆的位置关系是相切．
故选B．
点评： 此题考查学生掌握判断直线与圆位置关系的方法是比较圆心到直线的距离d与半径r的大小，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题．
10．如图正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，二面角D′﹣AB﹣D的大小是（ ）
A． 30° B． 45° C． 60° D． 90°
考点： 与二面角有关的立体几何综合题．
专题： 计算题．
分析： 因为D′D⊥底面ABCD，故可由三垂线定理法作出二面角的平面角，即∠D′AD，直接求解即可．
解答： 解：因为D′D⊥底面ABCD，D′A⊥AB，所以∠D′AD即为二面角D′﹣AB﹣D的平面角，因为∠D′AD=45°，所以二面角D′﹣AB﹣D的大小是45°．
故选B
点评： 本题考查二面角的做法和求解，考查空间想象能力和运算能力．
11．给出下列命题
①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直
②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行
③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直
④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直
其中正确命题的个数为（ ）
A． 0个 B． 1个 C． 2个 D． 3个
考点： 平面的基本性质及推论．
专题： 计算题．
分析： 过平面外一点有无数个平面与已知平面垂直；过直线外一点有无数个平面与已知直线平行；过直线外一点有无数条直线与已知直线垂直；过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直．
解答： 解：过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直，
过这条直线的平面都和已知平面垂直，
因为过这条直线能作出无数个平面，
所以过平面外一点无数个平面与已知平面垂直．故①不正确；
过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，
过这条直线的平面都和已知直线平行，
因为过这条直线能作出无数个平面，
所以过直线外一点无数个平面与已知直线平行．故②不正确；
过直线外一点无数条直线与已知直线垂直，故③不正确；
过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直，故④正确．
故选B．
点评： 本题考查平面的基本性质和推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意空间想象力的培养．
12．已知x0是函数f（x）=2x+的一个零点．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），则（ ）
A． f（x1）＜0，f（x2）＜0 B． f（x1）＜0，f（x2）＞0 C． f（x1）＞0，f（x2）＜0 D． f（x1）＞0，f（x2）＞0
考点： 函数零点的判定定理．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 因为x0是函数f（x）=2x+的一个零点 可得到f（x0）=0，再由函数f（x）的单调性可得到答案．
解答： 解：∵x0是函数f（x）=2x+的一个零点∴f（x0）=0
∵f（x）=2x+是单调递增函数，且x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），
∴f（x1）＜f（x0）=0＜f（x2）
故选B．
点评： 本题考查了函数零点的概念和函数单调性的问题，属中档题．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．两平行直线x+3y﹣4=0与2x+6y﹣9=0的距离是 ．
考点： 两条平行直线间的距离．
专题： 计算题．
分析： 在一条直线上任取一点，求出这点到另一条直线的距离即为两平行线的距离．
解答： 解：由直线x+3y﹣4=0取一点A，令y=0得到x=4，即A（4，0），
则两平行直线的距离等于A到直线2x+6y﹣9=0的距离d===．
故答案为：
点评： 此题是一道基础题，要求学生理解两条平行线的距离的定义．会灵活运用点到直线的距离公式化简求值．
14．函数y=的定义域为 ．
考点： 函数的定义域及其求法．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 令y=，u=log0.5（4x﹣3），必须满足，解之即可．
解答： 解：∵log0.5（4x﹣3）≥0，∴0＜4x﹣3≤1，解之得．
∴函数y=的定义域为．
故答案为．
点评： 本题考查了复合函数的定义域，掌握函数y=和y=logax的定义域是解决问题的关键．
15．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与A1B1所成角的余弦值为 ．
考点： 异面直线及其所成的角．
专题： 空间角．
分析： 由A1B1∥AB，得∠BAE是异面直线AE与A1B1所成角，由此利用余弦定理能求出结果．
解答： 解：连结AE、BE、BC1，
∵A1B1∥AB，∴∠BAE是异面直线AE与A1B1所成角，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，
∵E为C1D1的中点，
∴AE=BE===3，AB=2，
∴cos∠BAE===．
故答案为：．
点评： 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．
16．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B与平面BB1D1D所成的角为 30° ．
考点： 直线与平面所成的角．
专题： 综合题；空间角．
分析： 连接A1C1交B1D1于O，连接OB，说明∠ABO为A1B与平面BB1D1D所成的角，然后求解即可．
解答： 解：连接A1C1交B1D1于O，连接OB，
因为B1D1⊥A1C1，A1C1⊥BB1，所以A1C1⊥平面BB1D1D，
所以∠ABO为A1B与平面BB1D1D所成的角，
设正方体棱长为1，所以A1O=，A1B=，
所以sin∠ABO==，
所以∠ABO=30°．
故答案为：30°．
点评： 本题考查直线与平面所成角的求法，找出直线与平面所成角是解题的关键，考查计算能力．
三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）（2014秋•张掖校级期末）求经过点A（2，﹣1），B（5，1）的直线的两点式方程，并把它化成点斜式，斜截式和截距式．
考点： 直线的两点式方程．
专题： 直线与圆．
分析： 由题意易得直线的两点式方程，化为相应的方程形式即可．
解答： 解：过A（2，﹣1），B（5，1）两点的直线方程为=
化为点斜式方程可得：y+1=（x﹣2），
化为斜截式为：y=x﹣
截距式为：+=1
点评： 本题考查直线的方程，涉及方程形式的互化，属基础题．
18．（10分）（2014秋•张掖校级期末）已知集合A={x|﹣2≤x≤7}，B={x|m+1＜x＜2m﹣1}且B≠∅，若A∪B=A，求m的取值范围．
考点： 并集及其运算．
专题： 集合．
分析： 根据B不为空集，以及A与B的并集为A，得到B为A的子集，列出不等式组，求出解集即可得到m的范围．
解答： 解：∵A={x|﹣2≤x≤7}，B={x|m+1＜x＜2m﹣1}且B≠∅，若A∪B=A，
∴﹣2≤m+1＜2m﹣1≤7，转化为不等式组，
解得：2＜m≤4，
则m的取值范围是{m|2＜m≤4}．
点评： 此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．
19．（12分）（2014秋•张掖校级期末）已知圆心为C的圆经过点 A（1，1）和B（2，﹣2），且圆心C在 直线L：x﹣y+1=0上，求圆C的标准方程．
考点： 圆的标准方程．
专题： 计算题；直线与圆．
分析： 设圆心坐标为C（a，a+1），根据A、B两点在圆上利用两点的距离公式建立关于a的方程，解出a值．从而算出圆C的圆心和半径，可得圆C的方程．
解答： 解：∵圆心在直线x﹣y+1=0上，
∴设圆心坐标为C（a，a+1），
根据点A（1，1）和B（2，﹣2）在圆上，可得=，
解之得a=﹣3
∴圆心坐标为C（﹣3，﹣2），半径r=5
因此，此圆的标准方程是（x+3）2+（y+2）2=25．
点评： 本题给出圆C满足的条件，求圆的方程．着重考查了两点间的距离公式和圆的标准方程等知识，属于基础题．
20．（12分）（2015春•海南期末）已知关于x，y的方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．
（1）当m为何值时，方程C表示圆．
（2）若圆C与直线l：x+2y﹣4=0相交于M，N两点，且MN=，求m的值．
考点： 直线与圆相交的性质；二元二次方程表示圆的条件．
专题： 计算题．
分析： （1）方程C可化为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，应有5﹣m＞0．
（2）先求出圆心坐标和半径，圆心到直线的距离，利用弦长公式求出m的值．
解答： 解：（1）方程C可化为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，显然，当5﹣m＞0时，即m＜5时，方程C表示圆．
（2）圆的方程化为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，圆心C（1，2），半径，
则圆心C（1，2）到直线l：x+2y﹣4=0 的距离为 ，
∵，有 ，
∴，解得 m=4．
点评： 本题考查圆的标准方程的特征，点到直线的距离公式、弦长公式的应用．
21．（12分）（2014秋•张掖校级期末）已知函数f（x）=x+，且f（1）=2．
（1）求m；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）函数f（x）在（1，+∞）上是增函数还是减函数？并证明．
考点： 函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．
专题： 证明题；综合法．
分析： （1）函数f（x）=x+，且f（1）=2，由此即可得到参数m的方程，求出参数的值．
（2）由（1）知f（x）=x+，故利用函数的奇偶性定义判断其奇偶性即可．
（3）本题做题格式是先判断出单调性，再进行证明，证明函数的单调性一般用定义法证明或者用导数证明，本题采取用定义法证明其单调性．
解答： 解：（1）∵f（1）=2，∴1+m=2，m=1．
（2）f（x）=x+，f（﹣x）=﹣x﹣=﹣f（x），∴f（x）是奇函数．
（3）函数f（x）=+x在（1，+∞）上为增函数，证明如下
设x1、x2是（1，+∞）上的任意两个实数，且x1＜x2，则
f（x1）﹣f（x2）=x1+﹣（x2+）=x1﹣x2+（﹣）
=x1﹣x2﹣=（x1﹣x2）．
当1＜x1＜x2时，x1x2＞1，x1x2﹣1＞0，从而f（x1）﹣f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2）．
∴函数f（x）=+x在（1，+∞）上为增函数．
点评： 本题考点是函数单调性的判断与证明，主要考查用函数单调性的定义来证明函数单调性的能力，本题中函数解析式是一个分工，在证明时要注意灵活选用方法进行变形，方便判号，定义法证明函数单调性的步骤是：取值、作差变形、定号、判断结论．
22．（14分）（2014•江西）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD．
（1）求证：AB⊥PD；
（2）若∠BPC=90°，PB=，PC=2，问AB为何值时，四棱锥P﹣ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值．
考点： 二面角的平面角及求法．
专题： 空间角；空间向量及应用．
分析： （1）要证AD⊥PD，可以证明AB⊥面PAD，再利用面面垂直以及线面垂直的性质，即可证明AB⊥PD．
（2）过P做PO⊥AD得到PO⊥平面ABCD，作OM⊥BC，连接PM，由边长关系得到BC=，PM=，设AB=x，则VP﹣ABCD=，故当时，VP﹣ABCD取最大值，建立空间直角坐标系O﹣AMP，利用向量方法即可得到夹角的余弦值．
解答： 解：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，∴AB⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴AB⊥面PAD，∴AB⊥PD．
（2）过P做PO⊥AD，∴PO⊥平面ABCD，
作OM⊥BC，连接PM
∴PM⊥BC，
∵∠BPC=90°，PB=，PC=2，
∴BC=，PM==，BM=，
设AB=x，∴OM=x∴PO=，
∴VP﹣ABCD=×x××=
当，即x=，VP﹣ABCD=，
建立空间直角坐标系O﹣AMP，如图所示，
则P（0，0，），D（﹣，0，0），C（﹣，，0），M（0，，0），B（，，0）
面PBC的法向量为=（0，1，1），面DPC的法向量为=（1，0，﹣2）
∴cosθ=||=||=．
点评： 本题考查线面位置关系、线线位置关系、线面角的度量，考查分析解决问题、空间想象、转化、计算的能力与方程思想．
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