2015-2016学年度上学期吉林一中9月数学检测考卷
高一数学测试题
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：
1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2. 请将答案正确填写在答题卡上
分卷I
分卷I 注释
一、 选择题（注释）
1. 设函数 f ( x )＝ x 2 －4 x +3， g ( x )＝3 x －2，集合 M ＝{ x ∈ R | f ( g ( x ))＞0}， N ＝{ x ∈ R | g ( x )＜2}，则 M ∩ N 为…（ ）
A．(1，+∞) B．(0,1) C．(－1,1) D．(－∞，1)
2. 已知函数y=log a (2-ax)在区间［0,1］上是x的减函数,则a的范围是( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2) D.(2,+∞)
3. 已知0＜a＜1， ， ， ，则（ ）
A．x＞y＞z B．z＞y＞x C．y＞x＞z D．z＞x＞y
4. 已知log a (x 1 x 2 …x 2 006 )=4，则log a x 1 2 +log a x 2 2 +…+log a x 2 006 2 的值是（ ）
A.4 B.8 C.2 D.log a 4
5. 已知 是(-∞，+∞)上的增函数，那么a的取值范围是( )
- 10 -
A．(1，+∞) B．(-∞，3) C．［ ，3) D．(1，3)
6. 若a=2 0.5 ，b=log π 3， ，则( )
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
7. 若集合A={y|y=2 x ,x∈R},B={y|y=x 2 ,x∈R},则( )
A.A B B.A B C.A=B D.A∩B=
8. 函数y= 的值域是( )
A.(0,+∞) B.(-∞,0］ C.(0,1］ D.［-1,0)
9. 若函数f(x)=ka x -a -x (a＞0且a≠1)既是奇函数，又是增函数，则g(x)=log a (x+k)的图象是下图中的（ ）
10. 如图给出了一种植物生长时间t（月）与枝数y（枝）之间的散点图．请你根据此判断这种植物生长的时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好？（ ）
A．指数函数：y=2 t
B．对数函数：
- 10 -
C．幂函数：y=t 3
D．二次函数：y=2t 2
11. 今有一组数据,如下表所示:
x
1
2
3
4
5
y
3
5
6.99
9.01
11
下列函数模型中,最接近地表示这组数据满足的规律的一个是
A.指数函数 B.反比例函数 C.一次函数 D.二次函数
12. 方程 a | x | = x 2 (0＜ a ＜1)的解的个数为( )
A.0个 B.1个
C.0个或1个 D. 2个
分卷II
分卷II 注释
二、 注释（填空题）
13. 已知函数 f ( x )=log 3 的值域为［0,1］,则 b 与 c 的和为________.
14.
将 , , 由大到小排列为__________.
15. 不等式 的解集为__________．
16. 方程 =3的解是_____________________.
三、 注释（解答题）
- 10 -
17. 设f(x)=lg ，且当x∈(-∞,1］时f(x)有意义，求实数a的取值范围.
18. 设a是实数， (x∈ R )．
(1)证明不论a为何实数，f(x)均为增函数；
(2)试确定a的值，使f(-x)+f(x)=0成立．
19. 已知lgx+lgy=2lg(x-2y)，求 的值．
20. 解不等式log a (2x-5)＞log a (x-1)．
21. 给出函数 f ( x )=log a ( a ＞0, a ≠1).
(1)求函数的定义域；
(2)判断函数的奇偶性；
(3)求 f -1 ( x )的解析式.
22. 试讨论函数f(x)=log a (a＞0且a≠1)在(1,+∞)上的单调性,并予以证明.
答案解析部分(共有 22 道题的解析及答案)
一、选择题
1、D
函数 f ( x )＝( x －3)( x －1)，令 f ( x )＞0得 x ＞3或 x ＜1，不等式 f ( g ( x ))＞0可化为 g ( x )＞3或 g ( x )＜1，即3 x －2＞3或3 x －2＜1，分别求解得 x ＞log 3 5或 x ＜1，即 M ＝{ x ∈ R | x ＞log 3 5或 x ＜1}， N ＝{ x ∈ R |3 x －2＜2}＝{ x ∈ R | x ＜log 3 4}，所以 M ∩ N ＝{ x ∈ R | x ＜1}，故选D项．
2、解析：y=log a (2-ax)由y=log a u与u=2-ax复合而成，要使在［0.1］上是减函数，则有两种可能y=log a u减且u=2-ax增，或y=log a u增且u=2-ax减，经验证知B正确.
答案：B
- 10 -
3、 高手点睛 将x、y、z化为以a为底的对数，由0＜a＜1时，y=log a x是减函数得大小关系．
思维流程
答案： C
技术感悟 比较对数的大小，常化为同底数的对数，利用对数函数的单调性得解，必要时可借用0，1作为桥梁比较．
4、解析：log a x 1 2 +log a x 2 2 +…+log a x 2006 2 =2log a (x 1 x 2 …x 2 006 )=2×4=8.
答案：B
5、 答案： D 点拨： 依题意，有a＞1，且3-a＞0，解得1＜a＜3．又当x＜1时，(3-a)x-4a＜3-5a；
当x≥1时，log a x≥0，所以3-5a≤0．解得 ，所以1＜a＜3，故选D．
6、 答案： A 点拨： 本题利用指数函数、对数函数的单调性比较三数的大小．
7、解析：因2 x ＞0,而x 2 ≥0,∴B A.
答案：A
8、 解析： 函数的定义域是 R ，设y=3 u ，u=-x 2 ，∵x∈ R ，∴u≤0.∴0＜y≤1.故选C.
答案： C
9、 答案： D 点拨： 由f(x)=ka x -a -x 是奇函数，得ka -x -a x +ka x -a -x =0，即(k-1)(a x +a -x )=0，所以k=1，于是g(x)=log a (x+1)的图象可以由y=log a x左移1个单位得到．
10、
11、 解析: 画出散点图,如图所示.
- 10 -
观察散点图,可见各个点接近于一条直线,所以可用一次函数表示.
答案: C
12、D
二、填空题
13、解析：因为 f ( x )的值域为［0,1］,即
0≤log 3 ≤1,所以
当且仅当 时,0≤log 3 ≤1取等号.
解方程组可得 或
答案：4或0
14、
思路 解析: 本题考查指数函数与幂函数的综合运用.
注意到 ＜0,而 ＞0, ＞0;
又因为 = ,且y= 在［0,+∞）上是增函数,所以 ＜ .
综合得 ＞ ＞ .
- 10 -
答案: ＞ ＞ .
15、 高手点睛 将不等式两边化为同底数，用指数函数单调性计算．
思维流程
答案： ［-3，1］
技术感悟 借助指数函数的单调性解不等式，首先要化为同底数．
16、 解析: 由 =3得33 2 x+23 x -1=0.
∴3 x = 或3 x =-1(舍). ∴x=-1.
答案: -1
三、解答题
17、 解析: 欲使x∈(-∞,1)时，f(x)有意义，需1+2 x +4 x a＞0恒成立，也就是a＞-［( ) x +( ) x ］(x≤1)恒成立.
∵u(x)=-［( ) x +( ) x ］在(-∞,1]上是增函数，
∴当x=1时，［u(x)］ max =- .
于是可知，当a＞- 时，满足题意,即a的取值范围为(- ，+∞).
答案：a的取值范围为(- ，+∞).
18、 答案： (1)证明：设x 1 ，x 2 ∈ R ，且x 1 ＜x 2 ，Δx=x 1 -x 2 ＜0，则
，
- 10 -
∵函数y=2 x 在 R 上是增函数且x 1 ＜x 2 ，∴ ，即 ．
又由2 x ＞0，得 ，∴Δy＜0．
∵此结论与a的取值无关，∴不论a为何实数，f(x)均为增函数．
(2)解：由f(-x)+f(x)=0，得 ，
，得a=1．
点拨： 运用函数单调性定义证明f(x)为增函数，应注意Δy的变形形式，应化成几个因式相乘、除形式便于讨论正负．
19、 错解： ∵lgx+lgy=2lg(x-2y)，∴xy=(x-2y) 2 ，即x 2 -5xy+4y 2 =0，即(x-y)(x-4y)=0．
∴x=y或x=4y，即 或 ．
∴ 或 ．
错解分析： 错误在于遗忘了在解题过程中，“对数的真数必须大于零”这一前提，因而出现了0和4这两个结果，这是在运算过程中忽略了定义域造成的．
正解： 由已知得xy=(x-2y) 2 ，即(x-y)(x-4y)=0，得x=y或x=4y．
∵x＞0，y＞0，x-2y＞0，∴x＞2y＞0．
∴x=y应舍去．∴x=4y，即 ．
∴ ．
20、 错解一： 由2x-5＞x-1，得x＞4，故原不等式的解集为{x|x＞4}．
错解分析： 未考虑对数函数的定义域以及底数a的影响．
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错解二： 由 得x＞4，故原不等式的解集为{x|x＞4}．
错解分析： 未考虑底数a对不等式的影响．
正解： 当a＞1时，原不等式等价于 解得x＞4．
当0＜a＜1时，原不等式等价于 解得 ．
综上，得当a＞1时，原不等式的解集为{x|x＞4}；
当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x| }．
21、解：(1)由题意，得 ＞0.解之,得 x ＜-2或 x ＞2.
所以函数定义域为{ x | x ＜-2或 x ＞2}.
(2)由(1)可知定义域关于原点对称，则
f (- x )=log a =log a =log a
=-log a =- f ( x ).
所以函数 y = f ( x )为奇函数.
(3)设 y =log a ，有 = a y ，解得 x = ，
所以 f -1 ( x )= ， x ∈{ x | x ≠0, x ∈ R }.
22、 解析: 本题考查复合函数单调性的判定方法,判定的法则是同增异减,判定的关键是分清函数的复合过程.
- 10 -
解:设u= ,任取x 2 ＞x 1 ＞1,则
u 2 -u 1 =
∵x 1 ＞1,x 2 ＞1,∴x 1 -1＞0,x 2 -1＞0.
又∵x 1 ＜x 2 ,∴x 1 -x 2 ＜0.
∴ ＜0,即u 2 ＜u 1 .
当a＞1时,y=log a x是增函数,
∴log a u 2 ＜log a u 1 ,即f(x 2 )＜f(x 1 );
当0＜a＜1时,y=log a x是减函数,∴log a u 2 ＞log a u 1 ,即f(x 2 )＞f(x 1 ).
综上可知,当a＞1时,f(x)=log a 在(1,+∞)上为减函数;
当0＜a＜1时,f(x)=log a 在(1,+∞)上为增函数.
答案：当a＞1时,f(x)=log a 在(1,+∞)上为减函数;
当0＜a＜1时,f(x)=log a 在(1,+∞)上为增函数.
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