2014-2015学年山东省青岛市即墨实验高中高二（上）10月月考数学试卷（理科）
一、选择题
1．在△ABC中，若∠A=45°，∠B=60°，BC=3，则AC=（ ）
A． 4 B． 3 C． 2 D．
2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若acosA=bsinB，则，sinAcosA+cos2A=（ ）
A． B． C． ﹣1 D． 1
3．在等差数列{an}中，a1=2，a3+a5=10，则a7=（ ）
A． 5 B． 8 C． 10 D． 14
4．设等比数列{an}的前n项和为Sn．若S2=3，S4=15，则S6=（ ）
A． 31 B． 32 C． 63 D． 64
5．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1=1，公差d=2，Sk+2﹣Sk=24，则k=（ ）
A． 8 B． 7 C． 6 D． 5
6．△ABC中，a，b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a，b、c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b等于（ ）
A． B． C． D．
7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b=5c，C=2B，则cosC=（ ）
A． B． C． D．
8．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B、C的俯角分别为75°、30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（ ）
A． 240（﹣1）m B． 180（﹣1）m C． 120（﹣1）m D． 30（+1）m
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9．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，3b=20acosA，则sinA：sinB：sinC为（ ）
A． 4：3：2 B． 5：6：7 C． 5：4：3 D． 6：5：4
10．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn=2an+1，则Sn=（ ）
A． 2n﹣1 B． C． D．
二、填空题
11．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若=，则= ．
12．设△ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c．若（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，则角C= ．
13．等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5=4，则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5= ．
14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，a=1，b=，则B= ．
15．已知△ABC得三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤）
16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知4sin2+4sinAsinB=2+．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）已知b=4，△ABC的面积为6，求边长c的值．
17．已知{an}是首项为1，公差为2的等差数列，Sn表示{an}的前n项和．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）设{bn}是首项为2的等比数列，公比为q满足q2﹣（a4+1）q+S4=0．求{bn}的通项公式及其前n项和Tn．
18．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知•=2，cosB=，b=3，求：
（Ⅰ）a和c的值；
（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．
15
19．若Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列．
（1）求等比数列S1，S2，S4的公比；
（2）若S2=4，求{an}的通项公式；
（3）设bn=，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn＞对所有n∈N*都成立的最大正整数m．
20．设数列{an}前n项和Sn，且Sn=2an﹣2，令bn=log2an
（Ⅰ）试求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设，求证数列{cn}的前n项和Tn＜2．
21．如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A，B，C．景区管委会又开发了风景优美的景点D．经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向8km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上．已知AB=5km．
（1）景区管委会准备由景点D向景点B修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长．（结果精确到0.1km）
（2）求景点C与景点D之间的距离．（结果精确到0.1km）
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2014-2015学年山东省青岛市即墨实验高中高二（上）10月月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．在△ABC中，若∠A=45°，∠B=60°，BC=3，则AC=（ ）
A． 4 B． 3 C． 2 D．
考点： 正弦定理．
专题： 解三角形．
分析： 由A与B的度数求出C的度数，根据sinB，sinA，以及c的值，利用正弦定理求出b的值即可．
解答： 解：∵在△ABC中，∠A=45°，∠B=60°，BC=10，
由正弦定理=得：AC===3，
故选：B．
点评： 此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若acosA=bsinB，则，sinAcosA+cos2A=（ ）
A． B． C． ﹣1 D． 1
考点： 正弦定理．
专题： 解三角形．
分析： 利用三角形中的正弦定理，将已知等式中的边用三角形的角的正弦表示，代入要求的式子，利用三角函数的平方关系求出值．
解答： 解：△ABC中，∵acosA=bsinB，由正弦定理得sinAcosA=sinBsinB，
∴sinAcosA+cos2B=sin2B+cos2B=1，
故选：D．
点评： 本题考查三角形中的正弦定理、余弦定理、三角函数的平方关系，属于基础题．
3．在等差数列{an}中，a1=2，a3+a5=10，则a7=（ ）
A． 5 B． 8 C． 10 D． 14
考点： 等差数列的通项公式．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： 由题意可得a4=5，进而可得公差d=1，可得a7=a1+6d，代值计算即可．
解答： 解：∵在等差数列{an}中a1=2，a3+a5=10，
∴2a4=a3+a5=10，解得a4=5，
15
∴公差d==1，
∴a7=a1+6d=2+6=8
故选：B
点评： 本题考查等差数列的通项公式，属基础题．
4．设等比数列{an}的前n项和为Sn．若S2=3，S4=15，则S6=（ ）
A． 31 B． 32 C． 63 D． 64
考点： 等比数列的前n项和．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： 由等比数列的性质可得S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，代入数据计算可得．
解答： 解：S2=a1+a2，S4﹣S2=a3+a4=（a1+a2）q2，S6﹣S4=a5+a6=（a1+a2）q4，
所以S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，
即3，12，S6﹣15成等比数列，
可得122=3（S6﹣15），
解得S6=63
故选：C
点评： 本题考查等比数列的性质，得出S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列是解决问题的关键，属基础题．
5．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1=1，公差d=2，Sk+2﹣Sk=24，则k=（ ）
A． 8 B． 7 C． 6 D． 5
考点： 等差数列的前n项和．
专题： 计算题．
分析： 先由等差数列前n项和公式求得Sk+2，Sk，将Sk+2﹣Sk=24转化为关于k的方程求解．
解答： 解：根据题意：
Sk+2=（k+2）2，Sk=k2
∴Sk+2﹣Sk=24转化为：
（k+2）2﹣k2=24
∴k=5
故选D
点评： 本题主要考查等差数列的前n项和公式及其应用，同时还考查了方程思想，属中档题．
6．△ABC中，a，b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a，b、c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b等于（ ）
A． B． C． D．
考点： 解三角形．
15
专题： 计算题；压轴题．
分析：先根据等差中项的性质可求得2b=a+c，两边平方求得a，b和c的关系式，利用三角形面积公式求得ac的值，进而把a，b和c的关系式代入余弦定理求得b的值．
解答： 解：∵a，b、c成等差数列，∴2b=a+c，得a2+c2=4b2﹣2ac，
又∵△ABC的面积为，∠B=30°，
故由，
得ac=6．
∴a2+c2=4b2﹣12．
由余弦定理，得，
解得．
又b为边长，∴．
故选B
点评： 本题主要考查了余弦定理的运用．考查了学生分析问题和基本的运算能力．
7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b=5c，C=2B，则cosC=（ ）
A． B． C． D．
考点： 正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．
专题： 解三角形．
分析： 直接利用正弦定理以及二倍角公式，求出sinB，cosB，然后利用平方关系式求出cosC的值即可．
解答： 解：因为在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b=5c，C=2B，
所以8sinB=5sinC=5sin2B=10sinBcosB，所以cosB=，B为三角形内角，所以B∈（0，）．C．
所以sinB==．
所以sinC=sin2B=2×=，
cosC==．
故选：A．
点评： 本题考查正弦定理的应用，三角函数中的恒等变换应用，考查计算能力，注意角的范围的估计．
8．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B、C的俯角分别为75°、30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（ ）
15
A． 240（﹣1）m B． 180（﹣1）m C． 120（﹣1）m D． 30（+1）m
考点： 解三角形的实际应用；余弦定理的应用．
专题： 解三角形．
分析： 由题意画出图形，由两角差的正切求出15°的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度，作差后可得答案．
解答： 解：如图，
由图可知，∠DAB=15°，
∵tan15°=tan（45°﹣30°）==．
在Rt△ADB中，又AD=60，
∴DB=AD•tan15°=60×（2﹣）=120﹣60．
在Rt△ADC中，∠DAC=60°，AD=60，
∴DC=AD•tan60°=60．
∴BC=DC﹣DB=60﹣（120﹣60）=120（）（m）．
∴河流的宽度BC等于120（）m．
故选：C．
点评： 本题考查了解三角形的实际应用，考查了两角差的正切，训练了直角三角形的解法，是中档题．
9．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，3b=20acosA，则sinA：sinB：sinC为（ ）
A． 4：3：2 B． 5：6：7 C． 5：4：3 D． 6：5：4
考点： 正弦定理的应用．
专题： 解三角形．
分析： 由题意可得三边即 a、a﹣1、a﹣2，由余弦定理可得 cosA=，再由3b=20acosA，可得 cosA=，从而可得 =，由此解得a=6，可得三边长，根据sinA：sinB：sinC=a：b：c，求得结果．
15
解答： 解：由于a，b，c 三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，可设三边长分别为 a、a﹣1、a﹣2．
由余弦定理可得 cosA===，
又3b=20acosA，可得 cosA==．
故有 =，解得a=6，故三边分别为6，5，4．
由正弦定理可得 sinA：sinB：sinC=a：b：c=a：（a﹣1）：（ a﹣2）=6：5：4，
故选D．
点评： 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，求出a=6是解题的关键，属于中档题．
10．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn=2an+1，则Sn=（ ）
A． 2n﹣1 B． C． D．
考点： 数列递推式；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．
专题： 计算题．
分析： 直接利用已知条件求出a2，通过Sn=2an+1，推出数列是等比数列，然后求出Sn．
解答： 解：因为数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn=2an+1，a2=
所以Sn﹣1=2an，n≥2，可得an=2an+1﹣2an，即：，
所以数列{an}从第2项起，是等比数列，所以Sn=1+=，n∈N+．
故选：B．
点评： 本题考查数列的递推关系式的应用，前n项和的求法，考查计算能力．
二、填空题
11．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若=，则= ．
考点： 等差数列的性质．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： 可得S3，S6﹣S3，S9﹣S6，S12﹣S9成等差数列，由此可得S6=3S3，S9=6S3，S12=10S3，代入化简可得．
解答： 解：由等差数列的性质可得S3，S6﹣S3，S9﹣S6，S12﹣S9成等差数列，
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由=可得S6=3S3，故S6﹣S3=2S3，
故S9﹣S6=3S3，S12﹣S9=4S3，
解之可得S9=6S3，S12=10S3，
故==
故答案为：
点评： 本题考查等差数列的性质，用S3表示其余的项是解决问题的关键，属中档题．
12．设△ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c．若（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，则角C= ．
考点： 余弦定理．
专题： 计算题；压轴题．
分析： 利用已知条件（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，以及余弦定理，可联立解得cosB的值，进一步求得角B．
解答： 解：由已知条件（a+b﹣c）（a+b+c）=ab可得a2+b2﹣c2+2ab=ab
即a2+b2﹣c2=﹣ab
由余弦定理得：cosC==
又因为0＜B＜π，所以C=．
故答案为：
点评： 本题考查了解三角形的知识，对余弦定理及其变式进行重点考查，属于基础题目．
13．等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5=4，则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5= 5 ．
考点： 等比数列的性质；对数的运算性质；等比数列的前n项和．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： 可先由等比数列的性质求出a3=2，再根据性质化简log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=5log2a3，代入即可求出答案．
解答： 解：log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2a1a2a3a4a5=log2a35=5log2a3．
又等比数列{an}中，a1a5=4，即a3=2．
故5log2a3=5log22=5．
故选为：5．
点评： 本题考查等比数列的性质，灵活运用性质变形求值是关键，本题是数列的基本题，较易．
15
14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，a=1，b=，则B= 或 ．
考点： 余弦定理．
专题： 三角函数的求值．
分析： 利用正弦定理列出关系式，将a，sinA，b的值代入求出sinB的值，即可确定出B的度数．
解答： 解：∵在△ABC中，A=，a=1，b=，
∴由正弦定理=得：sinB===，
∵a＜b，∴A＜B，
∴B=或．
故答案为：或．
点评： 此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
15．已知△ABC得三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为 ．
考点： 余弦定理；等比数列的性质．
专题： 计算题．
分析： 根据三角形三边长成公比为的等比数列，根据等比数列的性质设出三角形的三边为a，a，2a，根据2a为最大边，利用大边对大角可得出2a所对的角最大，设为θ，利用余弦定理表示出cosθ，将设出的三边长代入，即可求出cosθ的值．
解答： 解：根据题意设三角形的三边长分别为a，a，2a，
∵2a＞a＞a，∴2a所对的角为最大角，设为θ，
则根据余弦定理得：cosθ==﹣．
故答案为：﹣
点评： 此题考查了余弦定理，等比数列的性质，以及三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤）
16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a， b，c，已知4sin2+4sinAsinB=2+．
15
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）已知b=4，△ABC的面积为6，求边长c的值．
考点： 二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；余弦定理．
专题： 解三角形．
分析： （Ⅰ）△ABC中由条件利用二倍角的余弦公式、两角和的余弦公式求得cos（A+B）=﹣，从而得到cosC=，由此可得C的值．
（Ⅱ）根据△ABC的面积为6=ab•sinC求得a的值，再利用余弦定理求得c= 的值．
解答： 解：（Ⅰ）△ABC中，∵4sin2+4sinAsinB=2+，∴4×+4sinAsinB=2+，
∴﹣2cosAcosB+2sinAsinB=，即 cos（A+B）=﹣，
∴cosC=，∴C=．
（Ⅱ）已知b=4，△ABC的面积为6=ab•sinC=a×4×，∴a=3，
∴c===．
点评： 本题主要考查二倍角的余弦公式、两角和差的三角公式、余弦定理的应用，属于中档题．
17．已知{an}是首项为1，公差为2的等差数列，Sn表示{an}的前n项和．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）设{bn}是首项为2的等比数列，公比为q满足q2﹣（a4+1）q+S4=0．求{bn}的通项公式及其前n项和Tn．
考点： 数列的求和；等差数列的性质．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： （Ⅰ）直接由等差数列的通项公式及前n项和公式得答案；
（Ⅱ）求出a4和S4，代入q2﹣（a4+1）q+S4=0求出等比数列的公比，然后直接由等比数列的通项公式及前n项和公式得答案．
解答： 解：（Ⅰ）∵{an}是首项为1，公差为2的等差数列，
∴an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，a4=7，S4=16．
∵q2﹣（a4+1）q+S4=0，即q2﹣8q+16=0，
∴（q﹣4）2=0，即q=4．
又∵{bn}是首项为2的等比数列，
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∴．
．
点评： 本题考查等差数列的性质，考查了等差数列和等比数列的通项公式、前n项和公式的求法，是基础题．
18．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知•=2，cosB=，b=3，求：
（Ⅰ）a和c的值；
（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．
考点： 余弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的余弦函数．
专题： 三角函数的求值．
分析： （Ⅰ）利用平面向量的数量积运算法则化简•=2，将cosB的值代入求出ac=6，再利用余弦定理列出关系式，将b，cosB以及ac的值代入得到a2+c2=13，联立即可求出ac的值；
（Ⅱ）由cosB的值，利用同角三角函数间基本关系求出sinB的值，由c，b，sinB，利用正弦定理求出sinC的值，进而求出cosC的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．
解答： 解：（Ⅰ）∵•=2，cosB=，
∴c•acosB=2，即ac=6①，
∵b=3，
∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即9=a2+c2﹣4，
∴a2+c2=13②，
联立①②得：a=3，c=2；
（Ⅱ）在△ABC中，sinB===，
由正弦定理=得：sinC=sinB=×=，
∵a=b＞c，∴C为锐角，
∴cosC===，
则cos（B﹣C）=cosBcosC+sinBsinC=×+×=．
点评： 此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．
19．若Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列．
15
（1）求等比数列S1，S2，S4的公比；
（2）若S2=4，求{an}的通项公式；
（3）设bn=，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn＞对所有n∈N*都成立的最大正整数m．
考点： 数列的应用；等差数列的通项公式；数列的求和；数列递推式．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： （1）利用S1，S2，S4成等比数列，建立等式，从而d=2a1，即可求等比数列S1，S2，S4的公比；
（2）利用S2=4，确定首项与公差，即可求{an}的通项公式；
（3）利用裂项法求和，求出Tn的最小值，从而使得Tn＞对所有n∈N*都成立，等价于1＞，即可求得最大正整数m．
解答： 解：（1）∵数列{an}为等差数列，∴S1=a1，S2=2a1+d，S4=4a1+6d，
∵S1，S2，S4成等比数列，∴
∴，∴
∵公差为d不等于0，∴d=2a1，
∴q=，
（2）∵S2=4，∴2a1+d=4，
∵d=2a1，∴a1=1，d=2，
∴an=2n﹣1
（3）∵
∴+…+=
∴（Tn）min=1
使得Tn＞对所有n∈N*都成立，等价于1＞，∴m＜20
∴m的最大值为19．
点评： 本题考查等差数列与等比数列的综合，考查数列的通项与求和，考查数列与不等式的联系，属于中档题．
20．设数列{an}前n项和Sn，且Sn=2an﹣2，令bn=log2an
（Ⅰ）试求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设，求证数列{cn}的前n项和Tn＜2．
15
考点： 数列与不等式的综合．
专题： 综合题；等差数列与等比数列．
分析： （Ⅰ）由已知条件推导出{an}是首项为2，公比为2的等比数列，从而可求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）利用错位相减法，可求数列{cn}的前n项和Tn，即可证明结论．
解答： （Ⅰ）解：当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（2an﹣2）﹣（2an﹣1﹣2）=2an﹣2an﹣1，
所以，an=2an﹣1，即，…（3分）
当n=1时，S1=2a1﹣2，a1=2，…（4分）
由等比数列的定义知，数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，数列{an}的通项公式为．…（6分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，…（8分）
所以，①
以上等式两边同乘以，得，②
①﹣②，得=，
所以．
所以Tn＜2．…（12分）
点评： 本题考查等比数列的通项，考查数列的求和，考查错位相减法的运用，属于中档题．
21．如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A，B，C．景区管委会又开发了风景优美的景点D．经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向8km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上．已知AB=5km．
（1）景区管委会准备由景点D向景点B修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长．（结果精确到0.1km）
（2）求景点C与景点D之间的距离．（结果精确到0.1km）
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考点： 解三角形的实际应用．
专题： 应用题．
分析： （1）过点D作DE⊥AC于点E，过点A作AF⊥DB，交DB的延长线于点F，求DE的问题就可以转化为求∠DBE的度数或三角函数值的问题．
（2）Rt△DCE中根据三角函数就可以求出CD的长．
解答： 解：（1）如图，过点D作DE⊥AC于点E，过点A作AF⊥DB，交DB的延长线于点F
在Rt△DAF中，∠ADF=30°，∴AF=AD=×8=4，∴DF=；
在Rt△ABF中，BF==3，∴BD=DF﹣BF=4﹣3
sin∠ABF=，在Rt△DBE中，sin∠DBE=，
∵∠ABF=∠DBE，∴sin∠DBE=，∴DE=BD•sin∠DBE=×（4﹣3）=≈3.1（km）
∴景点D向公路a修建的这条公路的长约是3.1km；
（2）由题意可知∠CDB=75°，由（1）可知sin∠DBE==0.8，所以∠DBE=53°，∴∠DCB=180°﹣75°﹣53°=52°
在Rt△DCE中，sin∠DCE=，∴DC=≈4（km）
∴景点C与景点D之间的距离约为4km．
点评： 本题主要考查解直角三角形的条件，已知直角三角形的一个锐角和一边长，或已知两边长就可以求出另外的边和角．
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