2014-2015学年山东省青岛市城阳一中高三（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的．）
1．已知集合M={x|}，集合N={x|﹣2≤x＜3}，则M∩N为（ ）
A． （﹣2，3） B． （﹣3，﹣2] C． [﹣2，2） D． （﹣3，3]
2．已知复数z的实部为1，且|z|=2，则复数z的虚部是（ ）
A． B． C． D．
3．已知sin（α﹣2π）=2sin（+α），且α≠kπ+（k∈Z），则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1=﹣11，a5+a6=﹣4，Sn取得最小值时n的值为（ ）
A． 6 B． 7 C． 8 D． 9
5．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（ ）
A． 向左平移个单位长度 B． 向右平移个单位长度
C． 向左平移个单位长度 D． 向右平移个单位长度
6．给定命题p：函数y=ln[（1﹣x）（1+x）]为偶函数；命题q：函数y=为偶函数，下列说法正确的是（ ）
A． p∨q是假命题 B． （￢p）∧q是假命题 C． p∧q是真命题 D． （￢p）∨q是真命题
17
7．方程的根所在区间为（ ）
A． B． C． （3，4） D． （4，5）
8．函数y=sin2x的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，得到的图象恰好关于x=对称，则φ的最小值为（ ）
A． B． C． D． 以上都不对
9．平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，=（2，4），=（1，3），则•等于（ ）
A． 6 B． 8 C． ﹣8 D． ﹣6
10．已知函数f（x）=lnx，x1，x2∈（0，），且x1＜x2，则下列结论中正确的是（ ）
A． （x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0 B． f（）＜f（）
C． x1f（x2）＞x2f（x1） D． x2f（x2）＞x1f（x1）
二、填空题：（本大题共5小题，每题5分，共25分，把答案写在答题纸上．）
11．已知函数，则= ．
12．若等比数列{an}的各项均为正数，且a4a9+a5a8+a6a7=300，则lga1+lga2+…+lga12= ．
13．在△ABC中，a2﹣c2+b2=ab，则∠C= ．
14．已知||=1，||=2，＜，＞=60°，则|2﹣|= ．
15．给出下列四个命题：
①△ABC中，A＞B是f（a）=g（b）成立的充要条件；
②x=1是x2﹣3x+2=0的充分不必要条件；
③已知是等差数列{an}的前n项和，若S7＞S5，则S9＞S3；
17
④若函数为R上的奇函数，则函数y=f（x）的图象一定关于点成中心对称．
其中所有正确命题的序号为 ．
三、解答题：（本题共6个小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，将解答过程写在答题纸相应位置上.）
16．已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若在处取得最大值，求φ的值；
（Ⅲ）求y=g（x）的单调递增区间．
17．已知{an}为等差数列，且a3=5，a7=2a4﹣1．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn；
（Ⅱ）若数列{bn}满足求数列{bn}的通项公式．
18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知角A=，sinB=3sinC．
（1）求tanC的值；
（2）若a=，求△ABC的面积．
19．已知数列{an}中，a1=1，前n项和Sn=an．
（Ⅰ）求a2，a3以及{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．
20．已知函数f（x）=﹣2a2lnx++ax（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．
21．已知函数f（x）=lnx+mx，其中m为常数．
（Ⅰ）当m=﹣1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）在区间（0，e]上的最大值为﹣3，求m的值；
（Ⅲ）令g（x）=﹣f′（x），若x≥1时，有不等式g（x）≥恒成立，求实数k的取值范围．
17
2014-2015学年山东省青岛市城阳一中高三（上）期中数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的．）
1．已知集合M={x|}，集合N={x|﹣2≤x＜3}，则M∩N为（ ）
A． （﹣2，3） B． （﹣3，﹣2] C． [﹣2，2） D． （﹣3，3]
考点： 交集及其运算．
专题： 集合．
分析： 求出M中不等式的解集确定出M，求出M与N的交集即可．
解答： 解：由集合M中的不等式变形得：（x﹣2）（x+3）＜0，
解得：﹣3＜x＜2，即M=（﹣3，2），
∵N=[﹣2，3），
∴M∩N=[﹣2，2）．
故选C
点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．已知复数z的实部为1，且|z|=2，则复数z的虚部是（ ）
A． B． C． D．
考点： 复数求模．
专题： 计算题．
分析： 设复数z的虚部是为b，根据已知复数z的实部为1，且|z|=2，可得1+b2=4，由此解得 b的值，即为所求．
解答： 解：设复数z的虚部是为b，∵已知复数z的实部为1，且|z|=2，
故有 1+b2=4，解得 b=±，
故选D．
点评： 本题主要考查复数的基本概念，求复数的模，属于基础题．
3．已知sin（α﹣2π）=2sin（+α），且α≠kπ+（k∈Z），则的值为（ ）
A． B． C． D．
考点： 运用诱导公式化简求值．
专题： 三角函数的求值．
分析： 直接利用诱导公式化简已知条件，然后化简所求表达式的值，求解即可．
解答： 解：sin（α﹣2π）=2sin（+α），
17
∴sinα=﹣2cosα，
===．
故选：D．
点评： 本题考查诱导公式的应用，萨迦寺的化简求值，开采技术能力．
4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1=﹣11，a5+a6=﹣4，Sn取得最小值时n的值为（ ）
A． 6 B． 7 C． 8 D． 9
考点： 等差数列的前n项和；数列的函数特性．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： 【解法一】求出{an}的通项公式an，在an≤0时，前n项和Sn取得最小值，可以求出此时的n；
【解法二】求出{an}的前n项和Sn的表达式，利用表达式是二次函数，有最小值时求对应n的值．
解答： 解：【解法一】在等差数列{an}中，设公差为d，
∵a1=﹣11，a5+a6=﹣4，
∴（a1+4d）+（a1+5d）=﹣22+9d=﹣4；
∴d=2，
∴an=a1+（n﹣1）d=﹣11+2（n﹣1）=2n﹣13，
由2n﹣13≤0，得n≤，
∴当n=6时，Sn取得最小值；
【解法二】在等差数列{an}中，设公差为d，
∵a1=﹣11，a5+a6=﹣4，
∴（a1+4d）+（a1+5d）=﹣22+9d=﹣4，
∴d=2，
∴前n项和Sn=na1+=﹣11n+=n2﹣12n，
∴当n=6时，Sn取得最小值；
故选：A．
点评： 本题考查了等差数列的通项公式与前n项和综合应用问题，是基础题．
5．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（ ）
17
A． 向左平移个单位长度 B． 向右平移个单位长度
C． 向左平移个单位长度 D． 向右平移个单位长度
考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题： 计算题．
分析： 先根据图象确定A和T的值，进而根据三角函数最小正周期的求法求ω的值，再将特殊点代入求出φ值从而可确定函数f（x）的解析式，然后根据诱导公式将函数化为余弦函数，再平移即可．
解答： 解：由图象可知A=1，T=π，∴ω==2
∴f（x）=sin（2x+φ），又因为f（）=sin（+φ）=﹣1
∴+φ=+2kπ，φ=（k∈Z）
∵|φ|，∴φ=
∴f（x）=sin（2x+）=sin（+2x﹣）=cos（2x﹣）
∴将函数f（x）向左平移可得到cos[2（x+）﹣]=cos2x=y
故选C．
点评： 本题主要考查根据图象求函数解析式和方法和三角函数的平移变换．根据图象求三角函数解析式时，一般先根据图象确定A的值和最小正周期的值，进而求出w的值，再将特殊点代入求φ的值．
6．给定命题p：函数y=ln[（1﹣x）（1+x）]为偶函数；命题q：函数y=为偶函数，下列说法正确的是（ ）
A． p∨q是假命题 B． （￢p）∧q是假命题 C． p∧q是真命题 D． （￢p）∨q是真命题
考点： 复合命题的真假．
专题： 函数的性质及应用；简易逻辑．
分析： 先判定命题p、命题q的真假，再判定各选项复合命题的真假即可．
解答： 解：①∵函数y=ln[（1﹣x）（1+x）]的定义域是（﹣1，1），
且∀x，有f（﹣x）=ln[（1+x）（1﹣x）]=f（x），
∴f（x）是定义域上的偶函数，
∴命题p正确．
②∵函数y=，x∈R，
17
∴f（﹣x）===﹣=﹣f（x），
∴f（x）是定义域上的奇函数，
∴命题q错误；
∴p∨q是真命题，（￢p）∧q是假命题，p∧q是假命题，（￢p）∨q是假命题；
故选：B．
点评： 本题考查了函数的奇偶性判定以及复合命题的真假性判定问题，解题的关键是先判定命题p、q的真假性，是基础题．
7．方程的根所在区间为（ ）
A． B． C． （3，4） D． （4，5）
考点： 根的存在性及根的个数判断．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 利用根的存在性定理进行判断即可．
解答： 解：∵方程，
∴设函数f（x）=，则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∵f（3）=log=log，f（4）=，
∴根据根的存在性定理可知函数f（x）在区间（3，4）内存在唯一的一个零点，
即方程的根所在区间为（3，4），
故选：C．
点评： 本题主要考查方程根的存在性的问题，利用方程和函数之间的关系，转化为函数，利用根的存在性定理判断函数零点所在的区间是解决本题的关键．
8．函数y=sin2x的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，得到的图象恰好关于x=对称，则φ的最小值为（ ）
A． B． C． D． 以上都不对
考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
专题： 计算题；三角函数的图像与性质．
分析： 令y=f（x）=sin2x，依题意f（x﹣φ）=sin2（x﹣φ）关于x=对称，从而可求得φ的最小值．
解答： 解：令y=f（x）=sin2x，
17
则f（x﹣φ）=sin2（x﹣φ）=sin（2x﹣2φ），且其图象恰好关于x=对称，
∴2×﹣2φ=2kπ+或2×﹣2φ=2kπ﹣，k∈Z．
∴φ=﹣kπ﹣或φ=﹣kπ+，k∈Z．
又φ＞0，
∴φ的最小值为．
故选A．
点评： 本题考查y=Asin（ωx+φ）的部分图象变换，考查正弦函数的对称性质，属于中档题．
9．平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，=（2，4），=（1，3），则•等于（ ）
A． 6 B． 8 C． ﹣8 D． ﹣6
考点： 平面向量数量积的运算．
专题： 计算题．
分析： 根据所给的向量的坐标和向量加法的平行四边形法则，写出要用的向量的坐标，根据两个向量数量积的坐标公式写出向量的数量积．
解答： 解：∵由向量加法的平行四边形法则可以知道，
，
∵=（2，4），=（1，3），
∴=（﹣1，﹣1）
∵=（﹣3，﹣5）
∴•=（﹣1）×（﹣3）+（﹣1）×（﹣5）=8
故选B．
点评： 本题考查向量的数量积和向量的加减，向量是数形结合的典型例子，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的．
10．已知函数f（x）=lnx，x1，x2∈（0，），且x1＜x2，则下列结论中正确的是（ ）
A． （x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0 B． f（）＜f（）
C． x1f（x2）＞x2f（x1） D． x2f（x2）＞x1f（x1）
17
考点： 对数函数的单调性与特殊点．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 根据函数的单调性可得A不正确；根据函数的图象是下凹的，可得B不正确； 利用导数判断函数 在（0，+∞）上是增函数，故有 ＞，
化简可得 x1f（x2）＞x2f（x1），故C正确、且D不正确．
解答： 解：由于已知函数f（x）=lnx在定义域（0，+∞）上是增函数，x1，x2∈（0，），且x1＜x2 ，可得[f（x1）﹣f（x2）]＜0，
故（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，故A不正确．
由于已知函数f（x）=lnx的增长速度较慢，图象是下凹型的，故有f（）＞f（），故B不正确．
∵已知函数f（x）=lnx，x1，x2∈（0，），且x1＜x2 ，则 ′==＞0，
∴函数 在（0，+∞）上是增函数，故有 ＞，化简可得 x1f（x2）＞x2f（x1），故C正确、且D不正确．
故选C．
点评： 本题主要考查导数的运算法则的应用，利用导数研究函数的单调性，函数的单调性的应用，属于中档题．
二、填空题：（本大题共5小题，每题5分，共25分，把答案写在答题纸上．）
11．已知函数，则= ．
考点： 函数的值．
专题： 计算题；函数的性质及应用．
分析： 由函数，知f（）=log4=﹣2，由此能求出的值．
解答： 解：∵函数，
17
∴f（）=log4=﹣2，
∴=f（﹣2）=3﹣2=．
故答案为：．
点评： 本题考查函数值的求法，是基础题．解题时要认真审题，注意分段函数的函数值的求法．
12．若等比数列{an}的各项均为正数，且a4a9+a5a8+a6a7=300，则lga1+lga2+…+lga12= 12 ．
考点： 等比数列的性质．
专题： 计算题；等差数列与等比数列．
分析： 利用等比数列的性质，对数函数的性质，即可得出结论．
解答： 解：∵等比数列{an}的各项均为正数，且a4a9+a5a8+a6a7=300，
∴a1a12=a2a11=a3a10=a4a9=a5a8=a6a7=100
∴lga1+lga2+lga3+…+lga12=lg（a1•a2…a12）=lg（1006）=12．
故答案为：12
点评： 本题主要考查了等比数列的性质和对数函数的性质等问题．属基础题．
13．在△ABC中，a2﹣c2+b2=ab，则∠C= 30° ．
考点： 余弦定理．
专题： 计算题；解三角形．
分析： 根据题中的等式，利用余弦定理算出cosC==，结合C是三角形的内角，可得∠C的大小．
解答： 解：∵在△ABC中，a2﹣c2+b2=ab，
∴根据余弦定理，得cosC===．
又∵C是三角形的内角，可得0°＜C＜180°，
∴∠C=30°．
故答案为：30°
点评： 本题给出三角形边的平方关系式，求角C的大小，着重考查了利用余弦定理解三角形的知识，属于基础题．
14．已知||=1，||=2，＜，＞=60°，则|2﹣|= 2 ．
考点： 向量的模；平面向量数量积的运算．
专题： 平面向量及应用．
分析： 由题设条件，对|2﹣|进行平方，先出和向量模的平方，再开方求两者和的模．
17
解答： 解：||=1，||=2，＜，＞=60°
由题意|2﹣|2=（2﹣）2=42=4+4﹣4×2×1×cos60°=4，
∴|2﹣|=2．
故答案为：2．
点评： 本题考查向量模的求法，对向量的求模运算，一般采取平方方法表示成向量的内积，根据内积公式求出其平方，再开方求模，本题是向量中的基本题．
15．（ 5分）（2014秋•城阳区校级期中）给出下列四个命题：
①△ABC中，A＞B是f（a）=g（b）成立的充要条件；
②x=1是x2﹣3x+2=0的充分不必要条件；
③已知是等差数列{an}的前n项和，若S7＞S5，则S9＞S3；
④若函数为R上的奇函数，则函数y=f（x）的图象一定关于点成中心对称．
其中所有正确命题的序号为 ①②③ ．
考点： 命题的真假判断与应用．
专题： 简易逻辑．
分析： 由三角形中的大边对大角结合正弦定理判断①；根据充要条件定义，说明②正确；根据等差数列的性质可说明③正确；直接由函数图象的平移说明④错误．
解答： 解：对于①，由A＞B，得边a＞边b（大角对大边），
根据正弦定理知：=，
则sinA＞sinB；
由sinA＞sinB，根据正弦定理知：=，则边a＞边b，根据大边对大角，则有A＞B．
∴△ABC中，A＞B是sinA＞sinB成立的充要条件．命题①正确；
对于②，若x=1，则x2﹣3x+2=0成立．若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2，故②x=1是x2﹣3x+2=0的充分不必要条件，正确；
对于③，等差数列{an}若S7＞S5，则2a1+11d＞0，则S9﹣S3=6a1+33d＞0，即S9＞S3，命题③正确；
对于④，函数y=f（x﹣）为R上的奇函数，则其图象关于（0，0）中心对称，
而函数y=f（x）的图象是把y=f（x﹣）的图象向左平移个单位得到的，
∴函数y=f（x）的图象一定关于点F（﹣，0）成中心对称．命题④错误．
故答案为：①②③
17
点评： 本题考查了命题的真假判断与应用，考查了充分必要条件的判断方法，考查了函数图象的平移，是中档题．
三、解答题：（本题共6个小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，将解答过程写在答题纸相应位置上.）
16．已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若在处取得最大值，求φ的值；
（Ⅲ）求y=g（x）的单调递增区间．
考点： 二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．
专题： 三角函数的图像与性质．
分析： （Ⅰ）函数解析式利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）根据题意表示出g（x）解析式，根据正弦函数的性质以及x=处取得最大值，确定出φ的值即可；
（Ⅲ）根据第二问确定出的g（x）解析式，根据正弦函数的单调性即可确定出g（x）的单调递增区间．
解答： 解（Ⅰ）f（x）=4sin2x•+cos4x=2sin2x+2sin22x+1﹣2sin22x=2sin2x+1，
∵ω=2，∴T==π，
则f（x）的最小正周期为π；
（Ⅱ）根据题意得：g（x）=f（x+φ）=2sin（2x+2φ）+1，
当2x+2φ=+2kπ，k∈Z时取得最大值，将x=代入上式，
解得：φ=﹣+kπ，k∈Z，
∴φ=﹣；
（Ⅲ）根据第二问得：g（x）=2sin（2x﹣）+1，
令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，
解得：﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
∴函数g（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z．
17
点评： 此题考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的单调性，熟练掌握公式是解本题的关键．
17．已知{an}为等差数列，且a3=5，a7=2a4﹣1．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn；
（Ⅱ）若数列{bn}满足求数列{bn}的通项公式．
考点： 等差数列的前n项和；数列的函数特性；等差数列的通项公式．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： （Ⅰ）设等差数列的首项和公差分别为a1，d，由题意可得关于它们的方程组，解方程组代入通项公式和求和公式可得；
（Ⅱ）由题意可得当n≥2时，，和已知式子相减可得当n≥2时的不等式，验证n=1时可得其通项公式．
解答： 解：（Ⅰ）设等差数列的首项和公差分别为a1，d，
则，解得，
∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1，Sn==n2
（Ⅱ）∵ ①
当n≥2时， ②
①﹣②得n2bn=an﹣an﹣1=2，n≥2，
∴，又∵b1=a1=1，
∴
点评： 本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．
18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知角A=，sinB=3sinC．
（1）求tanC的值；
（2）若a=，求△ABC的面积．
考点： 余弦定理；正弦定理．
专题： 解三角形．
分析： （1）利用sinB=3sinC，差角的正弦公式，即可得出结论；
（2）利用正弦定理，余弦定理，求出b，c，即可求△ABC的面积．
17
解答： 解：（1）∵角A=，∴B+C=
∵sinB=3sinC，
∴sin（﹣C）=3sinC
∴cosC+sinC=3sinC
∴cosC=sinC
∴tanC=；
（2）∵sinB=3sinC，
∴b=3c
在△ABC中，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA=7c2
∵a=，
∴c=1，b=3
∴△ABC的面积为=．
点评： 本题考查余弦定理、正弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
19．已知数列{an}中，a1=1，前n项和Sn=an．
（Ⅰ）求a2，a3以及{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．
考点： 数列的求和．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： （Ⅰ）由a1=1，Sn=an可求得a2，a3，进一步可求得=，利用累乘法即可求得{an}的通项公式；
（Ⅱ）由裂项法得bn===2（﹣），从而可求得数列{bn}的前n项和Tn．
解答： 解：（Ⅰ）由a1=1，Sn=an可得：
S2=a2=a1+a2⇒a2=3a1=3，
同理可得，a3=a1+a2=4，
∴a3=6；
∵Sn=an，①
17
当n≥2时，Sn﹣1=an﹣1 ②
①﹣②得：an=an﹣an﹣1，
整理得：an=an﹣1，
∴=，
∴an=•…•a1=•…•1=（n≥2），
而=1=a1，
∴an=．
（Ⅱ）∵bn===2（﹣），
∴Tn=2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]
=2（1﹣）
=．
点评： 本题考查数列的求和，着重考查数列的递推关系式的应用，突出累乘法求通项与裂项法求和，属于中档题．
20．已知函数f（x）=﹣2a2lnx++ax（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．
考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题： 导数的概念及应用．
分析： 可得函数的定义域和导函数，（Ⅰ）代入a=1可得f（1），和f'（1），进而可得切线方程；（Ⅱ）可得导函数为，分a=0和a＞0即a＜0三类分别求得导数的正负情况，进而可得单调性．
解答： 解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），．
（Ⅰ） 当a=1时，，f′（1）=﹣2+1+1=0，
所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））的切线方程为．
17
（Ⅱ），
（1）当a=0时，f′（x）=x＞0，f（x）在定义域为（0，+∞）上单调递增，
（2）当a＞0时，令f'（x）=0，得x1=﹣2a（舍去），x2=a，
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下：
x （0，a） a （a，+∞）
f′（x） ﹣ 0 +
f（x） 减 极小值 增
此时，f（x）在区间（0，a）单调递减，在区间（a，+∞）上单调递增；
（3）当a＜0时，令f'（x）=0，得x1=﹣2a，x2=a（舍去），
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下：
x （0，﹣2a） ﹣2a （﹣2a，+∞）
f′（x） ﹣ 0 +
f（x） 减 极小值 增
此时，f（x）在区间（0，﹣2a）单调递减，在区间（﹣2a，+∞）上单调递增．
点评： 本题考查利用导数研究函数的单调性，涉及切线方程的求解，属中档题．
21．已知函数f（x）=lnx+mx，其中m为常数．
（Ⅰ）当m=﹣1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）在区间（0，e]上的最大值为﹣3，求m的值；
（Ⅲ）令g（x）=﹣f′（x），若x≥1时，有不等式g（x）≥恒成立，求实数k的取值范围．
考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题： 导数的综合应用．
分析： （Ⅰ）在定义域（0，+∞）内对函数f（x）求导，求其极大值，若是唯一极值点，则极大值即为最大值．
（Ⅱ）在定义域（0，+∞）内对函数f（x）求导，对m进行分类讨论并判断其单调性，根据f（x）在区间（0，e]上的单调性求其最大值，并判断其最大值是否为﹣3，若是就可求出相应的最大值．
（Ⅲ）首先求g（x），有不等式g（x）≥恒成立，转化为k≤g（x）（x+1），求g（x）（x+1）的最小值，问题得以解决．
解答： 解：（1）易知f（x）定义域为（0，+∞），
当a=﹣1时，f（x）=﹣x+lnx，f′（x）=﹣1+，令f′（x）=0，得x=1．
当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0．
∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数．
（2）∵f′（x）=m+，x∈（0，e]，
17
①若m≥0，则f′（x）≥0，从而f（x）在（0，e]上增函数，
∴f（x）max=f（e）=me+1≥0，不合题意．
②若m＜0，则由f′（x）＞0，即0＜x＜
由f′（x）＜0，即＜x≤e．
从而f（x）在（0，）上增函数，在（﹣，e]为减函数，
∴f（x）max=f（）=﹣1+ln（）
令﹣1+ln（）=﹣3，
∴m=e﹣2，
∵﹣e2＜，
∴m=﹣e2为所求．
（Ⅲ）∵g（x）=﹣f′（x），f′（x）=m+，f（x）=lnx+mx，
∴g（x）=﹣，
若x≥1时，有不等式g（x）≥恒成立，
∴k≤g（x）（x+1）=lnx+++1，
令h（x）=（x）（x+1）=lnx+++1，
∴h′（x）=＞恒大于0，
∴h（x）在[1，+∞）为增函数，
∴h（x）min=h（1）=2，
∴k≤2．
点评： 本题先通过对函数求导，求其极值，进而在求其最值，用到分类讨论的思想方法．
17
微信/支付宝扫码支付