湖南省衡阳八中2016届高三数学上学期10月月考试题 理（含解析）.doc

衡阳市八中2016届高三第二次月考试卷 理科数学 ‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，合计60分）‎ ‎1.定义集合且，若,，则的子集个数为( )‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎2.已知复数，则的虚部为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.下列命题错误的是( )‎ ‎ A. 若向量满足，则与的夹角为钝角.‎ ‎ B.若命题，则；‎ ‎ C.中，是的充要条件；‎ ‎ D. 命题“若，则”的逆否命题为“若中至少有一个不为0，‎ 则”；‎ ‎4.已知等比数列的公比，且成等差数列，则的前8项和为( )‎ A. 127 B. 255 C. 511 D. 1023‎ ‎5.已知向量，的夹角为，且，，则（ ） ‎ A. B. C. D.‎ ‎6.在中，角A、B、C的对边分别为，且满足，则角B的大小为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎7.将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数(　　)‎ A．关于点对称 B．关于点对称 - 15 -‎ C．关于直线对称 D．关于直线对称 ‎8.在函数的图象上有一点，此函数 图象与轴及直线围成图形（如图阴影部分）的面积为，‎ 则关于的函数关系的图象可以是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎9.已知函数，，且在区间上递减，则（ ）‎ A．2 B．3 C．6 D．5‎ ‎10.已知，则函数的零点个数为( )‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎11.若在区间上有极值点,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.若实数满足，则的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，合计20分）‎ ‎13.已知,则 .‎ ‎14.如图，在等腰直角中，，为上靠近 点的四等分点，过作的垂线，为垂线上任一点，‎ 则等于 .‎ - 15 -‎ ‎15.已知函数，且，则＝ .‎ ‎16.设函数=,其中，若存在唯一的整数，使得0，则的取值范围是 .‎ 三、解答题（本大题共6小题，合计70分）‎ ‎17.（本小题满分10分） ‎ 已知向量．‎ ‎(1)求向量长度的最大值；‎ ‎(2)设，且，求的值．‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 设是公比大于1的等比数列，为的前项和，已知，且构成等差数列．‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)令，求数列的前项和.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 设.‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为,若,求面积的最大值.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 数列的前项和为，，等差数列满足.‎ ‎(1)分别求数列，的通项公式；‎ ‎(2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 设函数.‎ - 15 -‎ ‎（I）讨论的导函数的零点的个数；‎ ‎（II）证明：当时.‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 设函数 ‎（Ⅰ）若函数在处取极值，求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若对任意的当时，都有，求实数的取值范围.‎ 衡阳市八中2016届高三第二次月考试卷 理科数学 命题：刘 喜 审题：彭 源 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，合计60分）‎ - 15 -‎ ‎1.定义集合且，若,，则的子集个数为( )‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，得，所以的子集个数为个.‎ ‎2.已知复数，则的虚部为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】复数＝＝＝的虚部是，故选B.‎ ‎3.下列命题错误的是( )‎ ‎ A. 若向量满足，则与的夹角为钝角.‎ ‎ B.若命题，则；‎ ‎ C.中，是的充要条件；‎ ‎ D. 命题“若，则”的逆否命题为“若中至少有一个不为0，‎ 则”；‎ ‎【答案】A ‎4.已知等比数列的公比，且成等差数列，则的前8项和为( )‎ A. 127 B. 255 C. 511 D. 1023‎ ‎【答案】B ‎5.已知向量，的夹角为，且，，则（ ） ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D 试题分析：，所以.‎ - 15 -‎ ‎6.在中，角A、B、C的对边分别为，且满足，则角B的大小为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，由正弦定理，得,即.，,又,.‎ ‎7.将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数(　　)‎ A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 ‎【答案】C ‎8.在函数的图象上有一点，此函数 图象与轴及直线围成图形（如图阴影部分）的面积为，‎ 则关于的函数关系的图象可以是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C - 15 -‎ ‎9.已知函数，，且在区间上递减，则（ ）‎ A．2 B．3 C．6 D．5‎ ‎【答案】A ‎10.已知，则函数的零点个数为( )‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】C ‎11.若在区间上有极值点,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C 试题分析：因为，所以.在区间上有极值点，即在有一个解或者两个不相同的解.当有一解时，解得经检验式不成立.所以.当有两解时依题意可得.解得.综上可得.故选C.‎ ‎12.若实数满足，则的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ C【答案】D - 15 -‎ ‎【解析】，，设为两动点，则点是函数的图象上一点，点是函数的图象上一点；而,则问题转化为求曲线上的点到直线的距离的最小值，如下图所示，‎ 直线的斜率为1；由，得，令，所以， ，解之得：（舍去），，由，得；所以到直线的距离最小，从而有 ,故选D.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，合计20分）‎ ‎13.已知,则 . 【答案】‎ ‎【解析】．‎ ‎14.如图，在等腰直角中，，为上靠近 点的四等分点，过作的垂线，为垂线上任一点，‎ 则等于 . C【答案】‎ - 15 -‎ ‎15.已知函数，且，则＝ . 【答案】-100‎ ‎16.设函数=,其中，若存在唯一的整数，使得0，则的取值范围是 .‎ ‎【答案】[，1）‎ 三、解答题（本大题共6小题，合计70分）‎ ‎17.（本小题满分10分） ‎ 已知向量．‎ - 15 -‎ ‎(1)求向量长度的最大值；‎ ‎(2)设，且，求的值．‎ ‎【解析】(1)解法一：b＋c＝(cos β－1，sin β)，则 ‎|b＋c|2＝(cos β－1)2＋sin2β＝2(1－cos β)，‎ ‎∵－1≤cos β≤1，∴0≤|b＋c|2≤4，‎ 即0≤|b＋c|≤2.‎ 当cos β＝－1时，有|b＋c|＝2，‎ 所以向量b＋c的长度的最大值为2.‎ 解法二：∵|b|＝1，|c|＝1，|b＋c|≤|b|＋|c|＝2.‎ 当cos β＝－1时，有b＋c＝(－2，0)，‎ 即|b＋c|＝2，‎ 所以向量b＋c的长度的最大值为2.‎ ‎(2)解法一：由已知可得b＋c＝(cos β－1，sin β)‎ a·(b＋c)＝cos αcos β＋sin αsin β－cos α＝cos(α－β)－cos α.‎ ‎∵a⊥(b＋c)，∴a·(b＋c)＝0，‎ 即cos(α－β)＝cos α.‎ 由α＝，得cos＝cos ，‎ 即β－＝2kπ±(k∈Z)，‎ ‎∴β＝2kπ＋或β＝2kπ，k∈Z，‎ 于是cos β＝0或cos β＝1.‎ 解法二：若α＝，则a＝.‎ 又由b＝(cos β，sin β)，c＝(－1，0)得a·(b＋c)＝·(cos β－1，sin β)＝cos β＋sin β－.‎ ‎∵a⊥(b＋c)，∴a·(b＋c)＝0，‎ 即cos β＋sin β＝1.‎ ‎∴sin β＝1－cos β，平方后化简得cos β(cos β－1)＝0，‎ 解得cos β＝0或cos β＝1.‎ 经检验，cos β＝0或cos β＝1即为所求．‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 设是公比大于1的等比数列，为的前项和，已知，且构成等差数列．‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)令，求数列的前项和.‎ ‎【解析】(1)由已知得 - 15 -‎ 解得a2＝2，可得a1＝，a3＝2q.‎ 又S3＝7，可知＋2＋2q＝7，即2q2－5q＋2＝0，‎ 解得q1＝2，q2＝.‎ 由题意q>1，∴q＝2，∴a1＝1.‎ 故数列{an}的通项公式为an＝2n－1.‎ ‎(2)由于，n＝1，2，…，‎ 由(1)得，‎ ‎∴，∴‎ ‎∴ ①‎ ‎ ②‎ ‎①－②得: ‎ 即 ‎∴‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 设.‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为,若,求面积的最大值.‎ ‎【答案】（I）单调递增区间是；‎ 单调递减区间是 ‎（II） 面积的最大值为 - 15 -‎ ‎【解析】‎ ‎（I）由题意知 ‎ ‎ 由 可得 由 可得 所以函数 的单调递增区间是 ；　‎ 单调递减区间是 ‎20.（本小题满分12分）‎ 数列的前项和为，，等差数列满足.‎ ‎(1)分别求数列，的通项公式；‎ - 15 -‎ ‎(2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【解析】(1)由an＋1＝2Sn＋1①‎ 得an＝2Sn－1＋1(n≥2)②‎ ‎①－②得an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)，‎ ‎∴an＋1＝3an，∴an＝3n－1；‎ b5－b3＝2d＝6，∴d＝3，∴bn＝3＋(n－3)×3＝3n－6.‎ ‎(2)Sn＝＝＝，‎ ‎∴k≥3n－6对n∈N*恒成立，‎ 即k≥对任意n∈N*恒成立，‎ 令cn＝，cn－cn－1＝－＝，‎ 当n≤3时，cn>cn－1，当n≥4时，cn