2014-2015学年河北省石家庄市藁城一中高三（上）第二次月考数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合A={x|y=lnx}，集合B={﹣2，﹣1，1，2}，则A∩B=（ ）
A．（1，2） B．{1，2} C．{﹣1，﹣2} D．（0，+∞）
2．下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（ ）
A．f（x）= B．f（x）= C．f（x）=2﹣x﹣2x D．f（x）=﹣tanx
3．已知点P（，﹣）在角θ的终边上，且θ∈[0，2π），则θ的值为（ ）
A． B． C． D．
4．下列说法错误的是（ ）
A．若命题p：∃x∈R，x2﹣x+1=0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1≠0
B．“sinθ=”是“θ=30°”的充分不必要条件
C．命题“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”
D．已知p：∃x∈R，cosx=1，q：∀x∈R，x2﹣x+1＞0，则“p∧￢q”为假命题
5．对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l（ ）
A．平行 B．相交 C．垂直 D．互为异面直线
6．下列命题：
（1）函数y=+x（x＜0）的值域是（﹣∞，﹣2]；
（2）函数y=x2+2+最小值是2；
（3）若a，b同号且a≠b，则+≥2．
其中正确的命题是（ ）
A．（1）（2）（3） B．（1）（2） C．（2）（3） D．（1）（3）
7．设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
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8．已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（ ）
A． B． C． D．
9．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象如图所示，为了得到函数的图象，只需将y=f（x）的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向心平移个单位
10．已知P是椭圆+=1，（0＜b＜5）上除顶点外的一点，F1是椭圆的左焦点，若|+|=8，则点P到该椭圆左焦点的距离为（ ）
A．6 B．4 C．2 D．
11．直线l的方向向量为且过抛物线x2=4y的焦点，则直线l与抛物线围成的封闭图形面积为（ ）
A． B． C． D．
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12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题中横线上）
13．设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=an﹣，则an= ．
14．已知A，B，C为圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为 ．
15．已知点A（﹣3，0），B（3，0），M是直线l：x﹣y+9=0上任意一点，在l上存在一点P，使|PA|+|PB|≤|MA|+|MB|恒成立，则点P的坐标为 ．
16．若直线y=2与曲线y=x2﹣|x|+a有两个交点，则a的取值范围是 ．
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知圆C与直线l：x+y﹣1=0相切于点P（3，﹣2），且圆心在直线y=﹣4x上，求圆C的方程．
18．等比数列{an}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求数列{}的前n项和．
19．如图，在△ABC中，BC边上的中线AD长为3，且cosB=，cos∠ADC=﹣．
（Ⅰ）求sin∠BAD的值；
（Ⅱ）求AC边的长．
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20．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，O是AC的中点，A1O⊥平面ABC，∠BCA=90°，AA1=AC=BC．
（Ⅰ）求证：A1B⊥AC1；
（Ⅱ）求二面角A﹣BB1﹣C的余弦值．
21．P为圆A：（x+1）2+y2=8上的动点，点B（1，0）．线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点M，记点M的轨迹为Γ．
（I）求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）当点P在第一象限，且cos∠BAP=时，求点M的坐标．
22．已知函数
（1）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与圆x2+y2﹣2y=0相切，求a的值；
（2）当x∈（1，+∞）时，函数f（x）的图象恒在坐标轴x轴的上方，试求出a的取值范围．
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2014-2015学年河北省石家庄市藁城一中高三（上）第二次月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合A={x|y=lnx}，集合B={﹣2，﹣1，1，2}，则A∩B=（ ）
A．（1，2） B．{1，2} C．{﹣1，﹣2} D．（0，+∞）
考点： 交集及其运算．
专题： 计算题．
分析： 集合A表示的是对数函数的定义域，令真数大于0求出A，利用交集的定义求出A∩B．
解答： 解：∵A={x|y=lnx}={x|x＞0}
又∵B={﹣2，﹣1，1，2}，
∴A∩B={1，2}
故选B
点评： 本题考查求对数函数的定义域、考查利用交集的定义求集合的交集．
2．下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（ ）
A．f（x）= B．f（x）= C．f（x）=2﹣x﹣2x D．f（x）=﹣tanx
考点： 奇偶性与单调性的综合．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 根据函数的解析式及基本初等函数的性质，逐一分析出四个函数的单调性和奇偶性，即可得到答案．
解答： 解：A中，f（x）=是奇函数，但在定义域内不单调；
B中，f（x）=是减函数，但不具备奇偶性；
C中，f（x）2﹣x﹣2x既是奇函数又是减函数；
D中，f（x）=﹣tanx是奇函数，但在定义域内不单调；
故选C．
点评： 本题是函数奇偶性和单调性的综合应用，熟练掌握基本初等函数的性质，及函数奇偶性和单调性的定义是解答的关键
3．已知点P（，﹣）在角θ的终边上，且θ∈[0，2π），则θ的值为（ ）
A． B． C． D．
考点： 任意角的三角函数的定义．
专题： 三角函数的求值．
分析： 由题意可得θ的终边在第四象限，tanθ==﹣，再结合θ∈[0，2π），求得θ的值．
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解答： 解：∵已知点P（，﹣）在角θ的终边上，
∴x=，y=﹣，θ的终边在第四象限，
tanθ==﹣．
再结合θ∈[0，2π），则θ=，
故选：C．
点评： 本题主要考查任意角的三角函数的定义，根据三角函数的值求角，属于中档题．
4．下列说法错误的是（ ）
A．若命题p：∃x∈R，x2﹣x+1=0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1≠0
B．“sinθ=”是“θ=30°”的充分不必要条件
C．命题“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”
D．已知p：∃x∈R，cosx=1，q：∀x∈R，x2﹣x+1＞0，则“p∧￢q”为假命题
考点： 特称命题；命题的否定．
分析： 利用特称命题的否定是全称命题判断A的正误；利用充要条件判断B的正误；否命题的真假判断C的正误；复合命题的真假判断D的正误；
解答： 解：对于A，命题p：∃x∈R，x2﹣x+1=0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1≠0，满足特称命题的否定是全称命题，所以A正确．
对于B，“sinθ=”则θ不一定是30°，而“θ=30°”则sinθ=，所以是必要不充分条件，B不正确；
对于C，“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”判断正确．
对于D，p：∃x∈R，cosx=1，q：∀x∈R，x2﹣x+1＞0，则“p∧￢q”一假就假，所以为假命题，D正确．
错误命题是B．
故选B．
点评： 本题考查命题的真假的判断充要条件的应用，基本知识的考查．
5．对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l（ ）
A．平行 B．相交 C．垂直 D．互为异面直线
考点： 空间中直线与平面之间的位置关系．
专题： 分类讨论．
分析： 由题意分两种情况判断①l⊂α；②l⊄α，再由线线的位置关系的定义判断．
解答： 解：对于任意的直线l与平面α，分两种情况
①l在平面α内，l与m共面直线，则存在直线m⊥l或m∥l；
②l不在平面α内，且l⊥α，则平面α内任意一条直线都垂直于l； 若l于α不垂直，
则它的射影在平面α内为一条直线，在平面α内必有直线m垂直于它的射影，则m与l垂直；
若l∥α，则存在直线m⊥l．
故选C．
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点评： 本题主要考查了线线及线面的位置关系，利用线面关系的定义判断，重点考查了感知能力．
6．下列命题：
（1）函数y=+x（x＜0）的值域是（﹣∞，﹣2]；
（2）函数y=x2+2+最小值是2；
（3）若a，b同号且a≠b，则+≥2．
其中正确的命题是（ ）
A．（1）（2）（3） B．（1）（2） C．（2）（3） D．（1）（3）
考点： 命题的真假判断与应用．
专题： 函数的性质及应用；简易逻辑．
分析： 利用基本不等式求最值说明（1）正确；利用“对勾函数”的单调性求得函数y=x2+2+的最小值说明（2）错误；由基本不等式求最值结合复合命题的真值表说明（3）正确．
解答： 解：对于（1），∵x＜0，
∴=﹣（﹣x+）．
即函数y=+x（x＜0）的值域是（﹣∞，﹣2]．命题（1）正确；
对于（2），令t=x2+2≥2．
∴y=x2+2+=在[2，+∞）上为增函数，
∴．命题（2）错误；
对于（3），∵a，b同号，
∴，
则+≥．
∵a≠b，
∴+＞2．
由复合命题的真值表可知，+≥2．命题③正确．
∴正确的命题是（1）（3）．
故选：D．
点评： 本题考查了命题的真假判断与应用，考查了利用基本不等式求最值，是中档题．
7．设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
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C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系．
专题： 简易逻辑．
分析： 运用两直线平行的充要条件得出l1与l2平行时a的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可．
解答： 解：∵当a=1时，直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0，
两条直线的斜率都是﹣，截距不相等，得到两条直线平行，
故前者是后者的充分条件，
∵当两条直线平行时，得到，
解得a=﹣2，a=1，
∴后者不能推出前者，
∴前者是后者的充分不必要条件．
故选A．
点评： 本题考查必要条件充分条件和充要条件的问题，考查两条直线平行时要满足的条件，本题解题的关键是根据两条直线平行列出关系式，不要漏掉截距不等的条件，本题是一个基础题．
8．已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（ ）
A． B． C． D．
考点： 函数的图象．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 根据导数的图象，利用函数的单调性和导数的关系，得出所选的选项．
解答： 解：由导数的图象可得，导函数f′（x）的值在[﹣1，0]上的逐渐增大，
故函数f（x）在[﹣1，0]上增长速度逐渐变大，故函数f（x）的图象是下凹型的．
导函数f′（x）的值在[0，1]上的逐渐减小，
故函数f（x）在[0，1]上增长速度逐渐变小，图象是上凸型的，
故选B．
点评： 本题主要考查函数的单调性和导数的关系，属于基础题．
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9．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象如图所示，为了得到函数的图象，只需将y=f（x）的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向心平移个单位
考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
专题： 计算题；三角函数的图像与性质．
分析： 函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0）的图象可知其周期T，从而可求得ω，继而可求得φ，利用三角函数的图象变换及可求得答案．
解答： 解：依题意，f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0）的周期T=2×（﹣）=π=，
∴ω=2，
又2×+φ=π，
∴φ=．
∴f（x）=sin（2x+）=cos[﹣（2x+）]=cos（﹣2x）=cos（2x﹣）；
∴f（x+）=cos[2（x+）﹣]=cos（2x+）；
∴为了得到函数y=cos（2x+）的图 象，只需将y=f（x）的图象向左平移个单位．
故选C．
点评： 本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，求得ω与φ是关键，考查推理分析与运算能力，属于中档题．
10．已知P是椭圆+=1，（0＜b＜5）上除顶点外的一点，F1是椭圆的左焦点，若|+|=8，则点P到该椭圆左焦点的距离为（ ）
A．6 B．4 C．2 D．
考点： 椭圆的简单性质．
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专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 设PF1的中点为A，F2是椭圆的右焦点，则由|+|=8，可得|OA|=4，即|PF2|=8，利用椭圆的定义，即可求出点P到该椭圆左焦点的距离．
解答： 解：设PF1的中点为A，F2是椭圆的右焦点，
∵|+|=8，
∴|OA|=4，
∴|PF2|=8
∵F1是椭圆的左焦点，
∴|PF1|=2×5﹣8=2．
故选：C．
点评： 本题考查椭圆的定义，考查三角形中位线的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．
11．直线l的方向向量为且过抛物线x2=4y的焦点，则直线l与抛物线围成的封闭图形面积为（ ）
A． B． C． D．
考点： 抛物线的简单性质；定积分在求面积中的应用；直线的方向向量．
专题： 综合题．
分析： 先确定直线的方程，再求出积分区间，确定被积函数，由此利用定积分可求直线l与抛物线围成的封闭图形面积．
解答： 解：抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1），
∵直线l的方向向量为且过抛物线x2=4y的焦点
∴直线l的方程为
由，可得交点的横坐标分别为﹣1，4
∴直线l与抛物线围成的封闭图形面积为=（）=
故选B．
点评： 本题考查封闭图形的面积，考查直线方程，解题的关键是确定直线的方程，求出积分区间，确定被积函数．
12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
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A． B． C． D．
考点： 由三视图求面积、体积．
专题： 空间位置关系与距离．
分析： 由已知中的三视图，可得该几何体是由一个三棱柱挖掉一个三棱锥，所得的组合体，进而可得答案．
解答： 解：由已知中的三视图，可得该几何体是：
一个三棱柱挖掉一个三棱锥，所得的组合体，
其直观图如下图所示：
∵三棱柱的体积V==2，
挖去的棱锥体积V==，
故该几何体的体积为2﹣=，
故选：C
点评： 本题考查的知识点是由三视图求体积，其中分析出几何体的形状是解答的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题中横线上）
13．设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=an﹣，则an= 3n﹣1 ．
考点： 数列递推式．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： 利用递推式与等比数列的通项公式即可得出．
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解答： 解：∵Sn=an﹣，∴当n≥2时，，
an=Sn﹣Sn﹣1=an﹣﹣=，
化为an=3an﹣1，
当n=1时，a1=S1=﹣，解得a1=1，
∴数列{an}是等比数列，首项为1，公比为3．
∴．
故答案为：3n﹣1．
点评： 本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14．已知A，B，C为圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为 90° ．
考点： 数量积表示两个向量的夹角．
专题： 平面向量及应用．
分析： 根据向量之间的关系，利用圆直径的性质，即可得到结论．
解答： 解：在圆中若=（+），
即2=+，
即+的和向量是过A，O的直径，
则以AB，AC为邻边的四边形是矩形，
则⊥，
即与的夹角为90°，
故答案为：90°
点评： 本题主要考查平面向量的夹角的计算，利用圆直径的性质是解决本题的关键，比较基础．
15．已知点A（﹣3，0），B（3，0），M是直线l：x﹣y+9=0上任意一点，在l上存在一点P，使|PA|+|PB|≤|MA|+|MB|恒成立，则点P的坐标为 （﹣5，4） ．
考点： 两点间距离公式的应用；点到直线的距离公式．
专题： 直线与圆．
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分析： 法一：设点A关于直线l的对称点为A′（a，b），则，解得a=﹣9，b=6．可得直线A′B的方程为x+2y﹣3=0，与x﹣y+9联立解得即可．
法二：设M（x，y），由|MA|+|MB|＞|AB|，可得点M满足，（b＞0）．与直线方程联立可得（2b+9）x2+18（b+9）x+（b+9）（81﹣b）=0，
令△=0，解得b，求得切点即可．
解答： 解：法一：设点A关于直线l的对称点为A′（a，b），则，解得a=﹣9，b=6．
∴A′（﹣9，6），
∴直线A′B的方程为：y=（x﹣3），即x+2y﹣3=0，
联立，解得x=﹣5，y=4．
∴P（﹣5，4）．
可得点P满足：|PA|+|PB|≤|MA|+|MB|恒成立，
法二：设M（x，y），∵|MA|+|MB|＞|AB|，可得点M满足，（b＞0）．
联立，
化为（2b+9）x2+18（b+9）x+（b+9）（81﹣b）=0，
令△=0，解得b=36，
∴81x2+18×45x+452=0，
解得x=﹣5，
代入x﹣y+9=0，解得y=4．
∴P（﹣5，4）．
故答案为：（﹣5，4）．
点评： 本题考查了在直线上求得一点到直线同侧两点的距离之和求得最小值问题的两种方法、对称问题、直线与椭圆相切问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16．若直线y=2与曲线y=x2﹣|x|+a有两个交点，则a的取值范围是 {a|a＜2或a=} ．
考点： 函数的零点与方程根的关系．
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专题： 数形结合．
分析： 在同一直角坐标系内画出直线y=2与曲线y=x2﹣|x|+a的图象，观察求解．
解答： 解：如图，在同一直角坐标系内画出直线y=2与曲线y=x2﹣|x|+a，
观图可知，a的取值必须满足{a|a＜2或a=}，
故答案为{a|a＜2或a=}
点评： 本小题主要考查函数的图象与性质、不等式的解法，着重考查了数形结合的数学思想．
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知圆C与直线l：x+y﹣1=0相切于点P（3，﹣2），且圆心在直线y=﹣4x上，求圆C的方程．
考点： 圆的切线方程．
专题： 直线与圆．
分析： 法一：利用待定系数法即可求圆C的方程；
法二：根据直线和圆相切的等价条件，联立方程组求出圆心和半径即可．
解答： 解：法一：设圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，
∵圆C与直线l：x+y﹣1=0相切于点P（3，﹣2），且圆心在直线y=﹣4x上，
∴满足，解得a=1，b=4，r=，
则圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣4）2=8．
法二：过切点且与x+y﹣1=0垂直的直线方程为y+2=x﹣3，
即y=x﹣5与y=﹣4x联立求得圆心为（1，﹣4），
则半径r==，
则圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣4）2=8．
点评： 本题主要考查圆的标准方程的求解，以及直线和圆相切的应用，利用直线和圆的位置关系求出圆心和半径是解决本题的关键．
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18．等比数列{an}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求数列{}的前n项和．
考点： 等比数列的通项公式；数列的求和．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： （Ⅰ）设出等比数列的公比q，由a32=9a2a6，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q的值，然后再根据等比数列的通项公式化简2a1+3a2=1，把求出的q的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q写出数列的通项公式即可；
（Ⅱ）把（Ⅰ）求出数列{an}的通项公式代入设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，利用对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式化简后，即可得到bn的通项公式，求出倒数即为的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列{}的前n项和．
解答： 解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由a32=9a2a6得a32=9a42，所以q2=．
由条件可知各项均为正数，故q=．
由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1，所以a1=．
故数列{an}的通项式为an=．
（Ⅱ）bn=++…+=﹣（1+2+…+n）=﹣，
故=﹣=﹣2（﹣）
则++…+=﹣2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=﹣，
所以数列{}的前n项和为﹣．
点评： 此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式，会进行数列的求和运算，是一道中档题．
19．如图，在△ABC中，BC边上的中线AD长为3，且cosB=，cos∠ADC=﹣．
（Ⅰ）求sin∠BAD的值；
（Ⅱ）求AC边的长．
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考点： 解三角形．
专题： 综合题．
分析： （Ⅰ）根据cosB=，cos∠ADC=﹣，利用平方关系，可得sinB、sin∠ADC的值，利用sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B），即可求得结论；
（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理，求BD=2，故DC=2，在△ADC中，由余弦定理，可求AC的长．
解答： 解：（Ⅰ）因为cosB=，所以sinB=…（2分）
又cos∠ADC=﹣，所以sin∠ADC=…（4分）
所以sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B）=×﹣（﹣）×=…（7分）
（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理，得，解得BD=2…（10分）
故DC=2，从而在△ADC中，由余弦定理，得AC2=9+4﹣2×3×2×=16，所以AC=4…（14分）
点评： 本题考查差角的正弦公式，考查正弦定理、余弦定理的运用，属于中档题．
20．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，O是AC的中点，A1O⊥平面ABC，∠BCA=90°，AA1=AC=BC．
（Ⅰ）求证：A1B⊥AC1；
（Ⅱ）求二面角A﹣BB1﹣C的余弦值．
考点： 二面角的平面角及求法．
专题： 空间位置关系与距离；空间角．
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分析： （Ⅰ）由已知条件推导出A1O⊥BC，从而得到BC⊥平面A1ACC1，进而得到AC1⊥BC，再由AA1=AC，得到AC1⊥A1C，由此能证明A1B⊥AC1．
（Ⅱ）以OC为单位长度，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角A﹣BB1﹣C的余弦值．
解答： 解：（Ⅰ）因为A1O⊥平面ABC，所以A1O⊥BC．
又BC⊥AC，所以BC⊥平面A1ACC1，
所以AC1⊥BC．…（2分）
因为AA1=AC，所以四边形A1ACC1是菱形，
所以AC1⊥A1C．
所以AC1⊥平面A1BC，
所以A1B⊥AC1．…（5分）
（Ⅱ）以OC为单位长度，
建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，
则A（0，﹣1，0），B（2，1，0），
C（0，1，0），C1（0，2，）．
=（2，2，0），=（0，1，），
设=（x，y，z）是面ABB1的一个法向量，
则•=0，•=0，
即，取x=，得=（，﹣，1）．
同理面CBB1的一个法向量为=（0，﹣，1）．…（10分）
因为cos＜＞=．
所以二面角A﹣BB1﹣C的余弦值．…（12分）
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点评： 本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
21．P为圆A：（x+1）2+y2=8上的动点，点B（1，0）．线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点M，记点M的轨迹为Γ．
（I）求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）当点P在第一象限，且cos∠BAP=时，求点M的坐标．
考点： 直线和圆的方程的应用．
专题： 综合题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： （I）由已知|MB|=|MP|，于是|MA|+|MB|=|MA|+|MP|=2，故曲线Γ是以A，B为焦点，以2为长轴长的椭圆，从而可求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）当点P在第一象限，且cos∠BAP=时，求出P的坐标，可得直线AP方程，代入椭圆方程，消去y，可得5x2+2x﹣7=0，即可求点M的坐标．
解答： 解：（Ⅰ）圆A的圆心为A（﹣1，0），半径等于2．
由已知|MB|=|MP|，于是|MA|+|MB|=|MA|+|MP|=2，
故曲线Γ是以A，B为焦点，以2为长轴长的椭圆，a=，c=1，b=1，
曲线Γ的方程为+y2=1．…（5分）
（Ⅱ）由点P在第一象限，cos∠BAP=，|AP|=2，得P（，）．…（8分）
于是直线AP方程为y=（x+1）．
代入椭圆方程，消去y，可得5x2+2x﹣7=0，
所以x1=1，x2=﹣．
由于点M在线段AP上，所以点M坐标为（1，）．…（12分）
点评： 本题考查直线与圆的位置关系，考查椭圆的方程与定义，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．
22．已知函数
（1）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与圆x2+y2﹣2y=0相切，求a的值；
（2）当x∈（1，+∞）时，函数f（x）的图象恒在坐标轴x轴的上方，试求出a的取值范围．
考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题： 导数的综合应用．
分析： （1）利用导数的几何意义求得函数的曲线的切线斜率，写出切线方程，由切线与圆相切求得a；
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（2）由f′（x）=1+﹣=，由题意得，只需当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0恒成立．
设g（x）=x2﹣ax+1，利用导数判断函数g（x）的单调性，进而得出结论．
解答： 解：（1）∵函数，
∴f′（x）=1+﹣，∴f′（1）=2﹣a，又f（1）=0，
∴函数f（x）在点（1，f（1））处的切线的切线方程为y﹣0=（2﹣a）（x﹣1），
即（2﹣a）x﹣y+a﹣2=0，
又圆x2+y2﹣2y=0，即x2+（y﹣1）2=1，故圆心（0，1），半径为1，
∴由函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与圆x2+y2﹣2y=0相切得，
=1，即（a﹣3）2=（2﹣a）2+1，解得a=2．
（2）∵函数，∴函数f（x）的定义域为（0，+∞），
又f′（x）=1+﹣=，
∴由题意得，只需当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0恒成立．
设g（x）=x2﹣ax+1，则△=a2﹣4，
∴当﹣2≤a≤2时，△＜0，当x＞0时，g（x）≥0恒成立，即f′（x）≥0恒成立，故f（x）在[1，+∞）上是增函数；
∴x＞1时，f（x）＞f（1）=0，
当a＜﹣2时，函数g（x）的对称轴为x=＜﹣1，则g（x）在[1，+∞）上是增函数；
当x≥1时，g（x）≥g（1）=2﹣a＞0，
即f′（x）＞0恒成立，故f（x）在[1，+∞）上是增函数；
∴x＞1时，f（x）＞f（1）=0，
当a＞2时，函数g（x）的对称轴为x=＞1，g（x）在[1，]是减函数，g（x）＜g（1）=2﹣a＜0，
故f′（x）＜0，∴f（x）在[1，]上是减函数；
∴当1＜a＜时，f（x）＜f（1）=0与当x＞1时，f（x）＞0矛盾，
综上所述，a的取值范围是（﹣∞，﹣2]．
点评： 本题主要考查利用导数研究函数的切线方程与判断函数的单调性、求最值等知识，考查等价转化思想、分类讨论思想的运用能力，综合性强，属难题．
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