山东省济宁市2015届高三数学上学期期末考试试卷 文（含解析）.doc

‎2014-2015学年山东省济宁市高三（上）期末数学试卷（文科） ‎ ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，共50分，每小题只有一个选项是正确的）‎ ‎1．设全集为R，集合A={x|x2﹣9＜0}，B={x|﹣1＜x≤5}，则A∩（∁RB）=（　　）‎ A．（﹣3，5] B．（﹣3，﹣1] C．（﹣3，﹣1） D．（﹣3，3）‎ ‎　‎ ‎2．若点（16，2）在函数y=logax（a＞0且a≠1）的图象上，则tan的值为（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C． D．‎ ‎　‎ ‎3．已知直线l1：（1﹣a）x+ay﹣2=0，l2：ax+（2a+1）y+3=0，则“a=﹣2”是“l1⊥l2”成立的（　　）‎ A．充分不变要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎　‎ ‎4．将函数（x∈R）的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的解析式为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎　‎ ‎5．已知l，m是两条不同的直线，α是一个平面，且l∥α，则下列命题正确的是（　　）‎ A．若l∥m，则m∥α B．若m∥α，则l∥m C．若l⊥m，则m⊥α D．若m⊥α，则l⊥m ‎　‎ ‎6．若实数经，x，y满足，则z=y﹣x的最小值为（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎　‎ ‎7．如图，在平行四边形ABCD中，M为CD中点，若=λ+μ．则μ的值为（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎　‎ ‎8．函数y=（ex﹣e﹣x）•sinx的图象大致是（　　）‎ - 18 -‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎　‎ ‎9．定义域为R的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）=x2﹣x，则当x∈[﹣1，0]时，f（x）的最小值为（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C．0 D．‎ ‎　‎ ‎10．双曲线的渐近线与抛物线y=2x2+1相切，则该双曲线的离心率等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，共25分）‎ ‎11．已知函数f（x）=ln（x+1）﹣x+1，则函数f（x）零点的个数为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎12．设n为正整数，，计算得，f（4）＞2，，f（16）＞3，观察上述结果，可推测一般的结论为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c；若a2﹣c2=bc，sinB=2sinC，则角A=　　　　　　．‎ ‎　‎ - 18 -‎ ‎15．过抛物线y2=4x的焦点且倾斜角为60°的直线被圆截得的弦长是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎　‎ 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎16．已知函数f（x）=+1．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的定义域及最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）求f（x）在区间[，]上的最大值及取得最大值时x的集合．‎ ‎　‎ ‎17．如图，矩形ABCD中，E，F分别在线段BC和AD上，EF∥AB，将矩形ABCD沿EF折起，记折起后的矩形为MNEF．‎ ‎（Ⅰ）求证：NC∥平面MFD；‎ ‎（Ⅱ）若四边形ECDF为正方形且平面MNEF⊥平面ECDF，求证：平面NED⊥平面NFC．‎ ‎　‎ ‎18．已知数列{an}的首项a1=，前n项和为Sn，且满足2an+1+Sn=3（n∈N*）．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求满足＜＜的所有n的和．‎ ‎　‎ ‎19．已知一企业生产某产品的年固定成本为10万元，每生产千件该产品需另投入2.7万元，设该企业年内共生产此种产品x千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为f（x）万元，且f（x）=．‎ ‎（Ⅰ）写出年利润P（万元）关于产品年产量x（千件）的函数关系式；‎ ‎（Ⅱ）年产量x为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大？（注：年利润=年销售收入﹣年总成本）‎ ‎　‎ ‎20．定义在R上的函数f（x）=ax2+bx2+cx+3同时满足以下条件：‎ ‎①f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；‎ - 18 -‎ ‎②f′（x）是偶函数；‎ ‎③f（x）的图象在x=0处的切线与直线y=x+2垂直．‎ ‎（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；‎ ‎（Ⅱ）设g（x）=4lnx﹣m，若存在x∈[1，e]，使g（x）＜f′（x），求实数m的取值范围．‎ ‎　‎ ‎21．已知椭圆E：+=1（a＞b＞1）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，P是椭圆上一点，且△PF1F2面积的最大值等于．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的方程；‎ ‎（Ⅱ）直线l：y=kx+m与以线段F1F2为直径的圆O相切，并与椭圆E相交于不同的两点A、B，若•=﹣．求k的值．‎ ‎　‎ ‎　‎ - 18 -‎ ‎2014-2015学年山东省济宁市高三（上）期末数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，共50分，每小题只有一个选项是正确的）‎ ‎1．设全集为R，集合A={x|x2﹣9＜0}，B={x|﹣1＜x≤5}，则A∩（∁RB）=（　　）‎ A．（﹣3，5] B．（﹣3，﹣1] C．（﹣3，﹣1） D．（﹣3，3）‎ 考点： 交、并、补集的混合运算．‎ 专题： 集合．‎ 分析： 求出A中不等式的解集确定出A，根据全集R及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．‎ 解答： 解：由A中不等式解得：﹣3＜x＜3，即A=（﹣3，3），‎ ‎∵全集R，B=（﹣1，5]，‎ ‎∴∁RB=（﹣∞，﹣1]∪（5，+∞），‎ 则A∩（∁RB）=（﹣3，﹣1]，‎ 故选：B．‎ 点评： 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．若点（16，2）在函数y=logax（a＞0且a≠1）的图象上，则tan的值为（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C． D．‎ 考点： 运用诱导公式化简求值；对数的运算性质．‎ 专题： 三角函数的求值．‎ 分析： 由条件求得a的值，再利用诱导公式求得tan的值．‎ 解答： 解：∵点（16，2）在函数y=logax（a＞0且a≠1）的图象上，∴2=loga16，∴a2=16，a=4，‎ ‎∴tan=tan=tan=，‎ 故选：D．‎ 点评： 本题主要考查对数的运算性质，利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．已知直线l1：（1﹣a）x+ay﹣2=0，l2：ax+（2a+1）y+3=0，则“a=﹣2”是“l1⊥l2”成立的（　　）‎ A．充分不变要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ 专题： 简易逻辑．‎ 分析： 根据直线垂直的等价条件得到（1﹣a）a+a（2a+1）=0，然后利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ 解答： 解：若l1⊥l2，则（1﹣a）a+a（2a+1）=0，‎ 即a2+2a=0，解得a=0或a=﹣2，‎ 则“a=﹣2”是“l1⊥l2”成立的充分不必要条件，‎ - 18 -‎ 故选：A 点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线垂直的等价条件是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎4．将函数（x∈R）的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的解析式为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ 考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．‎ 专题： 计算题；三角函数的图像与性质．‎ 分析： 令y=f（x）=2sin（3x+），易求y=f（x+）=2sin（3x+），再将其横坐标扩大到原来的2倍即得答案．‎ 解答： 解：令y=f（x）=2sin（3x+），‎ 将f（x）=2sin（3x+）的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，‎ 得：y=f（x+）=2sin[3（x+）+]=2sin（3x+），‎ 再将y=2sin（3x+）图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），‎ 得到的图象的解析式为y=2sin（x+），‎ 故选：B．‎ 点评： 本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，着重考查平移变换与伸缩变换，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎5．已知l，m是两条不同的直线，α是一个平面，且l∥α，则下列命题正确的是（　　）‎ A．若l∥m，则m∥α B．若m∥α，则l∥m C．若l⊥m，则m⊥α D．若m⊥α，则l⊥m 考点： 空间中直线与平面之间的位置关系．‎ 专题： 综合题；空间位置关系与距离．‎ 分析： 根据直线与平面平行的判定定理，得到A错误；根据直线与平面平行、垂直的性质定理，得到B，C错误，D正确．‎ 解答： 解：对于A，若l∥m，l∥α，且m在平面a外，则可以得到m∥α，但题设中没有m⊄α，故不一定m∥α，故错误；‎ 对于B，l∥α，m∥α，则l与m平行、相交、异面，故错误；‎ 对于C，l∥α，l⊥m，则m⊥α，也有可能平行、相交，故错误；‎ 对于D，l∥α，m⊥α，则由线面平行、垂直的性质，可得l⊥m，故正确．‎ 故选：D．‎ 点评： 本题以命题真假的判断为载体，考查了空间直线与平面垂直、平行的判断和空间直线位置关系的判断等知识点，属于中档题．‎ - 18 -‎ ‎　‎ ‎6．若实数经，x，y满足，则z=y﹣x的最小值为（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ 考点： 简单线性规划．‎ 专题： 不等式的解法及应用．‎ 分析： 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．‎ 解答： 解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），‎ 由z=y﹣x，得y=x+z，‎ 平移直线y=x+z，由图象可知当直线y=x+z经过点C时，直线y=x+z的截距最小，此时z最小．‎ 由，解得，‎ 即C（1，2），‎ 此时z的最小值为z=2﹣1=1，‎ 故选：B．‎ 点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2014秋•济宁期末）如图，在平行四边形ABCD中，M为CD中点，若=λ+μ．则μ的值为（　　）‎ A． B． C． D．1‎ 考点： 平面向量的基本定理及其意义．‎ 专题： 平面向量及应用．‎ - 18 -‎ 分析： 在平行四边形ABCD中，M为CD中点，可得=，代入=λ+μ，可得=，与比较即可得出．‎ 解答： 解：∵在平行四边形ABCD中，M为CD中点，‎ ‎∴=，‎ ‎∵=λ+μ，‎ ‎∴‎ ‎=，‎ 又，‎ ‎∴λ=1，=1，‎ 解得μ=．‎ 故选：C．‎ 点评： 本题考查了向量的三角形法则、平行四边形法则、向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎8．函数y=（ex﹣e﹣x）•sinx的图象大致是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 考点： 函数的图象．‎ 专题： 函数的性质及应用．‎ 分析： 通过函数的奇偶性，排除部分选项，然后利用0＜x＜π时的函数值，判断即可．‎ 解答： 解：函数f（﹣x）=（e﹣x﹣ex）（﹣sinx）=（ex﹣e﹣x）sinx=f（x），‎ ‎∴函数f（x）=（ex+e﹣x）sinx是偶函数，排除B、C；‎ 当0＜x＜π时，f（x）＞0，排除D．‎ ‎∴A满足题意．‎ 故选：A．‎ 点评： 本题考查函数的图象的判断，一般通过函数的定义域、值域．单调性，奇偶性，变化趋势等知识解答．‎ - 18 -‎ ‎　‎ ‎9．定义域为R的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）=x2﹣x，则当x∈[﹣1，0]时，f（x）的最小值为（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C．0 D．‎ 考点： 二次函数的性质．‎ 专题： 函数的性质及应用．‎ 分析： 设x∈[﹣1，0]，则x+1∈[0，1]，故由已知条件求得 f（x）==，再利用二次函数的性质求得函数f（x）的最小值．‎ 解答： 解：设x∈[﹣1，0]，则x+1∈[0，1]，‎ 故由已知条件可得f（x+1）=（x+1）2﹣（x+1）=x2+x=2f（x），‎ ‎∴f（x）==，‎ 故当x=﹣时，函数f（x）取得最小值为﹣，‎ 故选：A．‎ 点评： 本题主要考查求函数的解析式，二次函数的性质应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎10．双曲线的渐近线与抛物线y=2x2+1相切，则该双曲线的离心率等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ 考点： 双曲线的简单性质．‎ 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析： 把双曲线的一条渐近线方程代入抛物线，整理得到一个一元二次方程，由渐近线与抛物线只有一个公共点，由此利用根的判别式能求出结果．‎ 解答： 解：双曲线的渐近线方程为y=±，‎ 把y=代入抛物线抛物线y=2x2+1，‎ 得2bx2﹣ax+b=0，‎ ‎∵渐近线与抛物线y=2x2+1相切，‎ ‎∴△=a2﹣8b2=0，‎ ‎∴，‎ ‎∴e====．‎ - 18 -‎ 故选：D．‎ 点评： 本题考查双曲线的离心的求解，是基础题，解题进认真解题，注意相切的性质的灵活运用．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，共25分）‎ ‎11．已知函数f（x）=ln（x+1）﹣x+1，则函数f（x）零点的个数为　2　．‎ 考点： 函数零点的判定定理．‎ 专题： 计算题；作图题；函数的性质及应用．‎ 分析： 函数f（x）零点的个数即函数y=ln（x+1）与y=x﹣1的交点的个数，作函数y=ln（x+1）与y=x﹣1的图象求解．‎ 解答： 解：函数f（x）零点的个数即函数y=ln（x+1）与y=x﹣1的交点的个数，‎ 作函数y=ln（x+1）与y=x﹣1的图象如下，‎ 其有两个交点，‎ 故答案为：2．‎ 点评： 本题考查了函数的零点的判断与函数的图象的关系应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎12．设n为正整数，，计算得，f（4）＞2，，f（16）＞3，观察上述结果，可推测一般的结论为　f（2n）≥（n∈N*）　．‎ 考点： 归纳推理．‎ 专题： 探究型．‎ 分析： 根据已知中的等式：，f（4）＞2，，f（16）＞3，…，我们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系，归纳推断后，即可得到答案．‎ 解答： 解：观察已知中等式：‎ 得，‎ f（4）＞2，‎ ‎，‎ - 18 -‎ f（16）＞3，‎ ‎…，‎ 则f（2n）≥（n∈N*）‎ 故答案为：f（2n）≥（n∈N*）．‎ 点评： 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）‎ ‎　‎ ‎13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为　　．‎ 考点： 由三视图求面积、体积．‎ 专题： 空间位置关系与距离．‎ 分析： 由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，计算出底面面积和高，代入锥体体积公式，可得答案．‎ 解答： 解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，‎ 棱锥的底面面积S=2×2=4，‎ 棱锥的高h==2，‎ 故棱锥的体积V==，‎ 故答案为：‎ 点评： 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．‎ ‎　‎ ‎14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c；若a2﹣c2=bc，sinB=2sinC，则角A=　　．‎ 考点： 正弦定理；余弦定理．‎ 专题： 计算题；解三角形．‎ 分析： 先利用正弦定理化简sinB=2sinC得b=2c，再由a2﹣c2=bc可得 a2=7c2 ，然后利用余弦定理表示出cosA，把表示出的关系式分别代入即可求出cosA的值，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的值．‎ - 18 -‎ 解答： 解：由sinB=2sinC及正弦定理可得b=2c，再由a2﹣c2=bc可得 a2=7c2 ，‎ 再由余弦定理可得 cosA===，‎ ‎∵0＜A＜π ‎∴A=．‎ 故答案为：．‎ 点评： 本题主要考查了正弦、余弦定理，及特殊角的三角函数值化简求值，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎15．过抛物线y2=4x的焦点且倾斜角为60°的直线被圆截得的弦长是　　．‎ 考点： 抛物线的简单性质．‎ 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析： 由抛物线的焦点坐标求出直线方程，再求出圆的圆心的半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，由此能求出弦长．‎ 解答： 解：∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0），‎ ‎∴过抛物线y2=4x的焦点且倾斜角为60°的直线方程为：‎ y=tan60°（x﹣1），即，‎ ‎∵圆的圆心（2，﹣2），半径r=4，‎ ‎∴圆心（2，﹣2）到直线的距离：‎ d==，‎ ‎∴弦长L=2=2=．‎ 故答案为：．‎ 点评： 本题考查直线与圆相交的弦长的求法，是中档题，解题时要注意抛物线、圆、直线方程、点到直线距离公式等知识点的灵活运用．‎ ‎　‎ 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎16．已知函数f（x）=+1．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的定义域及最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）求f（x）在区间[，]上的最大值及取得最大值时x的集合．‎ 考点： 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．‎ 专题： 三角函数的图像与性质．‎ - 18 -‎ 分析： （Ⅰ）由sinx≠0得x≠kπ（k∈Z），即可得定义域，化简解析式为f（x）=2sin（2x﹣），从而可求f（x）的最小正周期．‎ ‎（Ⅱ）由x∈[，]，即可解得2x﹣∈[，]，从而可求f（x）在区间[，]上的最大值及取得最大值时x的集合．‎ 解答： 解：（Ⅰ）由sinx≠0得x≠kπ（k∈Z），‎ 故f（x）的定义域为{x∈R|x≠kπ（k∈Z}，‎ 因为f（x）=‎ ‎=（2sinx﹣2cosx）•cosx+1‎ ‎=sin2x﹣cos2x ‎=2sin（2x﹣）‎ 所以f（x）的最小正周期T=π．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=2sin（2x﹣），‎ 由x∈[，]，得2x﹣∈[，]‎ 所以当2x﹣=，即x=时，f（x）取得最大值2．‎ 点评： 本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎17．如图，矩形ABCD中，E，F分别在线段BC和AD上，EF∥AB，将矩形ABCD沿EF折起，记折起后的矩形为MNEF．‎ ‎（Ⅰ）求证：NC∥平面MFD；‎ ‎（Ⅱ）若四边形ECDF为正方形且平面MNEF⊥平面ECDF，求证：平面NED⊥平面NFC．‎ 考点： 平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．‎ 专题： 空间位置关系与距离．‎ 分析： （Ⅰ）根据线面平行的判定定理证明NC∥平面MFD；‎ ‎（Ⅱ）根据面面垂直的判定定理即可证明平面平面NED⊥平面NFC．‎ 解答： 证明：（Ⅰ）∵四边形MNEF，EFDC都是平行四边形，‎ ‎∴MN∥EF，EF∥CD，MN=EF，EF=CD，‎ ‎∴四边形MNCD是平行四边形，‎ ‎∴NC∥MD，‎ - 18 -‎ ‎∵NC⊄平面MFD，MD⊂平面MFD，‎ ‎∴NC∥平面MFD；‎ ‎（Ⅱ）连结ED，‎ ‎∵平面NMNEF⊥平面ECDF，且NE⊥EF，‎ ‎∴NE⊥平面ECDF，‎ ‎∴FC⊥NE，‎ ‎∵四边形ECDF为正方形，‎ ‎∴FC⊥ED，‎ ‎∵NE∩ED=E，EN⊂平面NED，ED⊂平面NED，‎ ‎∴FC⊥平面NFC，‎ ‎∵FC⊂平面NFC，‎ ‎∴平面NED⊥平面NFC．‎ 点评： 本题主要考查空间直线和平面平行以及平面和平面垂直的判定，要求熟练掌握相应的判定定理．‎ ‎　‎ ‎18．已知数列{an}的首项a1=，前n项和为Sn，且满足2an+1+Sn=3（n∈N*）．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求满足＜＜的所有n的和．‎ 考点： 数列的求和；数列递推式．‎ 专题： 等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．‎ 分析： （Ⅰ）在已知的数列递推式中取n=n﹣1得另一递推式，两式作差后即可得到数列{an}的首项a1=，公比为的等比数列，由等比数列的通项公式得答案；‎ ‎（Ⅱ）将代入2an+1+Sn=3，求得，进一步得到S2n，代入后由得，求解指数不等式可得正整数n的值，则答案可求．‎ 解答： 解：（Ⅰ）由2an+1+Sn=3，得2an+Sn﹣1=3（n≥2），‎ 两式相减得：2an+1﹣2an+an=0，即．‎ - 18 -‎ 又，符合上式，‎ ‎∴数列{an}的首项a1=，公比为的等比数列，‎ 则；‎ ‎（Ⅱ）将代入2an+1+Sn=3，得，‎ 故．‎ ‎∴=．‎ 故由得．‎ 又n为正整数，∴n=3或n=4．‎ ‎∴满足＜＜的所有n的和为7．‎ 点评： 本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，考查了指数不等式的解法，是中档题．‎ ‎　‎ ‎19．已知一企业生产某产品的年固定成本为10万元，每生产千件该产品需另投入2.7万元，设该企业年内共生产此种产品x千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为f（x）万元，且f（x）=．‎ ‎（Ⅰ）写出年利润P（万元）关于产品年产量x（千件）的函数关系式；‎ ‎（Ⅱ）年产量x为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大？（注：年利润=年销售收入﹣年总成本）‎ 考点： 函数模型的选择与应用；分段函数的应用．‎ 专题： 计算题；应用题；函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．‎ 分析： （Ⅰ）当0＜x≤10时，P=xf（x）﹣（10+2.7x）=8.1x﹣﹣10；当x＞10时，P=xf（x）﹣（10+2.7x）=98﹣﹣2.7x；写成分段函数即可；‎ ‎（Ⅱ）分0＜x≤10与10＜x时讨论函数的最大值，从而求最大值点即可．‎ 解答： 解：（Ⅰ）当0＜x≤10时，‎ P=xf（x）﹣（10+2.7x）=8.1x﹣﹣10；‎ - 18 -‎ 当x＞10时，P=xf（x）﹣（10+2.7x）=98﹣﹣2.7x；‎ 故P=；‎ ‎（Ⅱ）①当0＜x≤10时，由P′=8.1﹣=0解得，x=9；‎ 故当x=9时有最大值P=8.1×9﹣﹣10=38.6；‎ ‎②当10＜x时，由P=98﹣（+2.7x）≤98﹣2=38；‎ ‎（当且仅当=2.7x，即x=时，等号成立）；‎ 综上所述，当x=9时，P取得最大值．‎ 即当年产量x为9千件时，该企业生产此产品所获年利润最大．‎ 点评： 本题考查了函数在实际问题中的应用，同时考查了导数的应用与基本不等式的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．定义在R上的函数f（x）=ax2+bx2+cx+3同时满足以下条件：‎ ‎①f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；‎ ‎②f′（x）是偶函数；‎ ‎③f（x）的图象在x=0处的切线与直线y=x+2垂直．‎ ‎（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；‎ ‎（Ⅱ）设g（x）=4lnx﹣m，若存在x∈[1，e]，使g（x）＜f′（x），求实数m的取值范围．‎ 考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；二次函数的性质；利用导数求闭区间上函数的最值．‎ 专题： 导数的概念及应用．‎ 分析： （Ⅰ）利用题中的已知条件，分别求出a、b、c的值，进一步求出函数的解析式．‎ ‎（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的解析式，进一步求出函数的导数，再利用函数的存在性问题即m＞f（x），只需满足：m＞（f（x））min即可．从而通过求函数的最小值确定结果．‎ 解答： 解：（Ⅰ）定义在R上的函数f（x）=ax2+bx2+cx+3，‎ 所以：f′（x）=3ax2+2bx+c ‎①f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，‎ 所以：f′（1）=3a+2b+c=0，③‎ ‎②f′（x）=3ax2+2bx+c是偶函数；‎ 则：b=0．‎ f（x）的图象在x=0处的切线与直线y=x+2垂直．‎ 所以：f′（0）=﹣1④‎ 解得：c=﹣1．⑤‎ 把④⑤代入③解得：a=‎ - 18 -‎ 则：‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f′（x）=x2﹣1，‎ 设g（x）=4lnx﹣m，若存在x∈[1，e]，‎ 使得：4lnx﹣m＜x2﹣1‎ 即存在x∈[1，e]，使：m＞（4lnx﹣x2+1）min，‎ 设M（x）=4lnx﹣x2+1 x∈[1，e]，‎ 则：‎ 令 由于 x∈[1，e]，‎ 解得：x=，‎ 当时，M′（x）＞0，所以M（x）在[1，]上是增函数，‎ 当时，M′（x）＜0，所以M（x）在[，e]上是减函数．‎ 即当x=时，函数求的最大值．‎ M（1）=0，M（e）=5﹣e2＜0‎ 所以：m＞5﹣e2‎ 即m的取值范围为：m＞5﹣e2‎ 点评： 本题考查的知识要点：利用函数的性质求函数的解析式，存在性问题的应用，及相关的运算问题．‎ ‎　‎ ‎21．已知椭圆E：+=1（a＞b＞1）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，P是椭圆上一点，且△PF1F2面积的最大值等于．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的方程；‎ ‎（Ⅱ）直线l：y=kx+m与以线段F1F2为直径的圆O相切，并与椭圆E相交于不同的两点A、B，若•=﹣．求k的值．‎ 考点： 椭圆的简单性质．‎ 专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析： （I）由△PF1F2面积的最大值等于，可得bc=，利用离心率为，可得=，即可求椭圆E的方程；‎ ‎（II）由于圆O是以F1，F2为直径的圆，直线l：y=kx+m与⊙O相切，利用直线与圆相切的从要条件得到一个等式，把直线方程与椭圆方程联立利用整体代换的思想，根据•=﹣建立k的方程求k．‎ 解答： 解：（1）由△PF1F2面积的最大值等于，可得bc=，‎ ‎∵离心率为，∴=，解得：a=2，b=，‎ - 18 -‎ ‎∴椭圆的方程为：；‎ ‎（II）由直线l与圆O相切，得：=1，∴m2=1+k2，‎ 设A（x1，y1）B（x2，y2），‎ 由直线代入椭圆方程，整理得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，‎ ‎∴x1+x2=﹣，x1x2=，‎ ‎∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2‎ ‎=k2×+km（﹣）+m2‎ ‎=，‎ ‎∴x1x2+y1y2=+==﹣，‎ 解得：k=±．‎ 点评： 此题考查了椭圆的基本性质及椭圆的标准方程，还考查了直线方程与椭圆方程联立之后的整体代换设而不求，还有求解问题时方程的思想．‎ ‎　‎ - 18 -‎