山东省济宁市2015届高三数学上学期期末考试试卷 理（含解析）.doc

‎2015年山东省济宁市高三（上）期末数学试卷（理科） ‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．设全集为R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则A∩（∁RB）=（　　）‎ A．（﹣2，1） B．[1，2） C．（﹣2，1] D．（1，2）‎ ‎　‎ ‎2．下列命题中，假命题是（　　）‎ A．∀x∈R，3x﹣2＞0 B．∃x0∈R，tanx0=2‎ C．∃x0∈R，log2x0＜2 D．∀x∈N*，（x﹣2）2＞0‎ ‎　‎ ‎3．已知tanα=2，且α∈（﹣π，0），则sinα﹣cosα的值是（　　）‎ A． B．﹣ C．﹣ D．‎ ‎　‎ ‎4．直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎　‎ ‎5．已知向量，，其中=（﹣1，），且⊥（﹣3），则在上的投影为 （　　）‎ A． B．﹣ C． D．﹣‎ ‎　‎ ‎6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ ‎7．函数y=的图象大致为（　　）‎ A． B． C． D．‎ - 22 -‎ ‎　‎ ‎8．设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为8，则ab的最大值为（　　）‎ A．1 B．2 C． D．4‎ ‎　‎ ‎9．已知函数f（x）=sin（x﹣φ），且f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（　　）‎ A．x= B．x= C．x= D．x=‎ ‎　‎ ‎10．已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣k（x+1）有三个零点，则实数k的取值范围是（　　）‎ A．（1，+∞） B．（﹣，0） C．（0，） D．（，1）‎ ‎　‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．‎ ‎11．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎12．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an=2Sn﹣1（n≥2），则an=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎13．若对任意实数x，不等式|x+3|+|x﹣1|≥a2﹣3a恒成立，则实数a的取值范围为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎14．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则该抛物线的标准方程是　　　　　　．‎ ‎　‎ - 22 -‎ ‎15．在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”，类似的，我们在平面向量集D={|=（x，y），x∈R，y∈R}上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“＞＞”．定义如下：对于任意两个向量=（x1，y1），=（x2，y2），当且仅当“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”时，＞＞成立．按上述定义的关系“＞＞”，给出如下几个命题：‎ ‎①若=（1，0），=（0，1），=（0，0），则＞＞＞＞；‎ ‎②若＞＞，＞＞，则＞＞；‎ ‎③若＞＞，则对于任意∈D，+＞＞+；‎ 其中真命题的序号为　　　　　　．（把你认为正确的命题序号都填上）‎ ‎　‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．‎ ‎（Ⅰ）求cosA的值；‎ ‎（Ⅱ）若，b=5，求角B、边c的值．‎ ‎　‎ ‎17．已知公比为q的等比数列{an}是递减数列，且满足 ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列{（2n﹣1）•an}的前n项和Tn．‎ ‎　‎ ‎18．已知一企业生产某产品的年固定成本为10万元，每生产千件该产品需另投入2.7万元，设该企业年内共生产此种产品x千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为f（x）万元，且f（x）=．‎ ‎（Ⅰ）写出年利润P（万元）关于产品年产量x（千件）的函数关系式；‎ ‎（Ⅱ）年产量x为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大？（注：年利润=年销售收入﹣年总成本）‎ ‎　‎ ‎19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD．‎ ‎（Ⅰ）求证：AB⊥PD；‎ ‎（Ⅱ）若∠BPC=90°，PB=PC=2，问AB为何值时，四棱锥P﹣ABCD的体积最大？并求此时直线PB与平面PDC所成角的正弦值．‎ - 22 -‎ ‎　‎ ‎20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点（0，），离心率为，左、右焦点分别为F1（﹣c，0）与F2（c，0）．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设椭圆C与x轴负半轴交点为A，过点M（﹣4，0）作斜率为k（k≠0）的直线l，交椭圆C于B、D两点（B在M、D之间），N为BD中点，并设直线ON的斜率为k1．‎ ‎（i）证明：k•k1为值；‎ ‎（ii）是否存在实数k，使得F1N⊥AD？如果存在，求直线l的方程；如果不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎21．设a∈R，函数f（x）=ax2﹣（2a+1）x+lnx．‎ ‎（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的极值；‎ ‎（Ⅱ）设g（x）=ex﹣x﹣1，若对于任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎　‎ - 22 -‎ ‎2014-2015学年山东省济宁市高三（上）期末数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．设全集为R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则A∩（∁RB）=（　　）‎ A．（﹣2，1） B．[1，2） C．（﹣2，1] D．（1，2）‎ 考点： 交、并、补集的混合运算．‎ 专题： 集合．‎ 分析： 分别求出关于A，B的集合，再求出B在R的补集，从而求出则A∩（∁RB）．‎ 解答： 解：∵A={x|x（x﹣2）＜0}={x|0＜x＜2}，‎ B={x|y=ln（1﹣x）}={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}，‎ ‎∴∁RB={x|x≥1}，‎ ‎∴A∩（∁RB）=[1，2）．‎ 故选：B．‎ 点评： 本题考查了集合的补集，交集的运算，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎2．下列命题中，假命题是（　　）‎ A．∀x∈R，3x﹣2＞0 B．∃x0∈R，tanx0=2‎ C．∃x0∈R，log2x0＜2 D．∀x∈N*，（x﹣2）2＞0‎ 考点： 全称命题；特称命题．‎ 专题： 函数的性质及应用；简易逻辑．‎ 分析： 根据指数函数，对数函数，正切函数，二次函数的图象和性质，分别判断四个答案的真假，可得答案．‎ 解答： 解：由指数函数的值域为（0，+∞）可得：∀x∈R，3x﹣2＞0为真命题；‎ 由正切函数的值域为R可得：∃x0∈R，tanx0=2为真命题；‎ 由对数函数的值域为R可得：∃x0∈R，log2x0＜2为真命题；‎ 当x=2时，（x﹣2）2=0，故∀x∈N*，（x﹣2）2＞0为假命题，‎ 故选：D．‎ 点评： 本题考查的知识点是全称命题，函数的值域，是函数与命题的综合应用，难度不大，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．已知tanα=2，且α∈（﹣π，0），则sinα﹣cosα的值是（　　）‎ A． B．﹣ C．﹣ D．‎ 考点： 同角三角函数基本关系的运用．‎ 专题： 三角函数的求值．‎ 分析： 由tanα的值，根据α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα与cosα的值，代入原式计算即可得到结果．‎ 解答： 解：∵tanα=2＞0，‎ ‎∴α∈（﹣π，﹣），‎ - 22 -‎ ‎∴cosα=﹣=﹣，sinα=﹣=﹣，‎ 则sinα﹣cosα=﹣+=﹣‎ 点评： 此题考查了同角三角基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎4．直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与圆相交的性质．‎ 专题： 直线与圆；简易逻辑．‎ 分析： 根据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．‎ 解答： 解：若直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，‎ 则圆心到直线距离d=，|AB|=2，‎ 若k=1，则|AB|=，d=，则△OAB的面积为×=成立，即充分性成立．‎ 若△OAB的面积为，则S==×2×==，‎ 即k2+1=2|k|，即k2﹣2|k|+1=0，‎ 则（|k|﹣1）2=0，‎ 即|k|=1，‎ 解得k=±1，则k=1不成立，即必要性不成立．‎ 故“k=1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件．‎ 故选：A．‎ 点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角形的面积公式，以及半径半弦之间的关系是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎5．已知向量，，其中=（﹣1，），且⊥（﹣3），则在上的投影为 （　　）‎ A． B．﹣ C． D．﹣‎ 考点： 平面向量数量积的运算．‎ 专题： 平面向量及应用．‎ 分析： 利用在上的投影为即可得出．‎ - 22 -‎ 解答： 解：由已知，=（﹣1，），且⊥（﹣3），==4﹣3，，‎ 所以在上的投影为；‎ 故选C．‎ 点评： 本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量的投影，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ 考点： 由三视图求面积、体积．‎ 专题： 计算题；空间位置关系与距离．‎ 分析： 由三视图知几何体为四棱锥，且四棱锥的左边侧面与底面垂直，四棱锥的底面是边长为2的正方形，‎ 画出其直观图如图，由侧视图等腰三角形的腰长为，求得棱锥的高，把数据代入棱锥的体积公式计算．‎ 解答： 解：由三视图知几何体为四棱锥，四棱锥的左边侧面与底面垂直，其直观图如图：‎ 且四棱锥的底面是边长为2的正方形，‎ 由侧视图等腰三角形的腰长为，得棱锥的高为=2，‎ ‎∴几何体的体积V=×22×2=．‎ 故选B．‎ 点评： 本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及求相关几何量的数据．‎ ‎　‎ ‎7．函数y=的图象大致为（　　）‎ - 22 -‎ A． B． C． D．‎ 考点： 函数的图象．‎ 专题： 函数的性质及应用．‎ 分析： 现根据函数的奇偶性排除A，再根据函数值y的情况排除B，再利用极限的思想排除C，问题得以解决 解答： 解：∵f（﹣x）==﹣=f（x），‎ ‎∴函数f（x）为奇函数，故排除A，‎ 当x＞0时，3x＞3﹣x，当x＜0时，3x＜3﹣x，‎ 当2kπ＜3x＜2kπ+，即＜x＜+时，cos3x＞0，故y＞0，故排除B，‎ 因为=0，‎ 故排除C，‎ 故选：D 点评： 本题考查了函数的图象的识别，函数的奇偶性，函数值，极限是常用的方法，属于中档题 ‎　‎ ‎8．设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为8，则ab的最大值为（　　）‎ A．1 B．2 C． D．4‎ 考点： 简单线性规划．‎ 专题：不等式的解法及应用．‎ 分析： 由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得到3a+14b=20，然后利用基本不等式求得ab的最大值．‎ 解答： 解：由约束条件作出可行域如图，‎ - 22 -‎ 联立，解得B（）．‎ 化z=ax+by为，‎ 由图可知，当直线过B时，直线在y轴上的截距最大，z最大．‎ 此时z=，即3a+14b=20．‎ ‎∵a＞0，b＞0，‎ ‎∴，即．‎ ‎∴ab的最大值为．‎ 故选：C．‎ 点评： 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．‎ ‎　‎ ‎9．已知函数f（x）=sin（x﹣φ），且f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（　　）‎ A．x= B．x= C．x= D．x=‎ 考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；定积分．‎ 专题： 三角函数的图像与性质．‎ 分析： 由f（x）dx=0求得cos（φ+）=0，故有 φ+=kπ+，k∈z．可取φ=，则f（x）=sin（x﹣）．‎ 令x﹣=kπ+，求得x的值，可得函数f（x）的图象的一条对称轴方程．‎ - 22 -‎ 解答： 解：∵函数f（x）=sin（x﹣φ），‎ f（x）dx=﹣cos（x﹣φ）=﹣cos（﹣φ）﹣[﹣cos（﹣φ）]=cosφ﹣sinφ=cos（φ+）=0，‎ ‎∴φ+=kπ+，k∈z，即 φ=kπ+，k∈z，故可取φ=，f（x）=sin（x﹣）．‎ 令x﹣=kπ+，求得 x=kπ+，k∈Z，‎ 则函数f（x）的图象的一条对称轴为 x=，‎ 故选：A．‎ 点评： 本题主要考查定积分，函数y=Asin（ωx+φ）的图象的对称性，两角和差的三角公式的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎10．已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣k（x+1）有三个零点，则实数k的取值范围是（　　）‎ A．（1，+∞） B．（﹣，0） C．（0，） D．（，1）‎ 考点： 函数零点的判定定理．‎ 专题： 计算题；作图题；函数的性质及应用．‎ 分析： 函数y=f（x）﹣k（x+1）有三个零点可化为f（x）﹣k（x+1）=0有三个不同的解；易知x=﹣1不是方程的解，故可化为k=；从而作图求解．‎ 解答： 解：函数y=f（x）﹣k（x+1）有三个零点可化为f（x）﹣k（x+1）=0有三个不同的解；‎ 易知x=﹣1不是方程的解，‎ 故可化为k=；‎ 作y=的图象如下，‎ 由图象结合选项可知，‎ - 22 -‎ 实数k的取值范围是（0，）；‎ 故选C．‎ 点评： 本题考查了函数的性质与图象的应用，同时考查了数形结合的思想应用，属于基础题．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．‎ ‎11．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于　　．‎ 考点： 异面直线及其所成的角．‎ 专题： 空间角．‎ 分析： 首先通过做平行线把异面直线的夹角转化为共面直线的夹角，进一步利用解直角三角形知识求得结果．‎ 解答： 解：取BC的中点F，连接EF，OF 由于O为底面ABCD的中心，E为CC1的中点，‎ 所以：EF∥BC1∥AD1‎ 所以：异面直线OE与AD1所成角，即OE与EF所成的角．‎ 平面ABCD⊥平面BCC1B1‎ OF⊥BC 所以：OF⊥平面BCC1B1‎ EF⊂平面BCC1B1‎ 所以：EF⊥OF cos 故答案为：‎ 点评： 本题考查的知识要点：异面直线所成的角的应用，线面垂直与面面垂直及线线垂直之间的转化，属于基础题型．‎ ‎　‎ ‎12．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an=2Sn﹣1（n≥2），则an=　　．‎ 考点： 数列递推式．‎ 专题： 计算题；等差数列与等比数列．‎ 分析： 利用n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，确定数列{Sn}是以1为首项，3为公比的等比数列，从而可得结论．‎ - 22 -‎ 解答： 解：n≥2时，∵an=2Sn﹣1，∴Sn﹣Sn﹣1=2Sn﹣1，∴Sn=3Sn﹣1，‎ ‎∵a1=1，∴S1=1‎ ‎∴数列{Sn}是以1为首项，3为公比的等比数列 ‎∴Sn=3n﹣1，‎ ‎∴n≥2时，an=2Sn﹣1=2•3n﹣2，‎ 又a1=1，∴an=‎ 故答案为：‎ 点评： 本题考查数列递推式，考查等比数列的判定，考查数列的通项，确定数列{Sn}是以1为首项，3为公比的等比数列是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎13．若对任意实数x，不等式|x+3|+|x﹣1|≥a2﹣3a恒成立，则实数a的取值范围为　[﹣1，4]　．‎ 考点： 函数恒成立问题．‎ 专题： 不等式的解法及应用．‎ 分析： 由绝对值的集合意义求得|x+3|+|x﹣1|的最小值，把不等式|x+3|+|x﹣1|≥a2﹣3a恒成立转化为a2﹣3a≤4‎ ‎，求解该不等式得答案．‎ 解答： 解：由绝对值的几何意义知，|x+3|+|x﹣1|表示数轴上的动点x与两定点﹣3，1的距离，‎ 则|x+3|+|x﹣1|的最小值为4，‎ 要使不等式|x+3|+|x﹣1|≥a2﹣3a恒成立，则 a2﹣3a≤4，即a2﹣3a﹣4≤0，解得：﹣1≤a≤4．‎ ‎∴满足对任意实数x，不等式|x+3|+|x﹣1|≥a2﹣3a恒成立的实数a的取值范围为[﹣1，4]．‎ 故答案为：[﹣1，4]．‎ 点评： 本题考查了函数恒成立问题，考查了绝对值的几何意义，考查了数学转化思想方法，是中档题．‎ ‎　‎ ‎14．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则该抛物线的标准方程是　y2=4x　．‎ 考点： 双曲线的简单性质．‎ 分析： 把x=﹣代入，解得y，可得|AB|=，利用△AOB的面积为，可得=，再利用=2，解得．即可得出p．‎ - 22 -‎ 解答： 解：把x=﹣代入，解得y=±．‎ ‎∴|AB|=，‎ ‎∵△AOB的面积为，‎ ‎∴=，‎ 由=2，解得=．‎ ‎∴，‎ 解得p=2．‎ ‎∴该抛物线的标准方程是y2=4x．‎ 故答案为：y2=4x．‎ 点评： 本题考查了双曲线与抛物线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎15．在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”，类似的，我们在平面向量集D={|=（x，y），x∈R，y∈R}上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“＞＞”．定义如下：对于任意两个向量=（x1，y1），=（x2，y2），当且仅当“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”时，＞＞成立．按上述定义的关系“＞＞”，给出如下几个命题：‎ ‎①若=（1，0），=（0，1），=（0，0），则＞＞＞＞；‎ ‎②若＞＞，＞＞，则＞＞；‎ ‎③若＞＞，则对于任意∈D，+＞＞+；‎ 其中真命题的序号为　①②③　．（把你认为正确的命题序号都填上）‎ 考点： 进行简单的合情推理．‎ 专题： 推理和证明．‎ 分析： 根据已知中任意两个向量=（x1，y1），=（x2，y2），当且仅当“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”时，＞＞成立．逐一判断四个结论的真假，可得答案．‎ 解答： 解：∵任意两个向量=（x1，y1），=（x2，y2），当且仅当“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”时，＞＞成立．‎ ‎∵若=（1，0），=（0，1），=（0，0），则》》，故①正确；‎ - 22 -‎ ‎（2）设=（x1，y1），=（x2，y2），=（x3，y3），‎ 由＞＞，得“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”‎ 由＞＞，得“x2＞x3”或“x2=x3且y2＞y3”‎ 若“x1＞x2＞x3”，则》；‎ 若“x1＞x2”，且“x2=x3且y2＞y3”，则“x1＞x3”，‎ 所以＞＞若“x1=x2且y1＞y2”且“x2＞x3”，‎ 则x1＞x3，所以＞＞若“x1=x2且y1＞y2”且“x2=x3且y2＞y3”，‎ 则x1=x3且y1＞y3，所以＞＞，‎ 综上所述，若＞＞，＞＞，则＞＞，所以②正确 ‎（3）设=（x1，y1），=（x2，y2），=（x，y），则+=（x1+x，y1+y），+=（x2+x，y2+y），‎ 由＞＞，得“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”‎ 若x1＞x2，则x1+x＞x2+x，所以+＞＞+；‎ 若x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2，则x1+x=x2+x且y1+y＞y2+y，所以+＞＞+；‎ 综上所述，若＞＞，则对于任意∈D，+＞＞+；‎ 所以③正确，‎ 综上所述，①②③正确，‎ 故答案为：①②③‎ 点评： 本题以命题的真假判断为载体，考查了新定义“＞＞”．正确理解新定义“＞＞”的实质，是解答的关键．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．‎ ‎（Ⅰ）求cosA的值；‎ ‎（Ⅱ）若，b=5，求角B、边c的值．‎ 考点： 余弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦定理．‎ 专题： 计算题；解三角形．‎ - 22 -‎ 分析： （I）利用三角函数的降幂公式和诱导公式，化简题中等式得，再利用两角和的正弦公式得，即得cosA的值；‎ ‎（II）由同角三角函数关系算出，再根据正弦定理得出，结合题意算出．最后根据余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA的式子加以计算，即可得到边c的值．‎ 解答： 解：（I）由，‎ 得，…（3分）‎ 即，可得，‎ 即．…（6分）‎ ‎（II）由，得，‎ 根据正弦定理，得．‎ 由题意a＞b，则A＞B，故．…（9分）‎ 再由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，得 ‎，解之得c=1（c=﹣7舍去）．…（12分）‎ 点评： 本题着重考查了三角函数恒等变换公式、正弦定理、余弦定理和三角形大角对大边等知识，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎17．已知公比为q的等比数列{an}是递减数列，且满足 ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列{（2n﹣1）•an}的前n项和Tn．‎ 考点： 数列的求和．‎ 专题： 综合题；等差数列与等比数列．‎ 分析： （Ⅰ）由a1a2a3=及等比数列性质得=，可求得a2=，根据等比数列的通项公式求出数列的首项和公比，然后求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）利用错位相减法可求数列{（2n﹣1）•an}的前n项和为Tn；‎ 解答： 解：由a1a2a3=，及等比数列性质得=，解得a2=，‎ 由a1+a2+a3=得a1+a3=‎ - 22 -‎ 由以上得，‎ ‎∴=，即3q2﹣10q+3=0，解得q=3，或q=．‎ ‎∵{an}是递减数列，故q=3舍去，‎ ‎∴q=，由a2=，得a1=1．‎ 故数列{an}的通项公式为an=（n∈N*）．‎ ‎（II）由（I）知（2n﹣1）•an=，‎ ‎∴Tn=1+++…+①，Tn=+++…++②．‎ ‎①﹣②得：Tn=1++++…+﹣‎ ‎=1+2（+++…+）﹣‎ ‎=1+2•﹣=2﹣﹣，‎ ‎∴Tn=3﹣．‎ 点评： 本题主要考查等比数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，考查学生的运算求解能力，属中档题．‎ ‎　‎ ‎18．已知一企业生产某产品的年固定成本为10万元，每生产千件该产品需另投入2.7万元，设该企业年内共生产此种产品x千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为f（x）万元，且f（x）=．‎ ‎（Ⅰ）写出年利润P（万元）关于产品年产量x（千件）的函数关系式；‎ ‎（Ⅱ）年产量x为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大？（注：年利润=年销售收入﹣年总成本）‎ 考点： 函数模型的选择与应用；分段函数的应用．‎ - 22 -‎ 专题： 计算题；应用题；函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．‎ 分析： （Ⅰ）当0＜x≤10时，P=xf（x）﹣（10+2.7x）=8.1x﹣﹣10；当x＞10时，P=xf（x）﹣（10+2.7x）=98﹣﹣2.7x；写成分段函数即可；‎ ‎（Ⅱ）分0＜x≤10与10＜x时讨论函数的最大值，从而求最大值点即可．‎ 解答： 解：（Ⅰ）当0＜x≤10时，‎ P=xf（x）﹣（10+2.7x）=8.1x﹣﹣10；‎ 当x＞10时，P=xf（x）﹣（10+2.7x）=98﹣﹣2.7x；‎ 故P=；‎ ‎（Ⅱ）①当0＜x≤10时，由P′=8.1﹣=0解得，x=9；‎ 故当x=9时有最大值P=8.1×9﹣﹣10=38.6；‎ ‎②当10＜x时，由P=98﹣（+2.7x）≤98﹣2=38；‎ ‎（当且仅当=2.7x，即x=时，等号成立）；‎ 综上所述，当x=9时，P取得最大值．‎ 即当年产量x为9千件时，该企业生产此产品所获年利润最大．‎ 点评： 本题考查了函数在实际问题中的应用，同时考查了导数的应用与基本不等式的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD．‎ ‎（Ⅰ）求证：AB⊥PD；‎ ‎（Ⅱ）若∠BPC=90°，PB=PC=2，问AB为何值时，四棱锥P﹣ABCD的体积最大？并求此时直线PB与平面PDC所成角的正弦值．‎ 考点： 直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．‎ 专题： 空间位置关系与距离；空间角．‎ 分析： （Ⅰ）由已知条件推导出AB⊥平面PAD，由此能证明AB⊥PD．‎ ‎（Ⅱ）取线段AD的中点O，连结PO，则PO⊥平面ABCD，取BC中点M，连结OM，则OM⊥AD，设AB=x，则VP﹣ABCD===‎ - 22 -‎ ‎，当且仅当x2=1，即x=1时，四棱锥P﹣ABCD的体积最大，此时以O为原点，OA为x轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PB与平面PDC所成角的正弦值．‎ 解答： （Ⅰ）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，‎ 平面PAD∩平面ABCD=AD，AB⊥AD，‎ ‎∴AB⊥平面PAD，‎ 又PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，‎ ‎∴AB⊥PD．‎ ‎（Ⅱ）解：由题意得AB⊥平面PAD，DC⊥平面PAD，‎ ‎∴在Rt△PAB与Rt△PDC中，PB=PC=2，‎ AB=DC，∴PA=PD，∴△PAD为等腰三角形，‎ 取线段AD的中点O，连结PO，则PO⊥平面ABCD，‎ 取BC中点M，连结OM，则OM⊥AD，‎ 设AB=x，则OM=AB=x，‎ 在△BPC中，∠BPC=90°，PB=PC=2，∴BC=2，‎ PM=，‎ ‎∴在Rt△POM中，PO=，‎ ‎∴VP﹣ABCD==‎ ‎=‎ ‎=，‎ 当且仅当x2=1，即x=1时，四棱锥P﹣ABCD的体积最大，‎ 此时以O为原点，OA为x轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 则O（0，0，0），B（），C（﹣，1，0），‎ D（﹣，0，0），P（0，0，1），‎ ‎∴，=（0，﹣1，0），‎ 设平面PDC的一个法向量=（x，y，z），‎ 由，‎ 令x=1，解得=（1，0，﹣），‎ 又=（），‎ 设直线PB与平面PDC所成角为θ，‎ sinθ=|cos＜＞|=||=．‎ ‎∴直线PB与平面PDC所成角的正弦值为．‎ - 22 -‎ 点评： 本题考查异面向量垂直的证明，考查四面体体积最大时线段长的求法，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．‎ ‎　‎ ‎20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点（0，），离心率为，左、右焦点分别为F1（﹣c，0）与F2（c，0）．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设椭圆C与x轴负半轴交点为A，过点M（﹣4，0）作斜率为k（k≠0）的直线l，交椭圆C于B、D两点（B在M、D之间），N为BD中点，并设直线ON的斜率为k1．‎ ‎（i）证明：k•k1为值；‎ ‎（ii）是否存在实数k，使得F1N⊥AD？如果存在，求直线l的方程；如果不存在，请说明理由．‎ 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．‎ 专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题．‎ 分析： （I）由椭圆经过点（0，），离心率为，可得，解得即可．‎ ‎（II）（i）设B（x1，y1），D（x2，y2），线段BD的中点N（x0，y0）．由题意可得直线l的方程为：y=k（x+4），与椭圆方程联立化为（3+4k2）x2+k2x+64k2﹣12=0，由△＞0，可得，且k≠0．利用根与系数的关系、中点坐标公式可得=，即可证明．‎ ‎（ii）假设存在实数k，使得F1N⊥AD，则=﹣1，利用斜率计算公式可得x2=﹣8k2﹣2＜﹣2，与x2≥﹣2矛盾．‎ 解答： 解：（I）∵椭圆经过点（0，），离心率为，‎ ‎∴，解得a=2，c=1，b=．‎ - 22 -‎ ‎∴椭圆C的方程为．‎ ‎（II）（i）证明：设B（x1，y1），D（x2，y2），线段BD的中点N（x0，y0）‎ 由题意可得直线l的方程为：y=k（x+4），‎ 联立，化为（3+4k2）x2+k2x+64k2﹣12=0，‎ 由△＞0，可得，且k≠0．‎ ‎∴x1+x2=，．‎ ‎∴=，y0=k（x0+4）=，‎ ‎∴=，即k1•k=﹣为定值．‎ ‎（ii）假设存在实数k，使得F1N⊥AD，则=﹣1，‎ ‎∵===，kAD==，‎ ‎∴=﹣1，化为x2=﹣8k2﹣2＜﹣2，与x2≥﹣2矛盾，‎ ‎∴直线l不存在．‎ 点评： 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎　‎ ‎21．设a∈R，函数f（x）=ax2﹣（2a+1）x+lnx．‎ ‎（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的极值；‎ ‎（Ⅱ）设g（x）=ex﹣x﹣1，若对于任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．‎ 考点： 利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．‎ 专题： 导数的综合应用．‎ - 22 -‎ 分析： （Ⅰ）当a=1时，函数f（x）=x2﹣3x+lnx，．令f'（x）=0得：．列出表格即可得出函数的单调性极值；‎ ‎（II）对于任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，则有f（x）max≤g（x）min．利用导数分别在定义域内研究其单调性极值与最值即可．‎ 解答： 解：（Ⅰ）当a=1时，函数f（x）=x2﹣3x+lnx，．‎ 令f'（x）=0得：‎ 当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：‎ x 1 （1，+∞）‎ f'（x） + 0 ﹣ 0 +‎ f（x） 单调递增 极大 单调递减 极小 单调递增 因此，当时，f（x）有极大值，且；‎ 当x=1时，f（x）有极小值，且f（x）极小值=﹣2．‎ ‎（Ⅱ）由g（x）=ex﹣x﹣1，则g'（x）=ex﹣1，‎ 令g'（x）＞0，解得x＞0；令g'（x）＜0，解得x＜0．‎ ‎∴g（x）在（﹣∞，0）是减函数，在（0，+∞）是增函数，‎ 即g（x）最小值=g（0）=0．‎ 对于任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，则有f（x1）≤g（0）即可．‎ 即不等式f（x）≤0对于任意的x∈（0，+∞）恒成立．‎ ‎（1）当a=0时，，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1；令f'（x）＜0，解得x＞1．‎ ‎∴f（x）在（0，1）是增函数，在（1，+∞）是减函数，‎ ‎∴f（x）最大值=f（1）=﹣1＜0，‎ ‎∴a=0符合题意．‎ ‎（2）当a＜0时，，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1；令f'（x）＜0，解得x＞1．‎ ‎∴f（x）在（0，1）是增函数，在（1，+∞）是减函数，‎ ‎∴f（x）最大值=f（1）=﹣a﹣1≤0，‎ 得﹣1≤a＜0，‎ ‎∴﹣1≤a＜0符合题意．‎ - 22 -‎ ‎（3）当a＞0时，，f'（x）=0得，‎ 时，0＜x1＜1，令f'（x）＞0，解得或x＞1；‎ 令f'（x）＜0，解得．‎ ‎∴f（x）在（1，+∞）是增函数，‎ 而当x→+∞时，f（x）→+∞，这与对于任意的x∈（0，+∞）时f（x）≤0矛盾．‎ 同理时也不成立．‎ 综上所述：a的取值范围为[﹣1，0]．‎ 点评： 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了分类讨论的思想方法，考察了推理能力和计算能力，属于难题．‎ ‎　‎ - 22 -‎