黑龙江省双鸭山市第一中学2016届高三数学上学期期中试题 理.doc

双鸭山一中2016届高三上学期期中考试 数学试卷（理工类）‎ 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．函数的定义域是 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎2． 已知为虚数单位，，若为纯虚数， 则复数 在复平面内 对应的点位于（ ）‎ ‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．已知，则的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．已知命题，命题,则（ ）‎ A．命题是假命题 B．命题是真命题 C．命题是真命题 D．命题是假命题 ‎6．若函数在上单调递减，且在上的最大值为，则的值为（ ）‎ A. B. C. 　D. ‎ ‎7．正方体-中，与平面所成角的余弦值为 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎8.已知、是不同的直线，、是不同的平面，有下列命题： ‎ - 8 -‎ ‎ ① 若∥，则∥ ② 若∥，∥，则∥‎ ‎ ③ 若∥，则∥且∥ ④ 若，则∥‎ ‎ 其中真命题的个数是 （ ）‎ ‎ A．个 B．个 C．个 D．个 ‎9．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，‎ 则截去部分体积与剩余部分体积的比值为(　　) ‎ A. B. C. D. ‎10．已知在的内部，满足0，则的面积与的面积之比为 ‎ （ ）‎ ‎ A．　　　　 B．　　　　 C．　　　　　 D．‎ ‎11．已知数列是等差数列，其前项和为，若首项且，有下列四个命题:；；数列的前项和最大；使的最大值为；‎ 其中正确的命题个数为（ ）‎ A. 1个 B.2个 C.3个 　D.4个 ‎ ‎12.定义在上的函数满足下列两个条件：（1）对任意的恒有成立；（2）当 时，．记函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题后的横线上）‎ ‎13.已知数列中，，且数列为等差数列，则 . ‎ ‎14．已知，若与夹角为钝角，则实数的取值范围是 __.‎ ‎15.在中，、、分别为、、的对边，如果、、成等差数列，,的面积为，那么_________. ‎ - 8 -‎ ‎16.已知函数f(x)＝x＋sin x(x∈R)，且f(y2－2y＋3)＋f(x2－4x＋1)≤0，则当y≥1时，的取值范围是________．　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17. （本小题10分）已知函数的最大值为．‎ ‎（1）求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若方程＝m在x∈上 有解，求实数m的取值范围．‎ ‎18.（本小题12分）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元。‎ ‎（1）分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系式； ‎ ‎（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，怎样分配资金才能获得最大收益？‎ 其最大收益为多少万元？‎ ‎19．（本小题12分）‎ 如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，‎ DE＝3AF，BE与平面ABCD所成角为60°.‎ ‎(1)求证：AC⊥平面BDE；‎ ‎(2)求二面角FBED的余弦值．‎ ‎20. （本小题12分）数列的前项和为，且满足,.‎ ‎ （1）证明: 是等比数列，并求数列的通项公式；‎ ‎ （2）设，求证：‎ - 8 -‎ ‎21. （本小题12分）在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，‎ ‎ 圆心在l上．‎ ‎(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；‎ ‎(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．‎ ‎22. （本小题12分）设函数，其中。‎ ‎ （1）当时，判断函数在定义域上的单调性；‎ ‎ （2）当时，求函数的极值点；‎ ‎ （3）证明:对任意的正整数 ，不等式都成立.‎ 参考答案 一、选择题 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ D D C A C A D B D B C B 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. 三、解答题 ‎17.解：（1）‎ ‎，------------------------------2分 由，解得 - 8 -‎ ‎，所以函数的单调递增区间--------5分 ‎（3）将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，‎ ‎－1（ 或写成=2cos(2x+)－1 ）‎ 当时，，取最大值; 当时，，取最小值-3.‎ ‎ 方程＝m在x∈上有解，即 -3≤m≤ ---------10分 ‎18.解：（1）设两类产品的收益与投资额的函数关系分别为 ‎（1） （x≥0）， （x≥0），，‎ ‎     （），（）（两个函数各3分）…………………（6分）‎ ‎（2）设：投资债券类产品万元，则股票类投资为万元。‎ ‎         …………………（8分）‎ 令，则=     …………………（10分）‎ ‎=所以，当，即万元时，收益最大，万元．………（12分）‎ - 8 -‎ ‎19.解：(1)证明：因为DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以DE⊥AC. 因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD.‎ 又BD，DE相交且都在平面BDE内，从而AC⊥平面BDE. ----------4‎ ‎(2)因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示．‎ 因为DE⊥平面ABCD，所以BE与平面ABCD所成角就是∠DBE.已知BE与平面ABCD所成角为60°，所以∠DBE＝60°，所以＝. -------------------6‎ 由AD＝3可知DE＝3，AF＝.‎ 由A(3，0，0)，F(3，0，)，E(0，0，3)，B(3，3，0)，C(0，3，0)，‎ 得＝(0，－3，)，＝(3，0，－2)．设平面BEF的法向量为n＝(x，y，z)，‎ 则即令z＝，则n＝(4，2，)．‎ 因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，＝(3，－3，0)，----------10‎ 所以cos〈n，〉＝＝＝.‎ 因为二面角为锐角，所以二面角FBED的余弦值为.------------------12‎ ‎20.证明：（1），‎ ‎． 又，‎ ‎ 是首项为，公比为的等比数列，∴． 时，，‎ 时，‎ ‎ ．也符合上式，故．--------------------------6‎ ‎ （2）‎ ‎ ．-------------------------------12‎ ‎21.解　(1)由题意知，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3，2)，于是切线的斜率必存在．设过A(0，3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3，由题意得，＝1，解得k＝0或－，‎ 故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0. -------------------------4‎ - 8 -‎ ‎(2)因为圆心在直线y＝2x－4上，所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.‎ 设点M(x，y)，因为MA＝2MO，所以＝2，‎ 化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，‎ 所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．------------------8‎ 由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则2－1≤CD≤2＋1，‎ 即1≤≤3.由5a2－12a＋8≥0，得a∈R.由5a2－12a≤0，得0≤a≤.‎ 所以圆心C的横坐标a的取值范围为.-------------------12‎ ‎22.解（1）当，f’（x）=(2x+1)2/2(x+1)≥0‎ 所以函数定义域（-1，+∞）上单调递增--------------3 ‎ ‎ （2） 当时，令=0解得两个不同解 当b＜0时，‎ 此时在（-1，x2）减，在（x2，+∞）增，∴上有唯一的极小值点 ‎ ‎ 当时，在都大于0，在上小于0，‎ ‎ 此时有一个极大值点和一个极小值点 综上可知，‎ 时，有一个极大值点和一个极小值点 ‎（2）b＜0，时，在（-1，+∞）上有唯一的极小值点 -----------8‎ ‎ （3）当b=-1时，‎ ‎ 令上恒正 ‎ ∴在上单调递增，当x∈（0，+∞）时，恒有 - 8 -‎ 即当x∈（0，+∞）时，有，‎ ‎ 对任意正整数n，取 -------------------12分 ‎ - 8 -‎