河北定州中学2016届高三上学期第二次月考数学文试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、设集合，集合，则 ( )
A． B. C． D．
2、的值是( )
A． B． C． D．
3、已知a为实数，若复数为纯虚数，则的值为( )
A．1 B．-1 C． D．
4、直线与圆相交于A，B两点，则“△OAB的面积为”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5、设满足约束条件，则目标函数的取值范围为( )
A． B． C． D．
6、定义在R上的偶函数满足：对任意的，都有.
则下列结论正确的是 ( )
A．
B．
C．
D．
7、当输入的实数时，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于103的概率是 ( )
A． B． C． D．
9
8、函数的部分
图象如图所示, 如果、，且，则
等于( )
A． B． C． D．1
9、设正项等比数列的前n项之积为，且，则的最小值是 ( )
正视图
侧视图
俯视图
5
3
4
3
（10题图）
A． B． C． D．
10、若某几何体的三视图(单位：)如右图所示，则该几何体的
体积等于( )
A． B． C． D．
11、定义为个正数的“均倒数”．
若已知数列的前项的“均倒数”为，又，
则=( )
A． B． C． D．
12、已知双曲线的左、右焦点分别为，，若双曲线上存在点P，使，则该双曲线离心率的取值范围为( )
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13、设向量是两个不共线的向量，若与共线，则实数= .
14、设函数，若函数在处与直线相切，则实数
15、已知的三个顶点在同一个球面上，，，.若球心O到平面ABC的距离为，则该球的表面积为 .
9
16、若函数对定义域的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”．给出以下命题：①是“依赖函数”；②是“依赖函数”；③是“依赖函数”；④是“依赖函数”；⑤，都是“依赖函数”，且定义域相同，则是“依赖函数”．其中所有真命题的序号是_____．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17、（本小题满分12分）已知函数经化简后利用
“五点法”画其在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：
①
0
1
0
－1
0
（Ⅰ）请直接写出①处应填的值，并求函数在区间上的值域；
（Ⅱ）的内角所对的边分别为，已知，，求的面积．
18、（本小题满分12分）2015年“五一节”期间，高速公路车辆较多，交警部门通过路面监控装置抽样调查某一山区路段汽车行驶速度，采用的方法是：按到达监控点先后顺序，每隔50辆抽取一辆，总共抽取120辆，分别记下其行车速度，将行车速度（km/h）分成七段[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），
[90，95）后得到如图所示的频率分布直方图，据图解答下列问题：
（Ⅰ）求a的值，并说明交警部门采用的是什么抽样方法？
（Ⅱ）求这120辆车行驶速度的众数和中位数的估计值（精确到0.1）；
（Ⅲ）若该路段的车速达到或超过90km/h即视为超速行驶，试根据样本估计该路段车辆超速行驶的概率.
19、（本小题满分12分）如图，三棱柱中，侧面是矩形，截面是等边三角形．
（Ⅰ） 求证：；
（Ⅱ）若，三棱柱的高为1，求点到截面的距离．
9
20、（本小题满分12分）已知函数，.
（I）若函数在定义域内为单调函数，求实数的取值范围；
（II）证明：若，则对于任意有.
21、（本小题满分12分）设椭圆的离心率，右焦点到直线的距离，为坐标原点.
（I）求椭圆的方程；
（II）过点作两条互相垂直的射线，与椭圆分别交于、两点，证明点到直线的距离为定值，并求弦长度的最小值.
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．
22、（本小题满分10分）如图，设AB为⊙O的任一条不与直线垂直的直径，P是⊙O与的公共点，AC⊥，BD⊥，垂足分别为C，D，且PC=PD．
（Ⅰ）求证：是⊙O的切线；
（Ⅱ）若⊙O的半径OA=5，AC=4，求CD的长．
23、（本小题满分10分）已知直线的参数方程是（为参数），⊙C的极坐标方程为．
（Ⅰ）求圆心C的直角坐标；
（Ⅱ）试判断直线与⊙C的位置关系．
9
24、（本小题满分10分）已知函数．
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围．
河北定州中学2016届高三上学期第二次月考数学文试题
一、选择题：
(1)--(6) CADBDA (7)--(12) CCABAD
二、填空题：
(13) (14) (15) (16) ②③
三、 解答题：
（17）（本小题满分12分）
（Ⅰ）①处应填入．………1 分
．………3分
因为T=，所以，，即．………4分
因为，所以，所以，
故的值域为…6分
（Ⅱ），又 ，得，…8分
由余弦定理得，
即，所以．………10分
所以的面积． ………12 分
（18）（本小题满分12分）
（I）由图知：（a+0.05+0.04+0.02+0.02+0.005+0.005）×5=1，∴a=0.06，该抽样方法是系统抽样； …4分
（II）根据众数是最高矩形底边中点的横坐标，∴众数为77.5；
∵前三个小矩形的面积和为0.005×5+0.020×5+0.040×5=0.325，第四个小矩形的面积为0.06×5=0.3，
∴中位数在第四组，设中位数为75+x，则0.325+0.06×x=0.5⇒x≈2.9，
∴数据的中位数为77.9； …
9
8分
（III）样本中车速在[90，95）有0.005×5×120=3（辆），
∴估计该路段车辆超速的概率P=． …12分
（19）（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：取BC中点O，连OA，OA1．
因为侧面BCC1B1是矩形，所以BC⊥BB1，BC⊥AA1，
因为截面A1BC是等边三角形，所以BC⊥OA1，
所以BC⊥平面A1OA，BC⊥OA，因此，AB＝AC． …5分
（Ⅱ）设点A到截面A1BC的距离为d，
由VA－A1BC＝VA1－ABC得S△A1BC×d＝S△ABC×1，得BC×OA1×d＝BC×OA×1，得d＝．
由AB⊥AC，AB＝AC得OA＝BC，又OA1＝BC，故d＝．
因为点A与点C1到截面A1BC的距离相等，所以点C1到截面A1BC的距离为．…12分
（20）（本小题满分12分）
（I）解析：函数的定义域为
令，
因为函数在定义域内为单调函数，说明或恒成立，……………2分
即的符号大于等于零或小于等于零恒成立，
当时，，，在定义域内为单调增函数；
当时，为减函数，
只需，即，不符合要求；
当时，为增函数，
只需即可，即，解得，
此时在定义域内为单调增函数；……………4分
综上所述………………5分
（II）在区间单调递增，
不妨设，则，则
等价于
等价于………………7分
设，
解法一：则，
9
由于，故，即在上单调增加，……………10分
从而当时，有成立，命题得证！………………12分
解法二：则
令
即在恒成立
说明，即在上单调增加，………………10分
从而当时，有成立，命题得证！………………12分
（21）（本小题满分12分）
（I）由题意得，∴，∴………………….1分
由题意得椭圆的右焦点到直线即的距离为
，∴………….…….……...3分
∴，∴椭圆C的方程为……..…….…….…….…….…….4分
（II）
(i)当直线AB斜率不存在时，直线AB方程为，
此时原点与直线AB的距离…..……..…….…….…….…….…….…….… 5分
(ii)当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为，
直线AB的方程与椭圆C的方程联立得，
消去得，，…….6分
9
，
由，，
∴整理得，∴，
故O到直线AB的距离
综上：O到直线AB的距离定值……………………………………………………9分
,，当且仅当时取“=”号.
∴， 又由等面积法知，
∴,有即弦AB的长度的最小值是 ………………..12分
（22）（本小题满分10分）
（Ⅰ）证明：连接OP，因为AC⊥l，BD⊥l，
所以AC∥BD．
又OA=OB，PC=PD，
所以OP∥BD，从而OP⊥l．
因为P在⊙O上，所以l是⊙O的切线．…………..5分
（Ⅱ）解：由上知OP=（AC+BD），
所以BD=2OP﹣AC=6，
过点A作AE⊥BD，垂足为E，则BE=BD﹣AC=6﹣4=2，
在Rt△ABE中，AE==4，∴CD=4．………………………………………….10分
（23）（本小题满分10分）
（I）由⊙C的极坐标方程为，
9
展开化为，
即，化为∴圆心C．……………………………..5分
（II）由直线l的参数方程（t是参数），消去参数t可得x﹣y-4=0，
∴圆心C到直线的距离，因此直线l与圆相离．…………….10分
（24）（本小题满分10分）
（Ⅰ）由得
解得
∴不等式的解集为．………………………………….4分
（Ⅱ）∵即的最小值等于4，….6分
由题可知|a﹣1|＞4，解此不等式得a＜﹣3或a＞5．
故实数a的取值范围为（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞）．…………………………………10分
9
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