温州第八高级中学2015学年第一学期高三段期中考试
数学试题卷（理科）
本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共40分）
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色的字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷上无效。
参考公式：
柱体的体积公式V=Sh 其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高
锥体的体积公式 V=Sh 其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高
台体的体积公式 其中S1,S2分别表示台体的上,下底面积
球的表面积公式S=4πR2 其中R表示球的半径，h表示台体的高
球的体积公式V=πR3 其中R表示球的半径
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
2.已知，函数的图象关于（0，0）对称，则的值可以是 （ ）
_
B
_
1
_
A
_
1
_
B
_
A
_
B
_
1
_
A
_
1
_
B
_
A
正视图
俯视图
A. B. C. D.
3.如图,水平放置的三棱柱的侧棱
长和底边长均为2，且侧棱,
正视图是边长为2的正方形，该三棱柱的左
视图面积为（ ）
A． B． C． D．
10
4.设点是的重心，若， ，则的最小值是 （ ）
A． B． C． D．
5. 设实数和满足约束条件，则的最小值为（ ）
A．26 B．24 C．16 D．14
6.函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象大致是（ ）
A B C D
7.已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为，若，则双曲线的离心率为 （ ）
A、 B、 C、 D、2
8.若函数，则函数在，上的不同零点个数为（ ）
A．2 B．5 C．4 D．3
非选择题部分（共110分）
二、填空题： 本大题共7小题, 单空题每题4分，多空题每题6分，共36分。
9.若{={，则
10.已知等比数列是递增数列，是前项和，若是方程的两个根，则公比q=______,
11.已知函数为奇函数，且当时，，则
12. 平面向量、满足，且||=2，||=4，则与
10
的夹角等于_______，在上的投影为_________.
13.不等式对任意恒成立,则实数的最大值为 .
14.已知函数若存在，当时， ，则的取值范围是 ．
15.把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶行数中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，设位于图乙三角形数表中从上往下数第行第列的数，若，则实数对为______
第15题图
三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16. （本题满分14分）已知向量，向量，函数
(Ⅰ)求的最小正周期；
(Ⅱ)已知，，分别为内角，，的对边，为锐角，，，且恰是在，上的最大值，求，和的面积.
17.（本题满分15分）
如图，在梯形中，，
10
，四边形为矩形，平面平面，.
（I）求证：平面；
（II）点在线段上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，
试求的取值范围.
18.（本题满分15分）
已知椭圆经过点，且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形。
（1）求椭圆的方程；
（2）动直线交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T。若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由。
19．（本题满分15分）已知二次函数的定义域为R，在时取得最值，又知为一次函数，且
(1)求的解析式，用表示
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围。
20. （本题满分15分）（2013北京卷改编） 设数列的前项和为.已知,,.
(Ⅰ) 求的值;
(Ⅱ) 求数列的通项公式;
(Ⅲ) 证明:对一切正整数,有.
10
数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题:本题考查基本知识和基本运算，每小题5分, 满分40分。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
B
C
A
B
D
B
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。第9题每空2分，第10，11，12题每空3分，其余每题4分。共36分。
9、, , 10、 2,
11、-2, 12、 , 1
13、2, 14、[ 15、(45,38)
三、解答题（共74分）
16. （本题满分14分）
(Ⅰ) …………3分
…………6分
因为，所以 …………7分
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知：
时,
由正弦函数图象可知,当时取得最大值
所以, …………9分
由余弦定理，∴∴ ………12分
从而 ………14分
17. （本题满分15分）
（I）证明：在梯形中，
∵ ,，
∠＝，∴ ……………2分
∴
∴
10
∴ ⊥ ………………… 4分
∵ 平面⊥平面,平面∩平面,平面
∴ ⊥平面 ……………6分
（II）解法一：由（I）可建立分别以直线为的如图所示空间直角坐标系，令，则，
∴ …………8分
设为平面MAB的一个法向量，
由得
取，则， …………10分
∵ 是平面FCB的一个法向量
∴ ………12分
∵ ∴ 当时，有最小值，
当时，有最大值。 ∴ …………15分
解法二：①当与重合时，取中点为，连结
∵ ,
∴ ∴⊥
∵ ∴ ⊥
∴ ∠=
∵ ⊥ ∴
∴,
∴ …………8分…
②当与重合时，过,
连结，则平面∩平面＝,
∵ ⊥，又∵⊥
∴ ⊥平面
∴ ⊥平面
∴ ∠＝
∴ =,
10
∴ = ……………10分[来
③当与都不重合时，令
延长交的延长线于,连结
∴ 在平面与平面的交线上
∵ 在平面与平面的交线上
∴ 平面∩平面＝
过C作CG⊥NB交NB于G ，连结AG，
由（I）知，⊥, 又∵AC⊥CN,
∴ AC⊥平面NCB
∴ AC⊥NB, 又∵ CG⊥NB，AC∩CG=C，
∴ NB⊥平面ACG ∴AG⊥NB
∴ ∠AGC=
在中，可求得NC＝，从而，在中，可求得CG＝
∵ ∠ACG＝ ∴ AG＝
∴
∵ ∴ ………14分
综合①②③得， ………15分
18. （本题满分15分）
解：（1）∵椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，
∴∴
又∵椭圆经过点，代入可得，
∴,故所求椭圆方程为 …………3分
（2）首先求出动直线过（0，）点． …………5分
当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程： …………6分
10
当L与y轴平行时，以AB为直径的圆的方程： ………7分
由
即两圆相切于点（0，1）,因此，所求的点T如果存在，只能是（0，1）。事实上，点T（0，1）就是所求的点。 …………9分
证明如下:
当直线L垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（0，1）
若直线L不垂直于x轴，可设直线L：
由
记点、 ………12分
所以TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T（0，1）
所以在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件． ………15分
（注：其他解法相应给分）
19. （本题满分15分）
（1）设
又，g(x)为一次函数
………4分
………6分
10
（2）当，则， ………9分
当，则 ………11分
当，则恒成立。 ………14分
综上所述， ………15分
20. （本题满分15分）
(1) 解: ,.
当时,
又,
………4分
(2)解: ,.
①
当时, ② ………8分
由① — ②,得
数列是以首项为,公差为1的等差数列.
当时,上式显然成立.
………10分
3)证明:由(2)知,
①当时,,原不等式成立.
10
②当时, ,原不等式亦成立. ……12分
③当时,
当时,,原不等式亦成立.
综上,对一切正整数,有. ………15分
10
微信/支付宝扫码支付