2016届福建省福州格致中学校内高二第一学期期中考试
数学试卷
注意事项：
1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。
2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内
3、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整
4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。
5.本卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟
第I卷 （选择题 共60分）
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一项是符合题目要求的）
1．已知，则（ ）
A．－ B． C．－ D．
2..已知命题:函数的最小正周期为；命题：若函数为偶函数，则关于对称.则下列命题是真命题的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知是自然对数的底数，函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知数列是等差数列，且，则在的展开式中，项的系数是（ ）
A． B． C． D．
5．设,,,则与的大小关系为( )
A． B． C． D．
9
6．若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
7．若，则的最小值为( )
A． B． C． D．
8．由直线及曲线围成的封闭图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．现有种不同品牌的小车各辆（同一品牌的小车完全相同），计划将其放在个车
库中且每个车库放辆，则恰有个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
10．甲罐中有个红球，个白球和个黑球，乙罐中有个红球，个白球和个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是( )
①； ②；③事件与事件相互独立；④是两两互斥的事件；
A．②④ B．①③ C．②③ D．①④
11．如右图所示是二次函数的部分图像，
则函数的零点所在的区间是（ ）
A． B．
C． D．
12.已知函数，，记，，则，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
第II卷 （非选择题 共90分）
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.）
9
13.计算定积分 ；
14.若为直角三角形的三边，其中为斜边，则，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体中，,为顶点所对面的面积，分别为侧面的面积，则满足的关系式为 ；
15．若存在实数使成立，则的取值范围是 ；
16．已知函数的定义域是，，若对任意，则不等式的解集为 ．
三．解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（本小题满分10分）
设函数且的最小值为.
(1)求的值；
(2)若求满足条件的的集合.
18．（本小题满分12分）
已知数列{an}满足a1＝2，且anan＋1＋an＋1－2an＝0(n∈N*)．
(1)求a2，a3，a4的值；
(2)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
19．（本小题满分12分）
甲乙两人比赛投篮，每人连续投次，投中次数多者为胜，若甲前次每次投中的概率都是，第次投中的概率是；乙每次投中的概率都是.甲、乙每次投中与否相互独立.
（1）求乙直到第次才投中的概率；
（2）在比赛前，从胜负的角度考虑，你支持谁？请说明理由.
20．（本小题满分12分）
甲、乙等五名大运会志愿者被随机分配到、、、四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.
9
（1）求甲、乙两人同时在岗位服务的概率；
（2）求甲、乙两人不在同一岗位服务的概率；
（3）设随机变量为这五名志愿者中在岗位服务的人数，求的分布列.
21．（本小题满分12分）
设函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）当时，设函数，若对于，使成立，求实数的取值范围．
22．（本小题满分12分）
（1）已知为实数,并且,其中是自然对数的底,证明．
（2）如果正实数满足,且,证明．
9
数学答案（理科）
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一项是符合题目要求的）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
B
C
B
C
D
A
D
C
A
B
C
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.）
13. 14. 15. 16.
三．解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（本小题满分10分）
解：(1) ……3分
当且仅当时，等号成立……4分
依题意,……5分
(2), ……7分
或或
……9分
所以不等式的解集为……10分
18. （本小题满分12分）
解：(1)由题意得an＋1＝，又a1＝2，
∴a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝ .……4分
(2)猜想an＝. .….…6分
证明：①当n＝1时，＝2＝a1，故命题成立．
9
②假设n＝k时命题成立，即ak＝，
ak＋1＝＝＝＝，
故命题成立．
综上，由①②知，对一切n∈N*有an＝成立．.……12分
19. （本小题满分12分）
解：(１)记事件：乙第i次投中(i=1,2,3),则，事件相互独立，
所以Ｐ(乙直到第３次才投中)
＝．．．．．．４分
(２)设甲投中的次数为Ｘ，乙投中的次数为Ｙ，则Ｙ～Ｂ()，
所以，乙投中次数的数学期望Ｅ(Ｙ)＝．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．６分
Ｘ的可能取值是０，１，２，３，
甲前２次投中次数服从二项分布Ｂ()，且每次投中与否相互独立，
所以.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．７分
，．．．．．．．．．．．．．．．．．８分
，．．．．．．．．．．．．．．．．９分
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１０分
所以，甲投中次数的数学期望１１分
所以Ｅ(Ｙ)＞Ｅ(Ｘ)
所以在比赛前，从比赛的胜负角度考虑，应支持乙.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１２分
20. （本小题满分12分）
解：（1）记甲、乙两人同时参加岗位服务为事件，那么
.….…
9
4分
即甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是。
（2）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件，那么
.……8分
所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是。
（3）随机变量可能取的值为1，2 .……9分
事件“”是指有两人同时参加岗位服务
则 .….…10分
所以 .……11分
的分布列。. ……12分
21. （本小题满分12分）
解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=﹣a﹣
（1）当a=1时，f（x）=lnx﹣x﹣1，∴f（1）=﹣2，
f′（x）=﹣1，∴f′（1）=0
∴f（x）在x=1处的切线方程为y=﹣2．……4分
（2）当a=时，f′（x）=﹣=﹣．
∴当0＜x＜1，或x＞2时，f′（x）＜0；
当1＜x＜2时，f′（x）＞0．
所以，函数f（x）的单调增区间为（1，2）；单调减区间为（0，1），（2，+∞）．
当a=时，函数f（x）在（1，2）上为增函数，
9
∴函数f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=﹣……7分
若对于x1∈[1，2]，x2∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2）成立，
则g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在[1，2]上的最小值（*）……8分
又g（x）=x2﹣2bx﹣=（x﹣b）2﹣b2﹣，x∈[0，1]，
①当b＜0时，g（x）在[0，1]上为增函数，
g（x）min=g（0）=﹣＞﹣与（*）矛盾……9分
②当0≤b≤1时，g（x）min=g（b）=﹣b2﹣，
由﹣b2﹣及0≤b≤1，得，≤b≤1；……10分
③当b＞1时，g（x）在[0，1]上为减函数，
g（x）min=g（1）=﹣2b及b＞1得b＞1．……11分
综上，b的取值范围是[，+∞）．……12分
22．（本小题满分12分）
证明：
(２)由(１)因为在(0,1)内f′(x)>0,所以f(x)在(0,1)内是增函数.
(反证法)假设
由，所以，从而，
由及，可推出，所以
由，假如，
9
则根据f(x)在(０，１)内是增函数，
若.则从而；
若，则，从而．
即时．与已知矛盾．因此a=b
9
微信/支付宝扫码支付