北京市海淀区2016届高三数学上学期期中试题 理.doc

海淀区高三年级第二学期期中练习 ‎ 数 学 （理科） 2015.11‎ 本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． ‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． ‎ ‎1．已知集合，则集合中元素的个数为 ‎ A．1 B．2 C．3 D．4 ‎ ‎2．下列函数中为偶函数的是 ‎ ‎3．在△ABC中，的值为 A．1 B．－1 C． 　　D． － ‎ ‎4．数列的前n项和为，则的值为 A．1　　 B．3　　 C．5 　　D．6 ‎ ‎5．已知函数，下列结论错误的是 ‎ A．　　　　 B．函数的图象关于直线x＝0对称 ‎ C．的最小正周期为　 D．的值域为 ‎6．“x＞0 ”是“ ”的 ‎ A．充分不必要条件 　　B．必要不充分条件 ‎ C．充分必要条件 　　　D．既不充分也不必要条件 ‎ ‎7．如图，点O为坐标原点，点A（1,1）．若函数且）的图象与线段OA分别交于点M，N，且M，N恰好是线段OA的两个三等分点，则a，b满足 ‎ - 14 -‎ ‎8． 已知函数函数．若函数恰好有2个不同零点，则实数a的取值范围是 ‎ ‎ 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） ‎ ‎9．‎ ‎10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a ，b，c．若 c＝4，则 ‎ ‎11．已知等差数列的公差 ，且．若＝0 ，则n＝　　　 ‎ ‎12．已知向量，点A（3,0） ，点B为直线y＝2x 上的一个动点．若，则点B的坐标为　　　　　． ‎ ‎13．已知函数，若的图象向左平移个单位所得的图象与的图象向右平移个单位所得的图象重合，则的最小值为　　　　　‎ ‎14．对于数列，都有为常数）成立，则称数列具有性质． ‎ ‎⑴ 若数列的通项公式为，且具有性质，则t的最大值为　　　 ； ‎ ‎⑵ 若数列的通项公式为，且具有性质，则实数a的取值范围是　　　　　‎ 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．‎ ‎15．（本小题满分13分）‎ 已知等比数列的公比，其n前项和为 ‎（Ⅰ）求公比q和a5的值； ‎ ‎（Ⅱ）求证：‎ - 14 -‎ ‎16．（本小题满分13分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求的值； ‎ ‎（Ⅱ）求函数的最小正周期和单调递增区间． ‎ ‎17．（本小题满分13分）‎ 如图，在四边形ABCD中，AB＝8，BC＝3，CD＝5，‎ ‎（Ⅰ）求BD的长；‎ ‎（Ⅱ）求证：‎ ‎18．（本小题满分13分）‎ 已知函数，曲线在点（0,1）处的切线为l ‎ ‎（Ⅰ）若直线l的斜率为－3，求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若函数是区间［－2，a］上的单调函数，求a的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎19．（本小题满分14分） ‎ 已知由整数组成的数列各项均不为0，其前n项和为 ，且 ‎（Ⅰ）求的值； ‎ ‎（Ⅱ）求的通项公式； ‎ ‎（Ⅲ）若=15时，Sn取得最小值，求a的值．‎ ‎ ‎ ‎20．（本小题满分14分） ‎ 已知x为实数，用表示不超过x的最大整数，例如 - 14 -‎ 对于函数f(x)，若存在，使得 ，则称函数函数．‎ ‎（Ⅰ）判断函数 是否是函数；（只需写出结论） ‎ ‎（Ⅱ）设函数f(x)是定义R在上的周期函数，其最小正周期为T，若f(x)不是函数，求T的最小值． ( ‎ ‎（Ⅲ）若函数是函数，求a的取值范围．‎ 海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案 ‎ 数 学 （理科） 2015.11‎ 阅卷须知:‎ ‎1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。‎ ‎2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.‎ ‎1. B 2. B 3. A 4. C 5. D 6. C 7. A 8. D ‎ 二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎9. 3 10. 11. 5 12. ‎ ‎13. 14. 2； ‎ 说明；第10，14题第一空3分，第二空2分 三、解答题: 本大题共6小题，共80分. ‎ ‎15．解：（Ⅰ）‎ 法一：因为为等比数列， 且，‎ 所以，所以， ‎ ‎ 因为，所以. ‎ 因为，所以，即 ---------------------------3分 ‎ 所以. --------------------------6分 - 14 -‎ ‎ 法二：因为为等比数列，且，‎ 所以，所以，所以, ‎ 因为，所以，即 ---------------------------3分 ‎ 所以. --------------------------6分（Ⅱ）法一：‎ 因为，所以,　　　　　 　　　　 　　　--------------------------８分 ‎　　　因为,　　　　　　 　　　　　　　　 　--------------------------10分 ‎　　　所以,‎ ‎　　　因为，所以. --------------------------13分 法二：因为，所以, 　　　　　　　 　　　 　　--------------------------８分 ‎　　　所以,　　　　　　　　　　　　　　　　　--------------------------10分 ‎　　　所以，所以.　　　　　　　　　　 　　--------------------------13分 法三：因为，所以, 　　　　　　　　　　　　--------------------------８分 - 14 -‎ ‎　　　所以.　　　　　　　　　　　　　　　　　--------------------------10分 ‎　　　要证，只需， 只需 ‎ 上式显然成立，得证. 　--------------------------13分 ‎16.解：‎ ‎（Ⅰ）因为,‎ ‎ 所以,‎ ‎. --------------------------4分 ‎ （Ⅱ）因为,‎ ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ --------------------------7分 ‎ , --------------------------9分 ‎ 所以周期 . --------------------------11分 ‎ 令， --------------------------12‎ - 14 -‎ 分 ‎ 解得，，‎ ‎ 所以的单调递增区间为. --------------------------13分 ‎ 法二：因为,‎ ‎ 所以-------------------7分 ‎ ‎ ‎ --------------------------9分 所以周期 . --------------------------11分 ‎ 令， --------------------------12分 ‎ 解得，, ‎ ‎ 所以的单调递增区间为 . --------------------------13分 ‎ ‎ ‎17．解：‎ ‎（Ⅰ）法一：‎ ‎ 在中，因为，,‎ ‎ 所以, --------------------------3分 ‎ 根据正弦定理，有, --------------------------6分 ‎ - 14 -‎ ‎ 代入 ‎ 解得. --------------------------7分 法二：作于.‎ 因为，所以在中，. --------------------------3分 在中，因为，，‎ ‎ 所以, --------------------------6分 所以. --------------------------7分 ‎（Ⅱ）法一：‎ 在中，根据余弦定理 , --------------------------10分 ‎ 代入，得，‎ ‎,所以. --------------------------12分 所以 ，而在四边形中 ‎ 所以. --------------------------13分 法二：在中，所以， ‎ ‎ ， 所以. --------------------------8分 在中，所以,‎ - 14 -‎ ‎ ， 所以. --------------------------9分 所以， ‎ ‎ --------------------------11分 ‎ ， ‎ ‎ --------------------------12分 ‎ 即, 所以. --------------------------13分 ‎18．解 ‎（Ⅰ）因为，所以曲线经过点, ‎ ‎ 又, --------------------------2分 所以, --------------------------3分 ‎ 所以.‎ ‎ 当变化时，，的变化情况如下表:‎ ‎0‎ ‎0‎ 极大值 极小值 ‎ ‎ - 14 -‎ ‎--------------------------5分 ‎ 所以函数 的单调递增区间为，,‎ ‎ 单调递减区间为. --------------------------7分 ‎（Ⅱ）‎ 因为函数在区间上单调, ‎ 当函数在区间上单调递减时，对成立， ‎ 即对成立，‎ 根据二次函数的性质，只需要， 解得. ‎ 又，所以. --------------------------9分 当函数在区间上单调递增时，对成立，‎ 只要在上的最小值大于等于0即可，‎ ‎ 因为函数的对称轴为，‎ ‎ 当时，在上的最小值为， ‎ ‎ 解，得或，所以此种情形不成立. --------------------------11分 ‎ ‎ 当时，在上的最小值为，‎ ‎ 解得，所以，‎ 综上，实数的取值范围是或. --------------------------13分 ‎ ‎19．解：‎ ‎（Ⅰ）因为 ，所以，即, ‎ - 14 -‎ 因为，所以, --------------------------2分 ‎（Ⅱ）因为 ， 所以，两式相减，‎ 得到， --------------------------4分 因为，所以，‎ ‎ 所以都是公差为的等差数列，‎ ‎ 当时，, --------------------------6分 ‎ 当时， , ‎ ‎ 所以 --------------------------8分 ‎ （Ⅲ）‎ 法一：因为，由（Ⅱ）知道 ‎ ‎ 所以 --------------------------10分 注意到所有奇数项构成的数列是一个单调递增的，所有偶数项构成的数列是一个单调递增的，‎ 当为偶数时，，所以此时，‎ 所以为最小值等价于， --------------------------12分 所以，‎ 所以，‎ - 14 -‎ 解得. --------------------------13分 因为数列是由整数组成的，所以.‎ 又因为，所以对所有的奇数，，‎ 所以不能取偶数，所以. --------------------------14分 法二：‎ 因为， 由（Ⅱ）知道 ‎ 所以 --------------------------10分 因为为最小值，此时为奇数，‎ 当时，， ‎ 根据二次函数的性质知道，有，解得， --------------------------12分 ‎ 因为数列是由整数组成的，所以. ‎ 又因为，所以对所有的奇数，， ‎ 所以不能取偶数，所以. --------------------------13分 经检验，此时为最小值，所以 . --------------------------14分 ‎20. 解：‎ ‎（Ⅰ）是函数， --------------------------2分 - 14 -‎ ‎ 不是函数. --------------------------4分 ‎（Ⅱ）的最小值为1. --------------------------6分 ‎ 因为是以 为最小正周期的周期函数，所以. ‎ ‎ 假设，则，所以，矛盾. --------------------------8分 ‎ 所以必有， ‎ 而函数的周期为1，且显然不是是函数，‎ 综上，的最小值为1. --------------------------9分 ‎（Ⅲ） 当函数是函数时，‎ 若，则显然不是函数，矛盾. --------------------------10分 若，则，‎ 所以在上单调递增， ‎ 此时不存在，使得 ，‎ 同理不存在，使得 ，‎ 又注意到，即不会出现的情形，‎ 所以此时不是函数. --------------------------11分 当时，设，所以，所以有，其中，‎ 当时，‎ 因为，所以，‎ - 14 -‎ 所以. --------------------------12分 当时，，‎ 因为，所以，‎ 所以. --------------------------13分 记, 综上，我们可以得到 ‎“且且”. --------------------------14分 - 14 -‎