浙江省嘉兴市第一中学2016届高三数学上学期期中试题 理.doc

嘉兴市第一中学2015学年第一学期期中考试 ‎ 高三数学（理科） 试题卷 ‎ 满分[150]分 时间[120]分钟 2015年11月 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知函数是偶函数，且，则（ ▲ ） ‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.已知，且是的必要不充分条件，则的取值范围是（ ▲ ）‎ A． B. C． D. ‎ ‎3.已知为一条直线,为两个不同的平面,则下列说法正确的是（ ▲ ）‎ A.若 B.若则 C.若 D. 若 ‎4.函数的图象向左平移个单位得函数的图象，则函数的解析式是 ( ▲ ) ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎5.若x，y满足且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为(　▲　)‎ A．－2 B． C． D．2‎ ‎6.在所在平面上有三点,满足,‎ ‎,,则的面积与的面积比为（ ▲ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.设双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，过 - 18 -‎ 的直线与双曲线的右支交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则（ ▲ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎8.设．若的图象经过两点 ‎，且存在整数n，使得成立，则 ( ▲ )‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ 二、填空题：本大题共7小题，9-12题：每小题6分，13-15题：每小题4分，共36分.‎ ‎9.已知全集为，集合，则 ▲ . ▲ . ▲ .‎ ‎10.已知等差数列，是数列的前项和，且满足，则数列的首项____▲___ ,通项___ ▲___.‎ ‎11.某空间几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积= ▲ cm3，表面积= ▲ cm2．‎ ‎12.已知函数;(1)当时， 的值域为 ▲ , (2)若是上的减函数,则实数的取值范围是 ▲ .‎ ‎13.已知平面向量满足且与 则的取值范围是 _▲ . ‎ ‎14.已知实数、、满足，，则的最大值为 ▲ .‎ ‎15.三棱柱的底是边长为1的正三角形，高,在上取一点,设与面所成的二面角为，与面所成的二面角为，则的最小值是 ▲ .‎ 三、解答题(共5小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎16.（本题满分15分）‎ 在中，内角的对边分别为，且．‎ - 18 -‎ ‎(Ⅰ）求角的大小；‎ ‎(Ⅱ)若，且的面积为，求.‎ ‎17．（本题满分15分）‎ B E 如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2AB，F是CD的中点．‎ ‎(Ⅰ）求证：平面CBE⊥平面CDE；‎ ‎（Ⅱ）求二面角C—BE—F的余弦值．‎ A D C F ‎18. （本题满分15分）‎ 平面直角坐标系中，过椭圆右焦点的直线交于两点，为的中点，且的斜率为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）为上的两点，若四边形的对角线，求四边形ACBD面积的最大值.‎ ‎19. （本题满分15分）‎ 已知函数．‎ - 18 -‎ ‎（Ⅰ）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）求函数在区间上的最大值．‎ ‎20．（本题满分14分）‎ 已知数列满足：，，‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）设，试求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅲ）对于任意的正整数n，试讨论并证明与的大小关系.‎ - 18 -‎ - 18 -‎ 嘉兴一中2015学年第一学期期中考试数学理科答案 一． 选择题 ‎ DBCA BBCB 二． 填空题 ‎9.； 10.． 11.， ‎ ‎12．（1） （2） 13. 14. 15. 则是三棱柱的高.过则,设AP=，BP=，，同理 - 18 -‎ ‎（当时取等号）‎ ‎16. (Ⅰ）由得，，……………2分 即，所以，或(舍去) ……………4分 因为为三角形内角，所以.…………………6分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ）知，‎ 则；‎ 由，得，………………………9分 由正弦定理，有，即，，……………12分 - 18 -‎ 由三角形的面积公式，得，即，‎ 解得.………………………15分 ‎17．（1）证明：因为DE⊥平面ACD，DE平面CDE，‎ 第17题 所以平面CDE⊥平面ACD．‎ 在底面ACD中，AF⊥CD，由面面垂直的性质定理知，AF⊥平面CDE．‎ 取CE的中点M，连接BM、FM，‎ 由已知可得FM=AB且FM∥AB，则四边形FMBA为平行四边形，从而BM∥AF．‎ 所以BM⊥平面CDE．‎ 又BM平面BCE，则平面CBE⊥平面CDE．……………………………………………7分 法一：（2）过F作FN⊥CE交CE于N，过N作NH⊥BE，连接HF，‎ 则∠NHF就是二面角C—BE—F的平面角．‎ 在Rt△FNH中，NH=，FH=，‎ 所以 故二面角C—BE—F的余弦值为 - 18 -‎ ‎………………………………………………………15分 M y x z C F D A B E 法二：以F为坐标原点，FD、FA、FM所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则F(0,0,0)，E(1,0,2) ， B(0,,1) ， C(－1,0,0)，‎ 可求得面FBE的一个法向量为，‎ 平面CBE的一个法向量为，‎ 则 ‎ 故二面角C—BE—F的余弦值为．…………………………………………15分 ‎18.解：（Ⅰ）设将A、B代入得到 ，则（1）-（2）得到，由直线AB：的斜率k=-1，‎ - 18 -‎ 所以，OP的斜率为，所以，由得到，所以M得标准方程为．‎ ‎（Ⅱ）若四边形的对角线，由面积公式可知，当CD最长时四边形面积最大，由直线AB：的斜率k=-1，设CD直线方程为，与椭圆方程联立得：‎ ‎ ，，‎ ‎ 则，当m=0时CD最大值为4，‎ 联立直线AB：与椭圆方程得，‎ 同理利用弦长公式，‎ - 18 -‎ ‎．‎ ‎19. 解：（1）不等式对恒成立，即（*）对恒成立，‎ ‎①当时，（*）显然成立，此时； ‎ ‎②当时，（*）可变形为，令 因为当时，，当时，，所以，故此时. ‎ 综合①②，得所求实数的取值范围是. ‎ - 18 -‎ ‎（2）因为= ‎ ‎①当时，结合图形可知在上递减，在上递增，‎ 且，经比较，此时在上的最大值为.‎ ‎②当时，结合图形可知在，上递减，‎ 在，上递增，且，，‎ - 18 -‎ 经比较，知此时在上的最大值为.‎ ‎③当时，结合图形可知在，上递减，‎ 在，上递增，且，，‎ 经比较，知此时 在上的最大值为.‎ ‎④当时，结合图形可知在，上递减，‎ - 18 -‎ 在，上递增，且, ，‎ 经比较，知此时 在上的最大值为.‎ 当时，结合图形可知在上递减，在上递增，‎ 故此时 在上的最大值为.‎ 综上所述，当时，在上的最大值为；‎ 当时， 在上的最大值为；‎ - 18 -‎ 当时， 在上的最大值为0.‎ ‎20.（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）∵ ，，，，‎ ‎∴ ；；. ………………3分 ‎（Ⅱ）由题设，对于任意的正整数，都有：，‎ ‎∴ .∴ 数列是以为首项，为公差的等差数列.‎ ‎∴ . …………………………………………………………7分 ‎（Ⅲ）对于任意的正整数，‎ 当或时，；‎ - 18 -‎ 当时，；‎ 当时，. ……………………………………8分 证明如下：‎ 首先，由可知时，；‎ 其次，对于任意的正整数，‎ 时，；‎ ‎…………………9分 时，‎ 所以，. …………………10分 - 18 -‎ 时，‎ 事实上，我们可以证明：对于任意正整数，（*）（证明见后），所以，此时，.‎ 综上可知：结论得证. …………………12分 对于任意正整数，（*）的证明如下：‎ ‎1）当（）时，‎ ‎，‎ 满足（＊）式。‎ ‎2）当时，，满足（＊）式。‎ - 18 -‎ ‎3）当时，‎ 于是，只须证明，如此递推，可归结为1）或2）的情形，于是（＊）得证.‎ ‎ …………………14分 - 18 -‎