四川省成都市2015-2016学年高二数学上学期期中试题 理.doc

成都七中 2015-2016 学年上期2017 届半期考试数学试卷（理科）‎ 考试时间：120 分钟 总分：150 分 一．选择题（每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．把 答案凃在答题卷上.）‎ ‎1. 直线 y = - x 的倾斜角为（ ）‎ A. p B.‎ ‎‎ - 140 -‎ p C. 2 p D. 3 p ‎4 2 3 4‎ ‎2. 平 面 a - 140 -‎ ‎平 面 b 的 条 件 可 以 是 （ ）‎ A. a 内 有 无 穷 多 条 直 线 都 与 b ‎‎ - 140 -‎ 平 行 B. 直 线 a ‎‎ - 140 -‎ a , a ‎‎ - 140 -‎ b , 且 a Ë a , a Ë b C． a - 140 -‎ ‎内 的 任 何 直 线 都 与 b ‎‎ - 140 -‎ 平 行 D. 直 线 a Ì a , 直 线 b Ì b ， 且 a ‎‎ - 140 -‎ b , b a ‎3 . 与 直 线 - 140 -‎ ‎3 x - 4 y - 5 = 0 关 于 原 点 对 称 的 直 线 方 程 为 （ ）‎ A. 3 x - 4 y + 5 = 0‎ ‎‎ - 140 -‎ B. 3 x + 4 y - 5 = 0‎ C. 3 x + 4 y + 5 = 0‎ ‎‎ - 140 -‎ D. 3 x - 4 y - 5 = 0‎ ‎4 . D A B C 中 ， A ( 4 ，0 ) , B ( 8 ，7 ) , C ( 0 ，3 ) ， 则 B C ‎‎ - 140 -‎ 边 上 的 高 所 在 直 线 的 方 程 （ ）‎ A. 2 x + y + 8 = 0‎ ‎‎ - 140 -‎ B. 2 x + y - 8 = 0‎ C. x - 2 y - 4 = 0‎ ‎‎ - 140 -‎ D. x - 2 y + 4 = 0‎ ‎5 . 棱 长 为 2 ， 各 面 均 为 等 边 三 角 形 的 四 面 体 的 表 面 积 为 （ ）‎ A. 4 B. 4 2 C. 4 3 D. 4 6‎ ‎6 .三 棱 锥 的 三 条 侧 棱 互 相 垂 直 ，三 条 侧 棱 的 长 分 别 为 3 、4 、5 ， 则 它 的 外 接 球 的 体 积 为 （ ）‎ A.1 2 5 2 p B. 1 2 5 2 p C. 1 2 5 2 p D. 2 5 0 2‎ ‎3 2‎ ‎7 . 过 点 P ( 2 ，3 ) ， 并 且 在 两 轴 上 的 截 距 为 相 反 数 的 直 线 方 程 为 （ ）‎ A． 3 x - 2 y = 0 或 x - y + 1 = 0‎ ‎‎ - 140 -‎ B. x - y + 1 = 0‎ C． 3 x - 2 y = 0 或 x + y - 5 = 0‎ ‎‎ - 140 -‎ D. 3 x - 2 y = 0 或 3 x - 2 y + 1 = 0‎ ‎8 . 在 一 个 平 面 上 ， 机 器 人 甲 到 与 点 C ( 2 ， - 3 ) 距 离 为 5 的 地 方 绕 C 点 顺 时 针 而 行 ， 在 行 进 过 程 中 保 持 与 点 C 的 距 离 不 变 ， 机 器 人 乙 在 过 点 A ( - 8 ，0 ) 与 B ( 0 ，6 ) 的 直 线 上 行 进 ， 机 器 人 甲 与 机 器 人 乙 的 最 近 距 离 是 （ ）‎ A. ‎67 ‎ ‎5‎ ‎‎ - 140 -‎ ‎52 42 17 ‎ A. C. D.‎ ‎5 5 5‎ ‎9 . 直 线 ( m + 2 ) x + (1 - m ) y - 6 = 0 与 圆 ( x - 2 ) ‎‎ - 140 -‎ ‎2 + y 2‎ - 140 -‎ ‎= 1 的 位 置 关 系 是 （ ）‎ A. 相交 B.相离 C. 相切 D. 以上都有可能 D1 C ‎1 1 1 1‎ ‎1 0 . 在 棱 长 为 2 的 正 方 体 A B C D - A B C D 中 ， M 为 A B 的 中 点 ， 经 过 点 A1 B1‎ A 作 D M 的 垂 面 ， 该 垂 面 被 正 方 体 截 得 部 分 的 面 积 是 （ ）‎ D C ‎2 2 4‎ ‎‎ - 140 -‎ A M B ‎1 1 . 已 知 长 度 为 4 的 线 段 A B 在 平 面 a 内 ， 线 段 A C 、 B D 不 在 平 面 内 ， A C = B D = 3 ， C A ^ 平 面 a 且 与 平 面 a 交 于 A , B D ^ A B , B D 与 它 在 a 内 的 射 影 成 30 ° 角 ， 则 C D 的 长 度 为 （ ）‎ A. 5 B. 5 或 3 4‎ ‎‎ - 140 -‎ C. 5 或 4 3‎ ‎‎ - 140 -‎ D. 3 4 或 4 3‎ ‎1 2 . 设 f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 增 函 数 ， 且 对 于 任 意 的 x 都 有 f (1 - x ) + ‎‎ - 140 -‎ f (1 + x ) = 0 恒 成 立 ， 如 果 实 数 ‎2 2‎ ‎2 2‎ ì f ( a a、 b 满 足 不 等 式 组 í ‎‎ - 140 -‎ - 6 a + 2 3 ) + ‎‎ - 140 -‎ f ( b ‎‎ - 140 -‎ - 8 b ) £ 0‎ ‎‎ - 140 -‎ 那 么 a ‎‎ - 140 -‎ + b 的 取 值 范 围 是 （ ）‎ î f ( b + 1) > ‎‎ - 140 -‎ f ( 5 )‎ A. (1 7 , 4 9 ] ‎‎ - 140 -‎ B. [9 , 4 9 ] ‎‎ - 140 -‎ C. (1 7 , 4 1] ‎‎ - 140 -‎ D.[9 , 4 1] 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在答题卷的横线上。）‎ ‎13 .一 个 腰 长 为 2 的 等 腰 直 角 三 角 形 绕 着 斜 边 上 的 高 所 在 直 线 旋 转 180 形 成 的 封 闭 曲 面 所 围 成 的 图 形 的 体 积 为 ‎1 4 . 一 根 弹 簧 ， 挂 4 N 的 物 体 时 ， 长 2 0 c m . 在 弹 性 限 度 内 ， 所 挂 物 体 的 重 量 每 增 加 1 N ， 弹 簧 就 伸 长 ‎1 .5 c m , 则 弹 簧 的 长 度 l ( c m )与 所 挂 物 体 重 量 G ( N )的 关 系 方 程 为 ‎1 5 . D A B C 中 ， B C = 4， A B = 2 A C , 则 S ‎‎ - 140 -‎ D ABC ‎ - 140 -‎ ‎的 最 大 值 为 ‎16.已知 ‎‎ - 140 -‎ O : x + y = 4 （注：横、纵坐标都是有理数的点称为有理点,）‎ ‎2 2‎ ‎① O 上只有四个有理点； ② O 上有无数个有理点； ③ O 上只有有限个无理点；‎ ‎④以 O 上点 (1 , 3 ) 为圆心，半径为 4 的圆上最多只有两个有理点。 以上结论正确的序号为 三.解答题（17-21 每小题 12 分， 22 题 14 分，共 74 分. 在答题卷上解答，解答应写出文字 说明，证明过程或演算步骤.）‎ ‎1 7 . 已 知 直 线 l ‎‎ - 140 -‎ ‎: 2 x + y + 2 = 0， l : m x + 4 y + n = 0‎ ‎1 2‎ ‎( 1 ) 若 l ‎‎ - 140 -‎ ^ l ，求 m 的 值 ;‎ ‎1 2‎ ‎1 2‎ ‎( 2 ) 若 l l ‎‎ - 140 -‎ ‎，且 它 们 的 距 离 为 ‎‎ - 140 -‎ ‎5 ， 求 m 、 n 的 值 .‎ ‎18.一块边长为 10cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等 腰三角形加工成一个正四棱锥（底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心的四 棱锥）形容器。‎ ‎（1）试把容器的容积 V 表示为 x 的函数 ‎（2）若 x=6，① 求图 2 的主视图的面积；②求异面直线 EB 与 DC 所成角的正切值.‎ E y ‎5 D C O x A B 图1 图2‎ ‎1 9 . 已 知 ‎‎ - 140 -‎ O 的 方 程 为 x 2 + y 2 = 4 , A (1 , 1 ) ， B ( - 2 , 6 ) .‎ ‎2 2‎ ‎( 1 ) 若 点 P 为 ‎‎ - 140 -‎ O 上 动 点 ， 求 P A + - 140 -‎ ‎P B - 140 -‎ ‎的 最 大 值 ；‎ ‎( 2 ) 直 线 l 过 点 A ， 被 ‎‎ - 140 -‎ O 截 得 弦 长 为 2‎ - 140 -‎ ‎3 ， 求 直 线 l 的 方 程 .‎ ‎20.‎ ‎‎ - 140 -‎ A B 是 ‎‎ - 140 -‎ O 的 直 径 ， P A 垂 直 于 ‎‎ - 140 -‎ O 所 在 的 平 面 ， C 是 圆 周 上 不 同 于 A , B 的 任 意 一 点 .‎ ‎( 1 ) 求 证 ： 平 面 P A C ^ 平 面 P B C P ‎( 2 ) 若 P A = 4， A B = 6， Ð A B C = 3 0 ,‎ C ‎① 求 A C 与 P B 所 成 角 的 正 切 值 ;‎ ‎② 求 直 线 A C 与 平 面 P C B 所 成 角 的 余 弦 值 .‎ ‎‎ - 140 -‎ A O B ‎21. 如图（1）ABCD 为矩形，其中 BC 边长度为 2，AB 边长度为 1，E 为 AD 的中点，将 ‎‎ - 140 -‎ D ABE ‎ 延 BE 折叠使得平面 A B E ‎‎ - 140 -‎ ^ 平 面 B E D C ‎‎ - 140 -‎ ‎，连结 AC、AD(见图 2)‎ A E D A - 140 -‎ ‎A M D N D E E B B A C C 图1 图2‎ ‎‎ - 140 -‎ 图3 C ‎( 1 )求 图 2 的 侧 视 图 的 面 积 ;‎ ‎( 2 ) 求 二 面 角 A - C D - B 所 成 角 的 正 切 值 ;‎ ‎( 3 )点 M 在 A D 上 ， 且 A M ‎‎ - 140 -‎ ‎: M D = 5 ：2， 点 N 在 棱 A C 上 ， B N ‎‎ - 140 -‎ 平 面 E M C ， 求 A N 的 值 .‎ ‎22. 已知圆 C 的周长被 y 轴平分，且经过点 A ( ‎‎ - 140 -‎ ‎3 , 0 ) , B ( 0 , 3 ) .‎ ‎（1）求圆 C 的方程；‎ ‎（2）过原点 O 作直线 l1 : y = k1 x 交圆 C 于点 E ( x1 , y1 ) , F ( x2 , y2 ) ,作直线 l2 : y = k 2 x 交圆 C 于点 G ( x 3 , y 3 ), H ( x 4 , y 4 ), (其中 y 2 > 0 , y 4 > 0 ) ,设 EH 交 x 轴于点 Q ，GF 交 x 轴于点 R （如图）。‎ ‎① 求证：‎ ‎‎ - 140 -‎ k x x ‎1 1 2‎ ‎‎ - 140 -‎ y k x x H = 2 3 4 ; F x + x x + x ‎1 2 3 4‎ ‎②求证： O Q x 轴的情形) ·‎ ‎‎ - 140 -‎ = O R ‎‎ - 140 -‎ ‎.(证明过程不考虑 EH 或 GF 垂直于 ‎‎ - 140 -‎ Q O R x E G 成都七中 2015-2016 学年上期 ‎2017 届半期考试数学试卷(参考答案)（理科） 考试时间：120 分钟 总分：150 分 一．选择题 ‎1-5 DCABC 6-10 BADDB 11-12 CA 二、填空题 ‎13. 2 2p 14. l =1.5G +14‎ ‎3‎ 三、解答题 - 140 -‎ ‎15. 16‎ ‎3‎ ‎‎ - 140 -‎ ‎16. ②④‎ ‎17.解： 设直线l 、l 的斜率分别为k 、k ，则k ‎‎ - 140 -‎ = -2、k ‎‎ - 140 -‎ = - m . 2分 ‎1 2 1 2 1 2 4‎ m ‎(1) 若l1 ^ l2 ，则k1k2 = ‎‎ - 140 -‎ = -1，\m = -2 . 6分 ‎2‎ m ‎(2) 若l1‎ ‎‎ - 140 -‎ l2 ，则 - 2 = - ，\ m = 8 ,‎ ‎4‎ n ‎‎ - 140 -‎ ‎2 - n ‎4‎ \ l2 可以化简为2x + y + = 0 ,\ l1与l2的距离为 ‎4‎ ‎‎ - 140 -‎ = 5 .‎ ‎5‎ \n = 28 或-12 . 12分 ‎18.解：（1）由图 2，可知 OF = x , EO = ‎‎ - 140 -‎ ‎25 - x ,‎ ‎2 4‎ \V = 1 × S ‎‎ - 140 -‎ EO = 1 x2‎ ‎‎ - 140 -‎ ‎25 - x ‎‎ - 140 -‎ (0 < x < 10) . 4分 ‎3 ABCD 3 4‎ ‎（2）①取 AD 中点 G，联结 GO，GE. E \主视图为DEGF .‎ GF = 6 , EO = 4 , D C G O A B \SDEGF ‎‎ - 140 -‎ = 1 GF × EO = 1 ´ 6´ 4 = 12 . 8分 ‎2 2‎ ‎②取 AB 中点 H，联结 EH，则 EH ^ AB，HB = 3 . E ABCD为正方形,\ AB CD .‎ \EB与CD所成角为ÐEBH , D C \ tan ÐEBH = EH HB ‎‎ - 140 -‎ = 5 .‎ ‎3‎ ‎‎ - 140 -‎ ‎12分 ‎‎ - 140 -‎ G O A H B ‎19.解：（1） 设P (x, y)，则x2 + y2 = 4 ,‎ 则 PA 2 + PB 2 = (x -1)2 + ( y -1)2 + (x + 2)2 + ( y - 6)2‎ = 2x2 + 2x + 2 y2 -14 y + 42‎ = 2 ( x - 7 y ) + 50‎ 令x = 2 cosq , y = 2sinq ,‎ 则 PA 2 + PB 2 = 4(cosq - 7 sinq ) + 50 = 20 2 sin(q + j) + 50 ,‎ ‎2 2‎ \ PA ‎‎+ - 140 -‎ PB ‎‎ - 140 -‎ 的最大值为20‎ ‎‎ - 140 -‎ ‎2+50 . 6分 ‎（2） 设直线l方程为y -1 = k (x -1)，即kx - y +1- k = 0 ,‎ 则点O (0,0)到直线 l 的距离d = ‎‎ - 140 -‎ ‎1- k ‎.‎ k 2 +1‎ ‎1- k 又弦长为2 3， O半径为2，则d = = 1 , 解得:k=0 ,‎ k 2 +1‎ \直线l 方程为: y = 1‎ 又直线:x = 1也满足,‎ \直线l的方程为：y = 1和x = 1.‎ ‎‎ - 140 -‎ ‎10分 ‎‎ - 140 -‎ ‎12分 ‎20.解：（1） 证明：设 \PA ^ BC.‎ ‎‎ - 140 -‎ O所在平面为a，又已知条件有PA ^ a, BC Ì a,‎ AB 为 ‎‎ - 140 -‎ O的直径，C是圆周上不同于A, B的任意一点,‎ \ÐBCA = 90O ,即BC ^ AC.‎ 又因为PA与AC是DPAC 所在平面内的两条相交直线,‎ \ BC ^ 平面PAC,又 ‎‎ - 140 -‎ BC Ì 平面PBC,‎ \平面PAC ^ 平面PBC. 4分 ‎（2）① 过A作AD BC交 ‎‎ - 140 -‎ O于D，连结BD .‎ AB为 ‎‎ - 140 -‎ O直径\ AC BD，ÐPBD或其补角为AC与PB所成角.‎ \四边形ABCD为平行四边形 .‎ AB = 6，ÐABC = 30°，ÐACB = 90° \BD = AC = 3, BC = AD = 3 3 ,‎ \PD = ‎‎ - 140 -‎ PA2 + AD2 = ‎‎ - 140 -‎ ‎27 +16 = ‎‎ - 140 -‎ ‎43 ,‎ 同（1），易证BD ^ 平面PAD .‎ ‎‎ - 140 -‎ \PD ^ BD ,‎ \tan ÐPBD = PD = BD ‎‎ - 140 -‎ ‎43 . 8分 ‎3‎ ‎② 设点A到平面PCB的距离为h. .‎ ‎1 1‎ 由VA-PCB = VP- ACB 得 ‎‎ - 140 -‎ SDPCB × h = ‎3 3‎ ‎‎ - 140 -‎ SDACB × PA ,‎ DPCB中，PC = 5，BC = 3 3 ,由（1）知，BC ^ 平面PCA,则BC ^ PC.‎ \SDPCB ‎‎ - 140 -‎ = 1 ´ 5´ 3 3 = 15 3 ,‎ ‎2 2‎ ‎‎ - 140 -‎ \ h = ‎‎ - 140 -‎ ‎12 ,‎ ‎5‎ ‎‎ - 140 -‎ sinq = 4 .‎ ‎5‎ \cosq = 3 .‎ ‎5‎ ‎‎ - 140 -‎ ‎12分 ‎21.解：（1）由图可知侧视图为三角形，设BE 中点为O, 连结AO..‎ AB = AE = 1 , O为BE中点 ,\ AO ^ BE. .‎ 平面ABE ^ 平面BCDE，且AO Ì 平面ABE, ,‎ \ AO ^ 平面BCDE，则AO的长度即为侧视图的高的长度..‎ ‎. CD ^ BC ‎‎ - 140 -‎ \CD的长度为侧视图的底边长.‎ \S = 1 ´1´ 2 = - 140 -‎ ‎2‎ ‎. 4分 D侧 2 2 4‎ ‎（2） 取CD中点H，连结OH, AH,则OH ^ CD .‎ 由（1）知，AO ^ 平面BCDE ,\ AH ^ CD .‎ \ÐAHO为二面角A - CD - B的平面角,\OH = 1 (ED + BC ) = 3，AO = 2 .‎ \ tan ÐAHO = ‎‎ - 140 -‎ AO = OH ‎‎ - 140 -‎ ‎2‎ ‎. 8分 ‎3‎ - 140 -‎ ‎2 2 2‎ ‎（3） 连结BD,交CE于P, 连结PM ‎‎ - 140 -‎ 在梯形BCDE中，ED = 1，BC = 2, DE BC.‎ \ BP: PD = 2 :1 , 在AM上取Q, 使QM : MD = 2 :1, 连结BQ .‎ \QM : MD = 2 :1 = BP : PD ,‎ ‎‎ - 140 -‎ \ BQ PM .‎ ‎‎ - 140 -‎ A Q M N E D 由AM : MD = 5 : 2知，AQ : QM = 1: 4 ,‎ P 在AC上取N使AN : NC = 1: 4，连结BN , 则QN MC . B C BQ PM , QN MC,‎ 又BQ Ë 平面MEC，PM Ì 平面MEC, NQ Ë 平面MEC, MC Ì 平面MEC.‎ \平面BQN ‎‎ - 140 -‎ 平面MEC, 又BN Ì 平面BQN,‎ \ BN ‎‎ - 140 -‎ 平面BQN .‎ \ AN = 1 AC = - 140 -‎ ‎3‎ ‎. 12分 ‎5 5‎ ‎22. .解（1）由题意可知，圆 C 的圆心在 y 轴上，设圆心 C ( 0, b ) ，半径为 r.‎ \圆C的方程为 x2 + ( y - b)2 = r2 .‎ A, B 在圆 C 上,‎ ìï(3 - b)2 = r2‎ \í ‎‎ - 140 -‎ ìb = 1‎ ‎, 解得 í ,‎ = ïî3 + b2 = r2‎ ‎‎ - 140 -‎ îr 2‎ \圆 C 的方程为 ‎‎ - 140 -‎ x2 + ( y -1)2 = 4 . 4分 ‎2 2‎ ‎(2) ①将直线 EF 的方程 y = k1x 代入圆 C 的方程，整理得 (k1‎ ‎‎ - 140 -‎ +1)x ‎‎ - 140 -‎ - 2k1x - 3 = 0 ，‎ 则 x + x = ‎‎ - 140 -‎ ‎2k1‎ ‎‎ - 140 -‎ ‎, x x = - 3 ，‎ ‎1 2 k 2 +1 1 2‎ ‎‎ - 140 -‎ k 2 +1‎ k1x1x2‎ 所以 - 140 -‎ ‎1 1‎ = -3k1 = - 3 ,‎ x1 + x2‎ ‎‎ - 140 -‎ ‎2k1 2‎ 将直线 GH 的方程 y = k2 x 代入圆 C 的方程，同理可得 x + x = - 140 -‎ ‎2k2‎ ‎‎ - 140 -‎ ‎, x x = - 3 ，‎ ‎3 4 k 2 +1 3 4‎ ‎‎ - 140 -‎ k 2 +1‎ k2 x3 x4‎ 所以 - 140 -‎ ‎2 2‎ = -3k2 = - 3 ,‎ x3 + x4‎ k1x1x2‎ 所以 x1 + x2‎ ‎‎ - 140 -‎ ‎2k2‎ = k2 x3 x4 x3 + x4‎ - 140 -‎ ‎2‎ ‎. 8分 x - q x - q ‎②（蝴蝶定理）方法一：设点 Q(q, 0), R(r, 0), ，由 E、Q、H 三点共线，得 1 = 4 ，‎ 解得 q = (k1 - k2 )x1x4 。同理可得 r = (k1 - k2 )x2 x3 ，‎ ‎‎ - 140 -‎ k1x1‎ ‎‎ - 140 -‎ k2 x4‎ k1x1 - k2 x4‎ ‎‎ - 140 -‎ k1x2 - k2 x3‎ k1x1x2‎ 由①‎ x1 + x2‎ ‎‎ - 140 -‎ = k2 x3 x4 x3 + x4‎ ‎‎ - 140 -‎ 变形得 ‎‎ - 140 -‎ x2 x3‎ k1x2 - k2 x3‎ ‎‎ - 140 -‎ = -x1x4‎ k1x1 - k2 x4‎ ‎‎ - 140 -‎ ‎(k1 - k2 )x2 x3‎ 即 k1x2 - k2 x3‎ ‎‎ - 140 -‎ + (k1 - k2 )x1x4 = 0 ，‎ k1x1 - k2 x4‎ 从而 q + r = 0, 所以 q = r ，即 OQ = OR . 14分 方法二：直线 EF,GH 的方程可以表示为 (k1x - y)(k2 x - y) = 0,‎ 则 过 圆 C 和 上 述 方 程 交 点 E,F,G,H 的 二 次 曲 线 系 为 ：‎ x2 + ( y -1)2‎ ‎‎ - 140 -‎ - 4 + l(k1x - y)(k2 x - y) = 0,(*)‎ 令 y = 0, 得 (1+ lk1k2 )x ‎‎ - 140 -‎ - 3 = 0, 其两根即为曲线系 (*) 与 x 轴交点 Q,R 的横坐标，‎ 由韦达定理得 xQ + xR = 0, 即 OQ = OR . 14分 - 140 -‎