成都七中 2015－2016 学年度上期半期考试
高三年级数学试卷（文科）
考试时间：120 分钟 总分：150 分
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合 A = { x | x - 1 ³ 0}, B = { x | x 2 - x - 2 £ 0} ，则 A I B = （ ）
（A）{ x | 0 £ x £ 2}（B）{ x | 1 £ x £ 2}（C）{1,2 }（D） F
2．式子 2 lg 5 + lg 12 - lg 3 = （ ）
（A） 0 （B）1 （C） 2 （D） - 2
3．已知向量 a = (1, l ) ， b = ( l ,4 ) ，若 a // b ，则实数 l= （ ）
（A） 0 （B） ± 2（C） - 2（D） 2
4．函数 f ( x ) = e x - e - x ( x Î R ) 的奇偶性是（ ）
（A）奇函数 （B）偶函数 （C）非奇非偶函数 （D）既是奇函数也是偶函数
5．函数 f ( x ) = sin 2 x + 1 的周期为（ ）
（A） 4p（B） 2p
xp
（C） p （D）
2
2
6．函数 f ( x ) = log x +- 3 的零点所在区间为（ ）
3
（A） ( 0 ,1)（B） (1, 2 )C． ( 2 ,3 )（D） ( 3,4 )
7．已知 a , b , c , d Î R ，“ a + c > b + d ”是“ a > c , b > d ”的（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
p
8．已知 tan(
1
- 95 -
+ a ) = 2 ，则 sin 2a
4
1= （ ）
3 3
（A） - （B）
3 3
C） - （D）
5 5
9．下列命题成立的是（ ）
p 1 p
0
x
x
=
（A） $ x
- 95 -
Î ( 0 ,
- 95 -
) ，使得 sin
4
- 95 -
cos
0
0
2
- 95 -
（B） " x Î [ 0 ,
- 95 -
] ，都有 sin
4
- 95 -
x + cos x < 2
p
0
（C） $ x Î (
2
- 95 -
, p ) ，使得 sin
- 95 -
x
0
x
0
- cos = 1
- 95 -
3p
（D） " x Î [
4
- 95 -
, 5p ] ，都有 sin 2 x £ cos 2 x
4
10．在 D ABC
- 95 -
中， cos
- 95 -
2 5
A = , cos
5
- 95 -
3 10
B =
10
- 95 -
，最长的边长为 5 ，则最短的边长为（ ）
5
（A） 2 （B）
2
- 95 -
3
（C）1 （D）
2
n
11．已知公差不为零的等差数列 {a
- 95 -
} 的前 n 项和为 S , S
- 95 -
= 4 p
- 95 -
，函数 f ( x ) = c os x ( 2 s in x + 1) ，则
n
8
1
f (a ) +
- 95 -
f (a
- 95 -
) + L +
- 95 -
f (a
- 95 -
) 的值为（ ）
n
2
8
（A） 0 （B） 4p
- 95 -
（C） 8p
- 95 -
（D）与a 有关
n
12．已知数列{ a
- 95 -
} 的前 n 项和为 S ，满足 a
- 95 -
p
1
= tan a , ( 0 < a < , a
- 95 -
p
1
¹ ) ，a
- 95 -
=
a
+
n
n n + 1
- 95 -
3 *
( n Î N
- 95 -
) ．关
于下列命题：
p
3
①若a = ，则 a
3
- 95 -
= 0 ；
- 95 -
2 6 1 - 3 a
②对任意满足条件的角a ，均有 a
- 95 -
*
n + 3
- 95 -
= a ( n Î N ) ；
0
③存在a
p
- 95 -
p
Î ( 0 ,
6
p
- 95 -
p
n
) U (
6
- 95 -
p
3 n
, ) ，使得 S
2
- 95 -
= 0 ；
④当 < a <
6
- 95 -
时， S
3 n
3
- 95 -
< 0 ．
其中正确的命题有（ ）
（A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4 个
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分）
13．已知 a = ( 2 ,- 1), b = (1,3) ，则 ( 2 a - b ) × a = ．
p
14．已知角a ， b ， g 构成公差为
3
- 95 -
2
的等差数列．若 c o s b = - ，则 co s a + c o s g = .
3
3
n
15．已知公比 q ¹ 1 的正项等比数列{ a
- 95 -
} ， a
- 95 -
= 1 ，，函数 f ( x ) = 1 + ln
- 95 -
x ，则
1
f ( a ) +
- 95 -
f ( a
- 95 -
) + L +
- 95 -
f ( a
- 95 -
) = ．
1 2
2
5
16．函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上有定义，若对任意 x , x Î [ a , b ] ，有
+
- 95 -
x
x
2
f ( 1 ) £
2
- 95 -
1
1
[ f ( x ) +
2
- 95 -
f ( x )] ，则称 f ( x )
2
在 [ a , b ] 上具有性质 P．设 f ( x ) 在 [1, 2 0 1 5 ] 上具有性质 P.现给出如下命题：
① f ( x ) 在 [1, 2 0 1 5 ] 上不可能为一次函数；
②若 f (1008
- 95 -
) = 1008
- 95 -
，则 f ( x ) +
- 95 -
f ( 2016
- 95 -
- x ) ³ 2016 ；
1
2
③对任意 x , x
- 95 -
3
4
, x , x
- 95 -
Î [1,2015
+
- 95 -
x
x
2
] ，有 f ( 1
+
- 95 -
x + x
3
4
- 95 -
4 ) £
- 95 -
1
1
[ f ( x ) +
4
- 95 -
2
f ( x ) +
- 95 -
3
f ( x ) +
- 95 -
4
f ( x
- 95 -
)] ；
( )
④函数 f x 2 在 é1, 2 0 1 5 ù 上具有性质 P.
ë û
其中真命题的序号是 .
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
2
17.（本小题 10 分）已知集合 A = { x | x 2 - 3 x + 2 £ 0} ，函数 f ( x ) =
- 95 -
x - 2 ax
- 95 -
+ 1 .
（1）当 a ¹ 0 时，解关于 x 的不等式 f ( x ) £ 3 a 2 + 1 ；
（2）对任意 x Î A ，均有 f ( x ) > 0 ，求实数 a 的取值范围.
/ /
18．（本小题 12 分）已知函数 f ( x ) = 2 x 3 - 3 x 2 -
- 95 -
f ( 0 ) x + c（ c Î R ），其中 f ( 0 ) 为函数 f ( x ) 在 x = 0
处的导数．
（1）求函数 f ( x ) 的递减区间；
（2）若函数 f ( x ) 的极大值和极小值互为相反数，求函数 f ( x ) 的解析式．
19．（本小题 12 分）已知向量 a = (sin
- 95 -
x + cos x ,
- 95 -
2 cos x ) ，b = (cos
- 95 -
x - sin x ,
- 95 -
2 sin
- 95 -
x ) ，
- 95 -
p
x Î [ -
8
- 95 -
,0 ] ．
（1）求 | a | 的取值范围；
（2）若 a × b = 1 ，求 x 的值．
n + 1 n
20．（本小题 12 分）已知数列{ a - 2 a
- 95 -
} ( n Î N ) 是公比为 2 的等比数列，其中 a
- 95 -
= 1, a
- 95 -
= 4 ．
*
1
2
（Ⅰ）证明：数列{
- 95 -
a
n
n } 是等差数列；
n
2
n
（Ⅱ）求数列{ a
- 95 -
} 的前 n 项和 S ．
21．（本小题 12 分）D ABC
- 95 -
的三内角 A , B , C 所对边长分别为 a , b , c ，a 2 - b 2
- 95 -
= bc ， AD 为角 A 的平分
线，且 D ACD
- 95 -
与 D ABD
- 95 -
面积之比为 1:2．
（1）求角 A 的大小；
（2）若 AD =
2
- 95 -
，求 D ABC
- 95 -
的面积．
m
22.（本小题 12 分）已知函数 f ( x ) = l e x - x 2 , g ( x ) = - x 2 +
2
然对数底数.
2
- 95 -
15
x - ( m
2
- 95 -
> 0 ) ，其中 e = 2 .71828
- 95 -
× × × 是自
1
2
（Ⅰ）若函数 f ( x ) 有两个不同的极值点 x , x
- 95 -
,证明： 0 < l < ；
e
（Ⅱ）当 l =1 时，求使不等式 f ( x ) > g ( x ) 在一切实数上恒成立的最大正整数 m .（参考数据：7 < e 2 < 7 .5 ）
成都七中2015－2016学年度上期半期考试
高三年级数学试卷（文科参考答案）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．B 2．A 3．B 4．A 5．C 6．D
7．B 8．D 9．D 10．C 11．A 12．D
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．11 14． 15． 16．②③
三、解答题（共70分）
17.解：（1）不等式整理得，即，
若，则解集为， …………………2分
若，则解集为． …………………4分
（2），
对任意的，均有成立，…………………6分
即，只需， …………………8分
当时，，所以，即． …………………10分
18．解：（1），
令得， …………………3分
令，解得，
所以函数的递减区间为， …………………6分
（2）函数在上递增，在上递减，在上递增，
所以，，…………………10分
，
- 95 -
解得． …………………12分
19．解：（1）
…………………2分
因为，所以，即，………………4分
所以的取值范围是， …………………6分
（2），
，…………………8分
,
， …………………10分
因为，所以
所以当时，． …………………12分
20．解（1）由已知得， …………………2分
两端同除得：，
所以数列是以首项为，公差为的等差数列， …………………4分
（2）由（1）知，所以， …………………6分
，
则，
相减得：，
所以， …………………10分
- 95 -
即． …………………12分
A
C
B
D
21． 解（1）由得，
由正弦及余弦定理得：，…………………2分
,
整理得，即, …………………4分
因为为角的平分线，且，
所以，
所以， …………………6分
即 …………………8分
（2）
所以， …………………10分
． …………………12分
22．解（1），
据题意得有两个不同的根，
当时，在R上递减，不合题意，
所以，
又，令得，
所以函数在上递减，在上递增，…………………4分
- 95 -
所以有两个不同的根，则，
即，，
即， …………………6分
（2）不等式对任意恒成立，
令，
，令得，
所以函数在上递减，在上递增，
所以，
整理得， …………………9分
令，易得在上递减，
当，，
当，，
所以满足条件的最大整数. …………………12分
- 95 -
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