湖北省荆州中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题 理.doc

荆州中学2015～2016学年度上学期期 中 考 试 卷年级：高二 科目：数学（理科） ‎ 一、选择题（60分，每小题5分，每题的四个选项中有且仅有一个是正确的）‎ ‎1.荆州市某重点学校为了了解高一年级学生周末双休日在家活动情况，打算从高一年级1256名学生中抽取50名进行抽查，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从1256人中剔除6人，剩下1250人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的机会（ ）‎ A. 不全相等 B. 均不相等 C. 都相等 D. 无法确定 ‎2.已知点,且,则实数的值是（ ）‎ 是 开始 输出 否 结束 输入 是 否 A.或4 B.或2 C.3或 D.6或 ‎ ‎3．某店一个月的收入和支出总 共记录了个数据，，‎ 其中收入记为正数，支出记为负数.‎ 该店用右边的程序框图计算月总收入 和月净盈利，那么在图中空白的判 断框和处理框中，应分别填入下列四个 选项中的( )‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎4.用斜二测画法作出一个三角形的直观图，则原三角形面积是直观图面积的（ ）‎ A. 倍 B. 倍 C. 2倍 D. 倍 ‎5.如图（１）所示的一个几何体，在图中是该几何体的俯视图的是（　　）‎ A B C D ‎（1）‎ ‎6.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，且，给出下列结论：①若∥，则∥ ；②若∥，则∥；③若⊥，则⊥； ④若⊥，则⊥；其中正确结论的个数是( )‎ 8‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎7．将一圆形纸片沿半径剪开为两个扇形，其圆心角之比为3∶4. 再将它们卷成两个圆锥侧面，则两圆锥的高之比为（ ）‎ ‎ A. 3∶4 B. 9∶16 C. 27∶64 D. ‎ ‎8. 在同一直角坐标系中，方程与的图形正确的是（ ）． ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎9. 若为圆的弦的中点，则直线的方程为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10. 已知点、若直线过点，且与线段AB相交，则直线的斜率的取值范围是（　 ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）‎ A . B. C. D. ‎ ‎12.若圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 二、填空题（共20分，每小题5分）‎ ‎13.过圆上一点的切线方程为 ． ‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎3‎ 8‎ ‎14.已知与之间的一组数据如右图所示，当变化时，‎ 与的回归直线方程必过定点 . ‎ ‎15. 若四面体的四个顶点到平面的距离相等，则这样的平面的个数是 ． ‎ ‎16．荆州市为了解岁的老人的日平均睡眠时间（单位：），随机选择了位老人进行调查，下表是这位老人睡眠时间的频率分布表：‎ 序号 分组 （睡眠时间）‎ 组中值（）‎ 频数 （人数）‎ 频率（）‎ ‎1‎ ‎6‎ ‎2‎ ‎10‎ ‎3‎ ‎20‎ ‎4‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎4‎ 输出 否 开始 是 结束 输入 在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的的值为 .‎ 三、解答题 分组 频数 ‎[0，0.5）‎ ‎4‎ ‎[0.5，1）‎ ‎8‎ ‎[1，1.5）‎ ‎15‎ ‎[1.5，2）‎ ‎22‎ ‎[2，2.5）‎ ‎25‎ ‎[2.5，3）‎ ‎14‎ ‎[3，3.5）‎ ‎6‎ ‎[3.5，4）‎ ‎4‎ ‎[4，4.5]‎ ‎2‎ 合计 ‎100‎ ‎17.（本小题满分10分）某地区100位居民的人均月用水量（单位：t）的频率分布直方图及频数分布表如下： （1）根据频率分布直方图估计这组数据的众数与平均数； （2）当地政府制定了人均月用水量为3t的标准，若超出标准加倍收费，当地政府解释说，85%以上的居民不超出这个标准，这个解释对吗？为什么？‎ ‎18.（本小题满分12分）已知一条光线从点射出，经过轴反射后，反射光线与圆相切，求反射光线所在直线的方程. ‎ 8‎ ‎19.（本小题满分12分）在2015年全运会上两名射击运动员甲、乙在比赛中打出如下成绩：‎ 甲：9.4，8.7，7.5，8.4，10.1，10.5，10.7，7.2，7.8，10.8；‎ 乙：9.1，8.7，7.1，9.8，9.7，8.5，10.1，9.2，10.1，9.1；‎ ‎（1）用茎叶图表示甲、乙两人的成绩；并根据茎叶图估计他们的中位数；‎ ‎（2）已知甲、乙两人成绩的方差分别为与，分别计算两个样本的平均数和标准差，并根据计算结果估计哪位运动员的成绩比较好，哪位运动员的成绩比较稳定.‎ ‎20.（本小题满分12分）设 是直线外一定点，且点到直线的距离是，试证明： . ‎ P A B C D E ‎21.（本小题满分12分）在三棱锥中，，，点在棱上，且.‎ ‎（Ⅰ）试证明：； ‎ ‎（Ⅱ）若，过直线任作一个平面与直线 相交于点，得到三棱锥的一个截面，‎ 求面积的最小值； ‎ ‎（Ⅲ）若，求二面角的正弦值. ‎ M ‎22．（本小题满分12分）已知圆和定点，由圆外一点向圆引切线，切点为，且满足．‎ ‎（1）求实数间满足的等量关系；‎ ‎（2）若以为圆心的圆与圆有公共点，试求圆的半径 最小时圆的方程；‎ ‎（3）当点的位置发生变化时，直线是否过定点，如果 是，求出定点坐标，如果不是，说明理由.‎ 8‎ 荆州中学2015～2016学年度上学期 期 中 考 试 卷 年级：高二 科目：数学（理科） 出题人： 审题人： ‎ 参考答案 一、选择题 CDCBC ADCCA BC 二、填空题 ‎; ; 7； 6.42‎ 三、解答题 ‎17. 解：（1）由图知，这组数据的众数为2.25， 平均数为2.02． ‎ ‎（2）人均月用水量在3t以上的居民的比例为6%+4%+2%=12%，即大约是有12%的居民月均用水量在3t以上，88%的居民月均用水量在3t以下，因此，政府的解释是正确的． ‎ ‎18.解：A关于x轴的对称点。反射光线相当于是从点射出的光线。‎ 因为反射光线的斜率存在，所以反射光线所在的直线可设为 即 因为该直线与圆相切，所以 ‎…10分 所以反射光线所在直线方程为或 ‎ ‎19.解：（1）如图所示，茎表示成绩的整数环数，叶表示小数点后的数字。‎ ‎ 甲 乙 ‎8 2 5 7 1‎ ‎ 4 7 8 7 5‎ ‎ 4 9 1 8 7 2 1‎ ‎8 7 5 1 10 1 1‎ ‎ ‎ 由上图知，甲中位数是9.05，乙中位数是9.15 ‎ ‎（2）解：＝×（9.4+8.7+7.5+8.4+10.1+10.5+10.7+7.2+7.8+10.8）=9.11‎ ‎＝×（9.1+8.7+7.1+9.8+9.7+8.5+10.1+9.2+10.1+9.1）＝9.14‎ 8‎ S甲＝ ‎ 由，这说明乙运动员的好于甲运动员的成绩 由S甲S乙，这说明甲运动员的波动大于乙运动员的波动，所以我们估计，乙运动员比较稳定。‎ ‎20.证明 方法一，， 设是直线上一点，则 因为 所以 方法二 过点作直线的垂线，垂足为，则直线的方程为 ‎ 而直线的方程可写为 ‎ ‎ 由直线与直线都过点知 ‎ 两式平方和可得 ‎ 所以，点到直线的距离 ‎ ‎21.解：（1）证明：‎ ‎（2）‎ 8‎ ‎（3）由（2）知，当 ‎ 所以，‎ ‎22.解：（1）连为切点，，由勾股定理有.又由已知，故.‎ 即：.‎ 化简得实数间满足的等量关系为：. ‎ ‎（2）解法1：设圆的半径为，‎ 圆与圆有公共点，圆的半径为1，‎ 即且.‎ 而，故当时，‎ 此时, ，.得半径取最小值时圆的方程为． ‎ 解法2： 圆与圆有公共点，圆半径最小时为与圆外切（取小者）的情形，而这些半径的最小值为圆心到直线的距离减去1，圆心 为过原点与垂直的直线与的交点 .‎ ‎ 又 直线的方程为 P0‎ l 解方程组，得.即 ‎ 8‎ 所以，所求圆方程为. ‎ ‎（3）‎ ‎ 化简得，同理 所以，直线MQ的方程为 ，代入上式得 8‎