广东省珠海市第九中学2015-2016学年八年级数学上学期期中试题
（考试用时：100分钟；满分：120分）
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：根据轴对称图形的概念判断到A无对称轴，所以A不是轴对称图形．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（ ）
A．5 B．6 C．11 D．16
【考点】三角形三边关系．
【专题】探究型．
【分析】设此三角形第三边的长为x，根据三角形的三边关系求出x的取值范围，找出符合条件的x的值即可．
【解答】解：设此三角形第三边的长为x，则10﹣4＜x＜10+4，即6＜x＜14，四个选项中只有11符合条件．
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
3．下列图形中有稳定性的是（ ）
A．平行四边形 B．正方形 C．长方形 D．直角三角形
【考点】三角形的稳定性．
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
【解答】解：根据三角形具有稳定性，可得四个选项中只有直角三角形具有稳定性．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形具有稳定性，是基础题，需熟记．
4．在平面直角坐标系中，点A（﹣1，2）关于x轴对称的点B的坐标为（ ）
A．（﹣1，2） B．（1，2） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得B点坐标．
【解答】解：点A（﹣1，2）关于x轴对称的点B的坐标为（﹣1，﹣2），
故选：D．
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【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
5．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（ ）
A．80° B．80°或20° C．80°或50° D．20°
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】分类讨论．
【分析】分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解．
【解答】解：①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°，
②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2=20°，
综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，难点在于要分情况讨论求解．
6．如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则△EBC的周长为（ ）厘米．
A．16 B．28 C．26 D．18
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】计算题．
【分析】利用线段垂直平分线的性质得AE=CE，再等量代换即可求得三角形的周长．
【解答】解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线
∴AE=CE
∴AE+BE=CE+BE=10
∴△EBC的周长=BC+BE+CE=10+8=18．
故选D．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质；利用线段进行等量代换，把线段进行等效转移是正确解答本题的关键．
7．如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（ ）
A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC
【考点】全等三角形的判定．
【分析】求出AF=CE，再根据全等三角形的判定定理判断即可．
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【解答】解：∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
∴AF=CE，
A、∵在△ADF和△CBE中
∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；
B、根据AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，错误，故本选项正确；
C、∵在△ADF和△CBE中
∴△ADF≌△CBE（SAS），正确，故本选项错误；
D、∵AD∥BC，
∴∠A=∠C，
∵在△ADF和△CBE中
∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；
故选B．
【点评】本题考查了平行线性质，全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
8．如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠DEF等于（ ）
A．90° B．75° C．70° D．60°
【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．
【分析】根据已知条件，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和外角之间的关系进行计算．
【解答】解：∵AB=BC=CD=DE=EF，∠A=15°，
∴∠BCA=∠A=15°，
∴∠CBD=∠BDC=∠BCA+∠A=15°+15°=30°，
∴∠BCD=180°﹣（∠CBD+∠BDC）=180°﹣60°=120°，
∴∠ECD=∠CED=180°﹣∠BCD﹣∠BCA=180°﹣120°﹣15°=45°，
∴∠CDE=180°﹣（∠ECD+∠CED）=180°﹣90°=90°，
∴∠EDF=∠EFD=180°﹣∠CDE﹣∠BDC=180°﹣90°﹣30°=60°，
∴∠DEF=180°﹣（∠EDF+∠EFC）=180°﹣120°=60°．
故选D．
【点评】主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和外角之间的关系．
（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；
（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180
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°这一隐含的条件．
9．在直角坐标系中有A，B两点，要在y轴上找一点C，使得它到A，B的距离之和最小，现有如下四种方案，其中正确的是（ ）
A． B． C．
D．
【考点】轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．
【分析】根据在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
【解答】解：若在直角坐标系中有A，B两点，要在y轴上找一点C，使得它到A，B的距离之和最小，
则可以过点A作关于y轴的对称点，再连接B和作出的对称点连线和y轴的交点即为所求，
由给出的四个选项可知选项C满足条件．
故选C．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，在一条直线上找一点使它到直线同旁的两个点的距离之和最小，所找的点应是其中已知一点关于这条直线的对称点与已知另一点的交点．
10．如下图，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，不正确的等式是（ ）
A．AB=AC B．∠BAE=∠CAD C．BE=DC D．AD=DE
【考点】全等三角形的性质．
【分析】根据全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等，即可进行判断．
【解答】解：∵△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，
∴AB=AC，∠BAE=∠CAD，BE=DC，AD=AE，
故A、B、C正确；
AD的对应边是AE而非DE，所以D错误．
故选D．
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【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，根据已知的对应角正确确定对应边是解题的关键．
二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24）
11．n边形的每个内角都为135°，则边数n为 8 ．
【考点】多边形内角与外角．菁
【专题】计算题．
【分析】利用多边形的外角以及外角和为360°，即可求解．
【解答】解：n边形的每个内角都为135°，则每个外角都为45°
根据多边形的外角和定理可得：
正n边形的边数= ．
故答案为：8．
【点评】本题考查了多边形的外角以及外角和，正n边形的每个外角都等于正多边形的外角和÷边数．
12．将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是 75° ．
【考点】三角形的外角性质；直角三角形的性质．
【分析】先根据直角三角形两锐角互余求出∠1，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解答】解：如图，∠1=90°﹣60°=30°，
∴∠α=30°+45°=75°．
故答案为：75°．
【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=12cm，BD=8cm，则点D到AB的距离为 4 cm．
【考点】角平分线的性质．
【分析】先过点D作DE⊥AB于点E，根据BC=12cm，BD=8cm求出DC的长，由∠C=90°可知，DC⊥AC，再根据AD平分∠BAC可得出DE=DC，故可得出结论．
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【解答】解：先过点D作DE⊥AB于点E，
∵BC=12cm，BD=8cm，
∴DC=12﹣8=4cm，
∵∠C=90°，
∴DC⊥AC，
∵AD平分∠BAC，
∴DE=DC=4cm．
故答案为：4．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
14．如图，△ABC中，∠ACB=90゜，将△ABC的边BC沿∠ACB的平分线CD折叠到B′C，B′在AC上．若∠B′DA=20゜，则∠B= 55゜ ．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】根据折叠性质得出∠ACD=∠BCD，∠BDC=∠B′DC，求出∠CDB=80°，∠BCD=45°，根据三角形内角和定理求出即可．
【解答】解：∵将△ABC的边BC沿∠ACB的平分线CD折叠到B′C，B′在AC上，
∴∠ACD=∠BCD，∠BDC=∠B′DC，
∵∠ACB=90°，∠B′DA=20°，∠BCD=45°
∴∠CDB=×（180°﹣20°）=80°，∠BCD=45°
∴∠B=180°﹣45°﹣80°=55°，
故答案为：55°．
【点评】本题考查了折叠性质和三角形内角和定理的应用，关键是求出∠BCD和∠BDC的度数．
15．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=40°，CD⊥AB于D，则∠DCB等于 20° ．
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【考点】等腰三角形的性质．
【分析】由等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=40°，根据等边对等角的性质，即可求得∠ACB的度数，又由CD⊥AB，可求得∠ACD的度数，继而求得答案．
【解答】解：∵等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=40°，
∴∠ACB=∠B==70°，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD=90°﹣∠A=50°，
∴∠DCB=∠ACB﹣∠ACD=70°﹣50°=20°．
故答案为：20°．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
16．已知等腰三角形的两边长分别为4和8，则其周长为 20 ．
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】根据腰为4或8，分类求解，注意根据三角形的三边关系进行判断．
【解答】解：当等腰三角形的腰为4时，三边为4，4，8，4+4=8，三边关系不成立，
当等腰三角形的腰为8时，三边为4，8，8，三边关系成立，周长为4+8+8=20．
故答案为：20．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理．关键是根据已知边那个为腰，分类讨论．
三．解答题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
17．如图，BD平分∠ABC，DA⊥AB，∠1=60°，∠BDC=80°，求∠C的度数．
【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义．
【分析】根据三角形的内角和和垂直的定义求解．
【解答】解：∵DA⊥AB，
∴∠A=90°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=90°﹣∠1=90°﹣60°=30°．
∵∠BDC=80°，
∴∠C=180°﹣∠CBD﹣∠BDC=180°﹣30°﹣80°=70°．
【点评】
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主要考查了三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件．同时考查了角平分线的性质．垂直和直角总是联系在一起．
18．已知：如图，C为BE上一点，点A，D分别在BE两侧，AB∥ED，AB=CE，BC=ED．求证：AC=CD．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】根据AB∥ED推出∠B=∠E，再利用SAS判定△ABC≌△CED从而得出AC=CD．
【解答】证明：∵AB∥ED，
∴∠B=∠E．
在△ABC和△CED中，，
∴△ABC≌△CED．
∴AC=CD．
【点评】本题是一道很简单的全等证明：只需证一次全等，无需添加辅助线，且全等的条件都很明显．
19．如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．
（1）用尺规作图作AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；
（2）连接BD，求证：BD平分∠CBA．
【考点】作图—复杂作图；线段垂直平分线的性质．
【专题】作图题；证明题．
【分析】（1）分别以A、B为圆心，以大于AB的长度为半径画弧，过两弧的交点作直线，交AC于点D，AB于点E，直线DE就是所要作的AB边上的中垂线；
（2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，再根据等边对等角的性质求出∠ABD=∠A=30°，然后求出∠CBD=30°，从而得到BD平分∠CBA．
【解答】（1）解：如图所示，DE就是要求作的AB边上的中垂线；
（2）证明：∵DE是AB边上的垂直平分线，∠A=30°，
∴AD=BD，
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∴∠ABD=∠A=30°，
∵∠C=90°，
∴∠ABC=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°，
∴∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=60°﹣30°=30°，
∴∠ABD=∠CBD，
∴BD平分∠CBA．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的作法以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，难度不大，需熟练掌握．
四．解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
20．已知：如图，已知△ABC，
（1）分别画出与△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1
（2）写出△A1B1C1各顶点坐标A1 、B1 、C1 ；
（3）求△ABC的面积．
【考点】作图-轴对称变换．
【专题】作图题．
【分析】根据轴对称的性质找到各点的对应点，然后顺次连接即可，画出图形后即可直接写出各点的坐标．对于三角形面积则用△ABC所在的矩形的面积减去周围小三角形的面积即可求解．
【解答】解：（1）所画图形如下所示：
（2）由图形可得：A1（3，2），B1（4，﹣3），C1（1，﹣1）；
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（3）
【点评】本题考查了轴对称作图的知识，难度不大，注意掌握轴对称的性质，准确找出各点的对称点是关键．
21．如图，在△ABC和△DCB中AC与BD相交于点O，AB=DC，AC=BD．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）证明△OBC是等腰三角形．
【考点】全等三角形的判定．
【专题】证明题．
【分析】根据全等三角形的判定，可添加∠ABC=∠DCB，根据SAS可证△ABC≌△DCB，并得到∠ACB=∠DBC，即证
△OBC的形状是等腰三角形．
【解答】解：（1）证明如下：
∵AB=DC，
∠ABC=∠DCB，
BC=CB，
∴△ABC≌△DCB（SAS）．
（2）由（2）知△ABC≌△DCB，
∴∠ACB=∠DBC，
∴△OBC的形状是等腰三角形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
22．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，D是BC的中点，过A作AE⊥DE，AF⊥DF，且AE=AF，求证：∠EDB=FDC．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】连结AD，易证Rt△AED≌Rt△AFD，可得∠ADE=∠ADF，根据等腰三角形三线合一性质即可求得∠EDB=∠FDC．
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【解答】证明：连结AD，
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，∠ADB=∠ADC=90°
在Rt△AED与Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD．（HL）
∴∠ADE=∠ADF，
∵∠ADB+∠ADC=90°，
∴∠EDB=∠FDC．
【点评】本题考查了全等三角形判定，考查了全等三角形对应角相等性质，本题中求证Rt△AED≌Rt△AFD是解题的关键．
五．解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
23．已知：△ABC中，∠B、∠C的角平分线相交于点D，过D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F． 求证：BE+CF=EF．
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【专题】证明题．
【分析】根据角平分线定义和平行线性质求出∠EDB=∠EBD，推出DE=BE，同理得出CF=DF，即可求出答案．
【解答】证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠DBC，
∵EF∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，
∴∠EDB=∠EBD，
∴DE=BE，
同理CF=DF，
∴EF=DE+DF=BE+CF，
即BE+CF=EF．
【点评】本题考查了角平分线定义，平行线性质，等腰三角形的判定的应用，注意：等角对等边．
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24．如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连接AD、AG．
（1）求证：AD=AG；
（2）AD与AG的位置关系如何，请说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）由BE垂直于AC，CF垂直于AB，利用垂直的定义得到一对角相等，再由一对对顶角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似得到三角形BHF与三角形CHE相似，由相似三角形的对应角相等得到一对角相等，再由AB=CG，BD=AC，利用SAS可得出三角形ABD与三角形ACG全等，由全等三角形的对应边相等可得出AD=AG，
（2）利用全等得出∠ADB=∠GAC，再利用三角形的外角和定理得到∠ADB=∠AED+∠DAE，又∠GAC=∠GAD+∠DAE，利用等量代换可得出∠AED=∠GAD=90°，即AG与AD垂直．
【解答】（1）证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠HFB=∠HEC=90°，又∵∠BHF=∠CHE，
∴∠ABD=∠ACG，
在△ABD和△GCA中
，
∴△ABD≌△GCA（SAS），
∴AD=GA（全等三角形的对应边相等）；
（2）位置关系是AD⊥GA，
理由为：∵△ABD≌△GCA，
∴∠ADB=∠GAC，
又∵∠ADB=∠AED+∠DAE，∠GAC=∠GAD+∠DAE，
∴∠AED=∠GAD=90°，
∴AD⊥GA．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．
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25．如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．
（1）当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：M为AN的中点；
（2）将图1中的△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），求证：△ACN为等腰直角三角形；
（3）将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．
【考点】几何变换综合题；平行线的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；多边形内角与外角．
【专题】几何综合题；压轴题．
【分析】（1）由EN∥AD和点M为DE的中点可以证到△ADM≌△NEM，从而证到M为AN的中点．
（2）易证AB=DA=NE，∠ABC=∠NEC=135°，从而可以证到△ABC≌△NEC，进而可以证到AC=NC，∠ACN=∠BCE=90°，则有△ACN为等腰直角三角形．
（3）延长AB交NE于点F，易得△ADM≌△NEM，根据四边形BCEF内角和，可得∠ABC=∠FEC，从而可以证到△ABC≌△NEC，进而可以证到AC=NC，∠ACN=∠BCE=90°，则有△ACN为等腰直角三角形．
【解答】（1）证明：如图1，
∵EN∥AD，
∴∠MAD=∠MNE，∠ADM=∠NEM．
∵点M为DE的中点，
∴DM=EM．
在△ADM和△NEM中，
∴．
∴△ADM≌△NEM．
∴AM=MN．
∴M为AN的中点．
（2）证明：如图2，
∵△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，
∴AB=AD，CB=CE，∠CBE=∠CEB=45°．
∵AD∥NE，
∴∠DAE+∠NEA=180°．
∵∠DAE=90°，
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∴∠NEA=90°．
∴∠NEC=135°．
∵A，B，E三点在同一直线上，
∴∠ABC=180°﹣∠CBE=135°．
∴∠ABC=∠NEC．
∵△ADM≌△NEM（已证），
∴AD=NE．
∵AD=AB，
∴AB=NE．
在△ABC和△NEC中，
∴△ABC≌△NEC．
∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．
∴∠ACN=∠BCE=90°．
∴△ACN为等腰直角三角形．
（3）△ACN仍为等腰直角三角形．
证明：如图3，延长AB交NE于点F，
∵AD∥NE，M为中点，
∴易得△ADM≌△NEM，
∴AD=NE．
∵AD=AB，
∴AB=NE．
∵AD∥NE，
∴AF⊥NE，
在四边形BCEF中，
∵∠BCE=∠BFE=90°
∴∠FBC+∠FEC=360°﹣180°=180°
∵∠FBC+∠ABC=180°
∴∠ABC=∠FEC
在△ABC和△NEC中，
∴△ABC≌△NEC．
∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．
∴∠ACN=∠BCE=90°．
∴△ACN为等腰直角三角形．
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【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、多边形的内角与外角等知识，渗透了变中有不变的辩证思想，是一道好题．
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