山东省淄博市淄川第一中学2016届高三数学上学期期中试题 理.doc

淄川一中高2013级第一学期期中检测 理科数学试卷 一.选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎．已知集合，，则为 ‎ A. (0，＋) 　B. (1，＋)　 C. [2，＋)　 D.［1，＋)‎ ‎．设，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C.充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎．函数的定义域为 A． B． C． D． ‎ ‎．设，则a,b,c的大小关系是 A. B. C. D. ‎ ‎．已知矩形中,,,则 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎．已知 A. B. C. D. ‎ ‎． 曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 A. B. C. D. ‎ ‎．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）‎ A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 ‎ ．定义在上的函数满足,且当 时, ,则 ‎ 11‎ A． B． C． D． ‎ 设函数的零点为,函数的零点为,则 A. , B. ,‎ C. , D. ,‎ 二.填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分,答案须填在答题卡题中横线上.‎ 在等差数列中,已知,则. ‎ 由曲线与围成的封闭图形的面积是________.‎ 若函数则的值为__________．‎ ‎ , , 分别是的三边, , , ,则的面积是________.‎ 已知函数f(x)＝，若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．‎ 三．解答题：本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎（本小题满分12分）已知函数 ‎ ‎（Ⅰ）求的单调递减区间;‎ ‎（Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍,纵坐标不变,得到函数的图象,求函数在上的值域.‎ ‎（本题满分12分）已知函数．‎ ‎ (Ⅰ) 求函数的最小值和最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）已知内角的对边分别为，且，若向量与共线，求的值．‎ ‎（本小题满分12分）‎ 11‎ ‎ 已知数列是递增的等比数列,,.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式;‎ ‎（Ⅱ）若 ,求数列的前项和.‎ ‎(本小题满分12分）等差数列的前项和为，且，.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足，且，求的前项和 ‎（本小题满分13分）‎ 已知一工厂生产某种产品的年固定成本为100万元,每生产1千件需另投入27万元.设该工厂一年内生产这种产品千件并全部销售完,每千件的销售收入为万元,且 ‎（Ⅰ）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数关系式;‎ ‎（Ⅱ）年产量为多少千件时,该工厂在这种产品的生产中所获得的年利润最大?‎ ‎(注：年利润年销售收入年总成本)‎ ‎（本小题满分14分）‎ ‎ 设函数,其中. ‎ ‎（Ⅰ）时,求曲线在点处的切线方程;‎ ‎（Ⅱ）讨论函数 的单调性;‎ ‎（Ⅲ）当时，证明对,都有.‎ 11‎ 淄川一中高2013级第一学期期中检测 理科数学答案 一. 选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.‎ ‎1.B 2.B 3.A 4.D 5.A 6.C 7.A 8.C 9.C 10.A 二.填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.‎ ‎11. 14 12. 13. 3 14. 15. (0,1)‎ ‎【解析】在同一坐标系中作出f(x)＝，及y＝k的图象(如图)．‎ 可知，当0＜k＜1时，y＝k与y＝f(x)的图象有两个交点，‎ 即方程f(x)＝k有两个不同的实根．‎ 三．解答题：本大题共6小题,共75分.‎ ‎ （本小题满分12分）‎ ‎【解析】解法一：（Ⅰ）‎ ‎ ………………………………….4分 由,, …………………….5分 得 ,,‎ 所以的单调递减区间为 ,. …………………………………6分 ‎（Ⅱ）将的图象向左平移个单位,‎ 11‎ 得到, …………………….7分 再将 图象上各点的横坐标伸长到原来的倍,纵坐标不变,‎ 得到, ………………………………….8分 ‎ , . ………………………….9分 ‎ . ………………………………….11分 ‎ . ‎ ‎ 函数 在 上的值域为. ……………………….12分 ‎（本小题满分12分）解：(Ⅰ)‎ ‎ ……………………………………………………3分 ‎∴ 的最小值为，最小正周期为. ………………………………5分 ‎（Ⅱ）∵ ， 即 ‎∵ ，，∴ ，∴ ． ……7分 ‎∵ 共线，∴ ．‎ 由正弦定理 ， 得 ①…………………………………9分 ‎∵ ，由余弦定理，得， ②……………………10分 解方程组①②，得． …………………………………………12分 ‎（本小题满分12分）‎ ‎【解析】解法一：（Ⅰ）由即 …………………………2分 11‎ 消得 ,解得或 , 或 …………….4分 是递增数列, ………………………………….5分 ‎ . …………………………………….6分 ‎（Ⅱ） …………………………………….7分 ‎ ‎ ‎ ………………….8分 ‎ ……………………………….9分 ‎ ………………………………….10分 ‎ ………………………………….11分 ‎ ………………………………….12分 解： (1)， 由 解得 ‎ ‎ 又 所以 …………………………………….5分 ‎(2), ‎ ‎… …‎ ‎ ‎ 叠加得 所以,‎ 时符合上式，所以 …………………………………….7分 11‎ ‎= …………….12分 ‎（本小题满分13分）‎ ‎【解析】（Ⅰ） ………………………………..3 分 ‎………………..5分 ‎（Ⅱ）当时, . ………………………………6分 令得（ 舍去）. …………………7分 且当时, ；当时,. …………………………………8分 所以当时, . …………………………9分 当时,‎ ‎. …………11分 当且仅当即时取等号. ………………12分 当时,.‎ 因为,所以当时, .‎ 答：年产量为9千件时,该工厂在这种产品的生产中所获得的年利润最大. …………………………………13分 ‎（本小题满分14分）【解析】（Ⅰ）时,,‎ ‎ …………………1分 ‎ ,又, …………………………2分 ‎ 曲线在点处的切线方程为 11‎ ‎. …………………………………3分 ‎（Ⅱ）的定义域为, ‎ 令得或. ……………………4分 ‎ ① 当 即时,当 时,；当时,.‎ ‎…………………………………5分 当 即 时,‎ 当 时,；当 时,,‎ 当 时,. ……………………6分 ② 当即时,. ………………7分 ③ 当即时,‎ 当时；当时,‎ 当时. ……………………8分 综上所述：当时,的增区间为,减区间为；‎ ‎ 当时,的增区间为和；减区间为；‎ 当时,的增区间为,无减区间；‎ 当时,的增区间为和,减区间为. …………………………………9分 ‎（Ⅲ）证法一：：①当时, 由（Ⅱ）知在上单调递增,在上单调递减, ‎ 11‎ 在 上单调递增,所以. ‎ ‎ ‎ 记,, ‎ ‎ ,‎ 又 , . 在 上单调递增.‎ ‎ 当时, 即成立.‎ 又 , .所以.‎ 当时, 时 ……………………11分 ‎②当时,在上单调递增, . …………………………………12分 ③当时,由（Ⅱ）知在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增. ‎ 故在上只有一个极大值, 所以当时, . ‎ ‎, ,‎ 当时, 时.‎ 综①②③知：当时，对,都有. …………………………………14分 11‎ 注：判断当时, ,也可用如下两种方法：‎ 方法一：‎ ‎ ,,, ‎ ‎.所以.‎ 方法二：‎ 令, ‎ ‎,即.‎ ‎（Ⅲ）证法二：.‎ 记,‎ 先证,. 记, , ‎ 令得.时, ;时, .‎ 即. ………………11分 在上单调递减, ‎ ‎.‎ ‎.故证 11‎ ‎. …………………………………14分 11‎